11.2.2 三角形的外角

11.2.2三角形的外角基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.如圖，a//b，∠3=80°，∠1?∠2=20°，則∠1的度數(shù)是()A.30° B.40° C.50° D.80°2.如圖所示，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=20°，∠2=30°，則∠3的度數(shù)為()A.130° B.120° C.110° D.50°3.如圖，在△ABC中，∠B=32°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1?∠2的度數(shù)是()A.32° B.45° C.60° D.64°4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.一個(gè)三角形的內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角 B.三角形的外角大于任意一個(gè)內(nèi)角C.三角形的外角和是360° D.銳角三角形任意兩個(gè)內(nèi)角的和均大于5.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于()A.120° B.105° C.60° D.45°6.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE

是高線，∠BAC=50°，∠EBC=20°，則∠ADC的度數(shù)為_(kāi)_________．7.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于__________．8.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°．9.如圖，∠B+∠C+∠D+∠E?∠A=____________．10.如圖，在△ABC中，E，G分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°．(1)求證：AD//EF；(2)若DG是∠ADC的平分線，∠2=140°，求∠B的度數(shù)．能力提升練1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為_(kāi)_____．2.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________．3.如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A拓展培優(yōu)練1.[問(wèn)題情境]已知，如圖1：△ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C=180°.證明：過(guò)A點(diǎn)作DE/?/BC(過(guò)直線外有且只有一條直線與已知直線平行)(請(qǐng)按照上述思路繼續(xù)完成證明過(guò)程)．[嘗試運(yùn)用]如圖2，若∠BAC=80°，DE/?/BC且經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，∠EAF=1n∠EAC，∠CBF=1n∠ABC[拓廣探索]如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG與BG交于點(diǎn)G，若∠A=40°，求∠G的度數(shù)．

11.2.2三角形的外角基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.如圖，a//b，∠3=80°，∠1?∠2=20°，則∠1的度數(shù)是()A.30° B.40° C.50° D.80°【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠4，然后根據(jù)三角形的外角可得∠3=∠4+∠2，從而可得∠1+∠2=80°，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：∵a//b，∴∠1=∠4，∵∠3是△ABC的一個(gè)外角，∴∠3=∠4+∠2，∵∠3=80°，∴∠1+∠2=80°，∵∠1?∠2=20°，∴2∠1+∠2?∠2=100°，∴∠1=50°，故選：C．2.如圖所示，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=20°，∠2=30°，則∠3的度數(shù)為()A.130° B.120° C.110° D.50°【答案】A

【分析】本題考查了平行線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠4，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠3+∠4=180°，代入求出即可．【解答】解：如圖所示，∵∠4=∠1+∠2，∴∠4=20°+30°=50°，∵AB//CD，∴∠3+∠4=180°，∴∠3=180°?∠4=180°?50°=130°，故選：A．3.如圖，在△ABC中，∠B=32°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1?∠2的度數(shù)是()A.32° B.45° C.60° D.64°【答案】D

【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．由題意得到∠D=∠B=32°，再利用外角性質(zhì)得出∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+64°，即可求解．【解答】解：如圖所示：由題意得：∠D=∠B=32°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+64°，∴∠1?∠2=64°．故選：D．4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.一個(gè)三角形的內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角 B.三角形的外角大于任意一個(gè)內(nèi)角C.三角形的外角和是360° D.銳角三角形任意兩個(gè)內(nèi)角的和均大于【答案】B

【解析】三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角，三角形的外角和是360°5.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于()A.120° B.105° C.60° D.45°【答案】B

【分析】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先求出∠2，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，∠2=90°?45°=45°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故選：B．6.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE

是高線，∠BAC=50°，∠EBC=20°，則∠ADC的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】85°

【分析】根據(jù)角平分線定義求得∠BAD=12∠BAC，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠ABE=90°?∠BAC【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC=50°，∴∠BAD=12∠BAC=25°∵∠EBC=20°，∴∠ADC=∠ABD+∠BAD=∠ABE+∠EBC+∠BAD=40°+20°+25°=85°．故答案為：85°．7.如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于__________．【答案】105°

【解析】解：如圖，由題意得：∠2=90°?45°=45°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠1=∠2+60°，=45°+60°，=105°．故答案為：105°．先求出∠2，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°．【答案】270

9.如圖，∠B+∠C+∠D+∠E?∠A=____________．【答案】180°

10.如圖，在△ABC中，E，G分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，AB//DG，∠1+∠2=180°．(1)求證：AD//EF；(2)若DG是∠ADC的平分線，∠2=140°，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)證明：∵AB//DG，∴∠1=∠DAE，∵∠1+∠2=180°，∴∠DAE+∠2=180°，∴AD//EF；(2)解：∵AD//EF，∠2=140°，∴∠DAE=180°?∠2=180°?140°=40°，∵AB//DG，∴∠1=∠DAE=40°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠ADC=2∠1=2×40°=80°，∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B=∠ADC?∠BAD=80°?40°=40°．

【解析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．(1)由平行線的性質(zhì)可得∠1=∠DAE，由∠1+∠2=180°可得∠DAE+∠2=180°，即可證明；(2)由(1)可知∠DAE=40°，再由平行線的性質(zhì)可得∠1=40°，由角平分線的定義可得∠ADC=80°，再由三角形外角性質(zhì)即可求出∠B．能力提升練1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】40°或10°

【解析】解：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，∵∠B=50°，∴∠BCD=90°?50°=40°；②如圖2，當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°?30°?50°=100°，∴∠BCD=100°?90°=10°，綜上，則∠BCD的度數(shù)為40°或10°；故答案為：40°或10°．當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，分情況討論是本題的關(guān)鍵．2.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=__________．【答案】180°

【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠BFG=∠D+∠E，∠BGF=∠A+∠C，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．本題考查的是三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．【解答】解：如圖：∵∠BFG是△FED的外角，∠BGF是△ACG的外角，∴∠BFG=∠D+∠E，∠BGF=∠A+∠C，∵∠B+∠BFG+∠BGF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案為：180°．3.如圖，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠【答案】m2【分析】本題考查了角平分線定義及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出∠A利用角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，在根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，易證【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A∴∠A1BC=∴∠A同理可得∠A2=以此類推可知∠A故答案為m22022拓展培優(yōu)練1.[問(wèn)題情境]已知，如圖1：△ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C=180°.證明：過(guò)A點(diǎn)作DE/?/BC(過(guò)直線外有且只有一條直線與已知直線平行)(請(qǐng)按照上述思路繼續(xù)完成證明過(guò)程)．[嘗試運(yùn)用]如圖2，若∠BAC=80°，DE/?/BC且經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，∠EAF=1n∠EAC，∠CBF=1n∠ABC[拓廣探索]如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG與BG交于點(diǎn)G，若∠A=40°，求∠G的度數(shù)．【答案】[問(wèn)題情境]證明：過(guò)A點(diǎn)作DE//BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°[嘗試運(yùn)用]解：如圖2，過(guò)F作FH//BC，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠C=180°?∠BAC=100°，∵DE//BC，∴FH//DE，∴EAF=∠HFA，∵FH//BC，∴∠CBF=∠HFB，∴∠AFB=∠AFH+∠BFH=∠EAF+∠CBF，∵DE//BC，∴∠EAC=∠C，∵∠EAF=1n∠EAC∴∠AFB=∠EAF+∠CBF=1[拓廣探索]解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠ACF=∠A+∠ABC，∠GFM=∠GDE．∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，∴∠GDE=12∠ACF=∴∠GFM=1∴∠G=12【解析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)