中考數(shù)學(xué)思想方法 【新定義問題】四邊形中的新定義問題（學(xué)生版+解析版）

四邊形中的新定義問題

知識方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識的新情景問題入手

這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的

含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手

對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運(yùn)用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手

對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

(2)重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.多邊形

(1)多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

(2)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.

(3)正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

(4)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一

邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè).②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180。，通常所說

的多邊形指凸多邊形.

(5)重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)

狀態(tài)，此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心.

常見圖形的重心(1)線段：中點(diǎn)(2)平行四邊形：對角線的交點(diǎn)(3)三角形：三邊

中線的交點(diǎn)（4）任意多邊形.

填空題（共3小題）

1.（2021?梓潼縣模擬）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知

在對余四邊形A3C￡>中，AB=\O,BC=\2,CD=5,tanB=-,那么邊AD的長為.

2.（2020秋?武漢期中）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形，如圖，在對余四

邊形ABCD中，AB=BC,AD=2>/5,CD=5,ZABC=6O°,則線段89=.

3.（2020?奉化區(qū)校級模擬）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形.如圖，

在RtAABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=\,將AABC沿NABC的平分線58'的方向平

移，得到A'3'C',連接AC',CC,若四邊形ABCC'是等鄰邊四邊形，則平移距離38'的

長度是—.

二.解答題（共18小題）

4.（2021秋?荔灣區(qū)期末）如圖，共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形AABC,△AB'C',^AB=AB',

AC=AC,且N54C+N3/C=180。，我們稱AABC與△ASC'互為"頂補(bǔ)三角形”.

（1）如圖2,AABC是等腰三角形，AABE,A4CD是等腰直角三角形，連接DE；求證:

ZVWC與AADE互為頂補(bǔ)三角形.

(2)在(1)的條件下，BE與CD交于前F,連接AF并延長交8C于點(diǎn)G.判斷。￡與AG

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,四邊形ASCD中，ZB=40°,ZC=50°.在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)尸，使AMD

與AP3C互為頂補(bǔ)三角形，若存在，請畫出圖形，并證明；若不存在，請說明理由.

5.(2021?任城區(qū)校級三模)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做'’等鄰角四邊形”

(1)概念理解：

請你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子：―；

(2)問題探究；

如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中，ZDAB=ZABC,AD,8c的中垂線恰好交于45邊上

一點(diǎn)P,連結(jié)AC,BD,試探究AC與處的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)應(yīng)用拓展;

如圖2,在RtAABC與RtAABD中，ZC=Z￡>=90°,BC=BD=3,鉆=5,將RtAABD繞

著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到AB77(如圖3),當(dāng)凸四邊形AO3C為

等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積.

cAA

6.（2020秋?崇川區(qū)期末）定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對的邊上一點(diǎn)，如果所得

線段把三角形的周長分成相等的兩部分，則稱這條線段為三角形的“周長平分線”.

（1）下列與等腰三角形相關(guān)的線段中，一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是（只

要填序號）；

①腰上的高；②底邊上的中線；③底角平分線.

（2）如圖1,在四邊形A8CQ中，ZB=ZC=45°,P為8c的中點(diǎn)，NAPD=90。.取4）

中點(diǎn)。，連接尸Q.求證：PQ是A4PD的“周長平分線”.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別取AP,DP的中點(diǎn)M,N,如圖2.請?jiān)谏险尹c(diǎn)E,F,

使EM為AAPE的“周長平分線”，/W為ADPF的“周長平分線”.

①用無刻度直尺確定點(diǎn)E,尸的位置（保留畫圖痕跡）；

②若=CD=2應(yīng),直接寫出EF的長.

7.(2021秋?諸暨市期中)【了解概念】

在凸四邊形中(內(nèi)角度數(shù)都小于180"),若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱

該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊.

【理解應(yīng)用】

(1)鄰等四邊形ABC。中，NA=3O。，ZB=7(r,則NC的度數(shù)=°；

(2)如圖，四邊形ABCD為鄰等四邊形，為鄰等邊，且NA=N￡>PC,求證：^ADP^\BPC-,

【拓展提升】

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，A3為鄰等四邊形43CZ)的鄰等邊，且AB邊與x軸重合，己知

A(2,0),C(m,2y/3),D(5,36),若在邊AB上使=的點(diǎn)P有且只有1個(gè)，求

m的值.

8.(2021秋?駐馬店期中)定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形.

(1)矩形—垂等四邊形(填“是”或“不是”);

(2)如圖1,在正方形/WCD中，點(diǎn)E,F,G分別在4D,AB,8c邊上.若四邊形￡>￡FG

是垂等四邊形，且N￡FG=90。，AF=CG,求證：EG=DG；

AC1—

(3)如圖2,在RtAABC中，N4cB=90。，—=2,AB=2百，以AB為對角線，作垂

BC

等四邊形AC8D,過點(diǎn)。作CB的延長線的垂線，垂足為E,且AA8C與ASDE相似，求四

邊形AC3。的面積.

