2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第1課時）（教學(xué)課件）-人教A版2019必修第一冊高一數(shù)學(xué)（人教A版2019必修第一冊）

人教版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第一章一元二次函數(shù)、方程和不等式第一課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)2.1

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標課堂小結(jié)分層練習(xí)錯因分析學(xué)習(xí)目標了解不等式的意義，能用不等式(組)表示實際問題

中的不等關(guān)系.2.會用作差法比較兩個代數(shù)式的大小關(guān)系.（重點）3.掌握并會應(yīng)用重要不等式.（重難點）情景導(dǎo)入在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌，輕與重，不超過或不少于等.類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.【等式】指的是用等號“=”連接起來的式子【不等式】指的是用不等號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

連接起來的式子1.不等關(guān)系與不等式新知探究【問題1】你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？

（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.設(shè)P是直線AB外任意一點，PQ是P到AB的垂線段，C是直線AB上任意一點，則PC≥PQABCPQ以上我們根據(jù)實際問題所蘊含的不等關(guān)系抽象出了不等式.接著，就可以用不等式研究相應(yīng)的問題了.【問題2】某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？我們該如何解這個不等式呢？由于數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上的點的位置關(guān)系來規(guī)定實數(shù)的大小關(guān)系；2.比較兩個實數(shù)的大小新知探究與解方程要用等式的性質(zhì)一樣，解不等式要用不等式的性質(zhì).為此，我們需要先研究不等式的性質(zhì).AB

BA

A(B)

關(guān)于實數(shù)a，b大小比較，有以下的基本事實：【作差法】

如果a-b是正數(shù)，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是負數(shù)，那么

a<b.反過來也是如此.從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.

【解】運用作差法：

作差變形定號定論

0是相等與不等的分界線，它也為比較實數(shù)的大小提供了標桿.這里，我們借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數(shù)(式).這是解決不等式問題的常用方法.課本例題作差法比較兩個實數(shù)大小的基本步驟概念歸納作差變形定號結(jié)論a-b采用配方、因式分解、通分、有理化等手段判斷差與0的大小利用實數(shù)a，b大小比較的基本事實下圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客.你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？思考探究(1)正方形ABCD的面積S=________；四個直角三角形的面積和S'

=_____;(2)

S與S’有什么樣的不等關(guān)系，如何表示？（3）S與S’會出現(xiàn)相等的情況嗎，什么時候相等？

若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a,b，則

ABCDE(FGH)

當(dāng)a=b時，S=S'，即ABCDEFGHab當(dāng)a=b時

如何證明不等式成立？證明：提示：利用完全平方公式即可

例1.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長為xm．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．探究一用不等式(組)表示不等式關(guān)系典例剖析不等式(組)表示實際問題中不等關(guān)系的步驟(1)審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量；(2)列不等關(guān)系．列出待求量具備哪些不等關(guān)系(即滿足什么條件)；(3)列不等式(組)．挖掘題意，建立已知量和待求量之間的關(guān)系式，并分析某些變量的約束條件(包含隱含條件)．概念歸納

1.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．練一練例2.已知x∈R，比較x3－1與2x2－2x的大?。骄慷容^大小問題典例剖析比較兩個代數(shù)式大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進行變形；(3)定號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)結(jié)論．提醒：這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提.概念歸納2.若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x-1,則y1與y2的大小關(guān)系是(

)A.y1>y2 B.y1=y2C.y1<y2 D.隨x值變化而變化練一練解析:∵y1-y2=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴y1>y2.A練一練1.下面能表示“m與n的和是非正數(shù)”的不等式為(

)A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥0隨堂練2.設(shè)M=x2,N=-x-1,則M與N的大小關(guān)系是(

)A.M>N B.M=NC.M<N D.與x的取值有關(guān)CA隨堂練4.一單位的甲、乙、丙三人出差A(yù)城辦事;在安排住宿時,他們有三種住宿方案可供選擇:(1)三人同住一套間;(2)二人住標準間(雙人間)、一人住單間;(3)三人各住一個單間.若賓館方面對每個套間、每個標準間及單間的標價分別為300元、160元和60元;同時對客戶實行打折優(yōu)惠,但這三類房間的折率各不相同,分別為50%,65%和85%,這三人選擇住宿方案中最經(jīng)濟的為第

套方案.

