蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點大串講專題01解一元二次方程【考題猜想30題5種題型】(原卷版+解析)

專題01解一元二次方程（30題5種題型）一、一元一次方程1．（2022秋·北京朝陽·九年級和平街第一中學(xué)?？计谥校┳C明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）為美化市容，某廣場要在人行雨道上用10×20的灰、白兩色的廣場磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計人員畫出的一些備選圖案如圖所示．[觀察思考]圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．(1)[規(guī)律總結(jié)]圖4灰磚有______塊，白磚有______塊；圖n灰磚有______塊時，白磚有______塊；(2)[問題解決]是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，請通過計算說明你的理由．3．（2019秋·重慶江津·九年級校聯(lián)考期末）先化簡，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．二、一元二次方程的解法4．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級烏魯木齊市實驗學(xué)校?？计谥校┯弥付ǖ姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（直接開平方法）（2）；（配方法）（3）；（公式法）（4）．（因式分解法）5．（2022秋·福建龍巖·九年級龍巖二中?？计谥校┮阎P(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：(1)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？(2)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？6．（2022秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期中）（1）a，b兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．7．（2022秋·福建泉州·九年級晉江市第一中學(xué)?？计谥校┤绻辉畏匠痰膬筛嗖?，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”，設(shè)t＝10a﹣b2，求t的最大值．8．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于，的方程組與的解相同．（1）求，的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關(guān)于的方程的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．9．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┮阎宏P(guān)于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個根，求m的值；(2)以這個方程的兩個實數(shù)根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長，當(dāng)BC=時，△ABC是直角三角形，求此時m的值．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）定義：我們把關(guān)于的一元二次方程與（，）稱為一對“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）寫出一元二次方程的“友好方程”_______．（2）已知一元二次方程的兩根為，，它的“友好方程”的兩根、________．根據(jù)以上結(jié)論，猜想的兩根、與其“友好方程”的兩根、之間存在的一種特殊關(guān)系為________，證明你的結(jié)論．（3）已知關(guān)于的方程的兩根是，．請利用（2）中的結(jié)論，求出關(guān)于的方程的兩根．11．（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．12．（2021秋·湖南·九年級校聯(lián)考期中）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），解：設(shè)，則有，原方程可化為：，續(xù)解：13．（2022秋·湖南永州·九年級?？计谥校╅喿x下列材料，解答問題．．解：設(shè)，則，原方程可化為，，即．或，解得．請利用上述方法解方程：．14．（2023秋·重慶渝中·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，解答問題．解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：(1)；(2)．三、一元二次方程根的判別式15．（2023秋·湖南益陽·九年級校聯(lián)考期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．(1)求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的面積．16．（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且此方程的兩個實數(shù)根的差為3，求的值．17．（2022·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；(2)若此方程恰有一個根小于0，求的取值范圍．18．（2023秋·河南商丘·九年級校聯(lián)考期末）已知T=(1)化簡T；(2)若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求T的值．19．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）因式定理：對于多項式，若，則是的一個因式，并且可以通過添減單項式從中分離出來．已知．(1)填空：當(dāng)時，，所以是的一個因式．于是．則________________；(2)已知關(guān)于x的方程的三個根是一個等腰三角形的三邊長，求實數(shù)k的值．四、一元二次根與系數(shù)的關(guān)系20．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．21．（2022秋·廣東茂名·九年級茂名市第一中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：材料1：若一元二次方程的兩個根為，則，．材料2：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得，，所以根據(jù)上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)、分別滿足，，且．求的值．22．（2022秋·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求證：無論m取何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)設(shè)非0實數(shù)m，n是方程的兩根，試求m﹣n的值．23．（2022秋·四川綿陽·九年級校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個不相等實數(shù)根是a，b，求的值．24．（2022秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根，，且，求的值．25．（2022秋·福建泉州·九年級福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)此方程的兩個根分別為x1，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求m的值．26．（2022秋·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．五、與一元二次方程有關(guān)的存在性問題27．（2022秋·江蘇蘇州·九年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考期中）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．28．（2022秋·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有，兩實數(shù)根．（1）若，求及的值；（2）是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．29．（2023秋·湖南衡陽·九年級校考期末）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)是否存在實數(shù)，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于？若存在，求出的值；若不存在，說明理由30．（2022秋·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知方程①：為關(guān)于x的方程，且方程①的解為非正數(shù)；方程②：（k、m、n均為實數(shù)）為關(guān)于x的一元二次方程．(1)求k的取值范圍；(2)如果方程②的解為負(fù)整數(shù)，，且k為整數(shù)，求整數(shù)m的值；(3)當(dāng)方程②有兩個實數(shù)根，滿足，且k為正整數(shù)，試判斷是否成立？并說明理由．

