人教版年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講清單03一元一次方程(五大考點(diǎn)梳理+題型解讀+解決實(shí)際問(wèn)題12種題型)(原卷版+解析)

清單03一元一次方程（五大考點(diǎn)梳理+題型解讀+解決實(shí)際問(wèn)題12種題型）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．【例1】（2022秋?潁州區(qū)期末）下列各式中，是方程的個(gè)數(shù)為（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2個(gè) B．3個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．【例2】（2022秋?漢臺(tái)區(qū)期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是關(guān)于x的一元一次方程，則（）A．m＝2 B．m＝﹣3 C．m＝±3 D．m＝13．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．【例3】（2023春?蒸湘區(qū)校級(jí)期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，則m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【變式】（2022秋?寧陽(yáng)縣期末）若一元一次方程ax+b＝0的解是x＝1，則a，b的關(guān)系為（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為負(fù)倒數(shù)4．解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程．考點(diǎn)二、等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．【例4】（2022秋?雅安期末）下列等式變形錯(cuò)誤的是（）A．若，則x﹣1＝2x B．若x﹣1＝3，則x＝4 C．若x﹣3＝y(tǒng)﹣3，則x﹣y＝0 D．若3x+4＝2x，則3x﹣2x＝﹣42．合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號(hào)法則：（1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同．（2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反．考點(diǎn)三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【例5】（2022秋?東寶區(qū)期末）解方程：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x）；（2）．考點(diǎn)四、列方程解應(yīng)用題的步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫(xiě)出答案（包括單位名稱）【例6】（2022秋?匯川區(qū)期末）如圖，已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，它們分別表示數(shù)a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）點(diǎn)C以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，求線段DE的長(zhǎng)度，若變化，請(qǐng)說(shuō)明原因；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)從原點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)C相距2個(gè)單位長(zhǎng)度？【例7】（2022秋?秦淮區(qū)期末）根據(jù)國(guó)家發(fā)改委實(shí)施“階梯電價(jià)”的有關(guān)文件要求，某市結(jié)合地方實(shí)際，決定從2015年5月1日起對(duì)居民生活用電實(shí)施“階梯電價(jià)”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)下表：一戶居民一個(gè)月用電量的范圍電費(fèi)價(jià)格（元/千瓦時(shí)）不超過(guò)150千瓦時(shí)的部分a超過(guò)150千瓦時(shí)，但不超過(guò)300千瓦時(shí)的部分b超過(guò)300千瓦時(shí)的部分a+0.32015年5月份，該市居民甲用電100千瓦時(shí)，交費(fèi)60元；居民乙用電200千瓦時(shí)，交費(fèi)125元．（1）求上表中a、b的值；（2）實(shí)施“階梯電價(jià)”收費(fèi)以后，該市一戶居民月用電多少千瓦時(shí)，其當(dāng)月交費(fèi)285元？【例8】．（2022秋?常州期末）列方程解決問(wèn)題：小華和媽媽一起玩成語(yǔ)競(jìng)猜游戲，商定如下規(guī)則：小華猜中1個(gè)成語(yǔ)得2分，媽媽猜中1個(gè)成語(yǔ)得1分，結(jié)果兩人一共猜中了30個(gè)成語(yǔ)，得分恰好相等．請(qǐng)問(wèn)小華猜中了幾個(gè)成語(yǔ)？考點(diǎn)五、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率3.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)4.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量5.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)6.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：7.數(shù)字問(wèn)題；8.分配問(wèn)題；9.比賽積分問(wèn)題；10.水流航行問(wèn)題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．題型1.配套問(wèn)題1.某生產(chǎn)教具的廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒和金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個(gè)頂點(diǎn)由一個(gè)金屬球鑲嵌），安排一個(gè)車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)這款正方體教具，該車間共有34名工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或金屬球75個(gè)，如果你是車間主任，你會(huì)如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？2.某車間有62個(gè)工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個(gè)或乙種零件23個(gè)．已知每3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，問(wèn)應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？題型2.銷售問(wèn)題銷售問(wèn)題中有四個(gè)基本量：成本（進(jìn)價(jià)）、銷售價(jià)（收入）、利潤(rùn)、利潤(rùn)率。（1）商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品成本價(jià)（2）商品利潤(rùn)率＝×100%（3）商品銷售額＝商品銷售價(jià)×商品銷售量（4）商品的銷售利潤(rùn)＝（銷售價(jià)－成本價(jià)）×銷售量（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打6折出售，即按原標(biāo)價(jià)的60%出售．3.小明和父母打算去某火鍋店吃火鍋，該店在網(wǎng)上出售“25元抵50元的全場(chǎng)通用代金券”（即面值50元的代金券實(shí)付25元就能獲得），店家規(guī)定代金券等同現(xiàn)金使用，一次消費(fèi)最多可用3張代金券，而且使用代金券的金額不能超過(guò)應(yīng)付總金額．（1）如果小明一家應(yīng)付總金額為145元，那么用代金券方式買單，他們最多可以優(yōu)惠多少元；（2）小明一家來(lái)到火鍋店后，發(fā)現(xiàn)店家現(xiàn)場(chǎng)還有一個(gè)優(yōu)惠方式：除鍋底不打折外，其余菜品全部6折．小明一家點(diǎn)了一份50元的鍋底和其他菜品，用餐完畢后，聰明的小明對(duì)比兩種優(yōu)惠，選擇了現(xiàn)場(chǎng)優(yōu)惠方式買單，這樣比用代金券方式買單還能少付15元．問(wèn)小明一家實(shí)際付了多少元？題型3儲(chǔ)蓄問(wèn)題(1)顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅(2)利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息

