2.1 等式性質與不等式性質（第1課時）（教學課件）-人教A版2019必修第一冊高一數學（人教A版2019必修第一冊）

人教版2019高一數學（必修一）第一章一元二次函數、方程和不等式第一課時等式性質與不等式性質2.1

等式性質與不等式性質目錄/CONTENTS新知探究情景導入學習目標課堂小結分層練習錯因分析學習目標了解不等式的意義，能用不等式(組)表示實際問題

中的不等關系.2.會用作差法比較兩個代數式的大小關系.（重點）3.掌握并會應用重要不等式.（重難點）情景導入在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等關系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌，輕與重，不超過或不少于等.類似于這樣的問題，反映在數量關系上，就是相等與不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.【等式】指的是用等號“=”連接起來的式子【不等式】指的是用不等號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

連接起來的式子1.不等關系與不等式新知探究【問題1】你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎？

（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.設P是直線AB外任意一點，PQ是P到AB的垂線段，C是直線AB上任意一點，則PC≥PQABCPQ以上我們根據實際問題所蘊含的不等關系抽象出了不等式.接著，就可以用不等式研究相應的問題了.【問題2】某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本，若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？我們該如何解這個不等式呢？由于數軸上的點與實數一一對應，所以可以利用數軸上的點的位置關系來規(guī)定實數的大小關系；2.比較兩個實數的大小新知探究與解方程要用等式的性質一樣，解不等式要用不等式的性質.為此，我們需要先研究不等式的性質.AB

BA

A(B)

關于實數a，b大小比較，有以下的基本事實：【作差法】

如果a-b是正數，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是負數，那么

a<b.反過來也是如此.從上述基本事實可知，要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的差與0的大小.

【解】運用作差法：

作差變形定號定論

0是相等與不等的分界線，它也為比較實數的大小提供了標桿.這里，我們借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于0的數(式).這是解決不等式問題的常用方法.課本例題作差法比較兩個實數大小的基本步驟概念歸納作差變形定號結論a-b采用配方、因式分解、通分、有理化等手段判斷差與0的大小利用實數a，b大小比較的基本事實下圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？思考探究(1)正方形ABCD的面積S=________；四個直角三角形的面積和S'

=_____;(2)

S與S’有什么樣的不等關系，如何表示？（3）S與S’會出現(xiàn)相等的情況嗎，什么時候相等？

若設直角三角形的兩直角邊分別為a,b，則

ABCDE(FGH)

當a=b時，S=S'，即ABCDEFGHab當a=b時

如何證明不等式成立？證明：提示：利用完全平方公式即可

例1.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長為xm．試用不等式表示其中的不等關系．探究一用不等式(組)表示不等式關系典例剖析不等式(組)表示實際問題中不等關系的步驟(1)審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設出待求量；(2)列不等關系．列出待求量具備哪些不等關系(即滿足什么條件)；(3)列不等式(組)．挖掘題意，建立已知量和待求量之間的關系式，并分析某些變量的約束條件(包含隱含條件)．概念歸納

1.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍，試寫出滿足上述所有不等關系的不等式．練一練例2.已知x∈R，比較x3－1與2x2－2x的大小．探究二比較大小問題典例剖析比較兩個代數式大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個數(或式子)作差；(2)變形：對差進行變形；(3)定號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號；(4)結論．提醒：這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結論，其中變形是判斷符號的前提.概念歸納2.若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x-1,則y1與y2的大小關系是(

)A.y1>y2 B.y1=y2C.y1<y2 D.隨x值變化而變化練一練解析:∵y1-y2=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴y1>y2.A練一練1.下面能表示“m與n的和是非正數”的不等式為(

)A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥0隨堂練2.設M=x2,N=-x-1,則M與N的大小關系是(

)A.M>N B.M=NC.M<N D.與x的取值有關CA隨堂練4.一單位的甲、乙、丙三人出差A城辦事;在安排住宿時,他們有三種住宿方案可供選擇:(1)三人同住一套間;(2)二人住標準間(雙人間)、一人住單間;(3)三人各住一個單間.若賓館方面對每個套間、每個標準間及單間的標價分別為300元、160元和60元;同時對客戶實行打折優(yōu)惠,但這三類房間的折率各不相同,分別為50%,65%和85%,這三人選擇住宿方案中最經濟的為第

套方案.

