專題21 尺規(guī)作圖（精講精練）（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第21講尺規(guī)作圖（精講）

I卜■■■■■■總■■■港■■■點(diǎn)■■■4。

1「學(xué)會(huì)作一條線段等于已知線段

2.學(xué)會(huì)作一個(gè)角等于已知角

3.學(xué)會(huì)作已知角的角平分線

4.學(xué)會(huì)過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線

5.作已知線段的垂直平分線

國(guó)考魚(yú)與猛

第21講尺規(guī)祚圖（精講）.二….................................1

考點(diǎn)1:作等線段..................................................................2

考點(diǎn)2：作等角....................................................................6

考點(diǎn)3：作角平分線...............................................................14

考點(diǎn)4：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線...........................................22

考點(diǎn)5：作垂直平分線.............................................................26

考點(diǎn)6:綜合運(yùn)用.................................................................31

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..............................................................60

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固..........................................................61

2和敘氣雙

考點(diǎn)1:作等線段

作一條線段等于已知線段

已知：線段4,作一條線段AB,AB=a?

A

作法：

①用直尺畫(huà)射線AC

②用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a

，線段AB即為所求

學(xué)有筆記

［二&制疆行新

【例題精析1】在給出的圖形中，完成以下作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）：

①作NAC8的平分線CD,交A3于點(diǎn)。；

②延長(zhǎng)3c到E,使CE=C4,連接

B

【分析】根據(jù)角平分線的定義利用直尺和圓規(guī)作出即可.

【解答】解：如圖所示：射線CD和線段CE即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，角平分線的定義，正確理解角平分線的定義是關(guān)鍵.

【例題精析2】如圖，在AABC中，ZC=90°.

（1）用尺規(guī)作NABC的平分線交AC于點(diǎn)￡＞：（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）若AD=BD,求Z4的度數(shù).

【分析】（1）利用基本作圖作NA8C的平分線即可；

（2）由8。平分NABC得到ZAB￡＞='NA8C,由AO=8。得到NA=NA8D,然后根據(jù)三

2

角形內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù).

【解答】解：（1）如圖，加＞為所作；

:.ZABD=-ZABC,

2

AD=BD,

：.ZA=ZABD,

:.ZA=-ZABC,

2

ZC=90°,

/.ZA+ZABC=90°,

即NA+2NA=90。，

/.ZA=30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

國(guó)O!珠

【對(duì)點(diǎn)精練1】用圓規(guī)、直尺作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡,

已知：如圖，線段機(jī)，

求作：線段43,使A8=2%-〃.

mn

【分析】作射線A",在射線A"上截取AB=2加，在線段84上截取3C=〃，則線段AC

即為所求.

【解答】解：如圖，線段AC即為所求.

mn

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題

型.

【對(duì)點(diǎn)精練2】如圖，已知線段射線按要求完成作圖：

（1）用圓規(guī)在射線AP上截取AC=2A8,連接C8；

（2）以AC為一邊，以C為頂點(diǎn)，在射線"上方，用三角尺作NACA7=75。；延長(zhǎng)43,

交CM于點(diǎn)D；

（3）比較線段￡）3與CB的大小，瓦）與AC的大小，并直接寫(xiě)出結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)要求作出圖形即可；（3）利用測(cè)量法解決問(wèn)

題即可.

【解答】解：（1）如圖，線段AC即為所求；

（2）如圖，射線CM即為所求；（3）利用測(cè)量法可知，BD=CB,BD>AC.

A/

{D

/B.:\

/:'A

Az-------；------才P

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【對(duì)點(diǎn)精練3】如圖，已知直線/和直線外三點(diǎn)A,B,C,請(qǐng)按下列要求畫(huà)圖：

(1)畫(huà)線段3C；(2)畫(huà)射線AC；(3)延長(zhǎng)3c到。，使得3￡)=23C;

(4)在直線/上找一點(diǎn)M,使得AM+BM最小，并說(shuō)明你的作圖依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段

最短.

C

--------------------I

A

【分析】根據(jù)線段，直線，射線的定義，兩點(diǎn)之間線段最短畫(huà)出圖形即可.

【解答】解：(1)如圖，線段3c即為所求；(2)如圖，射線AC即為所求；

(3)如圖，線段8即為所求；(4)如圖，點(diǎn)M即為所求.理由是：兩點(diǎn)之間線段最短.