利息稅=利息×稅率（20%）(3)利潤(rùn)=每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息/本金×100%4．小明一年前存入銀行一筆錢，年利率為2.25%，到期共獲得本息和為10225元，求小明一年前存入銀行的本金是多少元？5．小麗的媽媽在銀行存入5000元，存期一年，到期銀行代扣利息稅22.5元，求這項(xiàng)儲(chǔ)蓄的年利率是多少？（國(guó)家規(guī)定存款利息的納稅辦法是：利息稅＝利息×20%，儲(chǔ)戶取款時(shí)由銀行代扣代收）．題型4.工程問(wèn)題在解決有關(guān)工作量問(wèn)題的應(yīng)用題時(shí)，常把整個(gè)的工作量看做1，若單獨(dú)完成需要的時(shí)間為,則工作效率為6.在某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)．經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天；若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作完成．（1）甲、乙兩隊(duì)合作多少天？（2）甲隊(duì)施工一天需付工程款3.5萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？題型5.和、差、倍、分問(wèn)題1.和、差關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余……”來(lái)體現(xiàn).2.倍、分關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“是幾倍、增加幾倍、增加到幾倍、增加百分之幾、增長(zhǎng)率……”來(lái)體現(xiàn).3.比例問(wèn)題：全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和.此類題目通常把一份設(shè)為x.解題的關(guān)鍵是弄清“倍、分”關(guān)系及“和、差”關(guān)系.7.一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去40千克，還剩下23千克，原來(lái)這桶油有多少千克？8.甲、乙、丙、丁四人一共做了820個(gè)零件，如果把甲做的個(gè)數(shù)加10個(gè)，乙做的個(gè)數(shù)減去20個(gè)，丙做的個(gè)數(shù)乘以2，丁做的個(gè)數(shù)除以2，那么四人做的個(gè)數(shù)正好相等，問(wèn)乙實(shí)際上做了多少個(gè)零件?題型6.數(shù)字問(wèn)題9.一個(gè)兩位數(shù)，把它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)，原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字比原兩位數(shù)的十位數(shù)字大2，且新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為154，求原兩位數(shù)是多少？10.一個(gè)正兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2（1）請(qǐng)列式表示這個(gè)兩位數(shù)，并化簡(jiǎn)；（2）把這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置得到一個(gè)新的兩位數(shù)，試說(shuō)明新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和能被22整除．11.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的兩倍，將這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)小27，求這個(gè)兩位數(shù)．題型7.比例分配問(wèn)題比例分配問(wèn)題解題思路：1.通常設(shè)一份為X2.通常先用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，并用含有這個(gè)字母的代數(shù)式表示其他相關(guān)的量，再根據(jù)題中的相等關(guān)系列出方程，然后解這個(gè)方程，寫(xiě)出問(wèn)題的答案12.甲、乙、丙三人共同出資做生意，甲投資了萬(wàn)元，乙投資了萬(wàn)元，丙投資了萬(wàn)元，年終時(shí)，共賺得利潤(rùn)萬(wàn)元，甲、乙、丙三人按比例進(jìn)行分配，各可以分得多少利潤(rùn)？13.六年級(jí)和七年級(jí)分別有192人和133人，現(xiàn)在需要從兩個(gè)年級(jí)選出133人參加“讀書(shū)節(jié)”活動(dòng)，并且要使六年級(jí)，七年級(jí)剩余學(xué)生數(shù)之比為2：1，問(wèn)應(yīng)從六年級(jí)，七年級(jí)各選出多少人？題型8.比賽積分問(wèn)題14.某電視臺(tái)組織知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)30道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了3個(gè)參賽者的得分情況．參賽者答對(duì)題數(shù)答錯(cuò)題數(shù)得分A282108B26496C24684（1）每答對(duì)1題得多少分？（2）參賽者D得54分，他答對(duì)了幾道題？15.某次籃球聯(lián)賽共有十支隊(duì)伍參賽，部分積分表如下．根據(jù)表格提供的信息解答下列問(wèn)題：隊(duì)名比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出勝一場(chǎng)、負(fù)一場(chǎng)各積多少分？（2）某隊(duì)的勝場(chǎng)總積分能等于它的負(fù)場(chǎng)總積分嗎？若能，試求勝場(chǎng)數(shù)和負(fù)場(chǎng)數(shù)；若不能，說(shuō)出理由．（3）試就某隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)求出該隊(duì)的負(fù)場(chǎng)總積分是它的勝場(chǎng)總積分的正整數(shù)倍的情況？題型9.日歷問(wèn)題在某月的月歷上，橫行上左右相鄰的兩個(gè)數(shù)是連續(xù)整數(shù)，它們的差為1，同一豎列上的兩個(gè)相鄰的數(shù)是相差7的整數(shù)，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系可以列方程求解。16.某公司新研發(fā)一種辦公室用壁掛式電磁日歷，底板是一塊長(zhǎng)方形磁塊，再用31枚圓柱形小鐵片標(biāo)上數(shù)字吸附在底板上作為日期，如圖1是2007年10月份日歷（1）用長(zhǎng)方形和正方形分別圈出相鄰的3個(gè)數(shù)和9個(gè)數(shù)，若設(shè)圈出的數(shù)的中心數(shù)為a，用含a的整式表示這3個(gè)數(shù)的和與9個(gè)數(shù)的和，結(jié)果分別為3a，9a．（2）用某種圖形圈出相鄰的5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和能表示成5a的形式，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一個(gè)這樣的圖形．（3）用平行四邊形圈出相鄰的四個(gè)數(shù)，是否存在這樣的4個(gè)數(shù)使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出來(lái)，不存在說(shuō)明理由．（4）第一次翻動(dòng)31枚日歷鐵片，第二次翻動(dòng)其中的30枚，第三次翻動(dòng)其中的29枚，……，第31次只翻動(dòng)其中的一枚，按這樣的方法翻動(dòng)日歷鐵片，能否使鐵板上所有的31枚鐵片原來(lái)有數(shù)字的一面都朝下，試通過(guò)計(jì)算證明你的判斷．17.生活與數(shù)學(xué)．（1）小明在某月的日歷上象圖①樣圈了2×2個(gè)數(shù)，若正方形的方框內(nèi)的四個(gè)數(shù)的和是44，那么這四個(gè)數(shù)是．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（2）小莉也在日歷上象圖②樣圈出5個(gè)數(shù)，呈十字框形，若這五個(gè)數(shù)之和是60，則中間的數(shù)是．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（3）小虎說(shuō)他在日歷上向圖③樣圈了五個(gè)數(shù)，算了它們的和是65．你認(rèn)為小虎計(jì)算正確嗎？說(shuō)明理由．