《4.2等可能條件下的概率（一）》知識清單

《4.2等可能條件下的概率（一）》知識清單一、概率的基本概念1、**什么是概率呢**-概率就是用來描述一個事件發(fā)生可能性大小的數(shù)。比如說，我們學校要舉辦一場抽獎活動，獎品是最新款的平板電腦。全校同學都可以參加，那每個同學中獎的可能性有多大呢？這就可以用概率來表示。-概率的值是在0到1之間的。如果一個事件肯定不會發(fā)生，那它的概率就是0，就像我想在抽獎活動中抽到一艘宇宙飛船，這在這個抽獎活動里是肯定不會發(fā)生的，概率就是0；如果一個事件肯定會發(fā)生，那它的概率就是1，比如太陽每天從東方升起，這個事件發(fā)生的概率就是1。2、**等可能事件**-等可能事件就是在一次試驗中，每個結果出現(xiàn)的機會是均等的。還說那個抽獎活動，假設抽獎箱里有100個完全相同的小球，其中只有1個小球代表中獎，那每次從抽獎箱里摸一個球，摸到每個球的可能性就是一樣的，這就是等可能事件。-等可能事件的概率計算很有趣。如果一個試驗有n個等可能的結果，而事件A包含其中的m個結果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)就是m除以n，寫成公式就是P(A)=m/n。比如說，在擲骰子的游戲中，擲一次骰子有6種等可能的結果（1點、2點、3點、4點、5點、6點），如果事件A是擲出偶數(shù)點，那么事件A包含3種結果（2點、4點、6點），所以P(A)=3/6=1/2。二、古典概型1、**古典概型的特點**-古典概型是一種特殊的概率模型。它首先要有有限個結果，就像剛才說的擲骰子，結果只有6個，是有限的。其次，每個結果出現(xiàn)的可能性得相等，就像擲骰子時每個點數(shù)出現(xiàn)的可能性相同。-我們可以想象一下玩撲克牌的場景。從一副去掉大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張牌，這就是一個古典概型。因為總共只有52種等可能的結果，而且抽到每張牌的可能性都一樣。2、**古典概型概率的計算步驟**-第一步，確定試驗的所有等可能結果的總數(shù)n。比如在抽撲克牌的例子中，n=52。-第二步，確定事件A包含的結果數(shù)m。如果事件A是抽到紅桃，那么m=13。-第三步，根據(jù)公式P(A)=m/n計算概率。在這個例子中，P(抽到紅桃)=13/52=1/4。三、列舉法求概率1、**直接列舉法**-直接列舉法就是把所有可能的結果一個一個地列出來。比如說，同時擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的結果有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）這4種。這里的每一種結果都是等可能的。-有一次我和小伙伴玩猜硬幣正反面的游戲。我們約定同時拋兩枚硬幣，如果兩枚硬幣都是正面朝上，我就贏。那我贏的概率是多少呢？用直接列舉法列出所有結果后，發(fā)現(xiàn)總共有4種結果，而我贏（兩枚硬幣都是正面朝上）只有1種結果，所以根據(jù)概率公式，我贏的概率就是P=1/4。2、**列表法**-當試驗涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果較多時，用列表法就比較方便。例如，一個袋子里有2個紅球和3個白球，從袋子里先后摸出兩個球（不放回），求兩次都摸到紅球的概率。-我們可以列表來表示所有可能的結果。設紅球為R1、R2，白球為W1、W2、W3。|第一次摸球|第二次摸球||----|----||R1|R2、W1、W2、W3||R2|R1、W1、W2、W3||W1|R1、R2、W2、W3||W2|R1、R2、W1、W3||W3|R1、R2、W1、W2|-從表中可以看出，總共有20種等可能的結果，而兩次都摸到紅球（R1、R2和R2、R1）有2種結果，所以兩次都摸到紅球的概率P=2/20=1/10。3、**樹狀圖法**-樹狀圖法適合于試驗涉及多個步驟或者多個因素的情況。比如，一個家庭有兩個孩子，求兩個孩子都是男孩的概率。-我們可以畫樹狀圖來分析。先看第一個孩子，有男和女兩種可能，對于第一個孩子是男的情況，第二個孩子又有男和女兩種可能；對于第一個孩子是女的情況，第二個孩子同樣有男和女兩種可能。