《機(jī)器人技術(shù)-建模、仿真及應(yīng)用》課件全套 韓亞麗 第1-6章 緒論、機(jī)器人運(yùn)動學(xué)- 機(jī)器人關(guān)節(jié)控制

ROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用緒論第一章

目錄PART.1PART.4PART.3PART.21.1機(jī)器人的定義1.2機(jī)器人的分類1.3機(jī)器人基礎(chǔ)知識1.4機(jī)器人的主要研究內(nèi)容注：本書后續(xù)所有仿真程序基于2016b版MATLAB，需安裝RoboticsToolbox（機(jī)器人工具箱）機(jī)器人的定義PART.1概念在發(fā)展，定義在變化，關(guān)于機(jī)器人有多種定義國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（InternationalOraganizationforStandardization,IOS）

機(jī)器人是一種自動的、位置可控的、具有編程能力的多功能機(jī)械手，這種機(jī)械手具有幾個(gè)軸，能夠借助于可編程序操作來處理各種材料、零件、工具和專用裝置，以執(zhí)行種種任務(wù)。美國國家標(biāo)準(zhǔn)局（NationalBureauofStandards,NBS）一種能夠進(jìn)行編程，并在自動控制下執(zhí)行某些操作和移動作業(yè)任務(wù)的機(jī)械裝置。機(jī)器人的定義概念在發(fā)展，定義在變化，關(guān)于機(jī)器人有多種定義日本工業(yè)機(jī)器人協(xié)會（JapaneseIndustrialRobotAssociation，JIRA）

工業(yè)機(jī)器人是一種帶有存儲器件和末端執(zhí)行器的通用機(jī)械，它能夠通過自動化的動作替代人類勞動。GB/T12643---2013<<機(jī)器人與機(jī)器人裝備詞匯>>

機(jī)器人是具有兩個(gè)或兩個(gè)以上可編程的軸，以及一定程度的自主能力，可在其工作環(huán)境內(nèi)運(yùn)動以執(zhí)行預(yù)期的任務(wù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。機(jī)器人的定義機(jī)器人特征如下:動作機(jī)構(gòu)具有類似于人或其他生物體某些器官（肢體、感官等）的功能具有通用性，工作種類多樣，動作程序靈活易變具有不同程度的智能性，如記憶、感知、推理、決策、學(xué)習(xí)等具有獨(dú)立性，完整的機(jī)器人系統(tǒng)，在工作中可以不依賴于人的干預(yù)機(jī)器人的定義機(jī)器人的分類PART.2機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動形態(tài)分類驅(qū)動方式分類控制器信息輸入/示教方法用途分類直角坐標(biāo)機(jī)器人直角坐標(biāo)機(jī)器人定義：直角坐標(biāo)型機(jī)器人手部空間位置的改變是通過沿3個(gè)互相垂直軸線的移動來實(shí)。優(yōu)點(diǎn)：位置精度高、控制簡單、避障性好。缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)較龐大、動作范圍小、靈活性差。圓柱坐標(biāo)機(jī)器人圓柱坐標(biāo)機(jī)器人定義：機(jī)器人手臂的運(yùn)動系由垂直立柱內(nèi)的伸縮和沿著立柱的升降兩個(gè)直線運(yùn)動，以及手臂繞立柱的轉(zhuǎn)動復(fù)合而成。優(yōu)點(diǎn)：位置精度高、控制簡單、避障性好。缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)龐大、設(shè)計(jì)復(fù)雜移動軸。機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動形態(tài)分類定義：球坐標(biāo)型機(jī)器人手臂的運(yùn)動由一個(gè)移動和兩個(gè)轉(zhuǎn)動組成，即手臂沿軸的伸縮、繞軸的俯仰和繞軸的回轉(zhuǎn)。優(yōu)點(diǎn)：占地面積小、結(jié)構(gòu)緊湊等。缺點(diǎn)：避障性差、平衡性差等定義：

