《一 數(shù)量積的坐標(biāo)表示》知識清單

《一數(shù)量積的坐標(biāo)表示》知識清單一、復(fù)習(xí)向量的基本知識1、向量的定義向量就像是一個(gè)帶著方向的箭頭。比如說，你在操場上從一個(gè)點(diǎn)跑到另一個(gè)點(diǎn)，你跑的這個(gè)路線就可以看成是一個(gè)向量。它有起點(diǎn)、終點(diǎn)，還有方向。在數(shù)學(xué)里，我們可以用有向線段來表示向量。向量有大小和方向兩個(gè)要素。大小就是這個(gè)向量的長度，就像你跑的距離一樣。如果用字母表示向量的話，像$＼overrightarrow{a}＄，＄＼overrightarrow＄這樣。2、向量的加法和減法向量加法就像是兩個(gè)人一起走的效果。假如你和你的朋友在操場上，你從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，這是一個(gè)向量$＼overrightarrow{a}＄，你的朋友從B點(diǎn)走到C點(diǎn)，這是一個(gè)向量$＼overrightarrow＄，那從A點(diǎn)直接到C點(diǎn)這個(gè)向量就是$＼overrightarrow{a}＋＼overrightarrow＄。向量減法呢，就像是你本來要走的路和實(shí)際走的路的差別。比如說你計(jì)劃從A點(diǎn)走到C點(diǎn)，這是向量$＼overrightarrow{c}＄，但是你先走到了B點(diǎn)，這是向量$＼overrightarrow＄，那從B點(diǎn)到C點(diǎn)這個(gè)向量就是$＼overrightarrow{c}＼overrightarrow＄。二、引出向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、向量數(shù)量積的概念回顧向量的數(shù)量積可不像向量加法減法那么簡單直觀。咱們之前學(xué)過，向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)，它等于這兩個(gè)向量的模（也就是長度）相乘，再乘以它們夾角的余弦值。比如說有兩個(gè)向量$＼overrightarrow{a}＄和$＼overrightarrow＄，它們的數(shù)量積$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow＼vert\cos\theta$，這里的$＼theta$就是$＼overrightarrow{a}＄和$＼overrightarrow＄的夾角。我給你講個(gè)例子啊。有一次我在公園里看到兩個(gè)小朋友拉一個(gè)小推車。小朋友用力的方向和推車移動的方向有個(gè)夾角。如果把小朋友的力看成一個(gè)向量，推車移動的位移看成另一個(gè)向量，那這個(gè)力做的功其實(shí)就和這兩個(gè)向量的數(shù)量積有關(guān)系。因?yàn)楣Φ扔诹Τ艘晕灰圃诹Ψ较蛏系姆至?，這就和向量數(shù)量積的概念相通了。2、為什么要研究數(shù)量積的坐標(biāo)表示在實(shí)際計(jì)算中，用向量的模和夾角來計(jì)算數(shù)量積有時(shí)候很麻煩。就像你要計(jì)算一個(gè)復(fù)雜形狀的面積，如果有更簡單的方法，你肯定想用。所以我們就想找到一種用向量坐標(biāo)來計(jì)算數(shù)量積的方法，這樣計(jì)算起來就會方便很多。三、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示推導(dǎo)1、設(shè)向量的坐標(biāo)咱們先設(shè)兩個(gè)向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow＝（x_{2}，y_{2}）＄。這里的$x_{1}＄、＄y_{1}＄就是向量$＼overrightarrow{a}＄在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，＄x_{2}＄、＄y_{2}＄是向量$＼overrightarrow＄的坐標(biāo)。這就好比你在地圖上找一個(gè)地方，需要知道它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)一樣。向量在平面直角坐標(biāo)系里也有它自己的坐標(biāo)定位。2、根據(jù)向量模和夾角的關(guān)系推導(dǎo)我們知道向量的?？梢杂米鴺?biāo)來表示。對于向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，它的模$＼vert\overrightarrow{a}＼vert＝＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＄。同樣，對于向量$＼overrightarrow＝（x_{2}，y_{2}）＄，＄＼vert\overrightarrow＼vert=＼sqrt{x_{2}＾｛2}＋y_{2}＾｛2}｝＄。又因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow＼vert\cos\theta$。那我們可以根據(jù)向量的坐標(biāo)來表示這個(gè)夾角的余弦值。