第十一章 三角形（5類壓軸題專練）

第十一章三角形（壓軸題專練）【題型一三角形中高線的綜合問(wèn)題】1.已知：點(diǎn)，，，，過(guò)點(diǎn)Ｃ是作y軸的垂線m，垂足為C．

(1)如圖1，連接、，求的面積；(2)如圖2，延長(zhǎng)BA交直線m交于點(diǎn)D，在CD上存在點(diǎn)P，使，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫圖探究：若點(diǎn)P是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，連接,當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)2．“等面積法”是解決三角形內(nèi)部線段長(zhǎng)度的常用方法．如圖1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在題干的基礎(chǔ)上，①如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，作，，設(shè)，，求證：；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(2)如圖4，在中，，，，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，求的最小值．3．在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)，，且a，b滿足，將線段向上平移k個(gè)單位得到線段．

(1)直接寫出______，______；(2)如圖1，點(diǎn)E為線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段上任意一點(diǎn)，．點(diǎn)G為線段與線段之間一點(diǎn)，連接，．且，，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，過(guò)點(diǎn)C作直線軸，點(diǎn)M為直線l上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交l于K；①用面積法求K點(diǎn)坐標(biāo)；②若的面積為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【題型二三角形中中線的綜合問(wèn)題】1.【問(wèn)題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因?yàn)楦呦嗤?，所以，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形的各邊，使得點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．2．基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖1，是邊上的中線，則．理由：因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以．又因?yàn)?，，所以．所以三角形中線等分三角形的面積．基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，的面積為a．(1)如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，使，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)E，使，，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接，，得到（如圖4）．若陰影部分的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；拓展應(yīng)用：(4)如圖5，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，且的面積為，則的面積為_(kāi)（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由．3．閱讀與理解：三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，是中邊上的中線，則．理由：，，即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，的面積為．(1)如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，使，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)，使，，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示），并寫出理由；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，得到（如圖．若陰影部分的面積為，則___________；（用含的代數(shù)式表示）拓展與應(yīng)用：(4)如圖5，已知四邊形的面積是，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)O，求圖中陰影部分的面積？【題型三三角形中角平分線的綜合問(wèn)題】1.已知，，點(diǎn)C是直線，下方一點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，分別平分和，所在的直線相交于點(diǎn)H，若，求的度數(shù)；（用含的式子表示）(3)如圖3，若，分和兩部分，且，，直線，相交于點(diǎn)H，則____________．（用含n和的式子表示）2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）兩點(diǎn)，并且a，b滿足．(1)請(qǐng)直接寫出a，b的值；(2)如圖1，BC⊥x軸于點(diǎn)C，AB交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)F（m，n）在線段AB上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求m與n滿足的關(guān)系式；(3)如圖2，若CF，BE分別是△ABC的高與角平分線，BE交CF于點(diǎn)G，CH平分∠ECG，交BE于點(diǎn)H，求證：CH⊥BE．【題型四三角形內(nèi)角和與外角和的綜合問(wèn)題】1.在中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，．①若，則______°；②試寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；④若，請(qǐng)說(shuō)明；(2)如圖2，交于點(diǎn)，，直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系．2．（1）如圖①所示，中，點(diǎn)是和的平分線的交點(diǎn)，若，則_____________（用表示）；不用說(shuō)明理由，直接填空．如圖②所示，，，若，則____________（用表示），不用說(shuō)明理由，直接填空．

（2）如圖③所示，，，若，則___________（用表示），填空并說(shuō)明理由．3．已知點(diǎn)在射線上，．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，垂足為，交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．4．在中，，平分，點(diǎn)F為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且于點(diǎn)D．

(1)如圖1，如果點(diǎn)F在線段上，且，，則______．(2)如果點(diǎn)F在的外部，分別作出和的角平分線，交于點(diǎn)K，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，探究、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)如圖3，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，、分別平分和的外角，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，且，求的度數(shù)．【題型五多邊形的內(nèi)角和與外角和綜合問(wèn)題】1.【感知】如圖1所示，在四邊形中，分別是邊的延長(zhǎng)線，我們把稱為四邊形的外角，若，則___________；【探究】如圖2所示，在四邊形中，分別是邊的延長(zhǎng)線，我們把稱為四邊形的外角，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【應(yīng)用】如圖3所示，分別是四邊形的外角的平分線，若，則的度數(shù)為_(kāi)__________．