SCARA型機(jī)器人手臂的前端結(jié)構(gòu)采用在二維空間內(nèi)能任意移動的自由度。SCARA型機(jī)器人更能簡單地實(shí)現(xiàn)二維平面上的動作，常用于裝配作業(yè)中。特征：垂直方向剛性高，水平面內(nèi)剛性低等。球坐標(biāo)機(jī)器人球坐標(biāo)機(jī)器人SCARA型機(jī)器人SCARA型機(jī)器人機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動形態(tài)分類定義：球坐標(biāo)型機(jī)器人手臂的運(yùn)動由一個(gè)移動和兩個(gè)轉(zhuǎn)動組成，即手臂沿軸的伸縮、繞軸的俯仰和繞軸的回轉(zhuǎn)。優(yōu)點(diǎn)：占地面積小、結(jié)構(gòu)緊湊等。缺點(diǎn)：避障性差、平衡性差等。關(guān)節(jié)型機(jī)器人機(jī)構(gòu)形式/運(yùn)動形態(tài)分類并聯(lián)型機(jī)器人關(guān)節(jié)型機(jī)器人并聯(lián)型機(jī)器人定義：球坐標(biāo)型機(jī)器人手臂的運(yùn)動由一個(gè)移動和兩個(gè)轉(zhuǎn)動組成，即手臂沿軸的伸縮、繞軸的俯仰和繞軸的回轉(zhuǎn)。優(yōu)點(diǎn)：占地面積小、結(jié)構(gòu)緊湊等。缺點(diǎn)：避障性差、平衡性差等。驅(qū)動形式氣力驅(qū)動式液力驅(qū)動式定義：以壓縮空氣來驅(qū)動執(zhí)行機(jī)構(gòu)。優(yōu)點(diǎn)：空氣來源方便，動作迅速，結(jié)構(gòu)簡單，造價(jià)低。缺點(diǎn)：空氣具有可壓縮性，使得工作速度的穩(wěn)定性較差。氣力驅(qū)動式定義：利用液體在封閉系統(tǒng)內(nèi)傳遞壓力來產(chǎn)生力和運(yùn)動。優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)緊湊、傳動平穩(wěn)且動作靈敏等。缺點(diǎn)：對密封的要求較高，不宜在高、低溫場合工作，且制造精度要求高，成本高。液力驅(qū)動式定義：電力驅(qū)動式機(jī)器人利用各種電動機(jī)產(chǎn)生的力和力矩，直接或通過減速機(jī)構(gòu)驅(qū)動機(jī)器人。優(yōu)點(diǎn)：無環(huán)境污染、易于控制、運(yùn)動精度高、成本低、驅(qū)動效率高等優(yōu)點(diǎn)。定義：由各種新技術(shù)如壓電、靜電、記憶合金驅(qū)動器以及人工肌肉驅(qū)動器等對機(jī)器人進(jìn)行驅(qū)動。電力驅(qū)動式電力驅(qū)動式新型驅(qū)動方式驅(qū)動形式人工肌肉驅(qū)動器控制器信息輸入/示教方法示教機(jī)器人可變程序機(jī)器人固定程序機(jī)器人程控機(jī)器人智能機(jī)器人按照預(yù)先設(shè)定好的順序、條件、位置，逐步完成各個(gè)階段的預(yù)設(shè)任務(wù)，但是要更改預(yù)先設(shè)定的條件非常不方便。按照預(yù)先設(shè)定好的順序、條件、位置，逐步完成各個(gè)階段的預(yù)設(shè)任務(wù)，并且可以很方便地更改預(yù)先的設(shè)定程序。預(yù)先由人對機(jī)器人的機(jī)械臂及機(jī)械手或生產(chǎn)工具的動作進(jìn)行示教，并將作業(yè)的順序、位置等信息記錄下來，在工作時(shí)再將記錄信息讀取，由機(jī)械臂及機(jī)械手或生產(chǎn)工具完成相關(guān)作業(yè)。操作人員并不是對機(jī)器人進(jìn)行手動示教，而是向機(jī)器人提供運(yùn)動程序，使得機(jī)器人執(zhí)行給定的任務(wù)，其控制方式與數(shù)控機(jī)床一樣。智能機(jī)器人能夠基于傳感信息來獨(dú)立檢測其工作環(huán)境或工作條件的變化，并借助其自我決策能力，執(zhí)行相應(yīng)的工作任務(wù)。用途分類工業(yè)機(jī)器人工作站IndustrialRobotWorkingStation

