《4.2等可能條件下的概率（一）》知識(shí)清單

《4.2等可能條件下的概率（一）》知識(shí)清單一、概率的基本概念1、**什么是概率呢**-概率就是用來(lái)描述一個(gè)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)。比如說(shuō)，我們學(xué)校要舉辦一場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獎(jiǎng)品是最新款的平板電腦。全校同學(xué)都可以參加，那每個(gè)同學(xué)中獎(jiǎng)的可能性有多大呢？這就可以用概率來(lái)表示。-概率的值是在0到1之間的。如果一個(gè)事件肯定不會(huì)發(fā)生，那它的概率就是0，就像我想在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到一艘宇宙飛船，這在這個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)里是肯定不會(huì)發(fā)生的，概率就是0；如果一個(gè)事件肯定會(huì)發(fā)生，那它的概率就是1，比如太陽(yáng)每天從東方升起，這個(gè)事件發(fā)生的概率就是1。2、**等可能事件**-等可能事件就是在一次試驗(yàn)中，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的。還說(shuō)那個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，假設(shè)抽獎(jiǎng)箱里有100個(gè)完全相同的小球，其中只有1個(gè)小球代表中獎(jiǎng)，那每次從抽獎(jiǎng)箱里摸一個(gè)球，摸到每個(gè)球的可能性就是一樣的，這就是等可能事件。-等可能事件的概率計(jì)算很有趣。如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，而事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)就是m除以n，寫成公式就是P(A)=m/n。比如說(shuō)，在擲骰子的游戲中，擲一次骰子有6種等可能的結(jié)果（1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)），如果事件A是擲出偶數(shù)點(diǎn)，那么事件A包含3種結(jié)果（2點(diǎn)、4點(diǎn)、6點(diǎn)），所以P(A)=3/6=1/2。二、古典概型1、**古典概型的特點(diǎn)**-古典概型是一種特殊的概率模型。它首先要有有限個(gè)結(jié)果，就像剛才說(shuō)的擲骰子，結(jié)果只有6個(gè)，是有限的。其次，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性得相等，就像擲骰子時(shí)每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性相同。-我們可以想象一下玩撲克牌的場(chǎng)景。從一副去掉大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張牌，這就是一個(gè)古典概型。因?yàn)榭偣仓挥?2種等可能的結(jié)果，而且抽到每張牌的可能性都一樣。2、**古典概型概率的計(jì)算步驟**-第一步，確定試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果的總數(shù)n。比如在抽撲克牌的例子中，n=52。-第二步，確定事件A包含的結(jié)果數(shù)m。如果事件A是抽到紅桃，那么m=13。-第三步，根據(jù)公式P(A)=m/n計(jì)算概率。在這個(gè)例子中，P(抽到紅桃)=13/52=1/4。三、列舉法求概率1、**直接列舉法**-直接列舉法就是把所有可能的結(jié)果一個(gè)一個(gè)地列出來(lái)。比如說(shuō)，同時(shí)擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）這4種。這里的每一種結(jié)果都是等可能的。-有一次我和小伙伴玩猜硬幣正反面的游戲。我們約定同時(shí)拋兩枚硬幣，如果兩枚硬幣都是正面朝上，我就贏。那我贏的概率是多少呢？用直接列舉法列出所有結(jié)果后，發(fā)現(xiàn)總共有4種結(jié)果，而我贏（兩枚硬幣都是正面朝上）只有1種結(jié)果，所以根據(jù)概率公式，我贏的概率就是P=1/4。2、**列表法**-當(dāng)試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時(shí)，用列表法就比較方便。例如，一個(gè)袋子里有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從袋子里先后摸出兩個(gè)球（不放回），求兩次都摸到紅球的概率。-我們可以列表來(lái)表示所有可能的結(jié)果。設(shè)紅球?yàn)镽1、R2，白球?yàn)閃1、W2、W3。|第一次摸球|第二次摸球||----|----||R1|R2、W1、W2、W3||R2|R1、W1、W2、W3||W1|R1、R2、W2、W3||W2|R1、R2、W1、W3||W3|R1、R2、W1、W2|-從表中可以看出，總共有20種等可能的結(jié)果，而兩次都摸到紅球（R1、R2和R2、R1）有2種結(jié)果，所以兩次都摸到紅球的概率P=2/20=1/10。3、**樹狀圖法**-樹狀圖法適合于試驗(yàn)涉及多個(gè)步驟或者多個(gè)因素的情況。比如，一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，求兩個(gè)孩子都是男孩的概率。-我們可以畫樹狀圖來(lái)分析。先看第一個(gè)孩子，有男和女兩種可能，對(duì)于第一個(gè)孩子是男的情況，第二個(gè)孩子又有男和女兩種可能；對(duì)于第一個(gè)孩子是女的情況，第二個(gè)孩子同樣有男和女兩種可能。