專題01解一元二次方程（30題5種題型）一、一元一次方程1．（2022秋·北京朝陽·九年級和平街第一中學(xué)?？计谥校┳C明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．【答案】見詳解【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可進行求解．【詳解】解：由關(guān)于x的方程可知：，∵，∴，∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）為美化市容，某廣場要在人行雨道上用10×20的灰、白兩色的廣場磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計人員畫出的一些備選圖案如圖所示．[觀察思考]圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．(1)[規(guī)律總結(jié)]圖4灰磚有______塊，白磚有______塊；圖n灰磚有______塊時，白磚有______塊；(2)[問題解決]是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，請通過計算說明你的理由．【答案】(1)16，20；，4n＋4(2)存在，見解析【分析】（1）根據(jù)圖形算出圖3白磚和灰磚的數(shù)量，再根據(jù)圖形規(guī)律算出圖4白磚和灰磚的數(shù)量，通過圖1到圖4的數(shù)字規(guī)律得出圖n白磚和灰磚的數(shù)量；（2）假設(shè)存在圖n白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，根據(jù)白磚和灰磚的數(shù)量建立方程，方程有解證明假設(shè)成立．【詳解】（1）圖3的灰磚數(shù)量應(yīng)為1+2+3+2+1=9圖3的白磚數(shù)量為12+4=16圖4的灰磚數(shù)量應(yīng)為1+2+3+4+3+2+1=16圖4的白磚應(yīng)比圖3上下各多一行得圖4白磚的數(shù)量為：16+4=20圖1灰磚的數(shù)量為1圖2灰磚的數(shù)量為4圖3灰磚的數(shù)量為9圖4灰磚的數(shù)量為16得圖灰磚的數(shù)量為圖1白磚的數(shù)量為8=圖2白磚的數(shù)量為12=圖3白磚的數(shù)量為16=圖4白磚的數(shù)量為20=得圖白磚的數(shù)量為故答案為：16，20；，4n＋4．（2）假設(shè)存在，設(shè)圖n白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1∴白磚數(shù)量為，灰磚數(shù)量為∴=∴∴∴，或（舍去）故當(dāng)時，白磚的數(shù)量為24，灰磚的數(shù)量為25，白磚比灰磚少1故答案為：存在．【點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律和一元二次方程的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)字規(guī)律的分析方法和一元二次方程的性質(zhì)．3．（2019秋·重慶江津·九年級校聯(lián)考期末）先化簡，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．【答案】.【分析】括號內(nèi)先通分進行分式的加減運算，然后再進行分式除法運算，把a代入方程后得到a2﹣3a的值，然后代入化簡后的結(jié)果進行計算即可.【詳解】原式====（a2-3a），∵a是方程x2﹣3x+1=0的根，∴a2﹣3a+1=0，∴a2﹣3a=﹣1，∴原式=.【點睛】本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程的解，熟練掌握分式混合運算的運算法則、運用整體代入思想是解題的關(guān)鍵.二、一元二次方程的解法4．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級烏魯木齊市實驗學(xué)校?？计谥校┯弥付ǖ姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（直接開平方法）（2）；（配方法）（3）；（公式法）（4）．（因式分解法）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接開平方轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用求根公式進行求解即可；（4）先變號，再提公因式進行計算即可．【詳解】解：（1），開平方，得，解得；（2），移項，得，二次項系數(shù)化為1，得，配方，得，即，開平方，得，解得；（3），，，即；（4），，分解因式，得，∴或，解得．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握每種方法的解題步驟是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建龍巖·九年級龍巖二中校考期中）已知關(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：(1)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？(2)m為何值時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？【答案】(1)m＝或或(2)【分析】（1）根據(jù)方程中只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項系數(shù)不為0；由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得m2﹣1＝1，解得m＝，當(dāng)m＝時，該方程是一元一次方程；m﹣＝0，解得m＝，當(dāng)m＝時，該方程是一元一次方程；m2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1時，該方程是一元一次方程，綜上，當(dāng)m＝或或±1時，該方程是關(guān)于x的一元一次方程；（2）解：由題意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，解得m＝﹣，當(dāng)m＝﹣時，該方程是關(guān)于x的一元二次方程．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0)，特別要注意a≠0的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點．6．（2022秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期中）（1）a，b兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．