-畫成樹狀圖就是：-第一層：男-女-第二層（從男分支出來）：男-女-第二層（從女分支出來）：男-女-從樹狀圖可以看出，總共有4種等可能的結果（男男、男女、女男、女女），而兩個孩子都是男孩（男男）只有1種結果，所以兩個孩子都是男孩的概率P=1/4。四、概率在實際生活中的應用1、**保險行業(yè)中的概率應用**-在保險行業(yè)里，概率可是非常重要的。保險公司要根據(jù)各種事件發(fā)生的概率來確定保險費用。比如說，汽車保險公司要考慮汽車發(fā)生事故的概率。他們會收集大量的數(shù)據(jù)，像司機的年齡、性別、駕駛經驗、汽車的型號、行駛的區(qū)域等等。-假如經過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，25歲以下的年輕男性司機發(fā)生交通事故的概率比較高。那對于這個群體的司機，保險公司就會收取比較高的保險費用。這就是因為這個群體發(fā)生事故的概率大，保險公司要保證在理賠的時候有足夠的資金，所以要提高保費來平衡風險。2、**彩票中的概率應用**-大家都知道彩票吧，彩票中獎也是一個概率問題。拿雙色球來說，它的中獎號碼是從很多數(shù)字里選出來的。要中一等獎，那概率是非常非常小的。-我有個鄰居特別喜歡買雙色球，每周都買。他總是幻想自己能中大獎，但是從概率的角度來看，中一等獎的概率幾乎可以忽略不計。他買了很多年，也沒有中過大獎。這就說明，雖然彩票有中獎的可能性，但是這個可能性實在是太小了。3、**質量檢測中的概率應用**-在工廠生產產品的時候，也會用到概率。比如說，生產手機的工廠，要檢測手機屏幕是否有瑕疵。他們不可能對每一部生產出來的手機都進行非常詳細的檢測，那樣成本太高了。-所以他們會采用抽樣檢測的方法。從一批生產出來的手機中抽取一部分手機進行檢測，如果在抽取的手機中發(fā)現(xiàn)有瑕疵屏幕的概率比較高，那他們就會認為這批手機可能存在質量問題，需要對整批手機進行更詳細的檢查或者采取改進措施。五、典型問題1、**問題一**-一個盒子里有1個紅球、2個白球和3個黑球，從盒子里隨機摸出一個球，求摸到白球的概率。-首先，確定試驗的所有等可能結果的總數(shù)n。這里球的總數(shù)是1+2+3=6個，所以n=6。-然后，確定事件A（摸到白球）包含的結果數(shù)m，因為有2個白球，所以m=2。-根據(jù)公式P(A)=m/n，可得摸到白球的概率P=2/6=1/3。2、**問題二**-同時擲兩枚質地均勻的骰子，求點數(shù)之和為7的概率。-我們用列表法來解決這個問題。|第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||----|----|----|----|----|----|----||第二枚骰子|1|2|3|4|5|6||點數(shù)之和|2|3|4|5|6|7||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|2|3|4|5|6|7||點數(shù)之和|3|4|5|6|7|8||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|3|4|5|6|7|8||點數(shù)之和|4|5|6|7|8|9||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|4|5|6|7|8|9||點數(shù)之和|5|6|7|8|9|10||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|5|6|7|8|9|10||點數(shù)之和|6|7|8|9|10|11||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|6|7|8|9|10|11||點數(shù)之和|7|8|9|10|11|12|-從表中可以看出，總共有36種等可能的結果，而點數(shù)之和為7的情況有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）共6種。-根據(jù)概率公式P=6/36=1/6。3、**問題三**-有A、B、C三個口袋，A口袋中有2個紅球和1個白球，B口袋中有1個紅球和2個白球，C口袋中有3個紅球和1個白球。從A口袋中隨機摸出一個球，記錄顏色后放回，再從B口袋中隨機摸出一個球，記錄顏色后放回，最后從C口袋中隨機摸出一個球，求三次摸球都是紅球的概率。