拓展與推廣：若干個(gè)偶數(shù)按每行8個(gè)數(shù)排成如圖④所示：（1）寫(xiě)出圖④中方框內(nèi)的9個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)的關(guān)系是．（2）小明說(shuō)若用圖④中所畫(huà)的方框去框9個(gè)數(shù)，其和可以是360，你能求出所框的中間一個(gè)數(shù)是多少嗎？（3）小華畫(huà)了一個(gè)如圖⑤所示的斜框，小華能用這個(gè)斜框框出9個(gè)數(shù)的和為2016嗎？若能，請(qǐng)求出第一行中間一個(gè)數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型10.行程問(wèn)題1.行程問(wèn)題中有三個(gè)基本量：路程、時(shí)間、速度。關(guān)系式為：①路程=速度×?xí)r間；②速度=；③時(shí)間=。2.順逆風(fēng)（水）速度之間的關(guān)系：①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）。3.追擊問(wèn)題的一個(gè)最基本的公式：追擊時(shí)間速度差追擊的路程．相遇問(wèn)題的基本公式為：速度和相遇時(shí)間路程．4.環(huán)形跑道問(wèn)題環(huán)形跑道問(wèn)題特殊場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時(shí)間×速度和

路程差=追及時(shí)間×速度差

解環(huán)形跑道問(wèn)題的一般方法：環(huán)形跑道問(wèn)題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次．這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。18.快車以200km/h的速度由甲地開(kāi)往乙地再返回甲地，慢車以75km/h的速度同時(shí)從乙地出發(fā)開(kāi)往甲地．已知當(dāng)快車回到甲地時(shí)，慢車距離甲地還有225km，則（1）甲乙兩地相距多少千米？（2）從出發(fā)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相遇？（3）幾小時(shí)后兩車相距100千米？題型11.方案決策問(wèn)題19.當(dāng)前在多措并舉、全力推進(jìn)青少年校園足球熱烈氛圍中，某體育用品商店對(duì)甲、乙兩品牌足球開(kāi)展促銷活動(dòng)，已知甲、乙兩品牌足球的標(biāo)價(jià)分別是：160元/個(gè)，60元/個(gè)，現(xiàn)有如下兩種優(yōu)惠方案：方案一：不購(gòu)買會(huì)員卡時(shí)，甲品牌足球享受8.5折優(yōu)惠，乙品牌足球買5個(gè)（含5個(gè)）以上時(shí)所有球享受8.5折，5個(gè)以下必須按標(biāo)價(jià)購(gòu)買；方案二：辦理一張會(huì)員卡100元，會(huì)員卡只限本人使用，全部商品享受7.5折優(yōu)惠．（1）若購(gòu)買甲品牌足球3個(gè)，乙品牌足球4個(gè)，哪一種方案更優(yōu)惠？多優(yōu)惠多少元？（2）如果購(gòu)買甲品牌足球若干個(gè)，乙品牌足球6個(gè)，方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多，求購(gòu)買甲品牌的足球個(gè)數(shù)．20.某電器商銷售一種微波爐和電磁爐，微波爐每臺(tái)定價(jià)800元，電磁爐每臺(tái)定價(jià)200元．“雙十一”期間商場(chǎng)決定開(kāi)展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一臺(tái)微波爐送一臺(tái)電磁爐；方案二：微波爐和電磁爐都按定價(jià)的90%付款．現(xiàn)某客戶要到該賣場(chǎng)購(gòu)買微波爐2臺(tái)，電磁爐x臺(tái)（x＞2）．（1）若該客戶按方案一購(gòu)買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）若該客戶按方案二購(gòu)買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）（2）若x＝5時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買較為合算？（3）當(dāng)x＝5時(shí)，你能給出一種更為省錢的購(gòu)買方案嗎？試寫(xiě)出你的購(gòu)買方法．21.元旦期間，某超市打出促銷廣告，如表所示，優(yōu)惠條件一次性購(gòu)物不超過(guò)200元一次性購(gòu)物超過(guò)200元但不超過(guò)500元一次性購(gòu)物超過(guò)500元優(yōu)惠辦法無(wú)優(yōu)惠全部按9折優(yōu)惠其中500元仍按9折優(yōu)惠，超過(guò)500元的部分按8折優(yōu)惠小明媽媽第一次購(gòu)物用了134元，第二次購(gòu)物用了490元（1）小明媽媽第一次所購(gòu)物品的原價(jià)是元（2）小明媽媽第二次所購(gòu)物品的原價(jià)是多少元？（列方程解決）（3）若小明媽媽將兩次購(gòu)買的物品一次性購(gòu)買，可比兩次購(gòu)買節(jié)省多少元？題型12.古代問(wèn)題中的一元一次方程22.三個(gè)漁夫一起釣魚(yú)，釣滿了一桶魚(yú)后他們都睡著了．漁夫甲先醒來(lái)后，把魚(yú)數(shù)了一遍，拿出一條放入河里，然后拿起剩下的魚(yú)的走了；過(guò)了一會(huì)，漁夫乙醒來(lái)，也把魚(yú)數(shù)了一遍，拿出一條放入河里，又拿起剩下的魚(yú)的走了；最后漁夫丙醒來(lái)一看，桶里還剩6條魚(yú)．請(qǐng)你算一算，三個(gè)漁夫一共釣了多少條魚(yú)？23．閱讀下列材料并回答問(wèn)題：墓碑上的數(shù)學(xué)題——他．我們熟悉的古希臘大數(shù)學(xué)家丟番圖在數(shù)學(xué)上作出了偉大的貢獻(xiàn)，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的鼻祖，用字母表示數(shù)和列方程解應(yīng)用題等一些運(yùn)算就是丟番圖首創(chuàng)的，丟番圖去世后，他的年齡成了一個(gè)謎，但它的墓碑上刻有一道數(shù)學(xué)題，讓紀(jì)念他的人們根據(jù)墓碑上的題目，算出他的壽命．碑文是這樣寫(xiě)的：這里是一座公慕，里面安葬著丟番圖．他生命的是童年；再活了壽命的，頰上長(zhǎng)出了細(xì)細(xì)的胡須；又過(guò)了一生的，他找到了終生伴侶；5年后，神賜給他一個(gè)兒子；可是兒子命運(yùn)不濟(jì)，只活了父親歲數(shù)的一半，就匆匆離去；兒子死后，父親在悲痛中生活了4年，也離開(kāi)了人世．閱讀后請(qǐng)用列方程解應(yīng)用題的方法求丟番圖壽命是多少歲？

清單03一元一次方程（五大考點(diǎn)梳理+題型解讀+解決實(shí)際問(wèn)題12種題型）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．【例1】（2022秋?潁州區(qū)期末）下列各式中，是方程的個(gè)數(shù)為（）①x＝0；②3x﹣5＝2x+1；③2x+6；④x﹣y＝0；⑤＝5y+3；⑥a2+a﹣6＝0．A．2個(gè) B．3個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【分析】依據(jù)方程的定義：含有未知數(shù)的等式，即可判斷．【解答】解：①、②、④、⑤、⑥是方程，符合題意；③不是等式，故不是方程，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是方程的定義，解題關(guān)鍵是依據(jù)方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程．方程有兩個(gè)特征：（1）方程是等式；（2）方程中必須含有字母（未知數(shù)）．2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．【例2】（2022秋?漢臺(tái)區(qū)期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是關(guān)于x的一元一次方程，則（）A．m＝2 B．m＝﹣3 C．m＝±3 D．m＝1【分析】若一個(gè)整式方程經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)變形后，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0，則這個(gè)方程是一元一次方程．所以m﹣3≠0，|m|﹣2＝1，解方程和不等式即可．【解答】解：已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是關(guān)于x的一元一次方程，則|m|﹣2＝1，解得：m＝±3，又∵系數(shù)不為0，∴m≠3，則m＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的未知數(shù)x的次數(shù)是1這個(gè)條件，此類題目可嚴(yán)格按照定義解答．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．