2025年中考數(shù)學(xué)考點分類專題歸納之平面直角坐標系與函數(shù)基礎(chǔ)知識

2025年中考數(shù)學(xué)考點分類專題歸納平面直角坐標系與函數(shù)基礎(chǔ)知識【知識梳理】平面直角坐標系知識點一、有序數(shù)對把一對數(shù)按某種特定意義，規(guī)定了順序并放在一起就形成了有序數(shù)對，人們在生產(chǎn)生活中經(jīng)常以有序數(shù)對為工具表達一個確定的意思，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用來表示電影院的座位，其中前一數(shù)表示排數(shù)，后一數(shù)表示座位號．知識點二、平面直角坐標系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標系，如下圖：備注：（1）坐標平面內(nèi)的點可以劃分為六個區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，這六個區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個公共點（原點）外，其他區(qū)域之間均沒有公共點．（2）在平面上建立平面直角坐標系后，坐標平面上的點與有序數(shù)對（x，y）之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，這樣就將“形”與“數(shù)”聯(lián)系起來，從而實現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化．（3）要熟記坐標系中一些特殊點的坐標及特征：①x軸上的點縱坐標為零；y軸上的點橫坐標為零．②平行于x軸直線上的點橫坐標不相等，縱坐標相等；平行于y軸直線上的點橫坐標相等，縱坐標不相等．③關(guān)于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點橫、縱坐標分別互為相反數(shù)．④象限角平分線上的點的坐標特征：一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)．注：反之亦成立．（4）理解坐標系中用坐標表示距離的方法和結(jié)論：①坐標平面內(nèi)點P(x，y)到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|．②x軸上兩點A(x1，0)、B(x2，0)的距離為AB=|x1-x2|；y軸上兩點C(0，y1)、D(0，y2)的距離為CD=|y1-y2|．③平行于x軸的直線上兩點A(x1，y)、B(x2，y)的距離為AB=|x1-x2|；平行于y軸的直線上兩點C(x，y1)、D(x，y2)的距離為CD=|y1-y2|．（5）利用坐標系求一些知道關(guān)鍵點坐標的幾何圖形的面積：切割、拼補知識點三、坐標方法的簡單應(yīng)用1．用坐標表示地理位置(1)建立坐標系，選擇一個適當?shù)膮⒄拯c為原點，確定x軸、y軸的正方向；(2)根據(jù)具體問題確定適當?shù)谋壤?，在坐標軸上標出單位長度；(3)在坐標平面內(nèi)畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱．備注：(1)我們習(xí)慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標系的關(guān)鍵是確定原點的位置．(2)確定比例尺是畫平面示意圖的重要環(huán)節(jié)，要結(jié)合比例尺來確定坐標軸上的單位長度．2．用坐標表示平移(1)點的平移點的平移引起坐標的變化規(guī)律：在平面直角坐標中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點(x，y+b)(或(x，y-b))．備注：上述結(jié)論反之亦成立，即點的坐標的上述變化引起的點的平移變換．(2)圖形的平移在平面直角坐標系內(nèi)，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．備注：平移是圖形的整體運動，某一個點的坐標發(fā)生變化，其他點的坐標也進行了相應(yīng)的變化，反過來點的坐標發(fā)生了相應(yīng)的變化，也就意味著點的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”．函數(shù)基礎(chǔ)知識點一、變量、常量的概念在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量．數(shù)值保持不變的量叫做常量．備注：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對某個變化過程而言的．知識點二、函數(shù)的定義一般地，在一個變化過程中．如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．備注：對于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個方面去理解：（1）函數(shù)的實質(zhì)，揭示了兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；（2）對于自變量x的取值，必須要使代數(shù)式有實際意義；（3）判斷兩個變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對于x允許取的每一個值，y是否都有唯一確定的值與它相對應(yīng)．知識點三、函數(shù)值y是x的函數(shù)，如果當x＝a時y＝b，那么b叫做當自變量為a時的函數(shù)值．備注：對于每個確定的自變量值，函數(shù)值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個函數(shù)值對應(yīng)的自變量可以是多個．比如：y=x2中，當函數(shù)值為4時，自變量x的值為±2．知識點四、自變量取值范圍的確定1、使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實數(shù)叫自變量的取值范圍．2、自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：（1）當解析式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數(shù)；（2）當解析式是分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數(shù)；（3）當解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實數(shù)；（4）當解析式中含有零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪時，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的底數(shù)不為零；（5）當解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義．