9.（2021秋?市北區(qū)期中）閱讀理解:

如圖1,在四邊形A8CD的邊鉆上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)5重合），分別連接即，

EC,可以把四邊形他CD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做

四邊形MS的邊45上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形

ABCD的邊至上的強(qiáng)相似點(diǎn).

解決問題:

（1）如圖1,ZA=ZB=Z￡>EC=55°,試判斷點(diǎn)E是否是四邊形458的邊A5上的相似

點(diǎn)，并說明理由；

（2）如圖2,在矩形/W8中，AB=5,BC=2,A,B,C,Z）四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)

格中每個(gè)最小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)最小正方形的頂點(diǎn)）上，若圖2中，矩形

ABCD的邊A5上存在強(qiáng)相似點(diǎn)E,貝ijA￡:E3=；

拓展探究：

（3）如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)。落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四

邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

10.（2021秋?蘇家屯區(qū)期中）我們定義對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

如圖點(diǎn)E是四邊形A8CQ內(nèi)一點(diǎn)，已知BE=EC,AE=ED,ZBEC=ZAED=90°,對角

線AC與砒）交于。點(diǎn)，BD與EC交于點(diǎn)、F,AC與交于點(diǎn)G.

（1）求證：四邊形ABC。是垂美四邊形；

（2）猜想四邊形ABCD兩組對邊相、CD與BC、4）之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

（3）若BE=3,AE=4,AB=6,則C￡>的長為.

11.我們學(xué)過了特殊的四邊形，體驗(yàn)了通過作平行線、垂線、延長線等常用方法，把四邊形

問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的重要思想.除了我們學(xué)過的特殊四邊形，還有很多特殊四邊形.我

們定義：四邊形中，除一邊以外其余的部分都在這條邊的同側(cè)，這個(gè)四邊形就叫做凸四邊形；

有一組鄰角相等的凸四邊形就叫做“等鄰角四邊形”，根據(jù)這個(gè)定義，請解決下列問題.

（1）概念理解

如圖（1）,在AABC中，CHJ_43于”，點(diǎn)。、E、F分別是43、BC、AC的中點(diǎn)，連

接￡尸、EF、EH、DE、FH,寫一個(gè)圖形中的“等鄰角四邊形“：（不再添加除圖

形以外的字母）；

（2）解決問題

如圖（2）,四邊形ABCD是“等鄰角四邊形”，S.ZDAB=ZABC,延長45、DC交于點(diǎn)、P.

求證：ADPC=BCPD；

（3）探索研究

如圖（3）,RtAABC中，ZBAC=90°,45=8,AC=4,AD=3,點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)

動點(diǎn)，當(dāng)四邊形成為“等鄰角四邊形”時(shí)，求四邊形的面積.

12.(2021?鄲州區(qū)模擬)定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形稱為垂等四邊形.

(1)寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是—;

(2)如圖1,在正方形498中，點(diǎn)E,F,G分別在AO,AB,3c上，四邊形DEFG

是垂等四邊形，且NER7=90。，AF^CG.

①求證：EG=DG；

②若BC=nBG,求"的值；

(3)如圖2,在RtAABC中，—=2,AB=柩,以/W為對角線，作垂等四邊形AC8D.過

BC

點(diǎn)。作的延長線的垂線，垂足為E,且AACB與AZME相似，求四邊形ACBD的面積.

圖1圖2

13.(2021秋?鄲州區(qū)月考)新定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做

“等對角四邊形”.

(1)已知：如圖1,四邊形ABCD是“等對角四邊形“，NAwNC,ZA=60°,NB=70°,

求/C,/￡＞的度數(shù)

(2)在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時(shí)：小紅畫了一個(gè)“等對角四邊形"A5CO(如圖2),

其中NA8C=ZADC,AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)C8=C￡＞成立.請你證明此結(jié)論

(3)已知：在“等對角四邊形458中，ZZMB=60°,ZABC=90°,49=10,A￡＞=8.求

對角線AC的長.

14.(2021?新吳區(qū)二模)定義：長寬比為?:1(〃為正整數(shù))的矩形稱為?矩形.下面,

我們通過折疊的方式折出一個(gè)&矩形，如圖。所示.

操作1：將正方形反￡尸沿過點(diǎn)A的直線折疊,使折疊后的點(diǎn)8落在對角線他上的點(diǎn)G處，

折痕為AH.

操作2：將FE沿過點(diǎn)G的直線折疊，使點(diǎn)F、點(diǎn)E分別落在邊AF,BE上，折痕為CD.則

四邊形ASCD為0矩形.