故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，直線，射線，線段的定義，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是理解直線，射線，線段的定義，屬于中考?？碱}型.

圖攵曾極雄

考點(diǎn)2：作等角

作一個(gè)角等于已知角

已知：ZAOB

求作：ZAOB^ZAO'B'

作法：①以0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A與點(diǎn)D,交0B于點(diǎn)E；

②作射線O'夕

③以。'為圓心,OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OB,于點(diǎn)E

④以￡為圓心,ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交上一步所畫(huà)的弧與。’

⑤過(guò)D'作射線O'A,NAO'B'為所求

i-員制發(fā)行新

【例題精析1】已知，如圖，作△鉆。的外接圓，在上方作弦4）使4）=3。，連接

CD,并求證：CD//AB.（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】作線段AB，8C的垂直平分線交于點(diǎn)O,連接Q4,以。為圓心，為半徑作O,

以A為圓心，為半徑作弧，在川的上方交。于點(diǎn)。，連接CD即可.

【解答】解：如圖，O,線段CD即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形的外接圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基

本作圖，屬于中考?？碱}型.

三.對(duì)JL科隹

【對(duì)點(diǎn)精練1】已知：線段”，AELAF,垂足為點(diǎn)A.

求作：四邊形ABC。，使得點(diǎn)8,。分別在射線AE,AF上，且AB=BC=a,N4BC=60。,

CDIIAB.

a

AF

【分析】以A為圓心，a為半徑作弧交越于點(diǎn)3,分別以A,B為圓心，a為半徑作弧,

兩弧交于點(diǎn)C,連接3C,作GD_LAF于。，四邊形ABC。即為所求.

【解答】解：如圖，四邊形ABCD即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1]（2021?福建）如圖，已知線段仞V=a,ARVAK,垂足為A.

（1）求作四邊形ABCD,使得點(diǎn)3,。分別在射線軌，4?上，且AB=BC=a,ZABC=60。,

CDIIAB（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,Q分別為（1）中四邊形AfiCD的邊AB,CD的中點(diǎn)，求證：直線AZ）,BC,

PQ相交于同一點(diǎn).

,a,

RMN

【分析】（1）先截取他=。，再分別以A、3為圓心，〃為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C,然

后過(guò)C點(diǎn)作AR的垂線得到CD；

（2）證明：設(shè)尸。交4）于G,交4）于G，，利用平行線分線段成比例定理得到

型=型，GD=DC=2DQ=DQ則空=必，于是可判斷點(diǎn)G與點(diǎn)G，重合.

GAAPGrAAB2APAPGrAGA

【解答】（1）解：如圖，四邊形ABCD為所作；

（2）證明：設(shè)尸。交AD于G,BC交AD于G「

DQ//AP.

,GD_DQ

…GA-AP5

DC!IAB,

.GDDC

"G\4-AB

P,。分別為邊AB,CD的中點(diǎn),

:.DC=2DQ,AB=2AP,

.GDDC2DQDQ

~GA~^B~2AP-APJ

G'DGD

..---=---,

G'AGA

.?.點(diǎn)G與點(diǎn)G，重合，

直線4）,BC,PQ相交于同一點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)

合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行線分線段成比

例定理.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2]（2020?福建）如圖，C為線段/W外一點(diǎn).

（1）求作四邊形A8C。，使得CD//AB,且CD=2A8；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保

留作圖痕跡）

（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC,或）相交于點(diǎn)P,AB,C￡＞的中點(diǎn)分別為M,N,

求證：M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上.

A1--------------------'B

【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作8//AB,且8=2AB,即可作出四邊形至8；

（2）在（1）的四邊形ABC。中，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可證明M,P,N三點(diǎn)

在同一條直線上.

【解答】解：（1）如圖，四邊形ABCD即為所求；

（2）證明：如圖,

D.

CD/1AB,

:.ZABP=NCDP,ZBAP=ZDCP,

:4BPs〉CDP,

ABAP

----=----，

CDCP

AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,

:,AB=2AM,CD=2CN,

AMAP

CNPC

連接MP,NP,

ZBAP=ZDCP,

:.^APMS^CPN,

:.ZAPM=/CPN,

點(diǎn)P在AC上,

...ZAPM+/CPM=180°,

.../CPN+/CPM=180。，

.?./，P,N三點(diǎn)在同一條直線上.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相

似三角形的判定與性質(zhì).