【例3】（2023春?蒸湘區(qū)校級(jí)期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，則m的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【分析】根據(jù)方程解的定義，把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0，可解得m．【解答】解：把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0，解得：m＝8，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方程解的定義，解題的關(guān)鍵是把方程的解代入方程得到所求參數(shù)的方程．【變式】（2022秋?寧陽(yáng)縣期末）若一元一次方程ax+b＝0的解是x＝1，則a，b的關(guān)系為（）A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．互為負(fù)倒數(shù)【分析】把x＝1代入方程ax+b＝0得出a+b＝0，即可得出答案．【解答】解：把x＝1代入方程ax+b＝0得：a+b＝0，a＝﹣b，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解的定義的應(yīng)用，能理解一元一次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵．4．解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程．考點(diǎn)二、等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．【例4】（2022秋?雅安期末）下列等式變形錯(cuò)誤的是（）A．若，則x﹣1＝2x B．若x﹣1＝3，則x＝4 C．若x﹣3＝y(tǒng)﹣3，則x﹣y＝0 D．若3x+4＝2x，則3x﹣2x＝﹣4【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：等式的兩邊同時(shí)乘以2，x﹣2＝2x，故A錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號(hào)法則：（1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同．（2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反．考點(diǎn)三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【例5】（2022秋?東寶區(qū)期末）解方程：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x）；（2）．【分析】（1）按照去分母，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化為1的計(jì)算過(guò)程計(jì)算即可；（2）按照去分母，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化為1的計(jì)算過(guò)程計(jì)算即可．【解答】解：（1）4﹣2x＝﹣3（2﹣x），去括號(hào)得：4﹣2x＝﹣6+3x，移項(xiàng)合并得：5x＝10，系數(shù)化為1得：x＝2；（2），去分母得：3（x+2）﹣2（x﹣1）＝12，去括號(hào)得：3x+6﹣2x+2＝12，移項(xiàng)合并得：x＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次方程；掌握解一元一次方程的步驟是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四、列方程解應(yīng)用題的步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫(xiě)出答案（包括單位名稱）【例6】（2022秋?匯川區(qū)期末）如圖，已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，它們分別表示數(shù)a，b，且（a+6）2+|b﹣12|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）點(diǎn)C以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DE的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，求線段DE的長(zhǎng)度，若變化，請(qǐng)說(shuō)明原因；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)從原點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)C相距2個(gè)單位長(zhǎng)度？【分析】（1）由絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可得a＝﹣6，b＝12；（2）設(shè)C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，可知D表示的數(shù)為＝t﹣6，E表示的數(shù)為＝t+3，故DE＝（t+3）﹣（t﹣6）＝9（個(gè)單位）；（3）設(shè)C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（0≤x≤12），根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)C相距2個(gè)單位長(zhǎng)度得：|x﹣（﹣6+2x）|＝2，即可解得答案．【解答】解：（1）∵（a+6）2+|b﹣12|＝0，∴a+6＝0，b﹣12＝0，解得a＝﹣6，b＝12；故答案為：﹣6，12；（2）線段DE的長(zhǎng)度不發(fā)生改變，理由如下：設(shè)C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則C表示的數(shù)為﹣6+2t，∵a＝﹣6，b＝12；點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴D表示的數(shù)為＝t﹣6，E表示的數(shù)為＝t+3，∴DE＝（t+3）﹣（t﹣6）＝9（個(gè)單位），∴線段DE的長(zhǎng)度為9個(gè)單位；（3）設(shè)C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（0≤x≤12），則P表示的數(shù)為x，C表示的數(shù)為﹣6+2x，根據(jù)題意得：|x﹣（﹣6+2x）|＝2，解得x＝4或x＝8，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)4秒或8秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)C相距2個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)．【例7】（2022秋?秦淮區(qū)期末）根據(jù)國(guó)家發(fā)改委實(shí)施“階梯電價(jià)”的有關(guān)文件要求，某市結(jié)合地方實(shí)際，決定從2015年5月1日起對(duì)居民生活用電實(shí)施“階梯電價(jià)”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)下表：一戶居民一個(gè)月用電量的范圍電費(fèi)價(jià)格（元/千瓦時(shí)）不超過(guò)150千瓦時(shí)的部分a超過(guò)150千瓦時(shí)，但不超過(guò)300千瓦時(shí)的部分b超過(guò)300千瓦時(shí)的部分a+0.32015年5月份，該市居民甲用電100千瓦時(shí)，交費(fèi)60元；居民乙用電200千瓦時(shí)，交費(fèi)125元．（1）求上表中a、b的值；（2）實(shí)施“階梯電價(jià)”收費(fèi)以后，該市一戶居民月用電多少千瓦時(shí)，其當(dāng)月交費(fèi)285元？【分析】（1）利用居民甲用電100千瓦時(shí)，交電費(fèi)60元，可以求出a的值，進(jìn)而利用居民乙用電200千瓦時(shí)，交電費(fèi)122.5元，求出b的值即可；（2）首先判斷出用電是否超過(guò)300千瓦時(shí)，再根據(jù)收費(fèi)方式可得等量關(guān)系：前150千瓦時(shí)的部分的費(fèi)用+超過(guò)150千瓦時(shí)，但不超過(guò)300千瓦時(shí)的部分的費(fèi)用+超過(guò)300千瓦時(shí)的部分的費(fèi)用＝交費(fèi)285元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）由題意可得：a＝60÷100＝0.6，150×0.6+50b＝125，b＝0.7．（2）由題意可知：若用電300千瓦時(shí)，0.6×150+0.7×150＝195＜285，∴超過(guò)300千瓦時(shí)．