拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)設(shè)計(jì)課題拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課型新授課復(fù)習(xí)課□試卷講評課□其它課□教學(xué)內(nèi)容分析拋物線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，其中的定點(diǎn)、定直線(不經(jīng)過定點(diǎn))是確定拋物線的幾何要素，這一概念反映了拋物線的幾何特征.根據(jù)拋物線的概念，類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.由于焦點(diǎn)的位置不同，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式也不同.此時(shí)，要根據(jù)拋物線焦點(diǎn)的位置，充分運(yùn)用坐標(biāo)法，對方程的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，獲得焦點(diǎn)分別在x軸負(fù)半軸、y軸正半軸、y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的概念，為下節(jié)課研究拋物線的幾何性質(zhì)及其簡單應(yīng)用，特別是過焦點(diǎn)的直線的有關(guān)性質(zhì)做好鋪墊.上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般過程.本節(jié)內(nèi)容包含的核心思想方法還是坐標(biāo)法，這在結(jié)合拋物線的幾何特征，推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中得到了充分展示.另外還有多種研究方法，例如，類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法；在觀察圖形特征的基礎(chǔ)上，形成拋物線的概念；在坐標(biāo)系中研究焦點(diǎn)位置不同的拋物線得到的標(biāo)準(zhǔn)方程不同，用到了分類討論的思想；求解教科書中的兩個(gè)例題時(shí)使用了待定系數(shù)法；學(xué)情分析學(xué)生對拋物線的認(rèn)知基礎(chǔ)是對二次函數(shù)圖象的直觀感知，但是并不知道拋物線的幾何特征.確定拋物線的幾何要素是一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，這與確定橢圓與雙曲線的幾何要素不同.相比而言，橢圓與雙曲線的幾何特征在具體情境中較為明顯，而拋物線的幾何特征在具體情境中較為隱蔽，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn).學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）經(jīng)歷從幾何情境中認(rèn)識(shí)拋物線的幾何特征，給出拋物線的定義的過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).（2）經(jīng)歷類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，運(yùn)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能用它解決簡單的問題，進(jìn)一步體會(huì)建立曲線的方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).重難點(diǎn)（1）經(jīng)歷從幾何情境中認(rèn)識(shí)拋物線的幾何特征，給出拋物線的定義的過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).（2）經(jīng)歷類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，運(yùn)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能用它解決簡單的問題，進(jìn)一步體會(huì)建立曲線的方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)評活動(dòng)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)一：（情景導(dǎo)入，激發(fā)興趣）教師活動(dòng)教師展示學(xué)生所熟悉的拋物線的例子（投籃視頻、一元二次函數(shù)圖像，中國天眼實(shí)例）。學(xué)生活動(dòng)學(xué)生直觀感受拋物線形狀設(shè)計(jì)意圖通過生活中的應(yīng)用實(shí)例，初中熟悉的一元二次函數(shù)及中國天眼圖，讓學(xué)生直觀感知拋物線的形狀，也提示學(xué)生生活中處處有數(shù)學(xué)，引發(fā)學(xué)生的共鳴，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.環(huán)節(jié)二：（復(fù)習(xí)舊知，啟發(fā)新知）教師活動(dòng)通過前面的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，如果動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l（不過點(diǎn)F）的距離之比為k當(dāng)0<k<1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓當(dāng)k>1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線教師提問：回憶到這里，同學(xué)們有怎樣的啟發(fā)呢？教師追問：你如何探究你的猜想是否正確呢？學(xué)生活動(dòng)學(xué)生猜想：若k=1即滿足到定點(diǎn)F的距離和到定直線l（不過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡有可能是拋物線。學(xué)生回答：作點(diǎn)M使其滿足到定點(diǎn)F的距離和它到定直線l（不過點(diǎn)F）的距離相等，觀察點(diǎn)M的軌跡。設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣;利用已學(xué)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程的變形，帶領(lǐng)學(xué)生由已知問題過渡到未知情形，引出本節(jié)課內(nèi)容：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.環(huán)節(jié)三:（探索新知，構(gòu)建概念）教師活動(dòng)問題1：動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l（不過點(diǎn)F）的距離相等時(shí)軌跡是什么？師生一起用幾何畫板進(jìn)行探究探究：利用信息技術(shù)作圖.如圖,F是定點(diǎn)，l是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線，H是直線l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作MHl,線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M.教師追問（1）：M是否滿足到定點(diǎn)F的距離和到定直線l的距離相等呢？為什么？教師追問（2）：拖動(dòng)點(diǎn)H，讓M動(dòng)起來，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中始終滿足的幾何條件是什么？教師追問（3）：觀察點(diǎn)M的軌跡，我們發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡和二次函數(shù)相似,是一條拋物線。思考：你能說出形成拋物線的幾何要素嗎?教師追問（4）：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，滿足到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？在上述基礎(chǔ)上，給出拋物線的概念.拋物線定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.學(xué)生活動(dòng)學(xué)生通過幾何畫板觀察動(dòng)點(diǎn)M的形成過程，能說出動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中始終滿足的幾何條件：（M滿足到定點(diǎn)F的距離和它到定直線l的距離相等）.學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，并思考形成拋物線的幾何要素（一個(gè)定點(diǎn)，一條定直線l，直線l不過定點(diǎn)F）.學(xué)生思考后回答:如果定直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，滿足到定點(diǎn)F的距離和它到定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:過點(diǎn)M且與直線l垂直的一條直線。