(1)證明：四邊形MCZ)為&矩形；

(2)點(diǎn)M是邊AB上一動點(diǎn).

①如圖匕，O是對角線AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)N在邊3c上，QW_LON,連接MN.求tan/QWV

的值；

②若A〃=AD,點(diǎn)N在邊BC上，當(dāng)ADMN的周長最小時(shí)，求竺的值;

NB

③連接CM,作BRJ_a0,垂足為/?.若48=2血，則/次的最小值=

15.（2020?柯城區(qū)校級一模）【定義】若四邊形的一條對角線能將四邊形分割成兩個(gè)相似的

直角三角形，那么我們將這種四邊形叫攣生分割四邊形，這條對角線叫這個(gè)四邊形的季生割

線.

【理解】（1）如圖①，已知RtAABC在正方形網(wǎng)格中，請?jiān)诰W(wǎng)格中找到一個(gè)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的

交點(diǎn)即為格點(diǎn)）。，使以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形為孳生分割四邊形.

（2）若在四邊形98中，ZDAB=ZDCB^nO°,AC為攣生割線，若AC=6,求應(yīng)）的

長.

（3）如圖②，在四邊形中，ZA=ZB=90°,BC>AD,E為/記上一點(diǎn).若四邊形,

OEBC均為李生分割四邊形，求絲.

EB

圖②

16.（2020秋?安徽月考）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)

三角形，如果這兩個(gè)三角形相似(不全等)，我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“相似

對角線”.

圖1圖2圖3

理解：

(1)如圖1,A4SC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)上，若四邊形是以AC為“相

似對角線”的四邊形，請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)。(保留畫圖痕跡，找出3個(gè)即

可)；

(2)①如圖2,在四邊形/WCD中，ZABC=80°,ZADC=140。，對角線砒)平分Z4BC.請

問即是四邊形"CD的"相似對角線”嗎？請說明理由；

②若比＞=4,求AB-8C的值.

運(yùn)用：

(3)如圖3,已知在”是四邊形的“相似對角線”，/"7/=/〃叩=30。.連接立；，

若A￡RG的面積為6百，求尸，的長.

17.(2020春?開福區(qū)校級月考)定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成

了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似(不全等)，我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的

“相似對角線”.

(1)如圖1,已知四邊形ABCD在正方形網(wǎng)格中，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，判斷：四邊形

(填“是”或“不是”)以4。為“相似對角線”的四邊形；

(2)如圖2,在四邊形中，ZABC=80°,ZA/X?=140°,對角線比?平分/ABC.求

證：8。是四邊形他8的“相似對角線”；

(3)如圖3,已知是四邊形防G”的“相似對角線"，N&H=N〃EG=30。.連接EG,

若A￡FG的面積為46，求尸”的長.

18.（2020秋?思明區(qū)校級期末）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”,

回答下列問題.

（1）如圖1,四邊形中，ZA=90°,AB=\,CD=0,ZBCD=NDBC,判斷四

邊形他8是不是“等鄰邊四邊形”，并說明理由；

（2）如圖2,RtAABC中，ZABC=90°,43=2,BC=\,現(xiàn)將RtAABC沿NAfiC的平分

線面方向平移得到連接川，BC,若平移后的四邊形ABCA是“等鄰邊四

邊形"，求8B'的長.

19.（2020春?赫山區(qū)期末）閱讀與探究

我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這

個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.

請結(jié)合上述閱讀材料，解決下列問題：

（1）在我們所學(xué)過的特殊四邊形中，是勾股四邊形的是—；（寫出一種即可）

（2）下面圖1,圖2均為6x6的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，請?jiān)趫D中標(biāo)出格

點(diǎn)。，并連接4）,CD,使得四邊形A3CD符合下列要求：圖1中的四邊形是勾股

四邊形，并且是中心對稱圖形；圖2中的四邊形43CD是勾股四邊形且對角線相等，但不

是中心對稱圖形.

圖1圖2

20.(2020春?奉化區(qū)期末)定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形.

(1)寫出一個(gè)已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是—.

(2)如圖1,在3x3方格紙中，A,B,C在格點(diǎn)上，請畫出兩個(gè)符合條件的不全等的垂

等四邊形，使AC,是對角線，點(diǎn)。在格點(diǎn)上.

(3)如圖2,在正方形中，點(diǎn)E,F,G分別在A￡>,AB,3C上，AE^AF=CG

且NDGC=NDEG,求證：四邊形OEFG是垂等四邊形.

(4)如圖3,已知RtAABC,ZB=90°,NC=30。，AB^2,以AC為邊在AC的右上方

作等腰三角形，使四邊形438是垂等四邊形，請直接寫出四邊形ABCD的面積.