2．觀察圖形，按要求完成：(1)在四邊形中，，．

①如圖，若，則=________；②如圖，若的平分線交于點(diǎn)、且，則________；③如圖，若和的平分線相交于點(diǎn)，則________；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，若和的平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明與之間的數(shù)量關(guān)系．3．動(dòng)手操作，探究：探究一：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？(1)已知：如圖，在中，分別平分和，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)探究二：若將改為任意四邊形呢？已知：如圖，在四邊形中，分別平分和，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究與的數(shù)量關(guān)系；（寫出說(shuō)理過(guò)程）(3)探究三：若將上題中的四邊形改為六邊形（圖（3））呢？請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：.4．如圖1，我們分別研究過(guò)三角形中兩內(nèi)角平分線所成的、兩外角平分線所成的、一內(nèi)角一外角平分線所成的與的關(guān)系.(1)如圖2，在四邊形中，、分別平分和，則與，的數(shù)量關(guān)系為.(2)如圖3，在四邊形中，、分別平分和，請(qǐng)?zhí)骄颗c，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)在四邊形中，為的平分線與邊和延長(zhǎng)線所成角的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，若設(shè)，，則.（用α、β表示）

第十一章三角形（壓軸題專練）答案全解全析【題型一三角形中高線的綜合問(wèn)題】1.已知：點(diǎn)，，，，過(guò)點(diǎn)Ｃ是作y軸的垂線m，垂足為C．

(1)如圖1，連接、，求的面積；(2)如圖2，延長(zhǎng)BA交直線m交于點(diǎn)D，在CD上存在點(diǎn)P，使，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫圖探究：若點(diǎn)P是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，連接,當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)．【答案】(1)3(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)或，(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得，則，即可得；（2）設(shè)，根據(jù)的面積：，解得，根據(jù)得，或，進(jìn)行計(jì)算即可得；（3）設(shè)，根據(jù)得，解得，根據(jù)得，計(jì)算得，則，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，即可得．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴的面積：；（2）解：如圖2所示，設(shè)，

的面積：，，∵，∴，或，解得，或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)或；（3）解：如圖3中，設(shè)，

，，，∵，∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積，平行線的性質(zhì)，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．2．“等面積法”是解決三角形內(nèi)部線段長(zhǎng)度的常用方法．如圖1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在題干的基礎(chǔ)上，①如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，作，，設(shè)，，求證：；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(2)如圖4，在中，，，，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，求的最小值．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②猜想：，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解；②作，，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，，過(guò)作于，過(guò)作于，根據(jù)求得，進(jìn)而根據(jù)求得，由，可得當(dāng)，，共線，且時(shí)，和最小，最小值為的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）①∵∴即

∴②猜想：理由如下：，作，，∵即即∴

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，則、、、共線，∴，過(guò)作于，過(guò)作于，∵∴∴∵即∴∵當(dāng)，，共線，且時(shí)，和最小，最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高的定義，垂線段最短，熟練掌握等面積法求線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)，，且a，b滿足，將線段向上平移k個(gè)單位得到線段．

(1)直接寫出______，______；(2)如圖1，點(diǎn)E為線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段上任意一點(diǎn)，．點(diǎn)G為線段與線段之間一點(diǎn)，連接，．且，，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，過(guò)點(diǎn)C作直線軸，點(diǎn)M為直線l上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交l于K；①用面積法求K點(diǎn)坐標(biāo)；②若的面積為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)6；(2)(3)①；②或【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性求值即可；（2）設(shè)，，則，，過(guò)O作，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，過(guò)G作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可求出結(jié)果；（3）①如圖，連接，設(shè)，根據(jù)，得出，求出即可；②設(shè)，根據(jù)，得出，求出或即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，故答案為：6；．（2）解：由平移的性質(zhì)得：，設(shè)，，則，，過(guò)O作，如圖所示：

則，∴，，∴，即，∴，過(guò)G作，則，∴，，∴；（3）解：①如圖，連接，

∵，∴，，設(shè)，∵，∴，解得：，∴K點(diǎn)坐標(biāo)為；②設(shè)，∵，∴，解得：或，∴M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握平行線的性質(zhì)．【題型二三角形中中線的綜合問(wèn)題】1.【問(wèn)題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因?yàn)楦呦嗤?，所以，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形的各邊，使得點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②；（2）①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，推得是的中線，，即可證明；②設(shè)邊上的高為，根據(jù)三角形的面積公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可證明；（2）①連接，，，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得，，，，推得，，即可求得，即可證明，②由①可得，同理可證得，根據(jù)，即可推得，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵是的中線，∴，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴是的中線，∴，∴，即；②，解：設(shè)邊上的高為，則，，∵，∴，同理，則，即，∴．（2）①證明：連接，，，如圖：