假設(shè)向量$＼overrightarrow{a}＄和$＼overrightarrow＄的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，那向量$＼overrightarrow{a}＄的終點(diǎn)坐標(biāo)是$（x_{1}，y_{1}）＄，向量$＼overrightarrow＄的終點(diǎn)坐標(biāo)是$（x_{2}，y_{2}）＄。我們可以用兩點(diǎn)間距離公式和三角函數(shù)的知識來推導(dǎo)。經(jīng)過一番推導(dǎo)（這個(gè)推導(dǎo)過程就像你解開一個(gè)復(fù)雜的謎題一樣），最后我們得到向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式：＄＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＄。四、數(shù)量積坐標(biāo)表示的性質(zhì)1、交換律向量的數(shù)量積滿足交換律，也就是說$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝＼overrightarrow＼cdot\overrightarrow{a}＄。用坐標(biāo)表示就是，如果$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow＝（x_{2}，y_{2}）＄，那么$x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＝x_{2}x_{1}＋y_{2}y_{1}＄。這就好比你和你的朋友互相交換禮物，雖然交換了，但是禮物的總量是不變的。2、分配律數(shù)量積還滿足分配律，即$＼overrightarrow{a}＼cdot(＼overrightarrow＋＼overrightarrow{c}）＝＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＋＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{c}＄。假如有向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow＝（x_{2}，y_{2}）＄，＄＼overrightarrow{c}＝（x_{3}，y_{3}）＄。左邊：＄＼overrightarrow＋＼overrightarrow{c}＝（x_{2}＋x_{3}，y_{2}＋y_{3}）＄，那么$＼overrightarrow{a}＼cdot(＼overrightarrow＋＼overrightarrow{c}）＝x_{1}（x_{2}＋x_{3}）＋y_{1}（y_{2}＋y_{3}）＝x_{1}x_{2}＋x_{1}x_{3}＋y_{1}y_{2}＋y_{1}y_{3}＄。右邊：＄＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＋＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{c}＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＋x_{1}x_{3}＋y_{1}y_{3}＄，左右兩邊相等。這就像你把錢分給兩個(gè)人和把錢先加起來再分給一個(gè)人，結(jié)果是一樣的。五、數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用1、判斷向量垂直如果兩個(gè)向量垂直，那它們的數(shù)量積是0。用坐標(biāo)表示就是，如果$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄，＄＼overrightarrow＝（x_{2}，y_{2}）＄，當(dāng)$＼overrightarrow{a}＼perp\overrightarrow＄時(shí)，＄x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＝0$。比如說在建筑工程里，有兩根鋼梁，如果我們把鋼梁的受力方向看成向量，當(dāng)這兩根鋼梁受力方向垂直的時(shí)候，就滿足這個(gè)數(shù)量積為0的關(guān)系。這可以幫助工程師計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等問題。2、計(jì)算向量的模我們知道向量$＼overrightarrow{a}＝（x_{1}，y_{1}）＄的模$＼vert\overrightarrow{a}＼vert=＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＄，這個(gè)其實(shí)也和數(shù)量積有關(guān)。因?yàn)?＼vert\overrightarrow{a}＼vert^｛2}＝＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{a}＝x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}＄。就像你要測量一根繩子的長度，你可以把繩子看成一個(gè)向量，用這個(gè)公式就能計(jì)算出它的長度（當(dāng)然這里是數(shù)學(xué)上的抽象長度）。