學(xué)生用集合概括拋物線定義:{M||MF|=d}dMF設(shè)計(jì)意圖通過對問題1的探究及其四個(gè)追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)確定拋物線的幾何要素，認(rèn)識(shí)拋物線的幾何特征，抽象得出拋物線的概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).環(huán)節(jié)四：（師生共研，建立方程）教師活動(dòng)問題2：比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為我們?nèi)绾谓⒆鴺?biāo)系，才能使所求拋物線的方程形式更簡單？教師引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，以及橢圓和雙曲線的建系過程，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)拋物線圖形的幾何特征，建立拋物線的平面直角坐標(biāo)系。教師分析選取方案二的原因，其余兩種方案課下嘗試，并比較三種不同形式的拋物線方程哪個(gè)更簡單？為什么？三種不同形式的拋物線方程是否有聯(lián)系？設(shè)點(diǎn)F到直線l的距離為p(p>0)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)物線方程：教師展示學(xué)生所推導(dǎo)的拋物線方程，并從方程的推導(dǎo)過程分析出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系從而給出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的概念。追問：類比建立橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，選擇不同的坐標(biāo)系得到不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察不同開口方向的標(biāo)準(zhǔn)方程，并分組完成其余三種形式方程的推導(dǎo)學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生觀察拋物線形狀，自主提出三種建系方案方案一方案二方案三設(shè)點(diǎn)F到直線l的距離為p(p>0)，學(xué)生根據(jù)方案二推導(dǎo)拋物線的方程：在已獲得拋物線的方程y2=2px(p>0)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式，再分別獲得開口向左、上、下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，并將結(jié)論填寫在下面的表中.圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程 設(shè)計(jì)意圖通過問題2及追問，注重學(xué)生思維的發(fā)生點(diǎn)，讓學(xué)生類比橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，自主推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體驗(yàn)類比方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).環(huán)節(jié)五：（理解概念、初步應(yīng)用）例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是F(0,-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離求其標(biāo)準(zhǔn)方程.設(shè)計(jì)意圖通過例1讓學(xué)生體會(huì)無論是由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，還是由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程求其標(biāo)準(zhǔn)方程，正確認(rèn)識(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及方程中p的意義都非常關(guān)鍵.p是拋物線的唯一特征量，決定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.環(huán)節(jié)六：（理解概念、應(yīng)用升華）應(yīng)用1：一種衛(wèi)星接收天線如下圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，如圖.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m,深度為1m.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生自主解決實(shí)際問題，并引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)解決與拋物線有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)的解題方法步驟（待定系數(shù)法求解.）設(shè)計(jì)意圖通過例2讓學(xué)生運(yùn)用拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題，經(jīng)歷實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決實(shí)際問題的過程.環(huán)節(jié)七：（總結(jié)提高、形成結(jié)構(gòu)）知識(shí)目標(biāo)層面：拋物線的幾何特征是什么？拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程？拋物線的四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程？思想素養(yǎng)層面：（1）類比、分類討論，轉(zhuǎn)化化歸及數(shù)形結(jié)合思想方法.（2）直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)過程.設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想、體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法環(huán)節(jié)八：（達(dá)標(biāo)檢測、應(yīng)用遷移）1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)(2)準(zhǔn)線方程是x=1(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是22求出下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(1)x2==y2(2)2y2師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成，教師個(gè)別輔導(dǎo).設(shè)計(jì)意圖檢測學(xué)生對拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程理解掌握情況.板書設(shè)計(jì)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的定義拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程多媒體投影區(qū)例1（1）（2）例2作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)1.基礎(chǔ)鞏固: 教科書習(xí)題3.3第1、2、3題2.素養(yǎng)提升: 拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱離水面2m，水面寬4m.試建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.3.拓廣探索 :探究1.說明二次函數(shù)y=ax2(a≠0）的圖象為什么是拋物線？指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.探究2.說明二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0）的圖象為什么是拋物線？請同學(xué)查閱資料了解拋物線在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用.特色學(xué)習(xí)資源分析、技術(shù)手段應(yīng)用說明粉筆、三角板、幾何畫板.教學(xué)反思與改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而思維又是從問題開始的，始終貫徹“教師要帶著學(xué)生走向知識(shí)，而不是帶著知識(shí)走向?qū)W生”的原則，將教學(xué)目標(biāo)安排在一個(gè)個(gè)的自主學(xué)習(xí)中.所以本節(jié)課在總體上采用“問題驅(qū)動(dòng)”策略，通過精心設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，并通過觀察、分析、自主探究、合作交流