設(shè)月用電x千瓦時(shí)，則0.6×150+0.7×150+0.9（x﹣300）＝285，∴x＝400，∴該戶月用電400千瓦時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．【例8】．（2022秋?常州期末）列方程解決問(wèn)題：小華和媽媽一起玩成語(yǔ)競(jìng)猜游戲，商定如下規(guī)則：小華猜中1個(gè)成語(yǔ)得2分，媽媽猜中1個(gè)成語(yǔ)得1分，結(jié)果兩人一共猜中了30個(gè)成語(yǔ)，得分恰好相等．請(qǐng)問(wèn)小華猜中了幾個(gè)成語(yǔ)？【分析】設(shè)小華猜中x個(gè)成語(yǔ)，根據(jù)得分相等列方程，求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)小華猜中x個(gè)成語(yǔ)，媽媽猜中（30﹣x）個(gè)．得方程：2x＝1×（30﹣x）．x＝10．答：小華猜中10個(gè)成語(yǔ)，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列方程，解應(yīng)用題．關(guān)鍵是找到等量關(guān)系．考點(diǎn)五、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間2.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率3.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)4.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量5.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)6.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：7.數(shù)字問(wèn)題；8.分配問(wèn)題；9.比賽積分問(wèn)題；10.水流航行問(wèn)題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．題型1.配套問(wèn)題1.某生產(chǎn)教具的廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒和金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個(gè)頂點(diǎn)由一個(gè)金屬球鑲嵌），安排一個(gè)車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)這款正方體教具，該車間共有34名工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或金屬球75個(gè)，如果你是車間主任，你會(huì)如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？【分析】設(shè)分配x個(gè)工人生產(chǎn)塑料棒，則分配（34﹣x）個(gè)工人生產(chǎn)金屬球，由每個(gè)正方體有12條棱及8個(gè)頂點(diǎn)，且生產(chǎn)的塑料棒和金屬球正好配套，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出分配生產(chǎn)塑料棒的工人數(shù)，再將其代入（34﹣x）中即可求出分配生產(chǎn)金屬球的工人數(shù)．【解答】解：設(shè)分配x個(gè)工人生產(chǎn)塑料棒，則分配（34﹣x）個(gè)工人生產(chǎn)金屬球，依題意得：＝，解得：x＝18，∴34﹣x＝34﹣18＝16．答：應(yīng)分配18個(gè)工人生產(chǎn)塑料棒，16個(gè)工人生產(chǎn)金屬球．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2.某車間有62個(gè)工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個(gè)或乙種零件23個(gè)．已知每3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，問(wèn)應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？【分析】設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)甲種零件，（62﹣x）人生產(chǎn)乙種零件才能使每天生產(chǎn)的甲種零件和乙種零件剛好配套，根據(jù)每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個(gè)或乙種零件23個(gè)，可列方程求解．【解答】解：設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)甲種零件，12x×2＝23（62﹣x）×3，解得x＝46，62﹣46＝16（人）．故應(yīng)分配46人生產(chǎn)甲種零件，16人生產(chǎn)乙種零件才能使每天生產(chǎn)的甲種零件和乙種零件剛好配套．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．關(guān)鍵是設(shè)出生產(chǎn)甲和乙的人數(shù)，以配套的比例列方程求解．題型2.銷售問(wèn)題銷售問(wèn)題中有四個(gè)基本量：成本（進(jìn)價(jià)）、銷售價(jià)（收入）、利潤(rùn)、利潤(rùn)率。（1）商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品成本價(jià)（2）商品利潤(rùn)率＝×100%（3）商品銷售額＝商品銷售價(jià)×商品銷售量（4）商品的銷售利潤(rùn)＝（銷售價(jià)－成本價(jià)）×銷售量（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打6折出售，即按原標(biāo)價(jià)的60%出售．3.小明和父母打算去某火鍋店吃火鍋，該店在網(wǎng)上出售“25元抵50元的全場(chǎng)通用代金券”（即面值50元的代金券實(shí)付25元就能獲得），店家規(guī)定代金券等同現(xiàn)金使用，一次消費(fèi)最多可用3張代金券，而且使用代金券的金額不能超過(guò)應(yīng)付總金額．（1）如果小明一家應(yīng)付總金額為145元，那么用代金券方式買單，他們最多可以優(yōu)惠多少元；（2）小明一家來(lái)到火鍋店后，發(fā)現(xiàn)店家現(xiàn)場(chǎng)還有一個(gè)優(yōu)惠方式：除鍋底不打折外，其余菜品全部6折．小明一家點(diǎn)了一份50元的鍋底和其他菜品，用餐完畢后，聰明的小明對(duì)比兩種優(yōu)惠，選擇了現(xiàn)場(chǎng)優(yōu)惠方式買單，這樣比用代金券方式買單還能少付15元．問(wèn)小明一家實(shí)際付了多少元？【分析】（1）根據(jù)某火鍋店代金券的規(guī)定即可求解；（2）設(shè)小明一家應(yīng)付總金額為x元，分三種情況：當(dāng)50≤x＜100時(shí)，當(dāng)100≤x＜150時(shí)，當(dāng)x≥150時(shí)，列出方程即可求解．【解析】（1）∵145＜150．最多購(gòu)買并使用兩張代金券，∴最多優(yōu)惠50元．（2）設(shè)小明一家應(yīng)付總金額為x元，當(dāng)50≤x＜100時(shí)，由題意得，x﹣25﹣[50+（x﹣50）×0.6]＝15．解得：x＝150（舍去）．當(dāng)100≤x＜150時(shí)，由題意得，x﹣50﹣[50+（x﹣50）×0.6]＝15．解得：x＝212.5（舍去）．當(dāng)x≥150時(shí)，由題意得，x﹣75﹣[50+（x﹣50）×0.6]＝15．解得：x＝275，275﹣75﹣15＝185（元）．答：小明一家實(shí)際付了185元．題型3儲(chǔ)蓄問(wèn)題(1)顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅(2)利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息