∵點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，∴，，，分別為，，，的中位線，∴，，，，∴，∵，即；②15，解：由①可得，同理可證得，，即，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形是題的關(guān)鍵．2．基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖1，是邊上的中線，則．理由：因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以．又因?yàn)?，，所以．所以三角形中線等分三角形的面積．基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，的面積為a．(1)如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，使，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)E，使，，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接，，得到（如圖4）．若陰影部分的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；拓展應(yīng)用：(4)如圖5，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，且的面積為，則的面積為_(kāi)（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由．【答案】(1)a(2)2a(3)6a(4)2a，見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案；（2）連接，運(yùn)用“等底同高的三角形面積相等”得出，即可得解；（3）由（2）結(jié)論即可得出，從而得解；（4）點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，可得，．．點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，可得．從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，使，為的中線，即；（2）如圖3，連接，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)，使，，，，，即；（3）由（2）得，同理：，，；（4），理由如下：理由：∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，∴，．∴．∵點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)，等底同高的三角形面積相等，靈活運(yùn)用這個(gè)結(jié)論并適當(dāng)添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．3．閱讀與理解：三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，是中邊上的中線，則．理由：，，即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，的面積為．(1)如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，使，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)，使，，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示），并寫出理由；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，得到（如圖．若陰影部分的面積為，則___________；（用含的代數(shù)式表示）拓展與應(yīng)用：(4)如圖5，已知四邊形的面積是，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)O，求圖中陰影部分的面積？【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案；（2）連接，運(yùn)用“等底同高的三角形面積相等”得出，即可得解；（3）由（2）結(jié)論即可得出，從而得解；（4）連接，運(yùn)用“等底同高的三角形面積相等”得出，，從而得解．【詳解】（1）解：如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，使，為的中線，即；故答案為：；（2）解：如圖3，連接，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)，使，，，，，即；故答案為：；（3）解：由（2）得，同理：，，；故答案為：；（4）解：如圖5所示，連接，則，，；故陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)即等底同高的三角形面積相等，靈活運(yùn)用這個(gè)結(jié)論并適當(dāng)添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【題型三三角形中角平分線的綜合問(wèn)題】1.已知，，點(diǎn)C是直線，下方一點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，分別平分和，所在的直線相交于點(diǎn)H，若，求的度數(shù)；（用含的式子表示）(3)如圖3，若，分和兩部分，且，，直線，相交于點(diǎn)H，則____________．（用含n和的式子表示）【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作交CD于點(diǎn)F，根據(jù)證明，再利用，且，即可證明；（2）利用角平分線即四邊形內(nèi)角和等于可得：，整理可得：，由（1）可得：，可得，進(jìn)一步可求出；（3）設(shè)，，則且，，由四邊形內(nèi)角和等于可得：，即，由（1）可得：，即，可求出．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)B作交CD于點(diǎn)F，∵，∴，∵，且，∴，即．（2）解：∵，分別平分和，∴，整理可得：，由（1）可得：，∴，即，∵，∴．（3）解：∵，，設(shè)，，則且，，由四邊形內(nèi)角和等于可得：，即，由（1）可得：，∴，即，∴，整理得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等于，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵結(jié)合圖象找出角之間的關(guān)系．2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）兩點(diǎn)，并且a，b滿足．(1)請(qǐng)直接寫出a，b的值；(2)如圖1，BC⊥x軸于點(diǎn)C，AB交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)F（m，n）在線段AB上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求m與n滿足的關(guān)系式；(3)如圖2，若CF，BE分別是△ABC的高與角平分線，BE交CF于點(diǎn)G，CH平分∠ECG，交BE于點(diǎn)H，求證：CH⊥BE．【答案】(1)，(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用平方數(shù)、二次根式的非負(fù)性求解；（2）設(shè)D(0，y），利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，利用S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；利用S△ACF+S△BCF=S△ABC求m與n滿足的關(guān)系式；（3）利用BC⊥AC，CF是△ABC的高，證明∠CBF=∠ACF，再結(jié)合角平分線的定義證明∠FBE=∠GCH，進(jìn)而推出∠GHC=∠GFB=90°，即可證明CH⊥BE．【詳解】（1）解：∵，，，∴，解得：，；（2）解：設(shè)D(0，y），則，由（1）得，，∴，，∴，，，由S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC得，，解得：y=3，∴D(0，3）．∵點(diǎn)F（m，n）在線段AB上，∴△ACF中AC邊的高為n，△BCF中BC邊的高為，由S△ACF+S△BCF=S△ABC得，，化簡(jiǎn)得，；（3）證明：∵BC⊥AC，CF是△ABC的高，∴∠BCA=90°=∠BFC，∴∠CBF=90°－∠A，∠ACF=90°－∠A，∴∠CBF=∠ACF．∵BE平分∠CBA，CH平分∠ECG，∴∠FBE=∠CBF，∠GCH=∠ACF，∴∠FBE=∠GCH；∴∠GHC=180°－∠GCH－∠CGH=180°－∠FBE－∠BGF=∠GFB=90°，∴CH⊥BE．【點(diǎn)睛】本題考查平方數(shù)、二次根式的非負(fù)性，利用面積法求點(diǎn)的坐標(biāo)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等，難度一般，解第二問(wèn)的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解第三問(wèn)的關(guān)鍵是利用角度等量代換．【題型四三角形內(nèi)角和與外角和的綜合問(wèn)題】1.在中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，．①若，則______°；②試寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；④若，請(qǐng)說(shuō)明；(2)如圖2，交于點(diǎn)，，直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②，理由見(jiàn)解析；③；④見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①根據(jù)，，即可求得答案．②根據(jù)，，結(jié)合等量代換，即可求得答案．③根據(jù)②的結(jié)論，采用等量代換即可求得答案．④根據(jù)，即可求得的度數(shù)，問(wèn)題即可得證．（2）延長(zhǎng)至，根據(jù)，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可求得答案．【詳解】（1）①∵，∴．故答案為：．②．理由如下：∵，∴．即．③∵，，∴．∴．∴．④∵，，∴．∴．∴．（2）．理由如下：如圖，延長(zhǎng)至．

∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），牢記三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）如圖①所示，中，點(diǎn)是和的平分線的交點(diǎn)，若，則_____________（用表示）；不用說(shuō)明理由，直接填空．如圖②所示，，，若，則____________（用表示），不用說(shuō)明理由，直接填空．

（2）如圖③所示，，，若，則___________（用表示），填空并說(shuō)明理由．【答案】（1），．；（2）【分析】（1）平分平分可得可得由可得代入即可得出結(jié)果．（2）由，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出，代入即可求解．【詳解】解：（1）在中，，如圖①所示，平分平分如圖②所示，故答案為：(2)∵，，，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)，牢記三角形內(nèi)角和是是解此題的關(guān)鍵．3．已知點(diǎn)在射線上，．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，垂足為，交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)，即可得到，即可得證；（2）．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，有，再根據(jù)即可得到與的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)，則，，根據(jù)，即可得到，再根據(jù)，即可得到，求得的值，即可運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：理由如下：∵是的外角，∴，∵，∴，∴在中，，∴，又∵，∴；（3）設(shè)，則，∴，∵，∴，又∵，∴，∴∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴在中，，∴的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余．靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．在中，，平分，點(diǎn)F為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且于點(diǎn)D．

(1)如圖1，如果點(diǎn)F在線段上，且，，則______．(2)如果點(diǎn)F在的外部，分別作出和的角平分線，交于點(diǎn)K，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，探究、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)如圖3，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，、分別平分和的外角，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)畫圖見(jiàn)解析，，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先求出，進(jìn)而得到，，根據(jù)得到，即可求出；（2）根據(jù)題意先畫出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，則，據(jù)此即可得到答案；（3）根據(jù)得到，得到，從而求出，進(jìn)而求出，結(jié)合，得到．根據(jù)，得到，求出．從而分別求出，，，再求出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為即可求出．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：在中，，∵平分，∴，∵，∴，∵和的角平分線交于點(diǎn)K，∴，∵，∴，∴，∴；

（3）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∵、分別平分和的外角，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．∴，，∴，∵，∴，∴在四邊形中，（四邊形內(nèi)角和可以看做是兩個(gè)三角形的內(nèi)角和）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，三角形角平分線，綜合性較強(qiáng)，第（3）步難度較大．熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意進(jìn)行角的表示與代換是解題關(guān)鍵．【題型五多邊形的內(nèi)角和與外角和綜合問(wèn)題】1.【感知】如圖1所示，在四邊形中，分別是邊的延長(zhǎng)線，我們把稱為四邊形的外角，若，則___________；【探究】如圖2所示，在四邊形中，分別是邊的延長(zhǎng)線，我們把稱為四邊形的外角，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【應(yīng)用】如圖3所示，分別是四邊形的外角的平分線，若，則的度數(shù)為_(kāi)__________．

【答案】（感知）；（探究），理由見(jiàn)解析；（應(yīng)用）【分析】（感知）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的定義即可求出答案．（探究）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角的定義即可求出答案．（應(yīng)用）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角定義可求出的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義即可求出度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（感知）四邊形的內(nèi)角和為：，，，，，．故答案為：．（探究），理由如下：，．，．．（應(yīng)用）四邊形的內(nèi)角和為：，，，，，．．分別是四邊形的外角的平分線，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角和角平分線，解題的關(guān)鍵在于掌握多邊形內(nèi)角和公式，以及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．2．觀察圖形，按要求完成：(1)在四邊形中，，．

①如圖，若，則=________；②如圖，若的平分線交于點(diǎn)、且，則________；③如圖，若和的平分線相交于點(diǎn)，則________；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，若和的平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②；③(2)【分析】（1）①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解；②根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，的度數(shù)，三角形的內(nèi)角和定理即可求解；③根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）由③的計(jì)算方法，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定