由一臺或兩臺機(jī)器人所構(gòu)成的生產(chǎn)體系。工業(yè)機(jī)器人工業(yè)機(jī)器人：工業(yè)機(jī)器人主要應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中，進(jìn)行焊接、噴漆、裝配、搬運(yùn)、檢驗(yàn)等作業(yè)。工業(yè)機(jī)器人生產(chǎn)線IndustrialRobotProductionLine由若干機(jī)器人工作站和物流系統(tǒng)組成，完成多項(xiàng)復(fù)雜作業(yè)的生產(chǎn)體系。用途分類焊接機(jī)器人噴涂機(jī)器人搬運(yùn)機(jī)器人工業(yè)機(jī)器人用途分類服務(wù)機(jī)器人跳舞機(jī)器人福娃機(jī)器人清掃機(jī)器人服務(wù)機(jī)器人：服務(wù)機(jī)器人是除工業(yè)機(jī)器人之外，服務(wù)人類非生產(chǎn)性活動的機(jī)器人總稱。用途分類服務(wù)機(jī)器人救援機(jī)器人導(dǎo)盲機(jī)器人醫(yī)療機(jī)器人水下機(jī)器人CanadaArm太空機(jī)械臂軍用機(jī)器人機(jī)器人基礎(chǔ)知識PART.3機(jī)器人的基本術(shù)語機(jī)器人的結(jié)構(gòu)機(jī)器人的主要技術(shù)參數(shù)機(jī)器人的控制機(jī)器人的基本術(shù)語世界坐標(biāo)系一般是指建立在地球上的笛卡兒角坐標(biāo)系，也稱為大地坐標(biāo)系。基座坐標(biāo)系也稱為基坐標(biāo)系，一般用于描述機(jī)器人操作臂，是指建立在機(jī)器人不運(yùn)動的基座上的坐標(biāo)系通常用作描述機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動及末端位姿的參考坐標(biāo)系。關(guān)節(jié)坐標(biāo)系是設(shè)定在機(jī)器人關(guān)節(jié)中的坐標(biāo)系，在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下機(jī)器人各軸可實(shí)現(xiàn)單獨(dú)正向或反向運(yùn)動。工具坐標(biāo)系是用來定義工具中心點(diǎn)的位置和工具姿態(tài)的坐標(biāo)系，其原點(diǎn)定義在工具中心點(diǎn)，但軸的方向定義因生產(chǎn)廠商而異。工件坐標(biāo)系也稱為用戶坐標(biāo)系，是用戶對每個(gè)工作空間進(jìn)行定義的直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系以基坐標(biāo)系為參考，通常建立在工件或工作臺上。坐標(biāo)變換是指將一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描述從一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系下的過程。在機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)中，坐標(biāo)變換非常重要，通常用于兩個(gè)相鄰連桿之間的位姿轉(zhuǎn)換。世界坐標(biāo)系基座坐標(biāo)系關(guān)節(jié)坐標(biāo)系工具坐標(biāo)系工件坐標(biāo)系坐標(biāo)變換機(jī)器人的基本術(shù)語機(jī)器人轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)機(jī)器人移動關(guān)節(jié)定義：移動關(guān)節(jié)又稱移動副、滑動關(guān)節(jié)，是使兩個(gè)連桿的組件中的一件相對于另一件做直線運(yùn)動的關(guān)節(jié)，兩個(gè)連桿之間只做相對移動。機(jī)器人移動關(guān)節(jié)機(jī)器人轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)定義：轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)又稱轉(zhuǎn)動副，是使連續(xù)兩個(gè)連桿的組成件中的一個(gè)相對于另一個(gè)繞固定軸線轉(zhuǎn)動的關(guān)節(jié)，兩個(gè)連桿之間只做相對轉(zhuǎn)動。