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3】（2020?陜西）如圖，已知AABC,AC>AB,ZC=45°.請(qǐng)用尺規(guī)作圖

法，在AC邊上求作一點(diǎn)P,使NP3C=45。.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，答案不唯一）

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在AC邊上求作一點(diǎn)尸，使N必C=45。即

可，或作8c的垂直平分線交AC于點(diǎn)尸

【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典4】（2017?泰州）如圖，AA8C中，ZACB>ZABC.

（1）用直尺和圓規(guī)在NAC3的內(nèi)部作射線CM,使=（不要求寫(xiě)作法，保留

作圖痕跡）；

（2）若（1）中的射線CM交回于點(diǎn)O,/3=9,AC=6,求AD的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的方法，以AC為一邊，在ZACB的內(nèi)部作ZACM=ZABC即可；

（2）根據(jù)AACZ）與AABC相似，運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）如圖所示，射線CM即為所求；

（2）ZACD=ZABC,ZCAD=ZBAC,

■.MCD^iSABC,

ADACAD6

-.——=——,B即n——=-,

ACAB69

\AD=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩角

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典5]（2017?青島）已知：四邊形ABCD.

求作：點(diǎn)P,使NPCB=NB,且點(diǎn)尸到邊AD和CD的距離相等.

A

BC

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可知：到邊4）和CD的距離相等的點(diǎn)在

的平分線上，所以第一步作/4DC的平分線AE,要想滿足NPCB=Zfi,則作

CP、I/AB,得到點(diǎn)片，再作兩角相等得點(diǎn)g.

【解答】解：作法：①作N4QC的平分線DE,

②過(guò)C作CK//AB,交DE于點(diǎn)

③以C為角的頂點(diǎn)作N￡CB=N6C3,

則點(diǎn)q和八就是所求作的點(diǎn)；

【點(diǎn)評(píng)】本題是作圖題，考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)

到角兩邊距離相等是關(guān)鍵.

島A鴿林萬(wàn)

考點(diǎn)3：作角平分線

作已知角的角平分線

作法：①在0A和0B上分別截取OD、0E,使OD=OE。

②分別以D、E為圓心，以大于‘DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NAOB內(nèi)交于點(diǎn)C

2

③作射線0C,則0C就是NAOB的平分線

:二&制疆行新

【例題精析1】如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，己知弧上的三點(diǎn)A,B,C.

用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O；

【解答】解：分別作他和AC的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為。，則。為所求圓的圓心;

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查作圖，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,

屬于中考?？碱}型.

【例題精析2】在勞動(dòng)植樹(shù)節(jié)活動(dòng)中，兩個(gè)班的學(xué)生分別在V,N兩處參加植樹(shù)勞動(dòng)，

現(xiàn)要在道路的A3,AC交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)尸，使尸到兩條道路的距離相等,

且使=請(qǐng)同學(xué)們用圓規(guī)、直尺在圖中畫(huà)出供應(yīng)點(diǎn)P的位置，保留畫(huà)圖痕跡，

不要證明.

【分析】因?yàn)镻到兩條道路的距離相等，且使=所以P應(yīng)是的平分線和MN的

垂直平分線的交點(diǎn).

【解答】解：如圖，理由是：因?yàn)镻是的平分線和的垂直平分線的交點(diǎn)，

所以P到NA的兩邊鉆和AC的距離相等，P到A/、N的距離相等，所以P就是所求.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，需仔細(xì)分析題

意，結(jié)合圖形，利用線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

三J支樹(shù)珠

【對(duì)點(diǎn)精練1】如圖，在RtAABC中，4=90".

（1）作AC的垂直平分線ED,交BC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留

作圖痕跡）；

（2）當(dāng)/W=3,8C=5時(shí)，求AABE的周長(zhǎng).

【分析】（1）利用基本作圖作上垂直平分AC；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到E4=EC,然后利用等線段代換得到AABE的周長(zhǎng)

=AB+BC.

（2）近垂直平分AC,

EA=EC>

.?.AABE的周長(zhǎng)=舫+BE+鉆=Afi+BE+EC=+BC=3+5=8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一

個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂

線）.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì).

【對(duì)點(diǎn)精練2】如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)4,B,C.