隨堂練（1）解析:若選擇(1)方案,則需支付:y1=300×50%=150(元);若選擇(2)方案,則需支付:y2=160×65%+60×85%=155(元);若選擇(3)方案,則需支付:y3=60×85%×3=153(元).因為y1<y3<y2,所以選擇第(1)套方案最經(jīng)濟.隨堂練5.分別寫出滿足下列條件的不等關(guān)系:(1)一個兩位數(shù)的個位數(shù)字y比十位數(shù)字x大,且這個兩位數(shù)小于30;(2)某電腦用戶計劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元的單片軟件x片和70元的盒裝磁盤y盒.根據(jù)需要,軟件至少買3片,磁盤至少買2盒.解:(1)y>x>0,9<10x+y<30,且x,y∈N*.(2)x≥3,y≥2,60x+70y≤500,且x,y∈N*.隨堂練解0<h≤4；(2)a與b的和是非負實數(shù)；解a＋b≥0；(1)某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨總高度h(單位：m)從地面算起不能超過4m；1.用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系.課本練習(xí)(3)如圖，在一個面積小于350m2的矩形地基中心位置上建造一個倉庫，倉庫的四周建成綠地，倉庫的長L(單位：m)大于寬W(單位：m)的4倍.課本練習(xí)2.比較(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.解因為(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).課本練習(xí)

課本練習(xí)錯因分析1.若a＞b，則ac2________bc2.易錯警示忽視因式可能為0錯解：因為c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.易錯防范：上面的解法錯在忽視了c＝0的情況．當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性質(zhì)時，不可忽視條件．正解：因為c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故應(yīng)填≥.2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是(

)A.A≤B B.A≥BC.A>B D.大小關(guān)系不確定錯因分析因忽視配方法在判斷符號中的應(yīng)用致錯錯解:因為A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小關(guān)系不確定.B防范措施1.用作差法比較兩個數(shù)(式)的大小時,其關(guān)鍵是變形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段變形,這樣有利于定號.特別是作差后的式子為二次三項式時,?？紤]因式分解或配方法變形.2.注意培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).歸納總結(jié)分層練習(xí)-基礎(chǔ)D分層練習(xí)-基礎(chǔ)D分層練習(xí)-基礎(chǔ)A分層練習(xí)-基礎(chǔ)A分層練習(xí)-基礎(chǔ)D分層練習(xí)-基礎(chǔ)A分層練習(xí)-基礎(chǔ)C分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)<分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-鞏固A分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-鞏固B分層練習(xí)-鞏固現(xiàn)實生活中的許多問題能夠用不等式解決，其解題思路是將解決的問題轉(zhuǎn)化成不等關(guān)系，利用作差法比較大小，進而解決實際問題．分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-拓展分層練習(xí)-拓展2．有一批襯衣原價為每件80元，甲、乙兩商場均有銷售．現(xiàn)在每個商場都推出了促銷政策：到甲商場買一件襯衣優(yōu)惠4元，買兩件每件優(yōu)惠8元，買三件每件優(yōu)惠12元，……依此類推，直至減到半價為止；乙商場則一律按原價7折酬賓．某單位欲為每位員工購買一件該襯衣，問：到哪個商場購買比較合算？解：設(shè)該單位共需購買x件襯衣，在甲、乙兩商場購買分別需付款y元、z元．依題意，有z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．

分層練習(xí)-拓展①若1≤x≤10，x∈Z，則y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)．當(dāng)1≤x≤5，x∈Z時，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z.當(dāng)x＝6時，y－z＝0，即y＝z.當(dāng)7≤x≤10，x∈Z時，6－x＜0，∴y－z＜0，即y＜z.②若x＞10，x∈Z，則y－z＝40x－56x＝－16x.∵－16x＜0，∴y＜z.綜上，若單位人數(shù)不超過5人，到乙商場購買合算；若單位人數(shù)恰為6人，到甲、乙商場購買一樣合算；若