數(shù)學(xué)示范教案：第三章三角恒等變換

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

教學(xué)分析本章三角函數(shù)模型是主線，三角變形是關(guān)鍵．三角函數(shù)及其三角恒等變形不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)中學(xué)后續(xù)內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因而成為高考中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法考查的重要內(nèi)容之一．本章特點(diǎn)是公式多，但積化和差與和差化積公式不要求記憶．切實(shí)掌握三角函數(shù)的基本變形思想是復(fù)習(xí)掌握好本章的關(guān)鍵．三角函數(shù)的恒等變形，不僅在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問題中應(yīng)用,而且在研究第一章三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)、在后續(xù)內(nèi)容解三角形中也應(yīng)用廣泛．解決三角函數(shù)的恒等變形問題，其關(guān)鍵在掌握基本變換思想，運(yùn)用三角恒等變形的主要途徑-—變角，變函數(shù)，變結(jié)構(gòu)，注意公式的靈活應(yīng)用．三角恒等變形是一種基本技能，從題型上一般表現(xiàn)為對(duì)三角式的化簡(jiǎn)、求值與證明．對(duì)所給三角式進(jìn)行三角恒等變形時(shí)，除使用三角公式外,一般還需運(yùn)用代數(shù)式的運(yùn)算法則或公式．如平方差公式、立方差公式等．對(duì)三角公式不僅要掌握其“原形”，更要掌握其“變形”，解題時(shí)才能真正達(dá)到運(yùn)用自如，左右逢源的境界．基本變形思想主要是:①化成“三個(gè)一”：即化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的一次方的形式y(tǒng)＝Asin（ωx＋φ）；②化成“兩個(gè)一”:即化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的二次型結(jié)構(gòu),再用配方法求解；③“合二為一”：對(duì)于形如asinθ＋bcosθ的式子，引入輔助角φ并化成eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ)的形式(但在這里不要增加難度，僅限于特殊值、特殊角即可）．高考對(duì)整個(gè)三角問題的考查主要集中在三個(gè)方面，一是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，包括：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等等；二是三角式的恒等變形,包括：化簡(jiǎn)、證明、直接求值、條件求值、求最值等；三是三角綜合運(yùn)用．特別是結(jié)合下一章的解三角形及與向量的交匯更是高考經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)．因此復(fù)習(xí)中要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,利用向量的工具性,靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題，掌握化簡(jiǎn)和求值問題的解題規(guī)律和途徑．學(xué)完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是溝通代數(shù)、幾何、與三角函數(shù)的一種重要工具，三角函數(shù)又具有較強(qiáng)的滲透力，切實(shí)提高三角函數(shù)的綜合能力是復(fù)習(xí)好本章的保證．因此，我們可以通過整合，將三角函數(shù),平面向量結(jié)成一個(gè)知識(shí)板塊來復(fù)習(xí)，并進(jìn)行三角與向量相融合的綜合訓(xùn)練，這樣更有利于學(xué)生對(duì)平面向量、三角函數(shù)及三角恒等變形的深刻理解及運(yùn)用．三維目標(biāo)1．通過復(fù)習(xí)全章知識(shí)方法，掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正確地運(yùn)用上述公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值、證明較簡(jiǎn)單的三角恒等式以及解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．2．掌握簡(jiǎn)單的三角恒等變形的基本思想方法，并結(jié)合向量解決一些基本的綜合問題．3．通過三角恒等變換體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯性的特征，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的化歸思想、方程思想和代換意識(shí)，認(rèn)識(shí)事物之間是相互依存、相互聯(lián)系的．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：和角公式、差角公式、倍角公式及其靈活應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等變形中的綜合運(yùn)用．課時(shí)安排1課時(shí)

eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)在第一章三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，我們一起又探究學(xué)習(xí)了第三章簡(jiǎn)單三角恒等變形的有關(guān)知識(shí),并掌握了一定的分析問題與解決問題的方法，提高了我們的思維能力與運(yùn)算能力．現(xiàn)在我們一起對(duì)本章進(jìn)行小結(jié)與復(fù)習(xí)，進(jìn)一步鞏固本章所學(xué)的知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)們畫出本章的知識(shí)框圖，由此進(jìn)入復(fù)習(xí)．思路2.(問題導(dǎo)入)本章學(xué)習(xí)了幾個(gè)公式？推導(dǎo)這些公式的過程中你用到了哪些基本的數(shù)學(xué)思想方法?你是從哪幾個(gè)基本方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特點(diǎn)的?它們之間存在著怎樣的邏輯關(guān)系?三角式的變形與代數(shù)式的變形有什么相同點(diǎn)?有什么不同點(diǎn)？對(duì)三角函數(shù)式特點(diǎn)的分析對(duì)你提高三角恒等變形的能力有什么幫助？通過學(xué)生解決這些問題展開全章的復(fù)習(xí)．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知識(shí)回顧）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題)）1列出本章所學(xué)的公式，理清它們之間的關(guān)系，回顧、思考并回答：推導(dǎo)這些公式的過程中你用到了哪些基本的數(shù)學(xué)思想方法？你是從哪幾個(gè)基本方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特點(diǎn)的？它們之間存在著怎樣的邏輯關(guān)系？三角式的變形與代數(shù)式的變形有什么相同點(diǎn)?有什么不同點(diǎn)？三角函數(shù)式特點(diǎn)的分析對(duì)你提高三角恒等變形的能力有什么幫助?2三角函數(shù)的變形靈活性大、方法多,回顧從前所學(xué)，三角變形都有哪些？3如果對(duì)三角函數(shù)變形題型進(jìn)行歸類，那么回顧從前所學(xué),常見的基本題型有哪些？活動(dòng)：?jiǎn)栴}（1),本章的三角恒等變換公式中,余弦的差角公式是其他公式的基礎(chǔ)，由它出發(fā)，用－β代替β，±β代替β，α＝β等換元法就可以推導(dǎo)出其他公式．見下表：和差正、余弦公式和差正切公式二倍角公式半角公式積化和差cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβtan(α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）tan（α－β)＝eq\f（tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αsineq\f（α,2）＝±eq\r(\f（1－cosα，2）)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)）taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f（1－cosα，1＋cosα))（不作記憶)（略)教師引導(dǎo)學(xué)生用類比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)來理解這些公式的邏輯關(guān)系,認(rèn)識(shí)公式的特點(diǎn)，聯(lián)想與代數(shù)運(yùn)算的相同與不同之處；三角函數(shù)的恒等變形，是運(yùn)用三角公式，變換三角表達(dá)式中的函數(shù)、角度和結(jié)構(gòu)，把一個(gè)表達(dá)式變形成另一個(gè)與它等價(jià)的表達(dá)式．三角恒等變形是代數(shù)式恒等變形的推廣和發(fā)展；進(jìn)行三角恒等變形，除了要熟練運(yùn)用代數(shù)恒等變形的各種方法，還要抓住三角本身的特點(diǎn),領(lǐng)會(huì)和掌握最基本最常見的變形．教師要引導(dǎo)學(xué)生明確三角變換不僅有三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式變形，而且還有角的變形，以及不同三角函數(shù)之間的變形,使學(xué)生領(lǐng)悟有關(guān)公式在變形中的作用和用法，學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)選擇和設(shè)計(jì)變換思路．并讓學(xué)生體會(huì)到通過三角恒等變形的探究訓(xùn)練，能大大提高他們的推理能力和運(yùn)算能力．