利息稅=利息×稅率（20%）(3)利潤(rùn)=每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息/本金×100%4．小明一年前存入銀行一筆錢，年利率為2.25%，到期共獲得本息和為10225元，求小明一年前存入銀行的本金是多少元？【分析】設(shè)小明一年前存入銀行的本金是x元，根據(jù)到期共獲得本息和為10225元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小明一年前存入銀行的本金是x元，依題意得：x+2.25%x＝10225，解得：x＝10000．答：小明一年前存入銀行的本金是10000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．小麗的媽媽在銀行存入5000元，存期一年，到期銀行代扣利息稅22.5元，求這項(xiàng)儲(chǔ)蓄的年利率是多少？（國(guó)家規(guī)定存款利息的納稅辦法是：利息稅＝利息×20%，儲(chǔ)戶取款時(shí)由銀行代扣代收）．【分析】設(shè)這項(xiàng)儲(chǔ)蓄的年利率是x，根據(jù)利息稅＝本金×年利率×20%，列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可．【解答】解：根據(jù)題意得：5000x×20%＝22.5，解得：x＝0.0225＝2.25%，答：這項(xiàng)儲(chǔ)蓄的年利率是2.25%．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．題型4.工程問(wèn)題在解決有關(guān)工作量問(wèn)題的應(yīng)用題時(shí)，常把整個(gè)的工作量看做1，若單獨(dú)完成需要的時(shí)間為,則工作效率為6.在某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)．經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天；若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作完成．（1）甲、乙兩隊(duì)合作多少天？（2）甲隊(duì)施工一天需付工程款3.5萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？【分析】（1）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作t天，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天，所以乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的速度是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的23，由題意可列方程60﹣20＝t（1+（2）把在工期內(nèi)的情況進(jìn)行比較即可；【解析】（1）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作t天，由題意得：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的速度是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的23∴60﹣20＝t（1+2解得：t＝24（2）設(shè)甲、乙合作完成需y天，則有（160+1解得，y＝36，①甲單獨(dú)完成需付工程款為60×3.5＝210（萬(wàn)元）．②乙單獨(dú)完成超過(guò)計(jì)劃天數(shù)不符題意，③甲、乙合作完成需付工程款為36×（3.5+2）＝198（萬(wàn)元）．答：在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢．題型5.和、差、倍、分問(wèn)題1.和、差關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余……”來(lái)體現(xiàn).2.倍、分關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“是幾倍、增加幾倍、增加到幾倍、增加百分之幾、增長(zhǎng)率……”來(lái)體現(xiàn).3.比例問(wèn)題：全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和.此類題目通常把一份設(shè)為x.解題的關(guān)鍵是弄清“倍、分”關(guān)系及“和、差”關(guān)系.7.一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去40千克，還剩下23千克，原來(lái)這桶油有多少千克？【答案】105【分析】設(shè)原來(lái)這桶油有千克，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)原來(lái)這桶油有千克，第一次用去，第二次用去，由題意得方程，，解得所以原來(lái)這桶油有105千克．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，審清題意并正確列出方程是解題關(guān)鍵．8.甲、乙、丙、丁四人一共做了820個(gè)零件，如果把甲做的個(gè)數(shù)加10個(gè)，乙做的個(gè)數(shù)減去20個(gè)，丙做的個(gè)數(shù)乘以2，丁做的個(gè)數(shù)除以2，那么四人做的個(gè)數(shù)正好相等，問(wèn)乙實(shí)際上做了多少個(gè)零件?【答案】200個(gè)【分析】設(shè)四個(gè)人做的零件數(shù)相等時(shí)為x個(gè)，分別表示出四個(gè)人原來(lái)的量，根據(jù)總數(shù)為820個(gè)列出方程，解之即可得到乙實(shí)際做的數(shù)量．【詳解】解：設(shè)四個(gè)人做的零件數(shù)相等時(shí)為x個(gè)，由題意可得：，解得：x=180，乙：180+20=200個(gè)，∴乙實(shí)際上做了200個(gè)零件．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，題中條件較多，那么統(tǒng)一設(shè)四個(gè)人做的零件數(shù)相等時(shí)為x個(gè)就比較方便表示出原來(lái)的量，便于列方程．題型6.數(shù)字問(wèn)題9.一個(gè)兩位數(shù)，把它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換位置得到新兩位數(shù)，原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字比原兩位數(shù)的十位數(shù)字大2，且新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為154，求原兩位數(shù)是多少？【分析】根據(jù)兩位數(shù)的確定方法列出一元一次方程即可求得結(jié)果．【解析】方法一：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x﹣2，兩位數(shù)為10（x﹣2）+x．根據(jù)題意，得10x+（x﹣2）+10（x﹣2）+x＝154解得x＝8，x﹣2＝6．∴10（x﹣2）+x＝68．∴原兩位數(shù)是68．方法二：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，兩位數(shù)為10y+x．根據(jù)題意，得x?解得x=8∴10y+x＝68．∴原兩位數(shù)是68．答：原兩位數(shù)是68．10.一個(gè)正兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2（1）請(qǐng)列式表示這個(gè)兩位數(shù)，并化簡(jiǎn)；（2）把這個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置得到一個(gè)新的兩位數(shù)，試說(shuō)明新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和能被22整除．【分析】（1）直接利用十位數(shù)的表示方法分析得出答案；（2）直接表示數(shù)新的兩位數(shù)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)得出答案．【解析】（1）由題意可得：10（a+2）+a＝11a+20；（2）由題意可得，新兩位數(shù)是：10a+a+2＝11a+2，故兩位數(shù)的和是：11a+20+11a+2＝22（a+1），故新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和能被22整除．11.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的兩倍，將這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)小27，求這個(gè)兩位數(shù)．【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為2x，原兩位數(shù)為（10×2x+x），十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后的數(shù)為（10x+2x），根據(jù)原數(shù)比十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到的兩位數(shù)大27，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（10×2x+x）中即可求出結(jié)論．【解析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為2x，原兩位數(shù)為（10×2x+x），十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后的數(shù)為（10x+2x），依題意，得：（10×2x+x）﹣（10x+2x）＝27，解得：x＝3，∴2x＝6，∴10×2x+x＝63．答：這個(gè)兩位數(shù)為63．題型7.