拋物線及其標準方程

教學設計課題拋物線及其標準方程課型新授課復習課□試卷講評課□其它課□教學內容分析拋物線是平面內到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡，其中的定點、定直線(不經(jīng)過定點)是確定拋物線的幾何要素，這一概念反映了拋物線的幾何特征.根據(jù)拋物線的概念，類比橢圓、雙曲線標準方程的獲得過程，通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺朔ㄍ茖佄锞€的標準方程.由于焦點的位置不同，拋物線標準方程的形式也不同.此時，要根據(jù)拋物線焦點的位置，充分運用坐標法，對方程的形式進行轉化，獲得焦點分別在x軸負半軸、y軸正半軸、y軸負半軸上的拋物線的標準方程.通過拋物線的標準方程，結合拋物線的概念，為下節(jié)課研究拋物線的幾何性質及其簡單應用，特別是過焦點的直線的有關性質做好鋪墊.上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般過程.本節(jié)內容包含的核心思想方法還是坐標法，這在結合拋物線的幾何特征，推導拋物線標準方程的過程中得到了充分展示.另外還有多種研究方法，例如，類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法；在觀察圖形特征的基礎上，形成拋物線的概念；在坐標系中研究焦點位置不同的拋物線得到的標準方程不同，用到了分類討論的思想；求解教科書中的兩個例題時使用了待定系數(shù)法；學情分析學生對拋物線的認知基礎是對二次函數(shù)圖象的直觀感知，但是并不知道拋物線的幾何特征.確定拋物線的幾何要素是一個定點和一條定直線，這與確定橢圓與雙曲線的幾何要素不同.相比而言，橢圓與雙曲線的幾何特征在具體情境中較為明顯，而拋物線的幾何特征在具體情境中較為隱蔽，學生不容易發(fā)現(xiàn).學習目標（1）經(jīng)歷從幾何情境中認識拋物線的幾何特征，給出拋物線的定義的過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).（2）經(jīng)歷類比橢圓、雙曲線的標準方程的建立過程，運用坐標法推導出拋物線的標準方程，并能用它解決簡單的問題，進一步體會建立曲線的方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng).重難點（1）經(jīng)歷從幾何情境中認識拋物線的幾何特征，給出拋物線的定義的過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).（2）經(jīng)歷類比橢圓、雙曲線的標準方程的建立過程，運用坐標法推導出拋物線的標準方程，并能用它解決簡單的問題，進一步體會建立曲線的方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng).教學評活動過程教師活動學生活動環(huán)節(jié)一：（情景導入，激發(fā)興趣）教師活動教師展示學生所熟悉的拋物線的例子（投籃視頻、一元二次函數(shù)圖像，中國天眼實例）。學生活動學生直觀感受拋物線形狀設計意圖通過生活中的應用實例，初中熟悉的一元二次函數(shù)及中國天眼圖，讓學生直觀感知拋物線的形狀，也提示學生生活中處處有數(shù)學，引發(fā)學生的共鳴，激發(fā)學習興趣.環(huán)節(jié)二：（復習舊知，啟發(fā)新知）教師活動通過前面的學習可以發(fā)現(xiàn)，如果動點M到定點F的距離與到定直線l（不過點F）的距離之比為k當0<k<1時，點M的軌跡是橢圓當k>1時，點M的軌跡是雙曲線教師提問：回憶到這里，同學們有怎樣的啟發(fā)呢？教師追問：你如何探究你的猜想是否正確呢？學生活動學生猜想：若k=1即滿足到定點F的距離和到定直線l（不過點F）的距離相等的點的軌跡有可能是拋物線。學生回答：作點M使其滿足到定點F的距離和它到定直線l（不過點F）的距離相等，觀察點M的軌跡。設計意圖從學生已經(jīng)學習過的知識出發(fā)，激發(fā)學生探究問題的興趣;利用已學的橢圓、雙曲線標準方程推導過程的變形，帶領學生由已知問題過渡到未知情形，引出本節(jié)課內容：拋物線及其標準方程.環(huán)節(jié)三:（探索新知，構建概念）教師活動問題1：動點M到定點F的距離與它到定直線l（不過點F）的距離相等時軌跡是什么？師生一起用幾何畫板進行探究探究：利用信息技術作圖.如圖,F是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線，H是直線l上任意一點，過點H作MHl,線段FH的垂直平分線m交MH于點M.教師追問（1）：M是否滿足到定點F的距離和到定直線l的距離相等呢？為什么？教師追問（2）：拖動點H，讓M動起來，動點M運動的過程中始終滿足的幾何條件是什么？教師追問（3）：觀察點M的軌跡，我們發(fā)現(xiàn)，動點M的軌跡和二次函數(shù)相似,是一條拋物線。思考：你能說出形成拋物線的幾何要素嗎?教師追問（4）：當直線l經(jīng)過點F時，滿足到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡是什么？在上述基礎上，給出拋物線的概念.拋物線定義：我們把平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.學生活動學生通過幾何畫板觀察動點M的形成過程，能說出動點M運動的過程中始終滿足的幾何條件：（M滿足到定點F的距離和它到定直線l的距離相等）.學生觀察動點M的軌跡，并思考形成拋物線的幾何要素（一個定點，一條定直線l，直線l不過定點F）.學生思考后回答:如果定直線l經(jīng)過點F時，滿足到定點F的距離和它到定直線l的距離相等的點的軌跡是:過點M且與直線l垂直的一條直線。