用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

A

B,

C

【分析】作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心O：

【解答】解：分別作他和AC的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為O,則O為所求圓的圓心;

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查作圖，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,

屬于中考?？碱}型.

【對(duì)點(diǎn)精練3】如圖，已知AAfiC.

①請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出AC邊的垂直平分線，交A3于。點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作

法）

②在（1）的條件下，連接8,若A8=15,BC=8,求AB8的周長(zhǎng).

【分析】①利用基本作圖作AC的垂直平分線即可；

②利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到8=A。，然后利用等線段代換得到ABC。的周長(zhǎng)

AB+BC=23.

【解答】解：（1）①如圖，點(diǎn)。為所作;

②點(diǎn)。為AC的垂直平分線與A3的交點(diǎn)，

:.CD=AD

:.BD+CD=BD+AD=AB=\5,

.ABC￡>的周長(zhǎng)=3D+8+BC=/W+BC=15+8=23.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一

個(gè)角等于已知角：作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線：過(guò)一點(diǎn)作已知直線

的垂線）.

【對(duì)點(diǎn)精練4】如圖，在AABC中，AB=AC

（1）尺規(guī)作圖：作NABC的平分線，交AC于點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）￡是底邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是BE的中點(diǎn)，連接。E,DM,若CE=CD,求

【分析】（1）以點(diǎn)5為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，交NA8C于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓

心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于一點(diǎn)，最后過(guò)該點(diǎn)與點(diǎn)5作射線，交AC于點(diǎn)。即可；

（2）先根據(jù)角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，求得NE=NDBC,進(jìn)而得出=

再根據(jù)M是展的中點(diǎn)即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖所示，射線比>即為所求；

(2)證明：AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

加)平分NABC,

ZDBC=-ZABC,

2

CD=CE,

：.ZE=ZCDE,

ZACH是△COE的外角,

/.NE=1/ACB,

2

/.NE=NDBC,

/.BD=DE，

又，M是BE的中點(diǎn)，

:.DM工BE.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖的運(yùn)用以及等腰三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)

題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì).

【對(duì)點(diǎn)精練5】如圖，已知AABC,用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)

作法）：

（1）作AABC的角平分線AD；

（2）在A8邊上找一點(diǎn)E,使得AE=CE.

【分析】（1）利用尺規(guī)作4c的角平分線交8c于點(diǎn)。，線段4）即為所求;

（2）作線段AC的垂直平分線交A3于點(diǎn)E,連接EC,點(diǎn)E即為所求.

【解答】解：（1）如圖，線段4）即為所求；

（2）如圖，點(diǎn)E即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線，線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型.

【對(duì)點(diǎn)精練6】如圖，在A48C中，點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，連接8,用尺規(guī)在邊AC上

找一點(diǎn)E,使得ABCE與反亞心的面積相等.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

A

【分析】利用尺規(guī)作OE//3c交AC于點(diǎn)E,連接BE,ABCE即為所求.

解決面積線段問(wèn)題，是中考?？碱}型.

【對(duì)點(diǎn)精練7】如圖，在A48C中，

(1)用直尺和圓規(guī)分別作NACB的平分線、線段43的中垂線、它們的交點(diǎn)〃(不寫(xiě)作法,

保留作圖痕跡，在圖上清楚地標(biāo)注點(diǎn)M)；

(2)過(guò)點(diǎn)M作皿EJ_3C,MFVAC,垂足分別為點(diǎn)E、F.求證：BE=AF.

【分析】(1)利用尺規(guī)作出加C的角平分線，線段他的中垂線即可;

(2)證明RtAMEB=RtAMFC,可得BE=AF.

【解答】(1)解：如圖，點(diǎn)例即為所求；

點(diǎn)M在他的垂直平分線上，

M4平分/B4C,ME1AB,MFVAC,

:.ME=MF,

ZMEB=ZMFA=90°f

在RtAMEB和RtAMFA中，

^MB=MA

\ME=MF9

??.RtAMEB=RtAMFA(HL),

:.BE=AF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

司m

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1](2017?福建)如圖，AA3C中，ZBAC=90°,AD±BC,垂足為。.求

作Z4BC的平分線，分別交4),AC于P,Q兩點(diǎn)；并證明AP=AQ.(要求：尺規(guī)

作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出8Q即可.先根據(jù)垂直的定義得出NAZ)5=90。，故

ZBPD+ZPBD=90°.