問題（2),教師引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)，在學(xué)生探索時(shí)適時(shí)點(diǎn)撥,常見的變形有:①公式變形，數(shù)學(xué)公式變形的方法多種多樣，揭示數(shù)學(xué)公式變形的一般規(guī)律對(duì)深化公式教學(xué)會(huì)有積極的意義．由于公式中的字母可以代表數(shù)、式、函數(shù)等有數(shù)學(xué)意義的式子，因此可以根據(jù)需要對(duì)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理，或代換，或迭代,或取特殊值等等．如:tanα＋tanβ＝tan（α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f（tanα＋tanβ,tanα＋β），1＝tanαtanβ＋eq\f（tanα＋tanβ，tanα＋β），1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．②角的變形，角度變形是三角函數(shù)恒等變形的首選方法，在進(jìn)行三角恒等變形時(shí)，對(duì)角之間關(guān)系必須進(jìn)行認(rèn)真的觀察聯(lián)想，分析角之間的和、差、倍、分關(guān)系．在數(shù)值角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)中，要特別注意是否能夠產(chǎn)生特殊角；熟悉兩角互余、互補(bǔ)的各種形式；或者引入輔助角進(jìn)行角的變形等．如:α＝（α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；eq\f(π，4)－α＝eq\f（π,2）－（eq\f(π，4）＋α）；eq\f(π，6)＋α＝eq\f（π,2）－（eq\f（π,3）－α）等．還需熟練掌握一些常見的式子：如:sinx±cosx＝eq\r(2)sin（x±eq\f(π,4)），sinx±eq\r（3）cosx＝2sin(x±eq\f（π，3)）等．問題（3)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)，適時(shí)地點(diǎn)撥學(xué)生,常見三角恒等變形的基本題型有求值、化簡(jiǎn)、證明．對(duì)于求值，常見的有給角求值、給值求值、給值求角．①給角求值的關(guān)鍵是正確地分析角之間的關(guān)系，準(zhǔn)確地選用公式，要注意產(chǎn)生特殊角，同時(shí)把非特殊角的三角函數(shù)值相約或相消，從而求出三角函數(shù)式的值;②給值求值的關(guān)鍵是分析已知式與待求式之間角、函數(shù)、結(jié)構(gòu)間差異，有目的地將已知式、待求式的一方或兩方加以變形，找出它們之間的聯(lián)系，最后求出待求式的值；③給值求角的關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)值，其次判斷該角對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最后求出角．對(duì)于化簡(jiǎn),有兩種常見的形式，①未指明答案的恒等變形，這時(shí)應(yīng)把結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式;②根據(jù)解題需要將三角函數(shù)式化為某種特定的形式，例如一角一函數(shù)的形式,以便研究它的各種性質(zhì)．無論是何種形式的化簡(jiǎn)，都要切實(shí)注意角度變形、函數(shù)變形等各種變形．對(duì)于證明，它包括無條件的恒等式和有附加條件恒等式的證明．①無條件恒等式的證明,需認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)，角度、函數(shù)、結(jié)構(gòu)的差異,一般由繁的一邊往簡(jiǎn)的一邊證，逐步消除差異，最后達(dá)到統(tǒng)一．對(duì)于較難的題目，可以用分析法幫助思考，或分析法和綜合法聯(lián)用．②有附加條件的恒等式的證明，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件,需認(rèn)真分析條件式和結(jié)論式中三角函數(shù)之間的聯(lián)系，從分析過程中發(fā)現(xiàn)條件應(yīng)怎樣利用,證明這類恒等式時(shí),還常常用到消元法和基本量方法．討論結(jié)果：（1)～(3)略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例1（1）化簡(jiǎn)tan2Atan(30°－A）＋tan2A·tan（60°－A）＋tan(30°－A)tan（60°－A)；(2）已知α為銳角，且tanα＝eq\f（1，2），求eq\f（sin2αcosα－sinα，sin2αcos2α)的值．活動(dòng)：本例是一個(gè)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題，屬于給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些三角函數(shù)式的值．關(guān)鍵是正確運(yùn)用三角變換公式及常用思想方法，探索已知式與欲求式之間的差異和聯(lián)系的途徑和方法．教師可以大膽放手，讓學(xué)生自己獨(dú)立探究，必要時(shí)給予適時(shí)的點(diǎn)撥引導(dǎo)．