學生用集合概括拋物線定義:{M||MF|=d}dMF設計意圖通過對問題1的探究及其四個追問，引導學生發(fā)現(xiàn)確定拋物線的幾何要素，認識拋物線的幾何特征，抽象得出拋物線的概念，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).環(huán)節(jié)四：（師生共研，建立方程）教師活動問題2：比較橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為我們如何建立坐標系，才能使所求拋物線的方程形式更簡單？教師引導學生回顧橢圓和雙曲線標準方程的建立過程，以及橢圓和雙曲線的建系過程，并引導學生根據(jù)拋物線圖形的幾何特征，建立拋物線的平面直角坐標系。教師分析選取方案二的原因，其余兩種方案課下嘗試，并比較三種不同形式的拋物線方程哪個更簡單？為什么？三種不同形式的拋物線方程是否有聯(lián)系？設點F到直線l的距離為p(p>0)，教師引導學生自主推導物線方程：教師展示學生所推導的拋物線方程，并從方程的推導過程分析出拋物線上點的坐標與方程的解之間的一一對應關系從而給出拋物線標準方程的概念。追問：類比建立橢圓和雙曲線標準方程時，選擇不同的坐標系得到不同形式的標準方程，拋物線的標準方程有哪些不同的形式？教師引導學生觀察不同開口方向的標準方程，并分組完成其余三種形式方程的推導學生活動 學生觀察拋物線形狀，自主提出三種建系方案方案一方案二方案三設點F到直線l的距離為p(p>0)，學生根據(jù)方案二推導拋物線的方程：在已獲得拋物線的方程y2=2px(p>0)的基礎上，讓學生類比橢圓、雙曲線標準方程的不同形式，再分別獲得開口向左、上、下的拋物線的標準方程，確定相應的焦點坐標和準線方程，并將結論填寫在下面的表中.圖形標準方程焦點坐標準線方程 設計意圖通過問題2及追問，注重學生思維的發(fā)生點，讓學生類比橢圓與雙曲線標準方程的推導方法，自主推導拋物線的標準方程，體驗類比方法，提升數(shù)學運算素養(yǎng).環(huán)節(jié)五：（理解概念、初步應用）例1（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；（2）已知拋物線的焦點是F(0,-2)，求它的標準方程.師生活動：學生根據(jù)拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程，根據(jù)焦點坐標、準線方程、焦點到準線距離求其標準方程.設計意圖通過例1讓學生體會無論是由拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程，還是由拋物線焦點坐標或準線方程求其標準方程，正確認識拋物線的標準方程以及方程中p的意義都非常關鍵.p是拋物線的唯一特征量，決定拋物線的焦點坐標和準線方程.環(huán)節(jié)六：（理解概念、應用升華）應用1：一種衛(wèi)星接收天線如下圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，如圖.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m,深度為1m.試建立適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線的標準方程和焦點坐標.師生活動：教師讓學生自主解決實際問題，并引領學生總結解決與拋物線有關的實際問題時的解題方法步驟（待定系數(shù)法求解.）設計意圖通過例2讓學生運用拋物線及其標準方程解決實際問題，經(jīng)歷實際問題轉化為數(shù)學問題，解決數(shù)學問題，進而解決實際問題的過程.環(huán)節(jié)七：（總結提高、形成結構）知識目標層面：拋物線的幾何特征是什么？拋物線標準方程的獲得過程？拋物線的四種形式的標準方程？思想素養(yǎng)層面：（1）類比、分類討論，轉化化歸及數(shù)形結合思想方法.（2）直觀想象及數(shù)學運算的核心素養(yǎng).師生活動：引導學生回顧本節(jié)課所學知識和學習過程.設計意圖讓學生梳理數(shù)學知識、感悟數(shù)學思想、體會數(shù)學研究方法環(huán)節(jié)八：（達標檢測、應用遷移）1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)焦點坐標是(3,0)(2)準線方程是x=1(3)焦點到準線的距離是22求出下列拋物線的焦點坐標和準線方程(1)x2==y2(2)2y2師生活動：學生自主完成，教師個別輔導.設計意圖檢測學生對拋物線定義和標準方程理解掌握情況.板書設計拋物線及其標準方程拋物線的定義拋物線的標準方程多媒體投影區(qū)例1（1）（2）例2作業(yè)與拓展學習設計1.基礎鞏固: 教科書習題3.3第1、2、3題2.素養(yǎng)提升: 拋物線形拱橋，當水面在l時，拱離水面2m，水面寬4m.試建立適當坐標系，求拋物線的標準方程、焦點坐標和準線方程.3.拓廣探索 :探究1.說明二次函數(shù)y=ax2(a≠0）的圖象為什么是拋物線？指出它的焦點坐標、準線方程.探究2.說明二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0）的圖象為什么是拋物線？請同學查閱資料了解拋物線在生產(chǎn)生活中的應用.特色學習資源分析、技術手段應用說明粉筆、三角板、幾何畫板.教學反思與改進數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，而思維又是從問題開始的，始終貫徹“教師要帶著學生走向知識，而不是帶著知識走向學生”的原則，將教學目標安排在一個個的自主學習中.所以本節(jié)課在總體上采用“問題驅動”策略，通過精心設計一個個問題，激發(fā)學生的求知欲，并通過觀察、分析、自主探究、合作交流