再根據(jù)余角的定義得出NAQP+NABQ=90。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出NABQ=NP8O,再

由=可知NAPQ=ZAQP,據(jù)此可得出結(jié)論.

【解答】解：3。就是所求的NABC的平分線，P、Q就是所求作的點(diǎn).

證明：ADYBC,

ZADB=90°,

:.ZBPD+ZPBD=90。.

ABAC=90°,

ZAQP+NABQ=90。.

.ZABQ=/PBD,

ZBPD=ZAQP.

/BPD=ZAPQ,

ZAPQ=ZAQP,

/.AP=AQ.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2]（2017?陜西）如圖，在鈍角A48C中，過(guò)鈍角頂點(diǎn)5作3D，8c交AC

于點(diǎn)。.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在BC邊上求作一點(diǎn)P,使得點(diǎn)。到AC的距離等于8尸的

長(zhǎng).（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】根據(jù)題意可知，作如C的平分線交BC于點(diǎn)尸即可.

【解答】解：如圖，點(diǎn)尸即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖-基本作圖，熟知角平分線的作法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

應(yīng)和但保理

考點(diǎn)4：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線

過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

作法：①以點(diǎn)C為圓心，大于到線段距離為半徑作弧，交AB與點(diǎn)D、E。

②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F。

2

③作直線CF,CF即為所求的直線

沙算制易新

【例題精析1】如圖，在AABC中，NA=NB=30。.

（1）尺規(guī)作圖：在線段相上找一點(diǎn)O,以O(shè)為圓心作圓，使oO經(jīng)過(guò)3、C兩點(diǎn);

（2）在（1）中所作圖中，求證：AC與。的相切.

【分析】（1）作線段8c的垂直平分線MV,交A3于點(diǎn)O,以。為圓心，08為半徑作O

即可.

（2）欲證明AC是O的切線，只要證明NACO=90。即可.

【解答】解：（1）如圖，。即為所作.

C

(2)證明：連接OC

AABC中，ZA=ZB=30°

ZACS=120°

由(1)可知，OC=OB

/.ZOCB-ZB=30°

/.ZACO-90°

」.AC是。的相切.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【例題精析2】如圖在A48c中，N8AC=90。，ZC=30°,請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法作［P使

【分析】作NABC的平分線班■，與AC交于點(diǎn)P,以點(diǎn)P為圓心，釬長(zhǎng)為半徑作P.P

即為所求.

【解答】解：如圖，P即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【例題精析3】作圖與計(jì)算：如圖正方形ABCZ).

(1)用帶刻度的直尺和圓規(guī)，分別作正方形ABCD的外接圓和內(nèi)切圓.

(2)若正方形的邊長(zhǎng)是4e",求它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積(答案保留萬(wàn)).

【分析】(1)連接AC,BD交于點(diǎn)、O,分別。為圓心，OA,的一半為半徑作圓即可;

(2)判斷出利用圓的半徑，可得結(jié)論.

【解答】解：(1)正方形ABCD的外接圓和內(nèi)切圓如圖所示;

(2)由題意，OE=AE=2cm,OA=2血cm,

：.它的內(nèi)切圓和外接圓組成的圓環(huán)的面積=TX(2夜尸-萬(wàn)x2?=4乃.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，正方形的性質(zhì)，圓的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

考點(diǎn)5：作垂直平分線

作已知線段的垂直平分線

作法：①以A為圓心大于LAB長(zhǎng)為半徑作弧，以B為圓心大于工A3長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

22

交于C、D兩點(diǎn)

②連接CD,即為所求

國(guó)鈉飆行新

【例題精析1】如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZDCB,請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法在4）邊

上求作一點(diǎn)E，連接5￡、CE,使得NABE=NDCE.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【分析】作線段BC的垂直平分線交4）于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基

本作圖，屬于中考常考題型.

,對(duì)老樹(shù)林

【對(duì)點(diǎn)精練1】（2021?阿壩州）如圖，在AABC中，ZBAC=7O°,ZC=40°,分別以

點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MV交

2

BC于點(diǎn)D,連接4）,則的大小為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出〃4C=NC=40。，進(jìn)而求出NBA。的度數(shù).

【解答】解：由作圖可知，直線MN是線段AC的垂直平分線，

:.DA=DC,

ZDAC=ZC=4O°.