【分析】（1）由題意可知：a＜0，b＞0，據(jù)此求解即可；（2）找出適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠碳纯桑驹斀狻拷猓海?）由題意可知：a＜0，b＞0，∴a＜b，ab＜0；故答案為：＜，＜；（2）①x2+2x?1=0；移項得x2+2x=1，配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，則x+1=±，∴x1=-1+，x2=-1-；②x2?3x=0；因式分解得x(x-3)=0，則x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3；③x2?4x=4；配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，則x-2=±，∴x1=2+，x2=2-；④x2?4=0．因式分解得(x+2)(x-2)=0，則x+2=0或x-2=0，解得x1=-2，x2=2．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．還考查了實數(shù)與數(shù)軸．7．（2022秋·福建泉州·九年級晉江市第一中學(xué)?？计谥校┤绻辉畏匠痰膬筛嗖?，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”，設(shè)t＝10a﹣b2，求t的最大值．【答案】(1)①不是“差1方程”，理由見解析；②是“差1方程”，理由見解析(2)或(3)時，的最大值為9【分析】（1）根據(jù)解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比較兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出的方程，注意有兩種情況；（3）根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關(guān)系式，再由，得與的關(guān)系，從而得出最后結(jié)果．【詳解】（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；（2）解：方程得：，或，方程是常數(shù)）是“差1方程”，或，或；（3）解：由題可得：∴解方程得，關(guān)于的方程、是常數(shù)，是“差1方程”，，，，，，時，的最大值為9．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義，本題屬于中等題型．8．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于，的方程組與的解相同．（1）求，的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關(guān)于的方程的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．【答案】（1）；（2）等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）關(guān)于x，y的方程組與的解相同．實際就是方程組的解，可求出方程組的解，進而確定a、b的值；（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個解與為邊長，判斷三角形的形狀．【詳解】解：由題意列方程組：解得將，分別代入和解得，∴，（2）解得這個三角形是等腰直角三角形理由如下：∵∴該三角形是等腰直角三角形．【點睛】本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正確答案的關(guān)鍵．9．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┮阎宏P(guān)于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個根，求m的值；(2)以這個方程的兩個實數(shù)根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長，當(dāng)BC=時，△ABC是直角三角形，求此時m的值．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程得到關(guān)于m的一元二次方程，然后解關(guān)于m的方程即可；（2）先計算出判別式，再利用求根公式得到，，則AC=m+2，AB=m+1．因為△ABC是直角三角形，所以當(dāng)BC或AC為斜邊時根據(jù)勾股定理分別解關(guān)于m的一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵x=2是方程的一個根，∴，∴m=0或m=1；（2）解：∵△=，∴x=∴，，∴AB、AC（AB＜AC）的長是這個方程的兩個實數(shù)根，∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．∴m>-1．∵BC=，△ABC是直角三角形，∴當(dāng)BC為斜邊時，有，解這個方程，得(不符合題意，舍去)，；當(dāng)AC為斜邊時，有，解這個方程，得．綜上所述，當(dāng)m=0或m=1時，△ABC是直角三角形．【點睛】此題考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握公式法解一元二次方程，熟練運用勾股定理進行分類討論．10．（2022秋·江蘇·九年級期中）定義：我們把關(guān)于的一元二次方程與（，）稱為一對“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）寫出一元二次方程的“友好方程”_______．（2）已知一元二次方程的兩根為，，它的“友好方程”的兩根、________．根據(jù)以上結(jié)論，猜想的兩根、與其“友好方程”的兩根、之間存在的一種特殊關(guān)系為________，證明你的結(jié)論．（3）已知關(guān)于的方程的兩根是，．請利用（2）中的結(jié)論，求出關(guān)于的方程的兩根．【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互為倒數(shù)，證明見解析；（3）x5=0，x6=2022．【分析】（1）根據(jù)“友好方程”的定義寫出對應(yīng)的友好方程即可；（2）因式分解法求出每個方程的兩個實數(shù)根，原方程與“友好方程”的根得出規(guī)律，再用求根公式去驗證即可；（3）先根據(jù)“友好方程”的根的特點得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的兩根為x3=-1，x4=2020，將待求方程變形為（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整體即可求解．