按照軸線的方向，轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)可分為回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和擺動關(guān)節(jié)。操作臂末端執(zhí)行器手腕機(jī)器人的機(jī)構(gòu)機(jī)器人的基本術(shù)語關(guān)節(jié)空間是機(jī)器人關(guān)節(jié)變量所構(gòu)成的數(shù)學(xué)意義上的空間集合。機(jī)器人工作空間有兩層含義。一層是數(shù)學(xué)意義上，指機(jī)器人工作空間變量所構(gòu)成的空間集合。另一層含義是幾何層面上，指機(jī)器人運(yùn)動描述參考點(diǎn)所能達(dá)到的空間的集合，它是由操作臂的連桿尺寸、關(guān)節(jié)運(yùn)動范圍和構(gòu)型決定的。額定負(fù)載是指機(jī)器人在規(guī)定的性能范圍內(nèi)末端機(jī)械接口處能夠承受的最大負(fù)載量。該指標(biāo)反映了機(jī)器人搬運(yùn)重物的能力，通常用來表示機(jī)械臂的承載力。分辨率是指機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)能夠?qū)崿F(xiàn)的最小移動距離或最小轉(zhuǎn)動角度。該指標(biāo)反映了機(jī)器人關(guān)節(jié)傳感器的檢測精度及關(guān)節(jié)的運(yùn)動精度。定位精度是指機(jī)器人執(zhí)行指令設(shè)定位姿與實(shí)際到達(dá)位姿的一致程度。在機(jī)器人的技術(shù)指標(biāo)中，定位精度通常用重復(fù)定位精度來表示。不同廠家對最大工作速度規(guī)定內(nèi)容不同，有的廠家定義為工業(yè)機(jī)器人主要自由度上最大的穩(wěn)定速度，有的廠家定義為手臂末端最大的合成速度。關(guān)節(jié)空間工作空間額定負(fù)載分辨率定位精度最大工作速度機(jī)器人的控制伺服系統(tǒng)是控制機(jī)器人的位姿和速度等使其跟隨目標(biāo)值變化的控制系統(tǒng)。在機(jī)器人的早期階段，需要采用專用的計(jì)算機(jī)編程語言編寫機(jī)器人的控制程序。離線編程是機(jī)器人作業(yè)方式的信息記憶過程與作業(yè)對象不發(fā)生直接關(guān)系的編程方式。在線編程是讓機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)的過程中記住運(yùn)動參數(shù)及軌跡的一種編程方式。在線編程最常用的方式是人工示教。機(jī)器人采用傳感器感知自己和周圍環(huán)境，因此機(jī)器人傳感器分為內(nèi)部傳感器和外部傳感器。點(diǎn)位控制是機(jī)器人的一種典型控制方式，可控制機(jī)器人從一個(gè)位姿運(yùn)動到下一個(gè)位姿伺服系統(tǒng)機(jī)器人語言離線編程在線編程傳感器點(diǎn)位控制連續(xù)控制軌跡協(xié)調(diào)控制連續(xù)軌跡控制是一種比點(diǎn)位控制更復(fù)雜的控制方式，它能夠控制機(jī)器人的機(jī)械接口在指定的軌跡上按照編程規(guī)定的位姿和速度移動協(xié)調(diào)控制是對多個(gè)機(jī)器人而言的，該控制方式可以協(xié)調(diào)控制多個(gè)手臂或多臺機(jī)器人同時(shí)進(jìn)行某種作業(yè)。機(jī)器人的主要研究內(nèi)容PART.4機(jī)器人系統(tǒng)組成不同類型的機(jī)器人的機(jī)械、電氣和控制結(jié)構(gòu)千差萬別，但是一個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)通常由3部分、6個(gè)子系統(tǒng)組成。