-對于A口袋，摸出紅球的概率P(A紅)=2/3；對于B口袋，摸出紅球的概率P(B紅)=1/3；對于C口袋，摸出紅球的概率P(C紅)=3/4。-因為這是三個獨立的事件，所以三次摸球都是紅球的概率P=P(A紅)×P(B紅)×P(C紅)=2/3×1/3×3/4=1/6。等可能條件下的概率（一）習題一、基礎題1、一個袋子里有5個紅球和3個藍球，從袋子里隨機摸出一個球，求摸到紅球的概率。-答案：首先確定所有等可能結果的總數(shù)n=5+3=8個球，事件A（摸到紅球）包含的結果數(shù)m=5個球。根據(jù)概率公式P(A)=m/n，可得摸到紅球的概率P=5/8。2、同時擲一枚硬幣和一枚骰子，求硬幣正面朝上且骰子擲出3點的概率。-答案：擲硬幣有2種等可能結果（正面、反面），擲骰子有6種等可能結果?？偣灿?×6=12種等可能的結果組合。而硬幣正面朝上且骰子擲出3點只有1種結果。所以根據(jù)概率公式，所求概率P=1/12。二、提高題1、一個盒子里有3個相同的小球，分別標有數(shù)字1、2、3。先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字后放回，再隨機取出一個小球，求兩次取出的小球數(shù)字之和為4的概率。-答案：我們用列表法來解決。|第一次取球|1|2|3||----|----|----|----||第二次取球|1|2|3||數(shù)字之和|2|3|4||第一次取球|1|2|3||第二次取球|2|3|4||數(shù)字之和|3|4|5||第一次取球|1|2|3||第二次取球|3|4|5||數(shù)字之和|4|5|6|-總共有9種等可能的結果，兩次取出的小球數(shù)字之和為4的情況有（1，3）、（3，1）、（2，2）共3種。根據(jù)概率公式P=3/9=1/3。2、有甲、乙兩個盒子，甲盒中有2個白球和3個黑球，乙盒中有3個白球和2個黑球。從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，然后再從乙盒中隨機取出一個球，求從乙盒中取出白球的概率。-答案：分兩種情況討論。-情況一：從甲盒中取出的是白球（概率為2/5），此時乙盒中有4個白球和2個黑球，從乙盒中取出白球的概率為4/6。這種情況下，從乙盒中取出白球的概率為2/5×4/6=4/15。-情況二：從甲盒中取出的是黑球（概率為3/5），此時乙盒中有3個白球和3個黑球，從乙盒中取出白球的概率為3/6。這種情況下，從乙盒中取出白球的概率為3/5×3/6=3/10。-所以從乙盒中取出白球的概率為4/15+3/10=17/30。三、拓展題1、一個轉盤被平均分成8個扇形區(qū)域，分別標有1-8這8個數(shù)字。轉動轉盤兩次，求兩次指針所指數(shù)字之積為6的概率。-答案：我們用列表法來分析。|第一次轉動|1|2|3|4|5|6|7|8||----|----|----|----|----|----|----|----|----||第二次轉動|1|2|3|4|5|6|7|8||數(shù)字之積|1|2|3|4|5|6|7|8||第一次轉動|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉動|2|4|6|8|10|12|14|16||數(shù)字之積|2|4|6|8|10|12|14|16||第一次轉動|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉動|3|6|9|12|15|18|21|24||數(shù)字之積|3|6|9|12|15|18|21|24||第一次轉動|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉動|4|8|12|16|20|24|28|32||數(shù)字之積|4|8|12|16|20|24|28|32||第一次轉動|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉動|5|10|15|20|25|30|35|40||數(shù)字之積|5|10|15|20|25|30|35|40||第一次轉動|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉動|6|12|18|24|30|36|42|48||數(shù)字之積|