隨堂練（1）解析:若選擇(1)方案,則需支付:y1=300×50%=150(元);若選擇(2)方案,則需支付:y2=160×65%+60×85%=155(元);若選擇(3)方案,則需支付:y3=60×85%×3=153(元).因為y1<y3<y2,所以選擇第(1)套方案最經濟.隨堂練5.分別寫出滿足下列條件的不等關系:(1)一個兩位數的個位數字y比十位數字x大,且這個兩位數小于30;(2)某電腦用戶計劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元的單片軟件x片和70元的盒裝磁盤y盒.根據需要,軟件至少買3片,磁盤至少買2盒.解:(1)y>x>0,9<10x+y<30,且x,y∈N*.(2)x≥3,y≥2,60x+70y≤500,且x,y∈N*.隨堂練解0<h≤4；(2)a與b的和是非負實數；解a＋b≥0；(1)某高速公路規(guī)定通過車輛的車貨總高度h(單位：m)從地面算起不能超過4m；1.用不等式或不等式組表示下面的不等關系.課本練習(3)如圖，在一個面積小于350m2的矩形地基中心位置上建造一個倉庫，倉庫的四周建成綠地，倉庫的長L(單位：m)大于寬W(單位：m)的4倍.課本練習2.比較(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.解因為(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).課本練習

課本練習錯因分析1.若a＞b，則ac2________bc2.易錯警示忽視因式可能為0錯解：因為c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.易錯防范：上面的解法錯在忽視了c＝0的情況．當c＝0時，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性質時，不可忽視條件．正解：因為c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故應填≥.2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關系是(

)A.A≤B B.A≥BC.A>B D.大小關系不確定錯因分析因忽視配方法在判斷符號中的應用致錯錯解:因為A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小關系不確定.B防范措施1.用作差法比較兩個數(式)的大小時,其關鍵是變形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段變形,這樣有利于定號.特別是作差后的式子為二次三項式時,?？紤]因式分解或配方法變形.2.注意培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數學運算素養(yǎng).歸納總結分層練習-基礎D分層練習-基礎D分層練習-基礎A分層練習-基礎A分層練習-基礎D分層練習-基礎A分層練習-基礎C分層練習-基礎分層練習-基礎<分層練習-基礎分層練習-基礎分層練習-基礎分層練習-基礎分層練習-鞏固分層練習-鞏固分層練習-鞏固分層練習-鞏固分層練習-鞏固A分層練習-鞏固分層練習-鞏固B分層練習-鞏固現(xiàn)實生活中的許多問題能夠用不等式解決，其解題思路是將解決的問題轉化成不等關系，利用作差法比較大小，進而解決實際問題．分層練習-鞏固分層練習-拓展分層練習-拓展2．有一批襯衣原價為每件80元，甲、乙兩商場均有銷售．現(xiàn)在每個商場都推出了促銷政策：到甲商場買一件襯衣優(yōu)惠4元，買兩件每件優(yōu)惠8元，買三件每件優(yōu)惠12元，……依此類推，直至減到半價為止；乙商場則一律按原價7折酬賓．某單位欲為每位員工購買一件該襯衣，問：到哪個商場購買比較合算？解：設該單位共需購買x件襯衣，在甲、乙兩商場購買分別需付款y元、z元．依題意，有z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．

分層練習-拓展①若1≤x≤10，x∈Z，則y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)．當1≤x≤5，x∈Z時，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z.當x＝6時，y－z＝0，即y＝z.當7≤x≤10，x∈Z時，6－x＜0，∴y－z＜0，即y＜z.②若x＞10，x∈Z，則y－z＝40x－56x＝－16x.∵－16x＜0，∴y＜z.綜上，若單位人數不超過5人，到乙商場購買合算；若單位人數恰為6人，到甲、乙商場購買一樣合算；若