數(shù)字信號處理原理配套 第2章離散時間信號時域分析習題解答

2.1給定離散信號(1)畫出序列的波形，并標出各序列值；(2)試用延遲的單位沖激序列及其加權(quán)和表示序列；(3)試分別畫出序列和序列的波形。解(1)的波形如圖2.1所示。(3)和的波形分別如圖2.2和圖2.3所示。 圖2.1圖2.2圖2.32.2判斷下列序列是否為周期序列。若是周期的，請確定其周期。(1)，式中為常數(shù) (2)解(1)為有理數(shù)，所以是以16為周期的周期序列。(2)因為,而為無理數(shù)，所以此序列是非周期序列。2.3已知線性非移變系統(tǒng)的輸入為，系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的輸出并作圖。(1)， (2)，(3)， (4)，解(1),輸出如圖2.4所示。，輸出如圖2.5所示。圖2.4 圖2.5(3)輸出如圖2.6所示。(4)當時，當時，，輸出如圖2.7所示。圖2.8 圖2.6 圖2.72.4已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為試用直接計算卷積的方法，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解(1)當時,得(2)當時,得故所求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為2.5圖P2.8所示的是單位采樣響應(yīng)分別為和的兩個線性非移變系統(tǒng)的級聯(lián)，已知,,,，試求系統(tǒng)的輸出。圖P2.8題2.5圖解因為2.6判斷下列系統(tǒng)是否為：(a)線性系統(tǒng)；(b)非移變系統(tǒng)；(c)穩(wěn)定系統(tǒng)；(d)因果系統(tǒng)。請予以證明。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)(a)所以是非線性系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設(shè),則有，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因為n時刻的輸出y(n)只取決于n時刻的輸入x(n)，所以是因果系統(tǒng)(2)(a)所以是非移變系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設(shè)有界，則有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(d)因為時，時刻的輸出時刻以后的輸入有關(guān)，所以是非因果系統(tǒng)(3)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)故為移變系統(tǒng)(c)設(shè)，則，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因為n時刻的輸出y(n)只取決于n時刻輸入x(n),所以是因果系統(tǒng)(4)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)因為所以是移變系統(tǒng)(c)設(shè)，令g(n)=n,則(d)時刻的輸出只取決于時刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(5)(a)因為(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設(shè)，則，當時，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)n時刻的輸出只取決于時刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(6)(a)因為，所以是線性系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設(shè)，則，當時，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)當時，時刻的輸出與時刻以后的輸入有關(guān)，所以是非因果系統(tǒng)2.7討論下列各非移變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得,所以系統(tǒng)穩(wěn)定(2)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(3)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得所以當時，系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，系統(tǒng)不穩(wěn)定(4)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定(5)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得(為有限值),則系統(tǒng)穩(wěn)定(6)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定2.8設(shè)系統(tǒng)的差分方程為其中為輸入，為輸出。當邊界條件分別為時，試判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)或是否為非移變系統(tǒng)。解（1）當邊界條件為時①設(shè)，則 由差分方程得 遞推得 當時， 因而 遞推得 綜上可知 ②設(shè) 由差分方程得 遞推得 即 當時， 因而 遞推得 綜上可知 由①和②的結(jié)果可知，與是移1位的關(guān)系，但與不是移1位的關(guān)系，所以在的條件下，系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。③設(shè) 當時， 遞推得 即 當時， 則 遞推得 綜上得 所以，該系統(tǒng)在條件下是線性系統(tǒng)。（2）當邊界條件為時①設(shè) 得 ②設(shè) 得 由①和②的結(jié)果可知，與是移位的關(guān)系，但與也是移位的關(guān)系，所以在的條件下，系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。③設(shè) 當時， 當時， 綜上得 所以該系統(tǒng)在的條件下是線性系統(tǒng)。2.9設(shè)系統(tǒng)的框圖如圖P2.9所示，試列出該系統(tǒng)的差分方程，并按初始條件，求輸入為時的輸出。圖P2.9題2.9圖解由圖可得方程組 聯(lián)立整理得到系統(tǒng)的差分方程為 由于時，，則通過迭代可得 歸納可得 整理化簡得2.10設(shè)一因果系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系由下列差分方程確定：(1)求該系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)；(2)利用(1)得到的結(jié)果，求輸入為時系統(tǒng)的響應(yīng)。解(1) 因為 所以?可以推出 即 2.11設(shè)系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)，系統(tǒng)的輸入是一些觀測數(shù)據(jù)。若假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)，且，試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出。解當n<0時，h(n)=0，此時系統(tǒng)輸出為0。當n>0時系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)單位采樣響應(yīng)的線性卷積，即利用遞推法可求系統(tǒng)輸出如下：當n=0時，當n=1時，當n=2時，當n=3時，?依此類推，可得：則系統(tǒng)的輸出為：2.12有一連續(xù)時間信號，式中f=20Hz,φ=π/2。(1)試確定的周期；(2)若用采樣間隔T=0.02s對進行采樣，試寫出采樣信號的表達式；(3)畫出對應(yīng)的時域離散序列的波形，并求出的周期。解(1)的周期為(2)采樣信號的表達式為(3)的數(shù)字頻率為,又因為,所以的周期為。離散序列可描述為,其波形如圖2.10所示。圖2.102.13試用MATLAB繪出題2.2中各信號的波形。(1)%參數(shù)設(shè)置A=1;%振幅An=0:50;%n的范圍，從0到50phi=pi/6;%相位偏移phi=π/6%計算cos函數(shù)y=A*cos(5*pi*n/8+phi);%繪圖stem(n,y);%使用stem函數(shù)繪制離散圖xlabel('n');%x軸標簽ylabel('Amplitude');%y軸標簽title('y=Acos(5\pin/8+\pi/6)');%圖標題gridon;%顯示網(wǎng)格(2)%定義n的范圍n=0:50;%計算序列x(n)x_n=exp(1j*(n/8-pi));%分別繪制實部和虛部figure;subplot(2,1,1);stem(n,real(x_n),'filled');title('實部');xlabel('n');ylabel('實部');subplot(2,1,2);stem(n,imag(x_n),'filled');title('虛部');xlabel('n');ylabel('虛部');2.14試用MATLAB實現(xiàn)題2.3中的卷積運算，并繪出相應(yīng)的信號波形。(1)x=[1];%h=[11111];%y=conv(x,h);stem(y,'fill');(2)n=0:10;%可以自定義范圍u1=(n>=0);%第一個階躍函數(shù)u2=(n>=0);%第二個階躍函數(shù)result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);axis([010020]);(3)n=0:10;u1=0.5.^n.*(n>=0&n<3);%u2=(n==2);%result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);(4)n=-10:10;%可以自定義范圍u1=2.^n.*(n<0);%u2=0.5.^n.*(n>=0);%result=conv(u1,u2);figure;stem(-20:(length(result)-1)/2,result);%-20由自定義范圍得出2.15試用MATLAB實現(xiàn)題2.12的采樣過程，繪出相應(yīng)的時域和頻域波形。(1)時域波形closeallclearall%定義采樣間隔Ta=2*pi/(40*pi);N=32;Ts=Ta/N;t=(0:N-1)*Ts;x=cos(40*pi*t+pi/2);%繪制采樣后的信號stem(t,x,"filled");xlabel('時間(s)');ylabel('x(t)');title('采樣后的信號');gridon;(2)頻域波形%計算