（圖D

21.(2020?武昌區(qū)模擬)定義：頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上的四邊形叫做格點(diǎn)四邊形，端點(diǎn)都在網(wǎng)格

點(diǎn)上的線段叫做格點(diǎn)線.如圖1,在正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)線?！?、CE將格點(diǎn)四邊形ABCD分

割成三個(gè)彼此相似的三角形.請你在圖2、圖3中分別畫出格點(diǎn)線，將陰影四邊形分割成三

四邊形中的新定義問題

知識方法精講

1.解新定義題型的方法：

方法一：從定義知識的新情景問題入手

這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能

力，分析問題和解決問題的能力.因此在解這類型題時(shí)就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的

含義；再運(yùn)用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。

方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手

對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法.即

前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時(shí)，認(rèn)真

閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運(yùn)用的方法步驟.

方法三：從日常生活中的實(shí)際問題入手

對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題,那么處理此類問題需要結(jié)合生活實(shí)際,

再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答。

2.解新定義題型的步驟：

(1)理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.

(2)重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解

題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.

(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

3.多邊形

(1)多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

(2)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.

(3)正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

(4)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一

邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè).②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180。，通常所說

的多邊形指凸多邊形.

（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)

狀態(tài)，此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心.

常見圖形的重心（1）線段：中點(diǎn)（2）平行四邊形：對角線的交點(diǎn)（3）三角形：三邊

中線的交點(diǎn)（4）任意多邊形.

填空題（共3小題）

1.（2021?梓潼縣模擬）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知

在對余四邊形43C3中，AB=IO,BC=12,CD=5,tan8，那么邊4）的長為9.

【考點(diǎn)】解直角三角形

【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH_L8C于〃，過點(diǎn)C作CELAZ）于E,連接AC.解直角三角

形求出AE,。石即可解決問題

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作于H,過點(diǎn)。作于￡,連接AC.

???可以假設(shè)=BH=4k,則AB=5Z=10,

:.k=2?

:.AH=6,BH=8,

?.?BC=12,

:.CH=BC—BH=12—8=4,

AC=y/AH2+CH2=46?+42=2x/13,

???N3+NO=90。，ZD+ZECD=90°,

NECD=/B,

aDF

在RtACED中，tanZECD=-=—,

4EC

???CD=5,

:.DE=3,CE=4,

AE=ylAC2-CE2=7（2>/13）2-42=6，

:.AD=AE+DE=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決

問題，屬于中考?？碱}型.

2.（2020秋?武漢期中）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形，如圖，在對余四

邊形Afi。中，AB=BC,AD=2后,CD=5,ZABC=60°.則線段比>=_36

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)：勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【分析】對余四邊形的定義得出/WC=30。，將ABC。繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到

連接FD,則ABC。=NFBD=4）。,得出BF=BD,AF=CD,ZBDC=ABFA,

則郎田是等邊三角形，得出BF=BD=DF,易證/BE4+NA￡>8=30°,由

NfB￡）+ZBE4+NAD3+/4/Z）+NA￡）F=180°,得出"D+/4DF=90°,則NE4￡>=90°,

由勾股定理即可得出結(jié)果.

【解答】解：?.?對余四邊形ABC3中，ZAfiC=60°,

:.ZADC=30°,

\AB=BC,

.?.將ABCD繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到AE4F,連接包）,如圖所示，

：.\BCD^^BAF,NFBD=6O。

:.BF=BD,AF=CD,ZBDC=ZBFA,

.?.ABED是等邊三角形，

:.BF=BD=DF,

???NADC=30。，

.-.ZADfi+ZBZ)C=30o,

/.ZBM+ZADB=30°,

\ZFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=18(r9

/.60°4-30°+ZAFE>+Z4￡)F=180O,

/.ZAFD+ZADF=90°,

/.ZM￡)=90°,

/.AD2+AF2=DF2,

AD2+CD2=BD2,

.?.^D2=(2V5)2+52=45,

?/BD>0,

BD=3A/5?

故答案為：36.

5C

【點(diǎn)評】本題考查了對余四邊形的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)

角和定理、勾股定理等知識；熟練掌握對余四邊形的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?奉化區(qū)校級模擬）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形.如圖，

在RtAABC中，Z4BC=90°,Afi=2,BC=1,將A4BC沿Z43C的平分線38'的方向平

移，得到AB'C',連接AC,CC,若四邊形A8CC'是等鄰邊四邊形，則平移距離33'的

長度是1或*夜.

