2.1 函數(shù)的概念和基本性質(zhì)-10年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題二函數(shù)及其性質(zhì)2.1函數(shù)的概念和基本性質(zhì)考點(diǎn)1函數(shù)的有關(guān)概念1.(2015湖北文,7,5分)設(shè)x∈R,定義符號(hào)函數(shù)sgnx=1,x>0,A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx答案D由已知可知xsgnx=x,x>0,0,x=0,?x,2.(2014江西理,3,5分)已知函數(shù)f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,則a=()A.1B.2C.3D.-1答案A由已知條件可知:f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故選A.評(píng)析本題主要考查函數(shù)的解析式,正確理解函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.3.(2017山東理,1,5分)設(shè)函數(shù)y=4?x2的定義域?yàn)锳,函數(shù)y=ln(1-x)的定義域?yàn)锽,則A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故選D.4.(2015重慶文,3,5分)函數(shù)f(x)=log2(x2+2x-3)的定義域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案D由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故選D.5.(2015湖北文,6,5分)函數(shù)f(x)=4?|x|A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案C要使函數(shù)f(x)有意義,需滿足4即|x|≤4,(x?3)(6.(2014山東理,3,5分)函數(shù)f(x)=1(loA.0,1C.0,12∪(2,+∞)D.0,答案C要使函數(shù)f(x)有意義,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴l(xiāng)og2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<12故f(x)的定義域?yàn)?,127.(2016課標(biāo)Ⅱ文,10,5分)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1答案D函數(shù)y=10lgx的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值域?yàn)镽,排除B,故選D.易錯(cuò)警示利用對(duì)數(shù)恒等式將函數(shù)y=10lgx變?yōu)閥=x,將其值域認(rèn)為是R是失分的主要原因.評(píng)析本題考查函數(shù)的定義域和值域,熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.(2022北京,4,4分)已知函數(shù)f(x)=11+2x,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有(A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=1答案C∵f(x)=11+2x,∴f(-x)=11+2?x=2x2x+1,∴f(x)一題多解:若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,使得選項(xiàng)中式子成立,則可任取x值,代入驗(yàn)證,進(jìn)行排除.當(dāng)x=0時(shí),f(0)+f(0)=12+12=1,f(0)-f(0)=0,故A,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)x=1時(shí),f(-1)-f(1)=11+2?1?9.(2015陜西文,4,5分)設(shè)f(x)=1?xA.-1B.14C.12答案C∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f14=1-14=110.(2015山東文,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=3x?b,x<1,A.1B.78C.34答案Df56=3×56-b=當(dāng)52-b≥1,即b≤32時(shí),f52即252?b=4=22,得到52當(dāng)52-b<1,即b>32時(shí),f52?b即152-4b=4,得到b=78<32綜上,b=12,故選11.(2014江西文,4,5分)已知函數(shù)f(x)=a·2x,x≥0,2?xA.14B.1答案A由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故選12.(2022北京,11,5分)函數(shù)f(x)=1x+1?答案(-∞,0)∪(0,1]解析由題意得x≠0,1?x≥0,解得x≤1且x≠0,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(013.(2015課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x的圖象過點(diǎn)(-1,4),則a=.