【詳解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”為：-10x2+3x+1=0，故答案為：-10x2+3x+1=0；（2）-10x2+3x+1=0，，解得，，，根據(jù)以上結(jié)論，猜想ax2+bx+c=0的兩根x1、x2與其“友好方程”cx2+bx+a=0的兩根x3、x4之間存在的一種特殊關(guān)系為互為倒數(shù)，證明如下：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為，“友好方程”cx2+bx+a=0的兩根為．∴，，即原方程的兩根與“友好方程”的兩根互為倒數(shù)；故答案為：，互為倒數(shù)；（3）∵方程2021x2+bx-c=0的兩根是，∴該方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的兩根為x3=-1，x4=2021，則c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，∴該方程的解為x5=0，x6=2022．利用（2）中的結(jié)論，寫出關(guān)于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的兩根為x5=0，x6=2022，故答案為x5=0，x6=2022．【點睛】本題主要考查新定義下一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及求根公式的運用，掌握并靈活運用新定義是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】兩位同學(xué)的解法都錯誤，正確過程見解析【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以，得，則．（×）小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．（×）正確解答：移項，得，提取公因式，得，去括號，得，則或，解得，．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計算是解題關(guān)鍵．12．（2021秋·湖南·九年級校聯(lián)考期中）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），解：設(shè)，則有，原方程可化為：，續(xù)解：【答案】，．【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后進行檢驗確定原方程的解．【詳解】續(xù)解：，，解得，（不合題意，舍去），，，，，經(jīng)檢驗都是方程的解．【點睛】本題考查了換元法解方程，涉及了無理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解決本題的關(guān)鍵．換元法的一般步驟：設(shè)元、換元、解元、還元．13．（2022秋·湖南永州·九年級?？计谥校╅喿x下列材料，解答問題．．解：設(shè)，則，原方程可化為，，即．或，解得．請利用上述方法解方程：．【答案】x1=，x2=【分析】設(shè)m＝4x-5，n＝3x-2，則m-n＝（4x-5）-（3x-2）＝x-3，代入后求出mn＝0，即可得出（4x-5）（3x-2）＝0，求出即可．【詳解】解：（4x-5）2+（3x-2）2＝（x-3）2，設(shè)m＝4x-5，n＝3x-2，則m-n＝（4x-5）-（3x-2）＝x-3，原方程化為：m2+n2＝（m-n）2，整理得：mn＝0，即（4x-5）（3x-2）＝0，∴4x-5＝0，3x-2＝0，∴x1=，x2=．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成（4x-5）（3x-2）＝0是解此題的關(guān)鍵．14．（2023秋·重慶渝中·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，解答問題．解方程：．解：把視為一個整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．，．以上方法就叫換元法，達到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請仿照材料解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）把看做一個整體，設(shè)，則原方程可化為，．(2)把看做整體，設(shè)，則原方程可化為，解得，．【詳解】（1）解：把看做一個整體，設(shè)則原方程可化為解得，∴或者∴，（2）解：把看做整體，設(shè)則原方程可化為解得，∴，【點睛】本題考查了換元法解二元一次方程的方法，熟練運用換元法將次是解題的關(guān)鍵．三、一元二次方程根的判別式15．（2023秋·湖南益陽·九年級校聯(lián)考期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．(1)求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)方程的另一個根為：；以此兩根為邊長的直角三角形的面積為或．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式證明即可；（2）將代入方程可確定m的值，然后求解一元二次方程得出方程的另一個解；分兩種情況討論直角三角形的面積：①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時；②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，利用勾股定理確定另一條直角邊，然后求面積即可得．【詳解】（1）證明：，其中：，，，∴，∴在實數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，，即，∴關(guān)于x的方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意得：將代入方程可得：，解得，∴方程為，解得：或，∴方程的另一個根為；①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時，該直角三角形的面積為：；②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為，則該直角三角形的面積為；綜上可得，該直角三角形的面積為或．【點睛】題目主要考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，勾股定理，分情況討論三角形等，理解題意，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．16．（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且此方程的兩個實數(shù)根的差為3，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明一元二次方程的判別式大于等于零即可；（2）用m表示出方程的兩個根，比較大小后，作差計算即可．【詳解】（1）證明：∵一元二次方程，∴==．