2一

B'

C

A--------------B

【考點(diǎn)】勾股定理；平移的性質(zhì)

【分析】由平移的性質(zhì)得到=,AB^//AB,A笈=43=2,SC=BC=\,

A'C'=AC=45,①如圖，當(dāng)CC=BC時(shí)，BB=CC=BC=1；②如圖，當(dāng)AC=AB=2時(shí)，

③如圖2,當(dāng)AC=CC時(shí)，則AC=39，延長C夕交AB于“，設(shè)BH=BH=x,根據(jù)

勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：；將RtAABC平移得到^AB'C,

:.BB=CC,AB1//AB,AB'=AB=2,BC=BC=l,A'C'=4C=行，

①如圖1,當(dāng)CC=BC時(shí)，BH=CC=BC=\x

②如圖1,當(dāng)AC=43=2時(shí)，

-.-ZABC=90°,即是NABC的角平分線，

:.NSBA=45°,

延長C宣交AB于H,

■:KBI/AB,ZA6C=90°,

:.ZAHC=ZAl^C=90o,

:.NBHB=90°,

設(shè)BH=8H=x,

BB'=yf2x>AH=2—x,CH=\+x>

AC'=AH2+CH',

22=(2-X)2+(1+X)2,

整理方程為：2X2-2X+1=0,

△=4-8=T<0,

，此方程無實(shí)數(shù)根，故這種情況不存在；

③如圖2,當(dāng)AC=CC時(shí)，則=

延長CB1交至于”，

?.?A'37/AB,NA'8C=90°,

:.ZAHC^ZA!B^C=90°,

:.NBHB=90°,

設(shè)BH=BH=x,

BB'=AC=x/2x,AH=2-x,CH=l+x,

AC'2=AH2+CH2,

(^X)2=(2-X)2+(1+X)2,

解得：x

：.BB'=-y/2,

2

綜上所述，若四邊形MCC是等鄰邊四邊形，則平移距離?的長度是I或卡,

故答案為：1或3血.

【點(diǎn)評】此題主要考查勾股定理，平移的性質(zhì)，理解“等鄰邊四邊形”的定義是解本題的關(guān)

鍵.

二.解答題（共18小題）

4.（2021秋?荔灣區(qū)期末）如圖，共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形AABC,△AB'C,若A3=A?,

AC=AC,且NS4C+N8AC=180。，我們稱AABC與△ABC'互為"頂補(bǔ)三角形”.

（1）如圖2,AABC是等腰三角形，MBE,A4CD是等腰直角三角形，連接。E；求證:

AABC與A4ZJE互為頂補(bǔ)三角形.

（2）在（1）的條件下，BE與CD交于點(diǎn)F,連接AF并延長交3c于點(diǎn)G.判斷DE與AG

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,四邊形ABC￡>中，N8=40。，ZC=50°.在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使AE4Q

與APBC互為頂補(bǔ)三角形，若存在，請畫出圖形，并證明；若不存在，請說明理由.

【考點(diǎn)】三角形綜合題

【分析】(1)等腰三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得4D=45=AC=AE,

ZDAC=ZBAE=90°,可證/&4。+/公鉆=180°,可得結(jié)論；

(2)先證AG是BC的垂直平分線，再由“A4S”可證A4DHWM4G,可得AG=￡>"，

即可得結(jié)論；

(3)延長CD交84延長線于點(diǎn)Q,作CD的垂直平分線EP交43的垂直平分線于點(diǎn)尸，

連接CP,DP,AP,BP,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得PC=P￡>,PA=PB,PELCD,

PFA.AB,由等腰三角形的性質(zhì)可得/Z)PE=NCPE,ZAPF="PF,可證

ZAPD+ZBPC=]S00,即可證AMD與APBC互為“頂補(bǔ)三角形”.

【解答】(1)證明：?.?AABC是等腰三角形，AABE,AAC。是等腰直角三角形，

:.AD=AB=AC=AE,ZDAC=ZBAE=90°,

:.ZDAB+ABAC+ZBAE^\8Q0,

:.ZBAC+ZDAE=]80°,

AABC與AADE互為頂補(bǔ)三角形；

(2)DE=2AD,理由如下：

如圖2,設(shè)AG與?！甑慕稽c(diǎn)為H,AB與CD交于點(diǎn)Q,AC與BE交于點(diǎn)N,

圖2

???A4BC是等腰三角形，AABE,AACD是等腰直角三角形,

:.AB=AC=AD=AEfZABE=ZACD=45°,ADAC=ABAE=9QP,

.\ZBAD=ZCAE,

?;ZABE=ZACD,AB=AC,ABAC=ABAC,

.,.AA8N二AACQ(ASA),

/.AQ=ANf

BQ=CN,

又?.?NABF=/ACF,zLBFQ=4CFN,

:.ABFQ"CFN(AAS),

:.BF=CF,

又?.?AB=AC,

.??川是8c的垂直平分線，

又??AB=AC,

:.ZBAG=ZCAG,

:.ZDAH=ZEAH9

又,.?AO=AE,

:.DH=HE,AH上DE,

-.AG1BC,

/.ZABG+NBAG=90。=ADAH+ZC4G,

:.ZABG=ZDAH.