答案-2解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax3-2x的圖象過點(diǎn)(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.14.(2016江蘇,5,5分)函數(shù)y=3?2x答案[-3,1]解析若函數(shù)有意義,則3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.15.(2022浙江,14,6分)已知函數(shù)f(x)=?x2+2,x≤1,x+1x?1,x>1,則ff12=;若當(dāng)x∈[a,b]時(shí)答案3728;3+解析∵f12∴ff1f(x)的大致圖象如圖.∵當(dāng)x∈[a,b]時(shí),1≤f(x)≤3,∴由圖可得b>1且b+1b-1=3,∴b=2+3∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.一題多解:第二空:∵當(dāng)x≤1時(shí),y=-x2+2≤2,∴f(x)=3?x+1x-1=3(x>1),故x=2+3令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,令x+1x-1=1(x>1),無解∴amin=-1,b=2+3,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.17.(2014課標(biāo)Ⅰ文,15,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1,x<1,x13,答案(-∞,8]解析f(x)≤2?x<1,ex?1≤2或x≥1,x13≤2?x<1,x2.(2022北京,14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=?ax+1,x<a,(x?2)2,x≥a.若答案12([0,1]中任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以,答案不唯一);解析當(dāng)a<0時(shí),f(x)=-ax+1在(-∞,a)上為增函數(shù),無最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值為0,所以f(x)不存在最小值.當(dāng)a=0時(shí),f(x)=1,x<0,(x?2)2,x≥0,此時(shí)f(x)存在最小值,最小值為0.當(dāng)0<a≤1時(shí),f(x)=-ax+1在(-∞,a)上單調(diào)遞減,所以f(x)>1-a2.因?yàn)閍∈(0,1],所以1-a2∈[0,1),所以f(x)>0.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值為0,所以f(x)在R上存在最小值.當(dāng)a>1時(shí),f(x)=-ax+1在(-∞,a)上單調(diào)遞減,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函數(shù)f(x)在R上不存在最小值.綜上,a考點(diǎn)2函數(shù)的單調(diào)性與最值1.（2023課標(biāo)I，4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2.（2023全國甲文，11）已知函數(shù)．記，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即，故選：A.3.(2023北京,4,4分,易)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.f(x)=-lnxB.f(x)=1C.f(x)=-1xD.f(x)=3|x答案C對(duì)于A,f(x)=-lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;對(duì)于B,f(x)=12x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,對(duì)于C,f(x)=-1x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,符合題意對(duì)于D,f(x)=3|x-1|=3x?1,x≥1,13x?1,4.(2021全國甲文,4,5分)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()A.f(x)=-xB.f(x)=2C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解題指導(dǎo):排除法,利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng).解析對(duì)于f(x)=-x,由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)是減函數(shù),故A不符合題意;對(duì)于f(x)=23x,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)是減函數(shù),故B對(duì)于f(x)=x2,由二次函數(shù)的圖象可知,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故C不符合題意;對(duì)于f(x)=3x=x13,由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在(-∞,+∞)方法總結(jié):一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)單調(diào)性的判斷:若k>0,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若k<0,則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)單調(diào)性的判斷:若a>1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞增;若0<a<1,則函數(shù)在R上單調(diào)遞減.冪函數(shù)y=xα單調(diào)性的判斷:若α>0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;若α<0,則函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.5.(2021全國乙文,8,5分)下列函數(shù)中最小值為4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-xD.y=lnx+4答案C解題指導(dǎo):對(duì)于A,利用配方法或二次函數(shù)的單調(diào)性求最值,對(duì)于B,C,D,利用換元法轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行判斷.解析對(duì)于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值為3,所以A不符合題意;對(duì)于B,設(shè)|sinx|=t,則0<t≤1,y=|sinx|+4|sinx=t+4t,t∈(0,1],易知y=t+4t在(0,1]上單調(diào)遞減,故t=1時(shí),ymin=1+41=5,所以B不符合題意;對(duì)于C,令2x=t(t>0),則y=2x+22-x=t+4t,t>0,易知y=t+4t在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=2時(shí),y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合題意;對(duì)于D,令lnx=t,t∈R且t≠0,則y=lnx+4ln6.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,又∵f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴f(x-1)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上也單調(diào)遞減,且過(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致圖象如圖:當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.綜上,滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].故選D.7.(2019北京文,3,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.y=x12C.y=log12答案A本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)形結(jié)合的思想.考查的核心素養(yǎng)是直觀想象.A選項(xiàng),12>0,所以冪函數(shù)y=x12在B選項(xiàng),指數(shù)函數(shù)y=2-x=12x在(0,+∞)C選項(xiàng),因?yàn)?<12<1,所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=log12x在D選項(xiàng),反比例函數(shù)y=1x在(0,+∞)上單調(diào)遞減解題關(guān)鍵熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.8.(2016北京文,4,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是()A.y=11?xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D選項(xiàng)A中,y=11?x=1?(x?1)的圖象是將y=-1x的圖象向右平移1個(gè)單位得到的,故y=11?x在(-1,1)上為增函數(shù),不符合題意;選項(xiàng)B中,y=cosx在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,1)上為減函數(shù),不符合題意;選項(xiàng)C中,y=ln(x+1)的圖象是將y=lnx的圖象向左平移1個(gè)單位得到的,評(píng)析本題考查了基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象的變換,屬中檔題.9.