-畫成樹狀圖就是：-第一層：男-女-第二層（從男分支出來(lái)）：男-女-第二層（從女分支出來(lái)）：男-女-從樹狀圖可以看出，總共有4種等可能的結(jié)果（男男、男女、女男、女女），而兩個(gè)孩子都是男孩（男男）只有1種結(jié)果，所以兩個(gè)孩子都是男孩的概率P=1/4。四、概率在實(shí)際生活中的應(yīng)用1、**保險(xiǎn)行業(yè)中的概率應(yīng)用**-在保險(xiǎn)行業(yè)里，概率可是非常重要的。保險(xiǎn)公司要根據(jù)各種事件發(fā)生的概率來(lái)確定保險(xiǎn)費(fèi)用。比如說(shuō)，汽車保險(xiǎn)公司要考慮汽車發(fā)生事故的概率。他們會(huì)收集大量的數(shù)據(jù)，像司機(jī)的年齡、性別、駕駛經(jīng)驗(yàn)、汽車的型號(hào)、行駛的區(qū)域等等。-假如經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，25歲以下的年輕男性司機(jī)發(fā)生交通事故的概率比較高。那對(duì)于這個(gè)群體的司機(jī)，保險(xiǎn)公司就會(huì)收取比較高的保險(xiǎn)費(fèi)用。這就是因?yàn)檫@個(gè)群體發(fā)生事故的概率大，保險(xiǎn)公司要保證在理賠的時(shí)候有足夠的資金，所以要提高保費(fèi)來(lái)平衡風(fēng)險(xiǎn)。2、**彩票中的概率應(yīng)用**-大家都知道彩票吧，彩票中獎(jiǎng)也是一個(gè)概率問(wèn)題。拿雙色球來(lái)說(shuō)，它的中獎(jiǎng)號(hào)碼是從很多數(shù)字里選出來(lái)的。要中一等獎(jiǎng)，那概率是非常非常小的。-我有個(gè)鄰居特別喜歡買雙色球，每周都買。他總是幻想自己能中大獎(jiǎng)，但是從概率的角度來(lái)看，中一等獎(jiǎng)的概率幾乎可以忽略不計(jì)。他買了很多年，也沒有中過(guò)大獎(jiǎng)。這就說(shuō)明，雖然彩票有中獎(jiǎng)的可能性，但是這個(gè)可能性實(shí)在是太小了。3、**質(zhì)量檢測(cè)中的概率應(yīng)用**-在工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的時(shí)候，也會(huì)用到概率。比如說(shuō)，生產(chǎn)手機(jī)的工廠，要檢測(cè)手機(jī)屏幕是否有瑕疵。他們不可能對(duì)每一部生產(chǎn)出來(lái)的手機(jī)都進(jìn)行非常詳細(xì)的檢測(cè)，那樣成本太高了。-所以他們會(huì)采用抽樣檢測(cè)的方法。從一批生產(chǎn)出來(lái)的手機(jī)中抽取一部分手機(jī)進(jìn)行檢測(cè)，如果在抽取的手機(jī)中發(fā)現(xiàn)有瑕疵屏幕的概率比較高，那他們就會(huì)認(rèn)為這批手機(jī)可能存在質(zhì)量問(wèn)題，需要對(duì)整批手機(jī)進(jìn)行更詳細(xì)的檢查或者采取改進(jìn)措施。五、典型問(wèn)題1、**問(wèn)題一**-一個(gè)盒子里有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，求摸到白球的概率。-首先，確定試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果的總數(shù)n。這里球的總數(shù)是1+2+3=6個(gè)，所以n=6。-然后，確定事件A（摸到白球）包含的結(jié)果數(shù)m，因?yàn)橛?個(gè)白球，所以m=2。-根據(jù)公式P(A)=m/n，可得摸到白球的概率P=2/6=1/3。2、**問(wèn)題二**-同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求點(diǎn)數(shù)之和為7的概率。-我們用列表法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。|第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||----|----|----|----|----|----|----||第二枚骰子|1|2|3|4|5|6||點(diǎn)數(shù)之和|2|3|4|5|6|7||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|2|3|4|5|6|7||點(diǎn)數(shù)之和|3|4|5|6|7|8||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|3|4|5|6|7|8||點(diǎn)數(shù)之和|4|5|6|7|8|9||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|4|5|6|7|8|9||點(diǎn)數(shù)之和|5|6|7|8|9|10||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|5|6|7|8|9|10||點(diǎn)數(shù)之和|6|7|8|9|10|11||第一枚骰子|1|2|3|4|5|6||第二枚骰子|6|7|8|9|10|11||點(diǎn)數(shù)之和|7|8|9|10|11|12|-從表中可以看出，總共有36種等可能的結(jié)果，而點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）共6種。-根據(jù)概率公式P=6/36=1/6。3、**問(wèn)題三**-有A、B、C三個(gè)口袋，A口袋中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，B口袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，C口袋中有3個(gè)紅球和1個(gè)白球。