3部分分別是機(jī)械部分、傳感部分和控制部分，6個(gè)子系統(tǒng)分別是機(jī)械系統(tǒng)、驅(qū)動系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、人機(jī)交互系統(tǒng)、感知系統(tǒng)，以及機(jī)器人環(huán)境交互系統(tǒng)。主要研究內(nèi)容機(jī)器人機(jī)構(gòu)是用來將輸入的運(yùn)動和力轉(zhuǎn)換成期望的力和運(yùn)動并輸出的機(jī)構(gòu)。機(jī)器人機(jī)構(gòu)按工作空間可分為平面機(jī)構(gòu)和空間機(jī)構(gòu)，按剛度可分為剛性機(jī)構(gòu)和柔性機(jī)構(gòu)。機(jī)器人機(jī)構(gòu)研究主要體現(xiàn)在機(jī)器人本體機(jī)構(gòu)的構(gòu)型、尺度、速度、負(fù)載能力及機(jī)構(gòu)剛度的設(shè)計(jì)等方面。機(jī)器人的執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)際上是一個(gè)多剛體系統(tǒng)，基于機(jī)器人數(shù)學(xué)描述方法，機(jī)器人運(yùn)動學(xué)主要研究機(jī)器人的位置、速度、加速度及其他位置變量的高階導(dǎo)數(shù)，包括正運(yùn)動學(xué)和逆運(yùn)動學(xué)兩大類問題。機(jī)器人動力學(xué)是研究機(jī)器人產(chǎn)生預(yù)定運(yùn)動需要的力，這方面的研究需要建立機(jī)器人動力學(xué)方程，即建立作用于機(jī)器人各機(jī)構(gòu)的力或力矩及其位置、速度、加速度關(guān)系的方程。機(jī)器人動力學(xué)的基礎(chǔ)是牛頓力學(xué)、拉格朗日力學(xué)等。機(jī)器人感知是通過不同的傳感器來實(shí)現(xiàn)，分內(nèi)部傳感器和外部傳感器兩大類。機(jī)器人感知主要研究專用傳感器的研制及傳感器信息的處理方法和技術(shù)。機(jī)器人控制以機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)為基礎(chǔ)，主要研究內(nèi)容有機(jī)器人控制方式和機(jī)器人控制策略。機(jī)器人常用的控制包括位置控制、力控制，以及力位混合控制等。機(jī)器人機(jī)構(gòu)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)機(jī)器人動力學(xué)機(jī)器人感知機(jī)器人控制課后習(xí)題Last1.1請給出工業(yè)機(jī)器人的定義，并說明工業(yè)機(jī)器人有哪幾種分類方法。1.2簡述工業(yè)機(jī)器人由哪些子系統(tǒng)構(gòu)成。1.3簡述虛擬和仿真的區(qū)別與聯(lián)系，以及虛擬實(shí)驗(yàn)室的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。1.4簡述工業(yè)機(jī)器人的控制過程有什么特點(diǎn)。1.5工業(yè)機(jī)器人已經(jīng)發(fā)展為獨(dú)特形態(tài)的機(jī)械電子程序一體化的工業(yè)設(shè)備，簡述你認(rèn)為它在未來智慧工廠的應(yīng)用情景。習(xí)題ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用機(jī)器人運(yùn)動學(xué)第二章目錄數(shù)學(xué)基礎(chǔ)PART.1運(yùn)動學(xué)分析PART.2數(shù)學(xué)基礎(chǔ)PART.1位置與位姿齊次變化仿真實(shí)例數(shù)學(xué)基礎(chǔ)位置描述對于直角坐標(biāo)系{A}，空間任一點(diǎn)的位置可用3×1階的列矢量來表示(也稱位置矢量)：式中：Px、Py、Pz是點(diǎn)P在坐標(biāo)系{A}中的三個(gè)位置坐標(biāo)分量。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)位置描述向量可以由3個(gè)起始和終止的坐標(biāo)來表示。P=（

