甘肅省酒泉市實驗中學2024-2025學年高二上學期期中考試數學試卷（解析版）

酒泉市實驗中學2024-2025學年第一學期期中考試試卷高二數學試卷總分150分考試時間：120分鐘一、單項選擇題（本題包括8小題，每小題5分，共40分；請將答案寫在答題卡上.）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.，設其傾斜角為，則，又，則，即傾斜角為，故選：D2.若表示圓的方程，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據圓的一般式滿足的條件即可列不等式求解.因為方程表示一個圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D3.記為等差數列的前項和．若，，則（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的性質得到方程組，求出首項和公差，利用等差數列求和公式求出答案.由等差數列的性質得①，②，由①得，代入②得，解得，故，故.故選：C4.以橢圓的焦點為焦點，離心率的雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將橢圓化為標準方程求出焦點，根據離心率求出，再根據計算即可求解．橢圓化為標準方程為，焦點為，雙曲線的半焦距，離心率，，，雙曲線的標準方程為．故選：A．5.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據集合的運算即可求解.由，可得，故選：B6.在數列中，若，，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據遞推關系可得數列的周期，從而可求的值.因為，，故，，，故為周期數列且周期為3，而，故，故選：C.7.已知兩條直線和相互垂直，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據兩直線垂直的斜率表示可得，解得.易知的斜率為，的斜率為，所以；解得.故選：C8.已知實數滿足方程，則的最大值是（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】表示圓上的點與點的連線的斜率，數形結合可得解.方程可化為，它表示圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點與點的連線的斜率，設過圓上點與點的直線方程為，則圓心到直線的距離，可得，即最大值為，故選：B.二、多選題（本題包括3小題，每小題6分，少選得2分多選得0分，請將答案寫在答題卡上.共18分）9.已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數a＝（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先考慮直線過原點的情況，再把直線的一般式方程轉化為截距式方程，通過橫縱截距相等求出實數的值.，即時，直線化為，它在兩坐標軸上的截距都為，滿足題意；，即時，直線化為，因為直線在兩坐標軸上截距相等，所以，且，解得；綜上所述，實數或.故選：AD.10.下列四個結論中正確的是（）A.命題“若，則”的逆命題為真命題B.命題“”的否定是“”C.“”的充要條件是“”D.“”是“”的必要不充分條件【答案】CD【解析】【分析】結合不等式性質即可判斷A；根據含有一個量詞命題的否定可判斷B；根據充要條件以及必要不充分條件的判斷可判斷CD.對于A，命題“若，則”的逆命題為“若，則”，取，則，故逆命題為假命題，A錯誤；對于B，根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知：命題“”的否定為：，B錯誤；對于C，若，則，反之，若，則，所以“”的充要條件是“”，C正確；對于D，若，則不一定成立，如，但，反之，若，則，所以“”是“”的必要不充分條件，正確.故選：CD11.已知曲線，下列說法正確的是（）A.若，則是圓，其半徑為B.若，，則是兩條直線C.若時，則是橢圓，其焦點在軸上D.若時，則是雙曲線，其漸近線方程為【答案】AB【解析】【分析】根據選項條件分別化簡曲線為圓錐曲線的標準方程，然后逐一分析，即可求解．對于A，，，則是圓，半徑為，故A正確；對于B，若，時，，則是兩條直線，故B正確；對于C，若時，，則，則為焦點在軸的橢圓，故C錯誤；對于D，若時，則是雙曲線，漸近線方程為，故D錯誤；故選：AB．三、填空題（本題包括3小題，每小題5分，共15分；請將答案寫在答題卡上.）12.直線過點P(1，2)，且它的一個方向向量為(2，1)，則直線l的一般式方程為__________．【答案】【解析】【分析】先由直線方向向量求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程，然后化為一般式即可.因為直線的一個方向向量為(2，1)，所以直線的斜率為，因為直線過點P(1，2)，所以直線為，即，故答案為：13.正項遞增等比數列，前n項的和為，若，則__．【答案】【解析】【分析】設每一項都是正數的遞增的等比數列的公比為,由，聯立解出，再利用通項公式與求和公式即可得出答案．設每一項都是正數的遞增的等比數列的公比為，∵，聯立解得，∴，解得，∴，解得，則故答案為：364．14.已知圓：，圓：，如果這兩個圓有公共點，則實數a取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意確定兩圓的圓心和半徑，利用圓與圓的位置關系建立不等式組，解之即可.由題意知，，則，因為圓與圓有公共點，所以，即，解得，所以實數a取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題包括5小題，共77分；請將解答過程及答案寫在答題卡上）15.已知Sn為等差數列的前項和，且.（1）求的通項公式;（2）求Sn的最大值【答案】（1）；（2）100.【解析】【分析】（1）由等差數列的性質及求和公式先求出，進而求出公差d即可求出通項.（2）由（1）的信息，判斷數列an【小問1】在等差數列an中，由，得，解得，而，因此數列an的公差，所以.【小問2】由（1）知，數列an是遞減數列，由，得，因此數列an的前8項都為正，從第9項起為負，則數列an的前而，所以.16.已知圓C的圓心為，且該圓被直線截得得弦長為（1）求該圓的方程；（2）求過點A的該圓的切線方程【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用弦長公式求得半徑即可；（2）分直線的斜率存在和不存在，由圓心到直線的距離等于半徑求解.【小問1】解：圓C的圓心到直線的距離為：，則弦長為，解得，所以圓的方程為：；【小問2】當直線的斜率不存在時，直線方程為：，則圓心到直線的距離為，復合題意；當直線斜率存在時，設直線方程為，即，則圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為：，綜上：該圓的切線方程為：或17.已知圓的圓心是拋物線的焦點．（1）求拋物線的方程；（2）若直線交拋物線于兩點，且點是弦的中點，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圓心是拋物線的焦點，找到拋物線的焦點，從而得到拋物線的方程；（2）利用點差法，找到直線斜率，進而求得直線的方程.【小問1】圓的方程可化為，故圓心的坐標為．設拋物線的方程為()，所以，所以，所以拋物線的方程為．【小問2】設，，則兩式相減，得，即，所以直線的斜率．因為點是的中點，所以，所以．所以直線的方程為，即．18.已知數列是公比不為的等比數列，，且成等差數列.（1）求數列的通項；（2）若數列的前項和為，試求的最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）設等比數列的公比為，用通項代入成等差數列即可解得值，從而得數列的通項.（2）由數列的通項直接求和即可.【小問1】設的公比為，成等差數列，，又，，而，，.【小問2】，當偶數時，，當奇數時，，當且僅當時等號成立.綜上所述，的最大值為1.19.已知?圓：（）經過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于點（異于頂點）與軸交于點，點為橢圓的右焦點，為坐標原點，，求直線的方程.【答案