從A口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回，再?gòu)腂口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回，最后從C口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，求三次摸球都是紅球的概率。-對(duì)于A口袋，摸出紅球的概率P(A紅)=2/3；對(duì)于B口袋，摸出紅球的概率P(B紅)=1/3；對(duì)于C口袋，摸出紅球的概率P(C紅)=3/4。-因?yàn)檫@是三個(gè)獨(dú)立的事件，所以三次摸球都是紅球的概率P=P(A紅)×P(B紅)×P(C紅)=2/3×1/3×3/4=1/6。等可能條件下的概率（一）習(xí)題一、基礎(chǔ)題1、一個(gè)袋子里有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，從袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，求摸到紅球的概率。-答案：首先確定所有等可能結(jié)果的總數(shù)n=5+3=8個(gè)球，事件A（摸到紅球）包含的結(jié)果數(shù)m=5個(gè)球。根據(jù)概率公式P(A)=m/n，可得摸到紅球的概率P=5/8。2、同時(shí)擲一枚硬幣和一枚骰子，求硬幣正面朝上且骰子擲出3點(diǎn)的概率。-答案：擲硬幣有2種等可能結(jié)果（正面、反面），擲骰子有6種等可能結(jié)果?？偣灿?×6=12種等可能的結(jié)果組合。而硬幣正面朝上且骰子擲出3點(diǎn)只有1種結(jié)果。所以根據(jù)概率公式，所求概率P=1/12。二、提高題1、一個(gè)盒子里有3個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3。先從盒子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字后放回，再隨機(jī)取出一個(gè)小球，求兩次取出的小球數(shù)字之和為4的概率。-答案：我們用列表法來(lái)解決。|第一次取球|1|2|3||----|----|----|----||第二次取球|1|2|3||數(shù)字之和|2|3|4||第一次取球|1|2|3||第二次取球|2|3|4||數(shù)字之和|3|4|5||第一次取球|1|2|3||第二次取球|3|4|5||數(shù)字之和|4|5|6|-總共有9種等可能的結(jié)果，兩次取出的小球數(shù)字之和為4的情況有（1，3）、（3，1）、（2，2）共3種。根據(jù)概率公式P=3/9=1/3。2、有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球。從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，然后再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，求從乙盒中取出白球的概率。-答案：分兩種情況討論。-情況一：從甲盒中取出的是白球（概率為2/5），此時(shí)乙盒中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球，從乙盒中取出白球的概率為4/6。這種情況下，從乙盒中取出白球的概率為2/5×4/6=4/15。-情況二：從甲盒中取出的是黑球（概率為3/5），此時(shí)乙盒中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，從乙盒中取出白球的概率為3/6。這種情況下，從乙盒中取出白球的概率為3/5×3/6=3/10。-所以從乙盒中取出白球的概率為4/15+3/10=17/30。三、拓展題1、一個(gè)轉(zhuǎn)盤被平均分成8個(gè)扇形區(qū)域，分別標(biāo)有1-8這8個(gè)數(shù)字。轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，求兩次指針?biāo)笖?shù)字之積為6的概率。-答案：我們用列表法來(lái)分析。|第一次轉(zhuǎn)動(dòng)|1|2|3|4|5|6|7|8||----|----|----|----|----|----|----|----|----||第二次轉(zhuǎn)動(dòng)|1|2|3|4|5|6|7|8||數(shù)字之積|1|2|3|4|5|6|7|8||第一次轉(zhuǎn)動(dòng)|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉(zhuǎn)動(dòng)|2|4|6|8|10|12|14|16||數(shù)字之積|2|4|6|8|10|12|14|16||第一次轉(zhuǎn)動(dòng)|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉(zhuǎn)動(dòng)|3|6|9|12|15|18|21|24||數(shù)字之積|3|6|9|12|15|18|21|24||第一次轉(zhuǎn)動(dòng)|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉(zhuǎn)動(dòng)|4|8|12|16|20|24|28|32||數(shù)字之積|4|8|12|16|20|24|28|32||第一次轉(zhuǎn)動(dòng)|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉(zhuǎn)動(dòng)|5|10|15|20|25|30|35|40||數(shù)字之積|5|10|15|20|25|30|35|40||第一次轉(zhuǎn)動(dòng)|1|2|3|4|5|6|7|8||第二次轉(zhuǎn)動(dòng)|6|12|18|24|30|36|42|48||數(shù)字之積|