PX

-OX

）

i

+（PY

-OY

）

j

+（

PZ

-OZ

）

k

若O為原點(diǎn)：式中：Px、Py、Pz是向量在坐標(biāo)系{A}中的三個(gè)位置坐標(biāo)分量。向量的3個(gè)分量也可寫成矩陣形式。(PX=cos

，PY=cos

，PZ=cos)（，，J為機(jī)械臂的雅可比矩陣（6×n矩陣））（為關(guān)節(jié)速度對末端執(zhí)行速度的3*n作用矩陣）雅可比矩陣取一個(gè)自由度為n的機(jī)械臂，其正運(yùn)動學(xué)方程如下：（旋轉(zhuǎn)矩陣R和位移矢量P都是關(guān)于變量

的矩陣方程）將末端執(zhí)行器的線速度

和角速度

表示為所有關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)：（為關(guān)節(jié)角速度對末端執(zhí)行速度的3*n作用矩陣）兩個(gè)方程的緊湊形式：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量u、v、w的坐標(biāo)方向用齊次坐標(biāo)表示。例位置描述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)姿態(tài)描述規(guī)定空間某剛體B的方位，設(shè)一坐標(biāo)系{B}與此剛體固連，物體相對于參考坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)相對于參考坐標(biāo)系{A}的方向余弦組成的3×3矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣：用矢量兩兩之間的余弦則表示為：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)姿態(tài)描述對應(yīng)于x、y或z軸做旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換，其旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：旋轉(zhuǎn)矩陣應(yīng)具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：1）3個(gè)主矢量兩兩垂直；2）9個(gè)元素中，只有3個(gè)是獨(dú)立的；3）3個(gè)單位主矢量滿足6個(gè)約束條件，即：4）旋轉(zhuǎn)矩陣為正交矩陣，并且滿足以下條件，即：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變化齊次坐標(biāo)是指在原有三維坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，增加一維坐標(biāo)而形成四維坐標(biāo)。如：空間點(diǎn)p的齊次坐標(biāo)為p=(4,6,8,w)4、6、8分別對應(yīng)p點(diǎn)在空間坐標(biāo)系中的x、y、z軸坐標(biāo)，w為其對應(yīng)的比例因子。p=（4,6,8,1）和p=(8,12,16,2）表示的是同一個(gè)p點(diǎn)。當(dāng)比例因子w≠0時(shí)p點(diǎn)的齊次坐標(biāo)的形式是不唯一的當(dāng)比例因子w=0時(shí)該齊次坐標(biāo)表示某一向量如：x=（1，0，0，0）表示坐標(biāo)系的x軸單位向量。y=（0，1，0，0）表示坐標(biāo)系的y軸單位向量。z=（0，0，1，0）表示坐標(biāo)系的z軸單位向量。對應(yīng)于x、y、z軸做轉(zhuǎn)角位

的旋轉(zhuǎn)變換，分別可得：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變化平移齊次坐標(biāo)變換

對已知矢量

進(jìn)行平移變換所得的矢量

為：

旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換Rot表示旋轉(zhuǎn)矩陣。齊次變換平移齊次變換動坐標(biāo)系{A}相對于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作(–1，2，2)平移后到{A

}；動坐標(biāo)系{A}相對于自身坐標(biāo)系的X、Y、Z軸分別作(–1，2，2)平移后到{A

}。A的矩陣表達(dá)式如下。寫出坐標(biāo)系{A

}、{A

}的矩陣表達(dá)式。例齊次變換平移齊次變換動坐標(biāo)系{A}相對于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作(–1，2，2)平移后到{A