∵，∴．∴該方程總有兩個實數(shù)根．

（2）解：∵一元二次方程，解方程，得，．

∵，∴．∵該方程的兩個實數(shù)根的差為3，∴．∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，方程的解法，熟練掌握判別式，并靈活運用實數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．17．（2022·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；(2)若此方程恰有一個根小于0，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程判別式與方程根的情況，只要判定即可證得；（2）利用十字相乘法解一元二次方程，得到或，根據(jù)此方程恰有一個根小于0，列不等式求解即可得到的取值范圍．【詳解】（1）證明：關(guān)于的一元二次方程，，，此方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：，，解得或，此方程恰有一個根小于0，，解得．【點睛】本題考查一元二次方程綜合，涉及一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系、十字相乘法解一元二次方程、方程根的情況求參數(shù)范圍等，熟練掌握一元二次方程的解法及判別式與方程根的情況是解決問題的關(guān)鍵．18．（2023秋·河南商丘·九年級校聯(lián)考期末）已知T=(1)化簡T；(2)若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求T的值．【答案】(1)；(2)T=【分析】(1)根據(jù)整式的四則運算法則化簡即可；(2)由方程有兩個相等的實數(shù)根得到判別式△=4a2-4(-ab+1)=0即可得到，整體代入即可求解．【詳解】（1）解：T==；（2）解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，則T=．【點睛】本題考查了整式的四則運算法則、一元二次方程的實數(shù)根的判別、整體思想，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運算法則及一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）因式定理：對于多項式，若，則是的一個因式，并且可以通過添減單項式從中分離出來．已知．(1)填空：當(dāng)時，，所以是的一個因式．于是．則________________；(2)已知關(guān)于x的方程的三個根是一個等腰三角形的三邊長，求實數(shù)k的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）f（x）兩項結(jié)合后，提取公因式，再提取x?1變形，計算即可求出g（x）；（2）由題易得1是方程的一個根．若1為等腰三角形的腰長，則1也是方程的根，代入求得k的值，再求出x的值即為三角形的三邊長，經(jīng)驗證不滿足三角形的三邊關(guān)系；若1為等腰三角形的底邊長，則方程有兩個相等實根，得出△=0，進而求出x的值，得到三角形的三邊長，經(jīng)驗證滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】（1）解：∵f（x）＝x3?x2?4x2＋4x＋kx?k＝x2（x?1）?4x（x?1）＋k（x?1）＝（x?1）（x2?4x＋k）＝（x?1）g（x），∴g（x）＝x2?4x＋k．（2）∵，∴1是方程的一個根．若1為等腰三角形的腰長，則1也是方程的根．把1代入，得．∵方程的兩根為1和3，∴三角形的三邊為1，1，3．∵＜3，不成立；若1為等腰三角形的底邊長，則方程有兩個相等實根．由△，得．∵方程的兩個根為2，2，∴等腰三角形的三邊為1，2，2．∵＞2，成立．綜上所述，實數(shù)．【點睛】本題考查了平方差公式分解因式，方程兩個相同解的情況下，Δ＝0這一條件，綜合應(yīng)用知識解題．四、一元二次根與系數(shù)的關(guān)系20．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進行計算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后將進行變形求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后求出s-t的值，然后將進行變形求解即可．【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個根為x1，x2，∴，．故答案為：；．（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，∴，，∴（3）∵實數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個根，∴，，∵∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上分析可知，的值為或．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計算，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出或，是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022秋·廣東茂名·九年級茂名市第一中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：材料1：若一元二次方程的兩個根為，則，．材料2：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得，，所以根據(jù)上述材料解決以下問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)、分別滿足，，且．求的值．【答案】(1)；；(2)；(3)-1【分析】（1）直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得答案；（2）由題意得出、可看作方程，據(jù)此知，，將其代入計算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進一步代入計算可得．【詳解】（1），；故答案為；；（2），，且，、可看作方程，，，；（3）把變形為，實數(shù)和可看作方程的兩根，，，．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運算順序和運算法則．22．（2022秋·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求證：無論m取何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)設(shè)非0實數(shù)m，n是方程的兩根，試求m﹣n的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根的判別式為，將系數(shù)代入即可證得．（2）把代入方程可求得，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得n值，即可求解．【詳解】（1）證明：