但要讓學(xué)生明白，從高考角度來看,關(guān)于三角函數(shù)求值問題是個(gè)重要題型、命題熱點(diǎn)，一直備受高考的青睞．因?yàn)槿呛瘮?shù)求值問題能綜合考查考生三角變形、代數(shù)變形的基本運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用公式、合理選用公式、準(zhǔn)確選擇解題方向的思維能力，且題目的答案可以簡(jiǎn)單明了．并讓學(xué)生明了解決這類問題時(shí)應(yīng)在認(rèn)準(zhǔn)目標(biāo)的前提下，從結(jié)構(gòu)式的特點(diǎn)去分析，以尋找到合理、簡(jiǎn)捷的解題方法，切忌不分青紅皂白地盲目運(yùn)用三角公式．比如在本例的（1)中，首先應(yīng)想到將倍角化為單角這一基本的轉(zhuǎn)化方法．教師還應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生思考，求三角函數(shù)式的值必須明確求值的目標(biāo)．一般來說，題設(shè)中給出的是一個(gè)或某幾個(gè)特定角，即便這些角都不是特殊角，其最終結(jié)果也應(yīng)該是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)；題設(shè)中給出的是某種或幾種參變量關(guān)系，其結(jié)果既可能是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)，也可能是含參變量的某種代數(shù)式．如本例的(2)中，目標(biāo)是“弦”且是“和差角"，而條件是“切"且是“單角"．在學(xué)生探討向目標(biāo)轉(zhuǎn)化的過程中，由于視角不同,思考方式不同,學(xué)生會(huì)有多種解法，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生一題多解,對(duì)新穎解法給予表揚(yáng)．解：(1)∵tan（90°－2A)＝tan[(30°－A)＋（60°－A)］＝eq\f（tan30°－A＋tan60°－A,1－tan30°－Atan60°－A）,∴tan（30°－A）＋tan（60°－A）＝tan(90°－2A）[1－tan（30°－A)tan(60°－A）]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan（30°－A）tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A）[1－tan(30°－A）tan(60°－A)]＋tan(30°－A）tan（60°－A)＝1－tan(30°－A)tan（60°－A）＋tan（30°－A）tan(60°－A）＝1.（2）原式＝eq\f(2sinαcosα·cosα－sinα，2sinαcosα·cos2α)＝eq\f（sinα2cos2α－1,2sinαcosα·cos2α)＝eq\f(cos2α，2cosα·cos2α)＝eq\f（1,2cosα）?！遲anα＝eq\f（1，2），又α∈（0，eq\f（π,2))，即2sinα＝cosα.又由sin2α＋cos2α＝1,∴cosα＝eq\f(2,\r(5）).∴eq\f(sin2αcosα－sinα,sin2αcos2α)＝eq\f（\r（5)，4）。點(diǎn)評(píng)：本題主要回顧了和差公式、二倍角公式的使用，及三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值題目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以從方程觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行變形也是一種行之有效的變形辦法．由此產(chǎn)生逆變公式、整體變形公式等方法的靈活運(yùn)用，本例的兩問的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的．學(xué)生解決完后，教師應(yīng)抓住這最佳時(shí)機(jī),留出一定的時(shí)間讓學(xué)生反思、領(lǐng)悟解決問題所用到的化歸等數(shù)學(xué)思想方法。變式訓(xùn)練1。eq\f(sinα＋30°＋cosα＋60°，2cosα）＝__________。解析：eq\f(sinα＋30°＋cosα＋60°,2cosα)＝eq\f（cosα,2cosα)＝eq\f（1，2）.答案:eq\f（1,2）2．已知sin（α＋β)＝eq\f(2，3)，sin（α－β）＝eq\f（1，5),求eq\f(tanα，tanβ)的值．解法一:由已知條件及正弦的和（差)角公式，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinαcosβ＋cosαsinβ＝\f(2，3），,sinαcosβ－cosαsinβ＝\f(1,5),)）∴sinαcosβ＝eq\f（\f(2，3)＋\f（1，5）,2）＝eq\f（13，30），cosαsinβ＝eq\f（\f(2,3）－\f(1，5),2）＝eq\f(7，30）.∴eq\f(tanα，tanβ）＝eq\f（sinαcosβ,cosαsinβ）＝eq\f(13,30）×eq\f（30，7)＝eq\f(13，7）。