(2015課標(biāo)Ⅱ文,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,則使得f(x)>f(2x-1)成立的A.13,1B.?C.?13,13答案A當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln(1+x)-11+x2,∴f'(x)=11+x+2x(1+x2)2∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故選10.(2016浙江,7,5分)已知函數(shù)f(x)滿足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,則a≤bB.若f(a)≤2b,則a≤bC.若f(a)≥|b|,則a≥bD.若f(a)≥2b,則a≥b答案B依題意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,則2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函數(shù),∴a≤b.故選B.11.(2023北京,15,5分,難)設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x+2,x①f(x)在區(qū)間(a-1,+∞)上單調(diào)遞減;②當(dāng)a≥1時(shí),f(x)存在最大值;③設(shè)M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a),則|MN|>1;④設(shè)P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,則a的取值范圍是0,1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案②③解析f(x)的大致圖象如圖所示,易知f(x)在(-∞,-a)上單調(diào)遞增,在[-a,0)上單調(diào)遞增,在[0,a]上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞減.對(duì)于①,當(dāng)12<a<1時(shí),f(x)在(a-1,0)上單調(diào)遞增,故①錯(cuò)誤對(duì)于②,當(dāng)x<-a時(shí),f(x)<-a+2≤1,當(dāng)-a≤x≤a時(shí),0≤f(x)≤a,當(dāng)x>a時(shí),f(x)<-a-1≤-2.綜上,x=0時(shí),f(x)取得最大值a,故②正確.對(duì)于③,令M'(a,0),N'(a,-a-1),顯然|MN|>|M'N'|=a+1>1,故③正確.對(duì)于④,若|PQ|存在最小值,則點(diǎn)(0,0)到直線x+2=y的距離大于a,且直線y=-x與y=x+2的交點(diǎn)(-1,1)在射線y=x+2(x<-a)上,則21+1>a,且-1<-a,又a>0,所以0<a<1,故④錯(cuò)誤綜上,所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③.12.(2016北京文,10,5分)函數(shù)f(x)=xx?1(x≥2)答案2解析解法一:∵f'(x)=?1(x?1)2,∴x≥2時(shí)∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法二:∵f(x)=xx?1=x∴f(x)的圖象是將y=1x的圖象向右平移1個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位得到的.∵y=1x在[2,+∞)∴f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法三:由題意可得f(x)=1+1x∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1x?∴1<1+1x?1≤2,即1<故f(x)在[2,+∞)上的最大值為2.評(píng)析本題考查函數(shù)的最值,有多種解法,屬中檔題.13.(2015浙江文,12,6分)已知函數(shù)f(x)=x2,x≤1,x+6答案-12;26解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-1當(dāng)x≤1時(shí),f(x)=x2≥0,當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x+6x-6≥26當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí),等號(hào)成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.14.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-2),則a的取值范圍是.

答案1解析由題意知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12考點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性1.（2023課標(biāo)II，4）若為偶函數(shù)，則（）．A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù)，故選：B.2.（2023全國乙理，4）已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，則，即，解得.故選：D.3.（2023課標(biāo)I，11）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（）．A. B.C.是偶函數(shù) D.為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【解析】方法一：因?yàn)椋瑢?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)椋瑢?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.4.(2015北京文,3,5分)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案BA中函數(shù)為奇函數(shù),B中函數(shù)為偶函數(shù),C與D中函數(shù)均為非奇非偶函數(shù),故選B.5.(2014課標(biāo)Ⅰ,理3,文5,5分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案C由題意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對(duì)于選項(xiàng)A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函數(shù),故A項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù),故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù),故C項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D項(xiàng)錯(cuò)誤,選C.評(píng)析本題考查函數(shù)奇偶性的定義及其應(yīng)用,考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力及邏輯推理論證能力,準(zhǔn)確理解函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.6.(2011課標(biāo)理2,文3,5分)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)單調(diào)遞增的函數(shù)是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案By=x3是奇函數(shù),y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是減函數(shù),故選B.評(píng)析本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定,屬容易題.7.(2021全國乙理,4,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=1?x1+x,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解題指導(dǎo):思路一:將函數(shù)f(x)的解析式分離常數(shù),通過圖象變換可得函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱,此函數(shù)即為奇函數(shù);思路二:由函數(shù)f(x)的解析式,求出選項(xiàng)中的函數(shù)解析式,由函數(shù)奇偶性定義來判斷.解析解法一:f(x)=-1+2x+1,其圖象的對(duì)稱中心為(-1,-1),將y=f(x)的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位,再沿y軸向上平移1個(gè)單位可得函數(shù)f(x-1)+1的圖象,關(guān)于(0,0)對(duì)稱,所以函數(shù)f(x-1)+1是奇函數(shù),故選解法二:選項(xiàng)A,f(x-1)-1=2x-2,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項(xiàng)B,f(x-1)+1=2x,此函數(shù)為奇函數(shù);選項(xiàng)C,f(x+1)-1=?2x?2x+2,此函數(shù)為非奇非偶函數(shù);選項(xiàng)D,f(x+1)+1=28.（2023全國甲理，13）若為偶函數(shù)，則________．【答案】2【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，即，則，故，此時(shí)，所以，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.15.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=.