ABAC=70°,

ABAD=ZBAC-ZDAC=70°-40°=30°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

【對(duì)點(diǎn)精練2】（2019?無(wú)錫）如圖，A3為半圓。的直徑，。為半圓上一點(diǎn)，AC<BC.

（I）請(qǐng)用直尺（不含刻度）與圓規(guī)在8c上作一點(diǎn)O,使得直線OD平分的周長(zhǎng)；（不

要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若AB=10,00=2石，求AABC的面積.

【分析】（1）延長(zhǎng)BC,在延長(zhǎng)線上截取CE=C4,作3E的中垂線，垂足為。，作直

線OO即可得；

（2）由作圖知OD是AAfiE中位線，據(jù)此知AE=2O￡>=4上，繼而由AACE為等腰直角三

角形得出AC=2jQ,利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)一步計(jì)算得出答案.

【解答】解：（1）如圖所示，直線OD即為所求；

（2）如圖，8為AABE的中位線,

AE=2OD=4y[5,

AB是O的直徑,

:.ZACB=90°,

CE=CA,

.?.AACE是等腰直角三角形,

AC=—AE=2V10,

2

由勾股定理可得8。=2岳,

則AABC的面積為L(zhǎng)AC.BC=！X2而x2后=10面.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、線段中垂線

的尺規(guī)作圖、中位線定理等知識(shí)點(diǎn).

【對(duì)點(diǎn)精練3】（2019?棗莊）如圖，BZ）是菱形A8CD的對(duì)角線，ZCBD=15°,

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作他的垂直平分線EF,垂足為￡,交4）于產(chǎn)；（不要求寫(xiě)作法，

保留作圖痕跡）

（2）在（1）條件下，連接8尸，求NOB尸的度數(shù).

【分析】（1）分別以A、8為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線即可;

2

（2）根據(jù)"8尸=/鉆￡＞一/45尸計(jì)算即可；

【解答】解：（1）如圖所示，直線EF即為所求；

(2)四邊形ABCD是菱形，

ZABD=ZDBC=-ZABC=75°,DC//AB,ZA=ZC.

2

.'.ZABC=150°,ZABC+ZC=180°,

/.ZC=ZA=30°,

所垂直平分線段AB,

：.AF=FB,:.ZA=ZFBA=30°,ZDBF=ZABD-ZFBE=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于?？碱}型.

【對(duì)點(diǎn)精練4】（2018?河池）如圖，在A48C中，248=90。，

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

①作AC的垂直平分線，垂足為

②以。為圓心，D4長(zhǎng)為半徑作圓，交于E（E異于4）,連接CE；

（2）探究CE與"的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)線段中垂線的尺規(guī)作圖及圓的概念作圖可得:

(2)連接Z)E,由(1)知D4=￡)E=QC,據(jù)此得NQ4￡=ZDE4=x。，ZCDE=2x°,結(jié)

合DC=DE知ZDCE=ZDEC=竺23=90-x,相加即可得出答案.

2

【解答】解：（1）如圖所示，直線上和.。即為所求.

(2)CEYAB,連接￡>E,由(1)知外:小二女，^\ZDAE=ZDEA,

ion_

設(shè)NZME=ZDE4=x，則NC￡)E=2x,DC=DE,;"DCE=NDEC=------=90-x,

2

:.ZDEA+ZDEC^=90-x+x=90,:.CEA.AB.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段中垂線的尺規(guī)作圖和圓的概

念、性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì).

考點(diǎn)6：綜合運(yùn)用

匕國(guó)制總行新

【例題精析1】如圖，在A48c中，ZB=62°,ZC=24°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，

大于」AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交AC的兩側(cè)于點(diǎn)V、N,連接MN,交3c于點(diǎn)

2

D,連接4%則44。的度數(shù)為（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【分析】分別求出NB4C，NG4c的大小，可得結(jié)論.

【解答】解：.N8=62。，NC=24。，

/.ZR4C=180°-ZB-ZC=94°,

由作圖可知MN垂直平分線段AC.

/.DA=DCf

??.ZZMC=ZC=24°,

/.ZBAD=ZfiL4C-ZZMC=94°-24o=70°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型.

【例題精析2】尺規(guī)作圖：作角等于己知角NAO8.示意圖如圖所示，則說(shuō)明

=的依據(jù)是()

D.AAS

【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等，可得結(jié)論.