}；動坐標(biāo)系{A}相對于自身坐標(biāo)系的X、Y、Z軸分別作(–1，2，2)平移后到{A

}。A的矩陣表達(dá)式如下。寫出坐標(biāo)系{A

}、{A

}的矩陣表達(dá)式。例動坐標(biāo)系{A}的平移變換算子：齊次變換旋轉(zhuǎn)齊次變換已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的位置矢量U=[7321]T，繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點(diǎn)W。例數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變化平移與旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)組合變換根據(jù)平移齊次坐標(biāo)變換和旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換，空間某點(diǎn)由矢量

描述，其中i、j、k分別為x、y、z軸上的單位矢量，然后對應(yīng)于x、y、z軸做轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換，分別可得：齊次變換復(fù)合變換已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的位置矢量U=[7321]T，將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，最后再作4i-3j+7k的平移，求變換后所得的點(diǎn)E。例數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例平移坐標(biāo)變換實(shí)例T0=transl(0,0,0)T1=transl(1,2,1)trplot(T0,'color','r')holdontrplot(T1,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T0,T1)例代碼：坐標(biāo)系由原點(diǎn)(0,0,0)分別沿x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例平移坐標(biāo)變換實(shí)例T0=rotz(0)T0=rotz(0)T1=rotz(pi/4)trplot(T0,'color','r')axis([-11-11-11]);oldontranimate(T0,T1,'color','b')例代碼：坐標(biāo)系在原點(diǎn)位置繞z軸旋轉(zhuǎn)45°。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例先平移再旋轉(zhuǎn)實(shí)例T0=transl(0,0,0)T1=transl(1,2,1)trplot(T0,'color',‘r’)；holdon；trplot(T1,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T0,T1)T2=T1T3=T2*trotz(pi/2)trplot(T2,'color','r')holdontrplot(T3,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T2,T3)平移旋轉(zhuǎn)例代碼：坐標(biāo)系從原點(diǎn)位置(0,0,0)先分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位，再繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例先旋轉(zhuǎn)再平移實(shí)例T0=trotz(0)T1=trotz(pi/2)trplot(T0,'color','r’);holdon；trplot(T1,'color','g')tranimate(T0,T1)T2=T1T3=transl(1,2,1)*T2trplot(T2,'color','r’);holdon；trplot(T3,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T2,T3)平移旋轉(zhuǎn)例代碼：坐標(biāo)系從原點(diǎn)位置(0,0,0)先繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仿真實(shí)例旋轉(zhuǎn)和平移同時(shí)進(jìn)行實(shí)例T1=transl(0,0,0)T2=transl(1,2,1)T3=trotz(pi/2)T4=T2*T3trplot(T1,'color','r')holdontrplot(T4,'color','g')axis([-33-33-33])tranimate(T4,'color','b')例代碼：坐標(biāo)系從原點(diǎn)位置分別沿著x、y、z軸平移1、2、1個(gè)單位，同時(shí)繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。運(yùn)動學(xué)分析PART.2正運(yùn)動學(xué)分析D-H參數(shù)法正運(yùn)動學(xué)仿真逆運(yùn)動學(xué)分析逆運(yùn)動學(xué)仿真運(yùn)動學(xué)分析正運(yùn)動學(xué)分析機(jī)器人本體，是機(jī)器人賴以完成作業(yè)任務(wù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。機(jī)械臂多采用關(guān)節(jié)式機(jī)械結(jié)構(gòu)，一般具有6個(gè)自由度，其中3個(gè)用來確定末端執(zhí)行器的位置，另外3個(gè)則用來確定末端執(zhí)行裝置的方向。機(jī)械臂上的末端執(zhí)行裝置可以根據(jù)操作需要換成焊槍、吸盤、扳手等作業(yè)工具。運(yùn)動學(xué)分析D-H參數(shù)法連桿n坐標(biāo)系（簡稱n系）坐標(biāo)原點(diǎn)位于i關(guān)節(jié)軸線上，是關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)軸線與i-1和i關(guān)節(jié)軸線公垂線的交點(diǎn)；Z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合；X軸與公垂線重合，從關(guān)節(jié)i-1指向關(guān)節(jié)i；Y軸按右手螺旋法則確定。運(yùn)動學(xué)分析D-H參數(shù)法每個(gè)連桿可以由四個(gè)參數(shù)所描述名稱含義“