答案1解題指導(dǎo):利用偶函數(shù)的定義,取定義域內(nèi)的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)為偶函數(shù),∴f(1)=f(-1),∴2a-12∴a=1.當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3(2x-2-x),定義域?yàn)镽,且滿足f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數(shù).一題多解y=x3和y=2x-2-x為奇函數(shù),利用結(jié)論:奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù),可快速判斷出a=1.9.(2022全國乙文,16,5分)若f(x)=lna+11?x+b是奇函數(shù),則a=,答案-12;解析∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由已知得x≠1,∴x≠-1,即當(dāng)x=-1時(shí),a+11?x=0,∴a+12=0,∴a=-12,此時(shí)f(x∵f(x)為奇函數(shù)且在x=0處有意義,∴f(0)=0,即ln1+02(1?0)+b=ln12+b=0,綜上可知,a=-12,b=ln210.(2017課標(biāo)Ⅱ文,14,5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,則f(2)=.

答案12解析本題主要考查運(yùn)用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值.由題意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.11.(2015課標(biāo)Ⅰ理,13,5分)若函數(shù)f(x)=xln(x+a+x2)為偶函數(shù),則答案1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(a+x2-x)=xln(x+a+x2),∴l(xiāng)n[(a+x2)2-x2]=0,得19.(2014課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,f(3)=3,則f(-1)=.

答案3解析∵函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,∴f(2+x)=f(2-x)對(duì)任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,∴f(-1)=f(1)=3.12.(2012課標(biāo)文,16,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2+sinxx2答案2解析f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,令g(x)=13.(2016四川,14,5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=4x,則f?52+f(1)=答案-2解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期為2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f?52=f?12=-f12考點(diǎn)3函數(shù)的周期性和對(duì)稱性1.(2021全國甲文,12,5分)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且f(1+x)=f(-x).若f?13=13,則f5A.-5答案C解題指導(dǎo):求出函數(shù)f(x)的周期再進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即可求解.解析由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定義在R上的奇函數(shù),可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期為2,則f53=f5知識(shí)延伸:若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=a2,周期為2a;若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=a2,2.(2016山東,9,5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x3-1;當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(-x)=-f(x);當(dāng)x>12時(shí),fx+12=fA.-2B.-1C.0D.2答案D當(dāng)x>12時(shí),由fx+12=fx?12可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),3.(2021全國甲理,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則f92=()A.-9答案D解題指導(dǎo):利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),將出現(xiàn)的自變量0,3,92對(duì)應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為[1,2]內(nèi)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,進(jìn)而得到a,b以及f92解析由題知f從而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由題知f(x+1)為奇函數(shù),x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得a=?2,b=2,從而f(x)=-2x2+2,x∈[1,所以f92=f5一題多解因?yàn)閒(x+1)與f(x+2)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)和直線x=2對(duì)稱,且f(x)為周期函數(shù),周期T=4,從而f(0)=-f(2),①f(3)=f(1)=0,②f92由①②結(jié)合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以f924.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則k=122f(k)=(A.-3B.-2C.0D.1答案A令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;令x=2,y=1,得f(3)=-2;令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;令x=5,y=1,得f(6)=2.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故選5.(2022全國乙理,12,5分)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R