比例分配問(wèn)題比例分配問(wèn)題解題思路：1.通常設(shè)一份為X2.通常先用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，并用含有這個(gè)字母的代數(shù)式表示其他相關(guān)的量，再根據(jù)題中的相等關(guān)系列出方程，然后解這個(gè)方程，寫(xiě)出問(wèn)題的答案12.甲、乙、丙三人共同出資做生意，甲投資了萬(wàn)元，乙投資了萬(wàn)元，丙投資了萬(wàn)元，年終時(shí)，共賺得利潤(rùn)萬(wàn)元，甲、乙、丙三人按比例進(jìn)行分配，各可以分得多少利潤(rùn)？【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲可以獲得萬(wàn)元，乙可以獲得萬(wàn)元，丙可以獲得萬(wàn)元，列出方程求解．【詳解】解:，設(shè)甲可以獲得萬(wàn)元，乙可以獲得萬(wàn)元，丙可以獲得萬(wàn)元，解得，，答:甲可以分得萬(wàn)元，乙可以分得萬(wàn)元，丙可以分得萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例關(guān)系列出方程進(jìn)行求解．13.六年級(jí)和七年級(jí)分別有192人和133人，現(xiàn)在需要從兩個(gè)年級(jí)選出133人參加“讀書(shū)節(jié)”活動(dòng)，并且要使六年級(jí)，七年級(jí)剩余學(xué)生數(shù)之比為2：1，問(wèn)應(yīng)從六年級(jí)，七年級(jí)各選出多少人？【分析】總?cè)藬?shù)不變，抽出的人數(shù)加上為抽出的人數(shù)等于總?cè)藬?shù)，設(shè)未知數(shù)，由題意列出一元一次方程即可．【詳解】解：設(shè)從六年級(jí)抽出x人，則應(yīng)從七年級(jí)抽出（133-x），由題意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1，即（192-x）：x=2：1，解得：x=64，∴133-64=69（人）．答；應(yīng)從六年級(jí)抽出64人，從七年級(jí)抽出69人．【點(diǎn)睛】本題是一元一次方程的應(yīng)用，考查的是人員調(diào)配問(wèn)題，關(guān)鍵知道調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系從而可列方程求解．題型8.比賽積分問(wèn)題14.某電視臺(tái)組織知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)30道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了3個(gè)參賽者的得分情況．參賽者答對(duì)題數(shù)答錯(cuò)題數(shù)得分A282108B26496C24684（1）每答對(duì)1題得多少分？（2）參賽者D得54分，他答對(duì)了幾道題？【分析】（1）設(shè)答對(duì)一道題得x分，則答錯(cuò)一道題得（54﹣14x）分，根據(jù)參賽者A，B答對(duì)題目數(shù)及得分情況，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得出答錯(cuò)一題得﹣2分，設(shè)參賽者D答對(duì)了m道題，則答錯(cuò)（30﹣m）道題，根據(jù)參賽者D得54分，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)答對(duì)一道題得x分，則答錯(cuò)一道題得108?28x2=（54﹣14依題意，得：26x+4（54﹣14x）＝96，解得：x＝4．∴54﹣14x＝﹣2．答：每答對(duì)1題得4分．（2）由（1）可得，答錯(cuò)一道題得54﹣14x＝﹣2（分）．設(shè)參賽者D答對(duì)了m道題，則答錯(cuò)（30﹣m）道題，依題意，得：4m﹣2（30﹣m）＝54，解得：m＝19．答：參賽者D答對(duì)了19道題．15.某次籃球聯(lián)賽共有十支隊(duì)伍參賽，部分積分表如下．根據(jù)表格提供的信息解答下列問(wèn)題：隊(duì)名比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出勝一場(chǎng)、負(fù)一場(chǎng)各積多少分？（2）某隊(duì)的勝場(chǎng)總積分能等于它的負(fù)場(chǎng)總積分嗎？若能，試求勝場(chǎng)數(shù)和負(fù)場(chǎng)數(shù)；若不能，說(shuō)出理由．（3）試就某隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)求出該隊(duì)的負(fù)場(chǎng)總積分是它的勝場(chǎng)總積分的正整數(shù)倍的情況？【分析】（1）設(shè)勝一場(chǎng)積x分，則負(fù)一場(chǎng)積29?11x7分，依照A（2）設(shè)勝場(chǎng)數(shù)是a，負(fù)場(chǎng)數(shù)是（18﹣a），結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)勝場(chǎng)總積分能等于它的負(fù)場(chǎng)總積分，列一元一次方程求解即可；（3）設(shè)勝場(chǎng)數(shù)是a，負(fù)場(chǎng)數(shù)是（18﹣a），列方程18﹣a＝2ka，解出a，根據(jù)數(shù)的整除特性及奇偶性可得答案．【解析】（1）設(shè)勝一場(chǎng)積x分，則負(fù)一場(chǎng)積29?11x7依題意得：14x+4×29?11x解得：x＝2此時(shí)29?11x7∴勝一場(chǎng)積2分，負(fù)一場(chǎng)積1分．（2）答：能．理由如下：設(shè)勝場(chǎng)數(shù)是a，負(fù)場(chǎng)數(shù)是（18﹣a），依題意得：2a＝18﹣a解得：a＝618﹣a＝18﹣6＝12答：勝6場(chǎng)，負(fù)12場(chǎng)．（3）設(shè)勝場(chǎng)數(shù)是a，負(fù)場(chǎng)數(shù)是（18﹣a），依題意得：18﹣a＝2ka解得：a=顯然，k是正整數(shù)，2k+1是奇數(shù)符合題意的有：2k+1＝9，k＝4，a＝2；2k+1＝3，k＝1，a＝6．答：勝2場(chǎng)時(shí)，負(fù)場(chǎng)總積分是它的勝場(chǎng)總積分的4倍；勝6場(chǎng)時(shí)，負(fù)場(chǎng)總積分是它的勝場(chǎng)總積分的1倍．題型9.日歷問(wèn)題在某月的月歷上，橫行上左右相鄰的兩個(gè)數(shù)是連續(xù)整數(shù)，它們的差為1，同一豎列上的兩個(gè)相鄰的數(shù)是相差7的整數(shù)，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系可以列方程求解。16.某公司新研發(fā)一種辦公室用壁掛式電磁日歷，底板是一塊長(zhǎng)方形磁塊，再用31枚圓柱形小鐵片標(biāo)上數(shù)字吸附在底板上作為日期，如圖1是2007年10月份日歷（1）用長(zhǎng)方形和正方形分別圈出相鄰的3個(gè)數(shù)和9個(gè)數(shù)，若設(shè)圈出的數(shù)的中心數(shù)為a，用含a的整式表示這3個(gè)數(shù)的和與9個(gè)數(shù)的和，結(jié)果分別為3a，9a．（2）用某種圖形圈出相鄰的5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和能表示成5a的形式，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一個(gè)這樣的圖形．（3）用平行四邊形圈出相鄰的四個(gè)數(shù)，是否存在這樣的4個(gè)數(shù)使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出來(lái)，不存在說(shuō)明理由．（4）第一次翻動(dòng)31枚日歷鐵片，第二次翻動(dòng)其中的30枚，第三次翻動(dòng)其中的29枚，……，第31次只翻動(dòng)其中的一枚，按這樣的方法翻動(dòng)日歷鐵片，能否使鐵板上所有的31枚鐵片原來(lái)有數(shù)字的一面都朝下，試通過(guò)計(jì)算證明你的判斷．【分析】（1）根據(jù)日歷的特點(diǎn)可列出關(guān)于a的方程，求解即可；（2）根據(jù)上下左右的數(shù)量關(guān)系，畫(huà)圖即可．（3）舉例拆分即可．（4）根據(jù)數(shù)字的奇偶性規(guī)律驗(yàn)證．【解析】（1）長(zhǎng)方形中中間數(shù)為a，上下兩數(shù)分別為（a﹣7）；（a+7）∴3個(gè)數(shù)的和為a+（a﹣7）+（a+7）＝3a正方形中中間數(shù)為a，那么左右兩數(shù)分別為（a﹣1）；（a+1）根據(jù)以上規(guī)律左邊三個(gè)數(shù)的和為3（a﹣1）；中間三個(gè)數(shù)的和為3a；右邊三個(gè)數(shù)的和為3（a+1）∴9個(gè)數(shù)的和為3（a﹣1）+3a+3（a+1）＝9a故答案為：3a，9a．（2）如圖所示即可（3）存在，∵b＝a+1，c＝a+6，d＝a+7，∴a+b+c+d＝a+a+1+a+6+a+7＝114，解得：a＝25，∴b＝26，c＝31，d＝32．