．

無論m取何實數(shù)時，總有．

∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）把代入方程，得．

即．

∵，∴．

由根與系數(shù)的關(guān)系，．

∴．∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．23．（2022秋·四川綿陽·九年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個不相等實數(shù)根是a，b，求的值．【答案】（1）k>-1；（2）1【分析】（1）根據(jù)?>0列不等式求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b、ab的值，然后代入所給代數(shù)式計算即可.【詳解】解：（1）由題意得?=4+4k>0，∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k，∴====1.【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式與根的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2為方程的兩個根，則x1，x2與系數(shù)的關(guān)系式：，．24．（2022秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根，，且，求的值．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）求出△的值即可證明；（2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：依題意可得

故無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：由，得，解得．【點睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?，x1x2=．25．（2022秋·福建泉州·九年級福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)此方程的兩個根分別為x1，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，解出即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系解出與，代入即可求的值．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，，解得；（2）解：由題意，得，，，，整理，得，解得，（舍去），．【點睛】本題主要考查利用判別式判斷一元二次方程根的個數(shù)、根與系數(shù)關(guān)系，掌握利用判別式判斷一元二次方程根的個數(shù)以及根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋·湖北鄂州·九年級統(tǒng)考期末）設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程有兩個根得到，列出不等式求解；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出，，結(jié)合m的取值范圍即可得出，，再由得到，即可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出m的值．【詳解】（1）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，即，∴．（2）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，∴，，∴，．∵，

∴，∴，解得：或．又∵，∴．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根找出；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合得出．五、與一元二次方程有關(guān)的存在性問題27．（2022秋·江蘇蘇州·九年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┮阎?，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，結(jié)合，即可得出關(guān)于k的方程，解之即可得出k值，再結(jié)合（1）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴解得；（2）由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，∵，∴即，解得．又由（1）知：，∴．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時，方程有兩個實數(shù)根