知識點五、函數(shù)的幾種表達方式：（1）解析式法：用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)關(guān)系式，也稱函數(shù)的解析式．（2）列表法：函數(shù)關(guān)系用一個表格表達出來的方法．（3）圖象法：用圖象表達兩個變量之間的關(guān)系．備注：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長處．解析式法能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值，這會對某些特定的數(shù)值帶來一目了然的效果；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢，而且對于一些無法用解析式表達的函數(shù)，圖象可以充當重要角色．知識點六、函數(shù)的圖象對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．備注：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點、連線．列表時，自變量的取值范圍應(yīng)注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)?yīng)的函數(shù)值太大或太小，以便于描點和全面反映圖象情況．1.(2024廣西貴港，5，3分)若點A(1+m，1﹣n)與點B(﹣3，2)關(guān)于y軸對稱，則m+n的值是()A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．12．2024江蘇揚州）在平面直角坐標系的第二象限內(nèi)有一點M，點M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為4，則點M的坐標是（）A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）3．(2024廣東廣州)在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點O出發(fā)，按向右，向上，向右，向下的方向依次不斷移動，每次移動1m．其行走路線如圖所示，第1次移動到A1，第2次移動到A2，…，第n次移動到An．則△OA2A2024的面積是（）A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m24．2024北京）如圖是老北京城一些地點的分布示意圖．在圖中，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，有如下四個結(jié)論：①當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣6，﹣3）時，表示左安門的點的坐標為（5，﹣6）；②當表示天安門的點的坐標為（0，0），表示廣安門的點的坐標為（﹣12，﹣6）時，表示左安門的點的坐標為（10，﹣12）；③當表示天安門的點的坐標為（1，1），表示廣安門的點的坐標為（﹣11，﹣5）時，表示左安門的點的坐標為（11，﹣11）；④當表示天安門的點的坐標為（1.5，1.5），表示廣安門的點的坐標為（﹣16.5，﹣7.5）時，表示左安門的點的坐標為（16.5，﹣16.5）．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④5．2024浙江金華）小明為畫一個零件的軸截面，以該軸截面底邊所在的直線為x軸，對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．若坐標軸的單位長度取1mm，則圖中轉(zhuǎn)折點P的坐標表示正確的是（）A．（5，30） B．（8，10） C．（9，10） D．（10，10）6．(2024遼寧大連)在平面直角坐標系中，點(﹣3，2)所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍為x＞1的是（）A． B． C． D．y＝（x﹣1）08．2024湖北荊門）在函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤19．2024湖北黃岡）函數(shù)y中自變量x的取值范圍是（）A．x≥﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．﹣1≤x＜110．2024青海）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（）A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠1 C．x≠1 D．x≥﹣2或x≠111．2024重慶B）根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是4或7時，輸出的y值相等，則b等于（）A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣712．2024青海）均勻地向一個容器注水，最后將容器注滿．在注水過程中，水的高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示，這個容器的形狀可能是（）A． B． C． D．13．2024內(nèi)蒙古赤峰）有一天，兔子和烏龜賽跑．比賽開始后，兔子飛快地奔跑，烏龜緩慢的爬行．不一會兒，烏龜就被遠遠的甩在了后面．兔子想：“這比賽也太輕松了，不如先睡一會兒．”而烏龜一刻不停地繼續(xù)爬行．當兔子醒來跑到終點時，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)到達了終點．正確反映這則寓言故事的大致圖象是（）A． B． C． D．14．2024江蘇鎮(zhèn)江）甲、乙兩地相距80km，一輛汽車上午9：00從甲地出發(fā)駛往乙地，勻速行駛了一半的路程后將速度提高了20km/h，并繼續(xù)勻速行駛至乙地，汽車行駛的路程y（km）與時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，該車到達乙地的時間是當天上午（）A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：5015．2024寧夏）如圖，一個長方體鐵塊放置在圓柱形水槽容器內(nèi)，向容器內(nèi)按一定的速度均勻注水，60秒后將容器內(nèi)注滿．容器內(nèi)水面的高度h（cm）與注水時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）A． B． C． D．16．2024黑龍江齊齊哈爾）如圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了齊齊哈爾市的春季某天氣溫T如何隨時間t的變化而變化，下列從圖象中得到的信息正確的是（）A．0點時氣溫達到最低 B．最低氣溫是零下4℃ C．0點到14點之間氣溫持續(xù)上升 D．最高氣溫是8℃17．