（4）不能，共翻動(dòng)了31+30+29+28+……+2+1＝（31+1）×31÷2＝496次偶數(shù)次而要使一個(gè)鐵片翻面，需要1次、3次，5次，……奇數(shù)次需要翻動(dòng)的總次數(shù)是奇數(shù)×31＝奇數(shù)次奇數(shù)≠偶數(shù)所以，不能．17.生活與數(shù)學(xué)．（1）小明在某月的日歷上象圖①樣圈了2×2個(gè)數(shù)，若正方形的方框內(nèi)的四個(gè)數(shù)的和是44，那么這四個(gè)數(shù)是．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（2）小莉也在日歷上象圖②樣圈出5個(gè)數(shù)，呈十字框形，若這五個(gè)數(shù)之和是60，則中間的數(shù)是．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（3）小虎說(shuō)他在日歷上向圖③樣圈了五個(gè)數(shù)，算了它們的和是65．你認(rèn)為小虎計(jì)算正確嗎？說(shuō)明理由．拓展與推廣：若干個(gè)偶數(shù)按每行8個(gè)數(shù)排成如圖④所示：（1）寫(xiě)出圖④中方框內(nèi)的9個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)的關(guān)系是．（2）小明說(shuō)若用圖④中所畫(huà)的方框去框9個(gè)數(shù)，其和可以是360，你能求出所框的中間一個(gè)數(shù)是多少嗎？（3）小華畫(huà)了一個(gè)如圖⑤所示的斜框，小華能用這個(gè)斜框框出9個(gè)數(shù)的和為2016嗎？若能，請(qǐng)求出第一行中間一個(gè)數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可；（2）設(shè)中間的數(shù)是x，根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可；（3）設(shè)中間一個(gè)為x，根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可；拓展與推廣：設(shè)中間的數(shù)是x，根據(jù)日歷上的數(shù)據(jù)規(guī)律把所要求的數(shù)用代數(shù)式表示，用一元一次方程求解即可．【解析】（1）設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，其他的數(shù)為x+1，x+7，x+8，則x+x+1+x+7+x+8＝44，解得x＝7；∴四個(gè)數(shù)分別為7、8、14、15，故答案為：7、8、14、15；（2）設(shè)中間的數(shù)是x，則5x＝60，解得x＝12，故答案為：12；（3）不準(zhǔn)確，理由如下：設(shè)中間一個(gè)為x，則其它數(shù)從上到下依次為：x﹣14，x﹣7，x+7，x+14，則x﹣7+x﹣14+x+x+7+x+14＝65，解得x＝13；所以最上面一個(gè)數(shù)為x﹣14＝﹣1，顯然不在日歷上，所以小虎計(jì)算錯(cuò)誤；拓展與推廣：①9個(gè)數(shù)的和是中間的數(shù)的9倍．②設(shè)中間的數(shù)是x，則9x＝360，解得x＝40；③由圖⑤中數(shù)據(jù)的排列可知224這個(gè)偶數(shù)排在第14行的最后一個(gè)，因此其后的226這個(gè)偶數(shù)排在第15行第一個(gè)數(shù)，因此實(shí)際上圖⑥這個(gè)框框不到226這個(gè)偶數(shù)，因此小華不可能框出9個(gè)數(shù)據(jù)的和為2016．題型10.行程問(wèn)題1.行程問(wèn)題中有三個(gè)基本量：路程、時(shí)間、速度。關(guān)系式為：①路程=速度×?xí)r間；②速度=；③時(shí)間=。2.順逆風(fēng)（水）速度之間的關(guān)系：①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）。3.追擊問(wèn)題的一個(gè)最基本的公式：追擊時(shí)間速度差追擊的路程．相遇問(wèn)題的基本公式為：速度和相遇時(shí)間路程．4.環(huán)形跑道問(wèn)題環(huán)形跑道問(wèn)題特殊場(chǎng)地行程問(wèn)題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過(guò)程解決多人多次相遇與追擊問(wèn)題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對(duì)題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進(jìn)行分析。在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：

路程和=相遇時(shí)間×速度和

路程差=追及時(shí)間×速度差

解環(huán)形跑道問(wèn)題的一般方法：

環(huán)形跑道問(wèn)題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次．這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。18.快車以200km/h的速度由甲地開(kāi)往乙地再返回甲地，慢車以75km/h的速度同時(shí)從乙地出發(fā)開(kāi)往甲地．已知當(dāng)快車回到甲地時(shí)，慢車距離甲地還有225km，則（1）甲乙兩地相距多少千米？（2）從出發(fā)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相遇？（3）幾小時(shí)后兩車相距100千米？【分析】（1）設(shè)甲、乙兩地相距x千米，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合兩車相同時(shí)間內(nèi)行駛的路程間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y小時(shí)兩車相遇，分兩車第一次相遇及兩車第二次相遇兩種情況考慮，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)t小時(shí)后兩車相距100千米，分兩車第一次相距100千米、第二次相距100千米、第三次相距100千米、第四次相距100千米及第五次相距100千米五種情況考慮，根據(jù)兩車行駛的路程之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)甲、乙兩地相距x千米，依題意，得：2x200解得：x＝900．答：甲、乙兩地相距900千米．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y小時(shí)兩車相遇．第一次相遇，（200+75）y＝900，解得：y=36第二次相遇，200y﹣75y＝900，解得：y=36答：從出發(fā)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)3611或36（3）設(shè)t小時(shí)后兩車相距100千米．第一次相距100千米時(shí)，200t+75t＝900﹣100，解得：t=32第二次相距100千米時(shí)，200t+75t＝900+100，解得：t=40第三次相距100千米時(shí)，200t﹣75t＝900﹣100，解得：t=32第四次相距100千米時(shí)，200t﹣75t＝900+100，解得：t＝8；第五次相距100千米時(shí)，75t＝900﹣100，解得：t=32答：經(jīng)過(guò)3211，4011，325題型11.方案決策問(wèn)題19.當(dāng)前在多措并舉、全力推進(jìn)青少年校園足球熱烈氛圍中，某體育用品商店對(duì)甲、乙兩品牌足球開(kāi)展促銷活動(dòng)，已知甲、乙兩品牌足球的標(biāo)價(jià)分別是：160元/個(gè)，60元/個(gè)，現(xiàn)有如下兩種優(yōu)惠方案：方案一：不購(gòu)買會(huì)員卡時(shí)，甲品牌足球享受8.5折優(yōu)惠，乙品牌足球買5個(gè)（含5個(gè)）以上時(shí)所有球享受8.5折，5個(gè)以下必須按標(biāo)價(jià)購(gòu)買；方案二：辦理一張會(huì)員卡100元，會(huì)員卡只限本人使用，全部商品享受7.5折優(yōu)惠．（1）若購(gòu)買甲品牌足球3個(gè)，乙品牌足球4個(gè)，哪一種方案更優(yōu)惠？多優(yōu)惠多少元？（2）如果購(gòu)買甲品牌足球若干個(gè)，乙品牌足球6個(gè)，方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多，求購(gòu)買甲品牌的足球個(gè)數(shù)．【分析】（1）分別求出方案一和方案二的費(fèi)用，即可求解；（2）設(shè)購(gòu)買甲品牌的足球x個(gè)，由方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多，列出方程可求解．【解析】（1）方案一的費(fèi)用＝160×0.85×3+60×4＝648元；方案二的費(fèi)用＝100+0.75×（16