又?.?M=AD,ZAHD=ZAGB=90°,

:.AADH=^BAG(AAS),

:.DH=AG,

:.DE=2AG.

(3)證明：如圖，延長CD交B4延長線于點(diǎn)Q,作CD的垂直平分線石。交43的垂直平

分線于點(diǎn)P,連接CP,DP,AP,BP,

?.?即垂直平分8，PF垂直平分AB,

:.PC=PD,PA=PB,PELCD,PFYAB,

:.ZDPE=ZCPE,ZAPF=ZBPF,

ZABC+ADCB=400+50°=90°,

.-.ZQ=90°,

又YPEICD,PFA.AB,

：.ZEPF=90°,

：.ZAPD+ZDPE+ZAPF=90P,

ZAPD+ZBPC=ZAPD+ZEPF+NCPE+ABPF=ZAPD+ZDPE+ZAPF+9（T,

/.ZAPD+ZBPC=l80°,HPC=PD,PA=PB,

:."AD與APBC互為“頂補(bǔ)三角形”.

【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形

的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

5.（2021?任城區(qū)校級三模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

（1）概念理解：

請你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子：矩形或正方形；

（2）問題探究；

如圖1,在等鄰角四邊形43a）中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂線恰好交于河邊上

一點(diǎn)P,連結(jié)AC,BD,試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（3）應(yīng)用拓展;

如圖2,在RtAABC與RtAABD中，ZC=ZD=90°,BC=BD=3,/W=5,將RtAABD繞

著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到心△（如圖3）,當(dāng)凸四邊形AD8C為

等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積.

圖1圖2圖3

【考點(diǎn)】四邊形綜合題

【分析】(1)矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；

(2)結(jié)論：AC=BD,證明A4PC三ADPB(SAS)；

(3)分兩種情況考慮：I、當(dāng)NAZ73=NZ7BC時(shí)，延長A。，CB交于點(diǎn)E,如圖1,由

^m=^CE-S^:iy,求出四邊形AC皮7面積；

II、當(dāng)ZZ7BC=ZACB=90°時(shí)，過點(diǎn)〃作DELAC于點(diǎn)E,如圖2,由

S四邊彩AC?/=^&AEiy+S矩惋cm，求出四邊形ACBD面積即可?

【解答】解：(1)矩形或正方形是一個(gè)等鄰角四邊形.

故答案為：矩形，正方形；

(2)結(jié)論：AC^BD,

理由：連接叨，PC,如圖1所示:

?.?莊是")的垂直平分線，尸尸是BC的垂直平分線，

:.PA=PD,PC=PB,

:.ZPAD=ZPDA,ZPBC=APCB,

.-.ZDPB=2ZPAD,ZAPC=2ZPBC,BPZPAD=ZPBC,

:.ZAPC=ZDPB,

:自PC^ADPB(SAS),

1.AC=BD；

(3)分兩種情況考慮：

⑺當(dāng)/AZ7B=NZ73C時(shí)，延長AO,CB變千點(diǎn)、E,

如圖3(i)所示，

A

：.ZEDB=Z￡BD,

:.EB=ED,

設(shè)EB=ED=x,

由勾股定理得：42+(3+X)2=(4+X)2,

解得：x=4.5,

過點(diǎn)。作。FLCE于E,

：.DF//AC,

△EDF^AEAC,

DFED'D'F4.5

----=-----,即gn-----=--------

ACAE44+4.5

36

解得：DfF=

n

1|1fQ1

r

.\SMC￡=-ACXEC=-X4X(3+4.5)=15；S^.=-xBExDF=-xx4.5x—=

貝US四邊形ACS。=S.CE-SgED，=15——=

(")當(dāng)NZ7BC=NACB=90。時(shí)，過點(diǎn)〃作。EJ_AC于點(diǎn)E,

如圖3(")所示,

???四邊形是矩形,

,\ED=BC=3,

在RtAAED中，根據(jù)勾股定理得：AE=W-3'=近，

11Opl

■■SMEIy=^AExED'=-x//x3=^-,S矩腕=慮*。3=（4-"卜3=12-3々,

則S四邊形AC8ZT=^MED'+^M^ECBD'=乎+12-3"=12-孚.

【點(diǎn)評】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)

角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等

鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考常考題.

6.（2020秋?崇川區(qū)期末）定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對的邊上一點(diǎn)，如果所得

線段把三角形的周長分成相等的兩部分，則稱這條線段為三角形的“周長平分線”.

（1）下列與等腰三角形相關(guān)的線段中，一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是②

（只要填序號）；

①腰上的高；②底邊上的中線；③底角平分線.