解法二：(設(shè)未知數(shù)）令x＝eq\f(tanα,tanβ），∵eq\f（sinα＋β，sinα－β)＝eq\f(2，3）×eq\f（5，1)＝eq\f（10，3）＝eq\f（\f(sinα＋β，cosαcosβ）,\f（sinα－β,cosαcosβ))＝eq\f（tanα＋tanβ,tanα－tanβ）＝eq\f(\f（tanα,tanβ）＋1,\f（tanα,tanβ)－1)＝eq\f(x＋1，x－1）.解之,得eq\f(tanα,tanβ）＝x＝eq\f(13,7）.例2已知α、β∈（0，eq\f(π,4）)，且3sinβ＝sin(2α＋β），4taneq\f（α，2）＝1－tan2eq\f(α，2），求α＋β的值．活動(dòng):本題屬于給值求角，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，教師應(yīng)在學(xué)生探究中適時(shí)給予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，但不要忽視對(duì)所求角的范圍的討論．即解決“給值求角"問題是由兩個(gè)關(guān)鍵步驟構(gòu)成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．另外,求角一般都通過三角函數(shù)值來實(shí)現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，如本例,聯(lián)想條件的形式,確定目標(biāo)選用和角的正切．這點(diǎn)要提醒學(xué)生在解題過程中細(xì)細(xì)體會(huì)，領(lǐng)悟其要領(lǐng),掌握其實(shí)質(zhì)．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin［（α＋β)＋α］，3sin（α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα,∵α、β∈（0，eq\f(π,4））,∴0〈α＋β〈eq\f(π，2）.∴cos（α＋β）≠0，cosα≠0?！鄑an（α＋β）＝2tanα.由4taneq\f（α,2）＝1－tan2eq\f(α,2)，得eq\f（4tan\f（α,2),1－tan2\f(α，2））＝1，即得2tanα＝1，代入tan(α＋β）＝2tanα,得tan（α＋β）＝1.又0<α＋β<eq\f（π,2），∴α＋β＝eq\f(π,4).點(diǎn)評(píng)：本題通過變形轉(zhuǎn)化為已知三角函數(shù)值求角的問題，關(guān)鍵在于對(duì)角的范圍的討論,注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時(shí),根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，從而求出準(zhǔn)確角。變式訓(xùn)練已知tan(α－β）＝eq\f（1,2)，tanβ＝－eq\f(1，7）,且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2（α－β）＋β，tan(α－β)＝eq\f（1,2)，∴tan2(α－β)＝eq\f（2tanα－β,1－tan2α－β)＝eq\f(4，3).從而tan（2α－β)＝tan［2（α－β)＋β］＝eq\f(tan2α－β＋tanβ，1－tan2α－βtanβ）＝eq\f（\f(4，3)－\f（1，7)，1＋\f（4，3)×\f(1,7)）＝eq\f(\f(25，21),\f（25，21)）＝1。又∵tanα＝tan［（α－β)＋β］＝eq\f(tanα－β＋tanβ，1－tanα－βtanβ)＝eq\f（1,3）〈1，且0〈α〈π,∴0<α<eq\f(π,4).∴0<2α<eq\f(π，2）。又tanβ＝－eq\f(1，7)〈0,且β∈（0，π)，∴eq\f(π，2）<β<π,－π<－β〈－eq\f（π，2).∴－π〈2α－β<0?！?α－β＝－eq\f(3π,4)。思路2例題已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋eq\r(3）sinωxsin（ωx＋eq\f（π，2））（ω〉0)的最小正周期為π.（1)求ω的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f（2π,3)］上的取值范圍．解:(1）f(x)＝eq\f(1－cos2ωx，2)＋eq\f(\r(3),2）sin2ωx＝eq\f（\r(3）,2)sin2ωx－eq\f（1，2）cos2ωx＋eq\f(1，2)＝sin（2ωx－eq\f(π，6））＋eq\f(1,2)。因?yàn)楹瘮?shù)f(x）的最小正周期為π，且ω〉0，所以eq\f（2π，2ω）＝π。解得ω＝1。(2）由（1)得f(x）＝sin(2x－eq\f(π，6)）＋eq\f(1，2）。因?yàn)?≤x≤eq\f(2π，3)，所以－eq\f(π，6)≤2x－eq\f(π，6)≤eq\f（7π,6）.所以－eq\f（1,2）≤sin（2x－eq\f（π,6））≤1.因此0≤sin(2x－eq\f（π,6）)＋eq\f（1，2）≤eq\f(3,2），即f(x）的取值范圍為[0,eq\f(3，2）］．例2已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1(x∈R，ω>0）的最小正周期是eq\f(π,2）.(1)求ω的值；(2）求函數(shù)f（x）的最大值，并且求使f(x）取得最大值的x的集合．