2023-2024學(xué)年云南省開(kāi)遠(yuǎn)一中高三聯(lián)考B卷數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年云南省開(kāi)遠(yuǎn)一中高三聯(lián)考B卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．的實(shí)部與虛部之和為1 D．在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知命題p:直線(xiàn)a∥b，且b?平面α，則a∥α；命題q:直線(xiàn)l⊥平面α，任意直線(xiàn)m?α，則l⊥m.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，點(diǎn)在邊所在直線(xiàn)上，則的最大值為（）A． B． C． D．5．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)D．將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像6．定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．27．已知直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)F，且與雙曲線(xiàn)C在第二象限交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)C的離心率為A． B． C． D．8．山東煙臺(tái)蘋(píng)果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國(guó)內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋(píng)果（把蘋(píng)果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在內(nèi)的概率為（）附：若，則，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95449．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．10．設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．11．已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．12．已知曲線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為（）A． B．2 C．4 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)為，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)__________．14．三個(gè)小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為_(kāi)_____.15．（5分）已知，且，則的值是____________．16．已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，且,，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，求證：．18．（12分）已知數(shù)列和滿(mǎn)足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線(xiàn)與極軸所在直線(xiàn)圍成圖形的面積；（2）設(shè)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求.20．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+2b+3c=m，求證：21．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點(diǎn)．已知長(zhǎng)為40米,設(shè)為．（上述圖形均視作在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形的周長(zhǎng)為,求的表達(dá)式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．22．（10分）已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）.（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求得，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，則，的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選D．【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為．2．D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.3．C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題，然后結(jié)合含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定，我們易得命題若直線(xiàn)，直線(xiàn)平面，則直線(xiàn)平面或直線(xiàn)在平面內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義，我們易得命題若直線(xiàn)平面，則若直線(xiàn)與平面內(nèi)的任意直線(xiàn)都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線(xiàn)面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線(xiàn)的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，設(shè)，解得，所在直線(xiàn)的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線(xiàn)上，故設(shè)當(dāng)時(shí)故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.5．B【解析】

化簡(jiǎn)到，根據(jù)定義域排除，計(jì)算單調(diào)性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域?yàn)椋叔e(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當(dāng)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為不在定義域內(nèi)，故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)?，故不可能為，錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱(chēng)，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.6．C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

直線(xiàn)的傾斜角為，易得．設(shè)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為E，可得中，，則，所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選B．8．C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得，，將所求概率轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正態(tài)分布曲線(xiàn)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，，則，，所以，.故果實(shí)直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問(wèn)題，考查了正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.10．B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11．C【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程即可求出雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸，所以，得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線(xiàn)斜率，進(jìn)而得到切線(xiàn)方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程，抽象出直線(xiàn)方程，且過(guò)定點(diǎn)為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè)，則的斜率分別為，所以的方程為，即，，即，由于都過(guò)點(diǎn)，所以，即都在直線(xiàn)上，所以直線(xiàn)的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，即直線(xiàn)過(guò)圓心，則直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系，拋物線(xiàn)兩切點(diǎn)所在直線(xiàn)求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由于直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，因此過(guò)，分別作的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，由拋物線(xiàn)的定義及平行線(xiàn)性質(zhì)可得，從而再由拋物線(xiàn)定義可求得直線(xiàn)傾斜角的余弦，再求得正切即為直線(xiàn)斜率．注意對(duì)稱(chēng)性，問(wèn)題應(yīng)該有兩解．【詳解】直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，，過(guò)，分別作的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，由拋物線(xiàn)的定義知，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，從而．設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，不妨設(shè)，如圖，則，，同理，則，解得，，由對(duì)稱(chēng)性還有滿(mǎn)足題意．，綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，掌握拋物線(xiàn)的定義，把拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來(lái)是解題關(guān)鍵．14．【解析】

基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．則三人都收到禮物的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由于，且，則，得，則．16．【解析】

設(shè),則,,由知,,,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在和中分別求出,進(jìn)而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè),則,,由橢圓定義知,,因?yàn)?所以,,作,垂足為C，則C為的中點(diǎn),在中,因?yàn)?所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點(diǎn)三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）極大值，極小值；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】

首先確定函數(shù)的定義域和；（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，代入可求得極值；（2）通過(guò)分析法可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由題意得：定義域?yàn)?，，?）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為.（2）要證：，即證：，即證：，化簡(jiǎn)可得：．，，即證：，設(shè)，令，則，在上單調(diào)遞增，，則由，從而有：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題；本題不等式證明的關(guān)鍵是能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題.18．（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷出，由此利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，∴為常數(shù)列，且，∴，∴∴【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.19．（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得出曲線(xiàn)與極軸所在直線(xiàn)圍成的圖形是一個(gè)半徑為1的圓周及一個(gè)兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)互化公式得，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則曲線(xiàn)與極軸所在直線(xiàn)圍成的圖形，是一個(gè)半徑為1的圓周及一個(gè)兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標(biāo)為，化直角坐標(biāo)方程為，化直角坐標(biāo)方程為，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，考查計(jì)算能力.20．（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）利用絕對(duì)值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】（1）由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以.法2：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.21．（1）,．（2）【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據(jù)直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)求出,從而求出;（2）求得的表達(dá)式,通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.【詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因?yàn)榕c半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長(zhǎng)為,．（2）設(shè)四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系,考查考生的邏輯思維能力,運(yùn)