（2）如圖1,在四邊形ABC。中，NB=NC=45。,P為8C的中點(diǎn)，ZAPD=90°.取4）

中點(diǎn)Q，連接PQ.求證：P。是AAP。的“周長平分線”.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別取AP,。尸的中點(diǎn)M,N,如圖2.請?jiān)?c上找點(diǎn)E,F,

使為A4PE的“周長平分線”，F(xiàn)N為ADPP的“周長平分線”.

①用無刻度直尺確定點(diǎn)E,尸的位置（保留畫圖痕跡）；

②若48=0,CD=2A/2,直接寫出￡F的長.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題

【分析】（1）由等腰三角形的底邊上的中線平分底邊可求解；

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得=ZB=NPHC=NC=45。,ZBPH=90°,

由“ASA”可證=AHAD,可得依二包），可得結(jié)論；

（3）①由QM是AP的中垂線，QN是尸。的中垂線可求解：

②如圖2,過點(diǎn)A作A/7L8C于“，過點(diǎn)。作QGJ.8C于G,連接AE,DF,由“A4S”

可證AAPH三APDG,可得47=PG=1,PH=DG=2,由勾股定理可求PE,PF的長,

即可求解.

【解答】(1)解：一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是底邊上的中線，

故答案為：②；

(2)證明：如圖1,延長BA,CD交于點(diǎn)“，連接

vZfi=ZC=45°,

:.NBHC=90。,BH=CH,

??,P為8c的中點(diǎn)，

:.BP=PC=HP,NB=ZPHC=NC=45°,ZBPH=90°,

.-.ZBPH=ZAPD,

.-.ZBPA^ZHPD,

:.ABPA=AHPD(ASA),

：.AP=PD,

?.?點(diǎn)Q是A￡＞的中點(diǎn)，

AQ=DQ,

:.AQ+AP=PD+I)Q,

r.PQ是AAPD的''周長平分線”；

(3)①如圖2,連接QM并延長交8c于點(diǎn)E,連接QV并延長交BC于點(diǎn)尸，則點(diǎn)E,點(diǎn)

F為所求，

D

圖2

②如圖2,過點(diǎn)A作于"，過點(diǎn)。作DGJ.BC于G,連接AE,DF,

圖2

-.?Zfi=ZC=45°,

.\ZBAH=ZB=45°,ZC=ZCDG=45°,

：.AH=BH,DG=CG,

AB=&,CD=2V2,

，AH=BH=1,DG=CG=2,

???NA尸。=90。,

:.ZAPH-^ZDPG=90°=ZAPH+ZPAH,

:"PAH=ADPG,

又?.?AP=DP,ZAHP=NDGP=90°,

:./^APH^APDG(AAS),

.?.AH=PG=1,PH=DG=2,

vAP=PQ,N4PZ)=90。，點(diǎn)。是AD的中點(diǎn),

AAQ=PQ=QD,PQLAD,

??,點(diǎn)M,點(diǎn)N分別是AP,DP的中點(diǎn)，

.?.QE是AP的中垂線，QF是DP的中垂線，

1.AE=PE,DF=PF,

-AE2=AH2+HE\

/.PE2=1+(2-PE)2,

同理可求PF=3,

2

:.EF=PE+PF=—.

4

【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理等知識，理解三角形的“周長平分線”的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?諸暨市期中）【了解概念】

在凸四邊形中（內(nèi)角度數(shù)都小于180"）,若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱

該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊.

【理解應(yīng)用】

（1）鄰等四邊形A38中，Z4=30。，NB=7CP,則NC的度數(shù)=130。:

（2）如圖，四邊形ABCZ）為鄰等四邊形，43為鄰等邊，且NA="PC,求證：^ADP^\BPC；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，回為鄰等四邊形ABCD的鄰等邊，且四邊與x軸重合，已知

A（2,0）,C（九26）,。（5,3&）,若在邊河上使的點(diǎn)P有且只有I個(gè)，求

m的值.

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】（1）分三種情況考慮：①由8C為鄰等邊，②由4）為鄰等邊，③由C￡>為鄰等邊，

根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；

（2）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；

（3）分兩種情況：①若點(diǎn)8在點(diǎn)A右側(cè)，如圖1,過點(diǎn)。作DGLx軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作

軸于點(diǎn)”，由他為鄰等邊，則有Nm8=NA3C=Nr>PC,可證

可得絲=絲，設(shè)點(diǎn)p（〃,0）,由三角函數(shù)可求N3AO=60。，可求5、C橫坐標(biāo)之差為2,

BCBP

3（〃?+2,0）,將AP,BP,AD,BC,代入得：*_（a+4）〃+2（機(jī)+14）=0,由于在邊A8

上使=的點(diǎn)P有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別

式即可求得答案；

②若點(diǎn)3在點(diǎn)A左側(cè)，如圖2,過點(diǎn)。作DG，元軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)”，

根據(jù)AAPQsABCP,可得理=絲，同①方法即可求得答案.