解：f（x)＝2eq\f(1＋cos2ωx，2）＋sin2ωx＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝eq\r(2）（sin2ωxcoseq\f（π，4)＋cos2ωxsineq\f（π，4））＋2＝eq\r(2）sin(2ωx＋eq\f（π,4）)＋2。由題設(shè)，函數(shù)f（x)的最小正周期是eq\f（π,2),可得eq\f（2π，2ω)＝eq\f(π，2)，所以ω＝2.（2）解：由（1)知，f（x)＝eq\r(2)sin（4x＋eq\f(π,4））＋2.當(dāng)4x＋eq\f（π，4)＝eq\f(π，2)＋2kπ，即x＝eq\f(π，16）＋eq\f(kπ,2）（k∈Z)時(shí),sin(4x＋eq\f（π，4))取得最大值1，所以函數(shù)f（x)的最大值是2＋eq\r(2)，此時(shí)x的集合為{x｜x＝eq\f（π，16）＋eq\f（kπ，2),k∈Z}．例3求函數(shù)y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值與最小值．解：y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x（1－cos2x）＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝（1－sin2x）2＋6。由于函數(shù)z＝(u－1）2＋6在[－1，1]中的最大值為zmax＝(－1－1）2＋6＝10，最小值為zmin＝（1－1)2＋6＝6，故當(dāng)sin2x＝－1時(shí)，y取得最大值10；當(dāng)sin2x＝1時(shí)，y取得最小值6.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)））1．先由學(xué)生總結(jié)歸納本節(jié)所復(fù)習(xí)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法，明確三角恒等變換所涉及的公式,主要是和角公式、差角公式、倍角公式，這些公式主要用于三角函數(shù)式的計(jì)算、化簡(jiǎn)與推導(dǎo)，它們?cè)跀?shù)學(xué)和許多其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用,必須熟練掌握，并搞清這些公式的邏輯關(guān)系和推導(dǎo)公式過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法．2．教師強(qiáng)調(diào)，對(duì)一些公式不僅會(huì)用，還會(huì)逆用、變形用．三角函數(shù)是三角變形的對(duì)象,在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，要認(rèn)清三角函數(shù)式的角的特征、函數(shù)名稱的特征和式子結(jié)構(gòu)特征，以便使用恰當(dāng)?shù)淖冃问侄?，巧妙地解決問題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)課本本章鞏固與提高7、8.eq\o(\s\up7(),\s\do5（設(shè)計(jì)感想））1．本節(jié)為全章復(fù)習(xí)課，教案設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：通過設(shè)計(jì)的教學(xué)程序,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)全章，甚至對(duì)涉及前兩章的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行全面地復(fù)習(xí)整合,在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高他們分析問題、解決問題的能力．2．本章在新課程中的位置是承上啟下，前有三角函數(shù),后有解三角形,所以三角函數(shù)式的恒等變形是解決有關(guān)三角問題的重要環(huán)節(jié)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教師在指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)悟這一點(diǎn)．3．三角函數(shù)公式眾多,教學(xué)時(shí)要充分體現(xiàn)新課標(biāo)的“以學(xué)生發(fā)展為本”的新理念，讓學(xué)生親自探究體驗(yàn)，切忌被動(dòng)學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械的訓(xùn)練．在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換時(shí)，注意點(diǎn)撥學(xué)生從三角函數(shù)名稱和角的差異雙角度去綜合分析，再從差異的分析中決定三角公式的選取，不可生搬硬套題型．eq\o（\s\up7（)，\s\do5(備課資料)）備用習(xí)題1．f（x)＝2cos2x＋eq\r（3）sin2x＋a(a為實(shí)常數(shù)）在區(qū)間[0，eq\f(π，2)]上的最小值為－4，那么a的值等于()A．4B．－6C．－4D．－32．函數(shù)y＝sin6x＋cos6x的最小正周期是（)A.eq\f（π，4)B。eq\f(π,6)C．