3、計(jì)算向量的夾角根據(jù)向量數(shù)量積的公式$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow＼vert\cos\theta$，我們可以得到$＼cos\theta=＼frac{＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow｝｛＼vert\overrightarrow{a}＼vert\vert\overrightarrow＼vert}＄。用坐標(biāo)表示就是$＼cos\theta=＼frac{x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}｝｛＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＼sqrt{x_{2}＾｛2}＋y_{2}＾｛2}｝｝＄。比如在導(dǎo)航系統(tǒng)里，要計(jì)算兩個(gè)地點(diǎn)的方向夾角，就可以把兩個(gè)地點(diǎn)相對于原點(diǎn)的向量用坐標(biāo)表示出來，然后用這個(gè)公式計(jì)算夾角，這樣就能確定導(dǎo)航的方向。六、典型例題1、例1：計(jì)算向量數(shù)量積已知向量$＼overrightarrow{a}＝（3,2)＄，＄＼overrightarrow＝（1,4)＄，求$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＄。解：根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＄，這里$x_{1}＝3$，＄y_{1}＝－2$，＄x_{2}＝－1$，＄y_{2}＝4$，所以$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝3\times(－1)＋（－2)＼times4=－38=－11$。2、例2：判斷向量是否垂直已知向量$＼overrightarrow{m}＝（2,1)＄，＄＼overrightarrow{n}＝（1,2)＄，判斷$＼overrightarrow{m}＄和$＼overrightarrow{n}＄是否垂直。解：計(jì)算$＼overrightarrow{m}＼cdot\overrightarrow{n}＝2\times(－1)＋1\times2=－2＋2＝0$，因?yàn)?＼overrightarrow{m}＼cdot\overrightarrow{n}＝0$，所以$＼overrightarrow{m}＼perp\overrightarrow{n}＄。3、例3：計(jì)算向量的模和夾角已知向量$＼overrightarrow{p}＝（1,＼sqrt{3}）＄，求$＼vert\overrightarrow{p}＼vert$和向量$＼overrightarrow{p}＄與$x$軸正方向的夾角$＼theta$。解：計(jì)算向量的模：＄＼vert\overrightarrow{p}＼vert=＼sqrt{x_{1}＾｛2}＋y_{1}＾｛2}｝＝＼sqrt{1^｛2}＋（＼sqrt{3}）＾｛2}｝＝＼sqrt{1＋3}＝2$。計(jì)算夾角：因?yàn)橄蛄?＼overrightarrow{p}＝（1,＼sqrt{3}）＄，＄x$軸正方向的單位向量可以看成$＼overrightarrow{i}＝（1,0)＄，所以$＼cos\theta=＼frac{＼overrightarrow{p}＼cdot\overrightarrow{i}｝｛＼vert\overrightarrow{p}＼vert\vert\overrightarrow{i}＼vert}＝＼frac{1\times1+＼sqrt{3}＼times0}｛2\times1}＝＼frac{1}｛2}＄，所以$＼theta＝60^｛＼circ}＄。七、練習(xí)題1、已知向量$＼overrightarrow{a}＝（4,3)＄，＄＼overrightarrow＝（2,1)＄，求$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＄。2、向量$＼overrightarrow{c}＝（3,4)＄，＄＼overrightarrowek3fvl4＝（k,2)＄，若$＼overrightarrow{c}＼perp\overrightarrow9wb99lg＄，求$k$的值。3、求向量$＼overrightarrow{e}＝（1,2)＄的模。4、已知向量$＼overrightarrow{f}＝（2,1)＄，＄＼overrightarrow{g}＝（1,3)＄，求向量$＼overrightarrow{f}＄與$＼overrightarrow{g}＄的夾角。參考答案：1、根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)表示公式$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝x_{1}x_{2}＋y_{1}y_{2}＄，這里$x_{1}＝4$，＄y_{1}＝3$，＄x_{2}＝－2$，＄y_{2}＝1$，所以$＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow＝4\times(－2)＋3\times1=－8＋3=－5$。2、因?yàn)?＼overrightarrow{c}＼perp\overrightarrowpwmcxhw＄，所以$＼overrightarrow{c}＼cdot\overrightarrowlyoeu44＝0$，即$3k+（－4)＼times2＝0$，