【解答】解：在△ODC和△00。中，

OD=O'D'

<OC=O'C,

CD=CD'

:.\ODC=/\ODC(SSS),

ZAOB-ZAOB，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}

型.

【例題精析3】如圖①，已知NAQ3,用直尺和圓規(guī)作4403的平分線.

如圖②，步驟如下：第一步，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。4于點(diǎn)交OB于

點(diǎn)N.

第二步，分別以點(diǎn)A/,N為圓心，”的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.

第三步，畫(huà)射線OC.射線OC即為所求.下列說(shuō)法正確的是（）

第二步

圖①圖②

A.<7>0C.a=-MND.a>-MN

22

【分析】根據(jù)基本作圖（作一個(gè)角的平分線）進(jìn)行判斷.

【解答】解：第二步，分別以點(diǎn)〃，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAO8

2

的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【例題精析4】在AABC中，Zfi4C=90°,AB>AC,NB/30。，用無(wú)刻度的直尺和圓

規(guī)在8C邊上找一點(diǎn)。，使4）=3。，下列作法正確的是（）

【分析】根據(jù)“要在3c邊上找一點(diǎn)。，使4）=瓦>”知點(diǎn)。應(yīng)該是線段43垂直平分線與

BC的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可.

【解答】解：若要在BC邊上找一點(diǎn)。，使4）=的>

則點(diǎn)D應(yīng)該是線段AB垂直平分線與BC的交點(diǎn)，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖一基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性

質(zhì).

【例題精析5】如圖，AABC的面積是30c小，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分

別交AB、AC于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

2

兩弧交于點(diǎn)P，作射線”，過(guò)點(diǎn)。作C￡>LAP于點(diǎn)。，連接必，則AZMB的面積是

c

C.13cm2D.12cm2

【分析】如圖，延長(zhǎng)8交AB于點(diǎn):T.想辦法證明可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CD交4?于點(diǎn)7.

.\ZCAD=ZADT,

vZC4￡)+ZACr>=90o,ADAT+ZATD=90°,

.\ZACD=ZATD,

:.AC=AT,

：,CD=DT,

^^ACD=S^DT'S&cDB=S也BT

?"-5MDB=^SMBC=15W).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是證明8=07.

【例題精析6】（2021?青島）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡.

已知：NO及其一邊上的兩點(diǎn)A,B.

求作：RtAABC,使NC=90。，且點(diǎn)C在NO內(nèi)部，ZBAC=ZO.

【分析】先在NO的內(nèi)部作mm=NO,再過(guò)6點(diǎn)作4)的垂線，垂足為C點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)

合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

【例題精析7】(2021?湖北)已知AABC和△(?￡>￡都為正三角形，點(diǎn)3,C,。在同一

直線上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡.

(1)如圖1,當(dāng)3C=CD時(shí)，作A/U5c的中線5R；

(2)如圖2,當(dāng)BCKCQ時(shí)，作AABC的中線3G.

(2)延長(zhǎng)84交DE的延長(zhǎng)線于卬，連接4),CW交于點(diǎn)O，連接。8交AC于G,線段

BG即為所求.

【解答】解：(1)如圖1中，線段8R即為所求.

(2)如圖2中，線段3G即為所求.

w

圖1圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是能結(jié)合題目條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

【例題精析8】（2021?南京）如圖，已知P是：。外一點(diǎn).用兩種不同的方法過(guò)點(diǎn)P作

。的一條切線.

要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；

（2）保留作圖的痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明.

【分析】方法一：直接以O(shè)P為直徑作圓，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得ZADC=90°,

可證直線電＞是切線.

方法二：利用三角形中位線定理解決問(wèn)題即可.

【解答】解：方法一：如圖1中，連接OP,以O(shè)P為直徑作圓交：O于。，作直線

方法二：作P點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)P,以PO為半徑作圓O,連接小，設(shè)原來(lái)的圓O半徑

為r,以他（即2r）的長(zhǎng)度為半徑，P為圓心畫(huà)圓，交弧PP于點(diǎn)。，連接尸Q,交于原

來(lái)的圓。于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為切點(diǎn)（中位線能證明8是半徑且垂直P(pán)。）.

圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圓周角定理構(gòu)造直角，屬于中考?？碱}型.