BCBP

【解答】解：(1)①若5c為鄰等邊，則NC=NB=70。，

ZD=360°-ZA-ZB-ZC=190°

不為凸四邊形，所以舍去；

②若AD為鄰等邊，則ND=N4=30。，

ZC=36()o-ZA-ZB-ZC=230o(舍)；

③若CD為鄰等邊，則NC=ZD,

ZC=ZD=(360°-ZA-ZB)2=130°,

/.ZC=130°.

故答案為：130；

(2)證明：?.?四邊形ABC。為鄰等四邊形，43為鄰等邊，

/.ZA=ZB,

,;ZA=/DPC,

,\ZA=ZB=ZDPC,

?.?ZA+ZADP+ZAPD=180°,ZAPD+ZDPC+ZBPC=180°,

:.ZADP=ZBPC,

:2DPsM3PC;

(3)①若點(diǎn)3在點(diǎn)A右側(cè)，如圖1,過點(diǎn)。作。GJ_x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作CH,無軸于點(diǎn)

H,

???川為鄰等邊，

:./BAD=ZABC,

-,ZDPC=ZBAD,

:.ZBAD=ZABC=ZDPC,

???ZB4D+ZADP+ZAPD=180。，乙針D+/DPC+/BPC=T80。,

ZADP=/BPC,

/.AADP^ABPC,

A尸AD

..----------,

BCBP

設(shè)點(diǎn)P(〃,0),

?.?A(2,0),。(5,3匹，

.?.G(5,0),

DG=3x/3,AG=3,

_DG3>/3rz

「.tan/DAG=-----=------—y/3,

AG3

/.ZZMG=60°,

:"DPC=/BAD=6O0,

9=6,

.-.AD=-PG

sinZDAGsin60°

由(2)知，MDPsXBPC,

:.ZCBP^ZPAD=6O°,

?/C(w,2x/3),

CH=2^3,

.BH二CH262pc=CH

tanNCBPtan60°-'_sinNC8P-sin60。一

BP=m+2—n,AP=n—2，

AP_AD

n—2_6

4m+2-n

n2-(m+4)〃+2(m+14)=0,

???在邊AB上使NOPC=N84O的點(diǎn)P有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,

/.△=[-(m+4)]2—4x1x2?！?14)=0,

/.m=±4>/6,

???點(diǎn)5在點(diǎn)A右側(cè),

m=4>/6；

②若點(diǎn)8在點(diǎn)A左側(cè)，如圖2,過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)”，

?.?42,0),0(5,3?

.\ZZMG=60°,

:.ZDAB=ZCBA=ZCPD=120°,

?.-ZZMB+ZAPD+ZADP=180°,ZAPD+ZCPD+ZCPB=180°,

:.ZADP=NCPB,

:.\APD^\BCP,

APAD

..---=---,

BCBP

由①得：8("z+2,0),C(m,2向,P(n,0),

AP=2-n,BP=n—m—2,4)=6,BC=4,

2-n_6

4n—in-2

n2-(m+4)n+2(m+14)=0,

???在邊?上使NDPC=ZB4Z)的點(diǎn)F有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根,

△=[一(加+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4^6,

???點(diǎn)3在點(diǎn)A左側(cè)，

/.m=-4\/6；

綜上所述，m=±4".

圖2

【點(diǎn)評】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會驗(yàn)證

新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一元二次方程根的判別式，利用相

似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于"的一元二次方程是解題關(guān)鍵.

8.(2021秋?駐馬店期中)定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形.

(1)矩形是垂等四邊形(填“是”或“不是”);

(2)如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)E,F,G分別在A￡>,AB,BC邊上.若四邊形DEFG

是垂等四邊形，且NEFG=9O°,AF=CG,求證：EG=DG；

(3)如圖2,在RlAABC中，ZACfi=90°,—=2,AB=26，以AB為對角線，作垂

BC

等四邊形ACB。，過點(diǎn)。作C8的延長線的垂線，垂足為E,且AABC與相似，求四

邊形ACB。的面積.

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】(1)根據(jù)“垂等四邊形”的定義進(jìn)行分析；

(2)通過AAO/三ACDG的性質(zhì)推知￡)F=DG；然后根據(jù)四邊形OEFG是垂等四邊形的性

質(zhì)知EG=Ob；最后由等量代換證得結(jié)論；

(3)如圖2,過點(diǎn)。作OQLAC,垂足為F,構(gòu)造矩形CEZ)在RtAABC中，利用勾股

定理求得AC=2,BC=1.再由垂等四邊形四邊形AC8O的性質(zhì)知AB=8=2右.

分兩種情況：當(dāng)AACBSABED時(shí)，利用相似三角形