πD.eq\f(π，2)3．設(shè)a＝2cos228°－1，b＝eq\f(\r（2）,2)（cos18°－sin18°）,c＝logeq\f(1,2)eq\f（\r(2），2)，則（)A．a(chǎn)〈b〈cB．b〈a〈cC．b〈c〈aD．c<b〈a4．若α是銳角,且sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2）cos(α＋eq\f(π，4)）等于（）A.eq\f(7,5)B。eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D．－eq\f(1，5)5．函數(shù)y＝sin（x－eq\f(π，6))·cosx的最小值為()A。eq\f(\r（2）,2)B．－eq\f(\r（2），2)C．－eq\f(3，4)D。eq\f(1，2)6．設(shè)向量a＝（cos23°,cos67°），b＝(cos53°，cos37°)，則a·b等于()A.eq\f（\r（3)，2)B。eq\f(1，2）C．－eq\f（\r(3)，2）D．－eq\f（1，2)7．設(shè)p＝cosα·cosβ，q＝cos2eq\f(α＋β，2），那么p、q的大小關(guān)系是（)A．p＞qB．p＜qC．p≤qD．p≥q8．已知sin(α＋β）＝－eq\f(3,5)，sin(α－β）＝eq\f(3，5)，且α－β∈(eq\f（π，2），π），α＋β∈（eq\f(3π,2），2π）,則cos2β等于（）A．－1B．1C。eq\f(24,25)D．－eq\f(4，5)9．已知函數(shù)f（x）＝eq\f（6cos4x－5cos2x＋1,cos2x)，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域．10．化簡(jiǎn)：（eq\f(3,sin2140°)－eq\f（1，cos2140°）)·eq\f（1,2sin10°)。11．一元二次方程mx2＋（2m－3)x＋m－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為tanα和tanβ，求tan(α＋β)的取值范圍及其最小值．12．設(shè)向量a＝（cos（α＋β），sin(α＋β）），b＝(cos（α－β）,sin(α－β）），且a＋b＝（eq\f（4,5)，eq\f(3，5)），（1）求tanα；（2）求eq\f（2cos2\f(α，2)－3sinα－1，\r(2)sinα＋\f(π，4）).13．觀察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3，4），sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f（3,4),sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4）。分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式,并對(duì)等式的正確性作出證明．參考答案：1．C∵f（x）＝1＋cos2x＋eq\r（3）sin2x＋a＝2sin（2x＋eq\f（π,6））＋a＋1,∵x∈［0，eq\f（π，2)]，∴2x＋eq\f（π,6）∈［eq\f（π,6），eq\f(7π，6）]．∴f(x）的最小值為2×（－eq\f（1，2)）＋a＋1＝－4。∴a＝－4。2．D∵y＝sin6x＋cos6x＝（sin2x＋cos2x)（sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝1－3sin2xcos2x＝1－eq\f(3,4）sin22x＝eq\f（3，8）cos4x＋eq\f(5，8),∴T＝eq\f（π，2）。3．C4。B5．C∵y＝eq\f(1，2)[sin（2x－eq\f（π,6)）＋sin（－eq\f（π，6））］＝eq\f（1,2)sin（2x－eq\f(π,6))－eq\f（1，4），∵sin（2x－eq\f（π,6）)∈［－1，1]，∴ymin＝－eq\f（3,4).6．A7.C8.A9．解：由cos2x≠0，得2x≠kπ＋eq\f(π，2），解得x≠eq\f(kπ，2）＋eq\f（π,4）(k∈Z）．所以f(x）的定義域?yàn)閧x｜x∈R且x≠eq\f（kπ，2）＋eq\f（π,4)，k∈Z｝．因?yàn)閒（x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f（－x)＝eq\f（6cos4－x－5cos2－x＋1，cos－2x)＝eq\f（6cos4x－5cos2x＋1，cos2x）＝f(x)，所以f（x）是偶函數(shù)．又當(dāng)x≠eq\f（kπ,2)＋eq\f（π,4)（k∈Z)時(shí),f（x）＝eq\f(6cos4x－5cos2x＋1,cos2x)＝eq\f（2cos2x－13cos2x－1，cos2x)＝3cos2x－1，所以f（x)的值域?yàn)閧y|－1≤y＜eq\f(1,2）或eq\f(1，2）＜y≤2}．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力．關(guān)鍵在于從定義域入手，對(duì)函數(shù)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)整理．10．解：原式＝eq\f(3cos2140°－sin2140°,sin2140°cos2140°)·eq\f(1，2sin10°)＝eq\f(\r（3）cos140°－sin140°\r（3)cos1