【例題精析9】（2021?嘉峪關(guān)）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)

學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖，已知A3,C是弦A3上一點(diǎn)，請(qǐng)你根

據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

①作線段AC的垂直平分線DE,分別交A8于點(diǎn)。，AC于點(diǎn)E,連接4%CD；

②以點(diǎn)。為圓心，A4長(zhǎng)為半徑作弧，交A8于點(diǎn)尸（尸，A兩點(diǎn)不重合），連接￡尸，BD,

BF.

（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線段BC,8尸的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可.

②根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）證明ADF8三ADC8可得結(jié)論.

【解答】解：（1）①如圖，直線DE,線段4）,線段C￡>即為所求.

②如圖，點(diǎn)F,線段C￡>,BD,即即為所求作.

（2）結(jié)論：BF=BC.

理由：OE垂直平分線段AC,

DA=DC，

ZDAC=ZDCA,

AD=DF,

:.DF=DC,AD=DF,

:.NDBC=/DBF,

ZDFB+ZmC=180°.ZDCB+ZDCA=\80°,

:.ZDFB=ZDCB,

在ADFB和AOCB中，

"DFB=NDCB

-NDBF=NDBC,

DF=DC

ADFB=M）CB（AAS）,

：.BF=BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

【例題精析10]（2021?重慶）如圖，在.45C￡）中，AB>AD.

（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在上截取越，^.AE=AD-,作的平分線交Afi

于點(diǎn)尸.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）在（1）所作的圖形中，連接/圮交CF于點(diǎn)P,猜想ACDP按角分類(lèi)的類(lèi)型，并證明

你的結(jié)論.

【分析】（1）利用基本作圖畫(huà)出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到Afi//C￡>,AD!IBC,貝UNCE>E=NAED,

ZADC+ZBCD=180°,再證明^CDE=-ZADC,ZFCD=-ZBCD,從而得到

22

ZCE>￡+ZFCZ）=90°,于是可判斷ASP為直角三角形.

【解答】解：（1）如圖，AE.CF為所作；

（2）ACDP為直角三角形.

證明：四邊形A8CZ）為平行四邊形，

.-.AB//CD,AD//BC,

NCDE=ZAED,ZA￡>C+ZBCD=180°,

AD=AE,

:.ZADE^ZAED,

:.ZADE=ZCDE,

NCDE=ZADE=-ZADC,

2

CF平分NBCD,

ZFCD=-ZBCD,

2

/.NCDE+ZFCD=90°,

:.ZCPD^90°,

；.ACDP為直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般

是結(jié)合了兒何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),

結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行四邊形的性

質(zhì).

【例題精析11]（2020?昆明）如圖，點(diǎn)P是。的直徑A3延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)（P8<O8）,

點(diǎn)E是線段O尸的中點(diǎn).

（1）尺規(guī)作圖：在直徑A3上方的圓上作一點(diǎn)C,使得EC=￡P(guān),連接EC,PC（保留清

晰作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；并證明PC是的切線；

（2）在（1）的條件下，若BP=4,EB=\,求PC的長(zhǎng).

BP

【分析】（1）利用尺規(guī)作圖：以點(diǎn)E為圓心，EP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在直徑AB上方的圓上交

一點(diǎn)C,再根據(jù)已知條件可得OE=EC=￡P(guān),根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NECO+NECP=90。，

進(jìn)而證明PC是:_O的切線；

（2）在（1）的條件下，根據(jù)8P=4,EB=\,可得"的長(zhǎng)，進(jìn)而可得半徑，再根據(jù)勾股

定理即可求PC的長(zhǎng).

【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)C即為所求；

證明：連接OC,

點(diǎn)E是線段OP的中點(diǎn)，

:.OE=EP,

EC=EP,

:.OE=EC=EP,

:.ZCOE=ZECO,ZECP=ZP,

ZCOE+AECO+AECP+ZP=180°,

:.ZECO+ZECP=90P,

.-.OCrPC,且OC是。的半徑，

:.PC是_O的切線；

(2)BP=4,EB=1,

OE=EP=BP+EB=5,

..OP=2OE=10,

:.OC=OB=OE+EB=6,

在RtAOCP中，根據(jù)勾股定理，得尸C=J。尸-OC?=8.

則PC的長(zhǎng)為8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)，解決本

題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì).

更月支樹(shù)林

【對(duì)點(diǎn)精練1】（2020?咸寧）如圖，在「438中，以點(diǎn)5為圓心，54長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