2024內(nèi)蒙古通遼）小剛從家去學(xué)校，先勻速步行到車站，等了幾分鐘后坐上了公交車，公交車勻速行駛一段時間后到達學(xué)校，小剛從家到學(xué)校行駛路程s（單位：m）與時間t（單位：min）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．18．2024湖北隨州）“龜兔賽跑”這則寓言故事講述的是比賽中兔子開始領(lǐng)先，但它因為驕傲在途中睡覺，而烏龜一直堅持爬行最終贏得比賽，下列函數(shù)圖象可以體現(xiàn)這一故事過程的是（）A． B． C． D．19．2024四川達州）如圖，在物理課上，老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中，然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則下圖能反映彈簧測力計的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．20．2024湖南長沙）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家，如圖反映了這個過程中，小明離家的距離y與時間x之間的對應(yīng)關(guān)系．根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）A．小明吃早餐用了25min B．小明讀報用了30min C．食堂到圖書館的距離為0.8km D．小明從圖書館回家的速度為0.8km/min21．2024山東濱州）如果規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[2.3]＝2，那么函數(shù)y＝x﹣[x]的圖象為（）A． B． C． D．22．如圖1，在矩形ABCD中，點E在CD上，∠AEB＝90°，點P從點A出發(fā)，沿A→E→B的路徑勻速運動到點B停止，作PQ⊥CD于點Q，設(shè)點P運動的路程為x，PQ長為y，若y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當x＝6時，PQ的值是（）A．2 B． C． D．123．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，動點P從點A出發(fā)，以cm/s的速度沿AB方向運動到點B，動點Q同時從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線AC→CB方向運動到點B．設(shè)△APQ的面積為y（cm2），運動時間為x（s），則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是（）A． B． C． D．24．如圖，矩形ABCD中，E是AB的中點，將△BCE沿CE翻折，點B落在點F處，tan∠DCE．設(shè)AB＝x，△ABF的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．25．如圖，邊長為2的正△ABC的邊BC在直線l上，兩條距離為1的平行直線a和b垂直于直線l，a和b同時向右移動（a的起始位置在B點），速度均為每秒1個單位，運動時間為t（秒），直到b到達C點停止，在a和b向右移動的過程中，記△ABC夾在a和b之間的部分的面積為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．26．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，點P從點B出發(fā)沿著B→A→C的路徑運動，同時點Q從點A出發(fā)沿著A→C→D的路徑以相同的速度運動，當點P到達點C時，點Q隨之停止運動，設(shè)點P運動的路程為x，y＝PQ2，下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．27．如圖，點A的坐標為（0，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作Rt△ABC，使∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，設(shè)點B的橫坐標為x，點C的縱坐標為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．28．2024四川廣安）已知點P為某個封閉圖形邊界上一定點，動點M從點P出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周，設(shè)點M的運動時間為x，線段PM的長度為y，表示y與x的函數(shù)圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）A． B． C． D．29．2024新疆烏魯木齊）如圖①，在矩形ABCD中，E是AD上一點，點P從點B沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止；點Q從點B沿BC運動到點C時停止，速度均為每秒1個單位長度．如果點P、Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t，△BPQ的面積為y，已知y與t的函數(shù)圖象如圖②所示，以下結(jié)論：①BC＝10；②cos∠ABE；③當0≤t≤10時，yt2；④當t＝12時，△BPQ是等腰三角形；⑤當14≤t≤20時，y＝110﹣5t，其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個30．2024山東省煙臺）如圖，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→D→C方向勻速運動，同時點Q從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A→B→C方向勻速運動，當一個點到達點C時，另一個點也隨之停止．設(shè)運動時間為t（s），△APQ的面積為S（cm2），下列能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．31．2024安徽）如圖，直線l1，l2都與直線l垂直，垂足分別為M，N，MN＝1．正方形ABCD的邊長為，對角線AC在直線l上，且點C位于點M處．將正方形ABCD沿l向右平移，直到點A與點N重合為止．記點C平移的距離為x，正方形ABCD的邊位于l1，l2之間部分的長度和為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．32．如圖所示，已知△ABC中，BC＝12，BC邊上的高h＝6，D為BC上一點，EF∥BC，交AB于點E，交AC于點F，設(shè)點E到邊BC的距離為x．則△DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．33．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，動點P從點A開始沿AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動