”號性質(zhì)轉(zhuǎn)角以

方向看，

和

之間的夾角右手法則常量長度沿著

方向，

和

之間的距離與

正向一致常量關(guān)節(jié)角以

方向看，

和

之間的夾角右手法則轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)為變量移動關(guān)節(jié)為常量距離沿著

方向，

和

之間的距離沿

正向?yàn)檎D(zhuǎn)動關(guān)節(jié)為常量移動關(guān)節(jié)為變量在D-H法分析中，連桿坐標(biāo)系

相對于

的變換

稱為連桿變換矩陣，連桿變換矩陣

相當(dāng)于坐標(biāo)系

經(jīng)過以下變換得到：運(yùn)動學(xué)分析D-H參數(shù)法1)繞

軸旋轉(zhuǎn)，使得與平行，如圖a)所示；2)沿軸移動，使得與在同一直線上，如圖b）11所示；3)繞軸旋轉(zhuǎn)，使得轉(zhuǎn)到與平行，如圖c）所示；4)沿軸移動，使得連桿坐標(biāo)系的原點(diǎn)與的原點(diǎn)11重合，如圖d)所示。由此可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：D-H法矩陣變換過程運(yùn)動學(xué)分析D-H參數(shù)法如圖所示的平面三連桿機(jī)構(gòu)，已知手臂長

、和，關(guān)節(jié)變量、和，試求末端執(zhí)行器位姿矩陣。例i1000200300解：建立機(jī)械臂各桿的坐標(biāo)系，列出D-H參數(shù)。運(yùn)動學(xué)分析D-H參數(shù)法如圖所示的平面三連桿機(jī)構(gòu)，已知手臂長

、和，關(guān)節(jié)變量、和，試求末端執(zhí)行器位姿矩陣。例==運(yùn)動學(xué)分析正運(yùn)動學(xué)仿真調(diào)用MATLAB機(jī)器人工具箱，使用D-H參數(shù)法設(shè)置三連桿機(jī)械臂桿長分別為30、50、40；關(guān)節(jié)角、連桿偏距、連桿轉(zhuǎn)角都為0。例a1=30;a2=50;a3=40;L(1)=Link([00a10])L(2)=Link([00a20])L(3)=Link([00a30])robot=SerialLink(L)teach(robot)代碼：運(yùn)動學(xué)分析正運(yùn)動學(xué)仿真調(diào)用MATLAB機(jī)器人工具箱，使用D-H參數(shù)法設(shè)置三連桿機(jī)械臂連桿1的桿長為30，連桿轉(zhuǎn)角為90°，關(guān)節(jié)角為0°，連桿偏距為0；連桿2的桿長為50，連桿轉(zhuǎn)角為0，關(guān)節(jié)角為0°，連桿偏距為20；連桿3的桿長為40，連桿轉(zhuǎn)角都為0，關(guān)節(jié)角為0°，連桿偏距為0。例L_1=30;L_2=50;L_3=40;L(1)=Link([00L_1pi/2])L(2)=Link([020L_20])L(3)=Link([00L_30])Robot=SerialLink(L);teach(Robot)代碼：運(yùn)動學(xué)分析逆運(yùn)動學(xué)分析實(shí)質(zhì)：已知BTH求解θ，從而確定與末端位置有關(guān)的所有關(guān)節(jié)的位置——實(shí)際工程問題已知操作機(jī)桿件的幾何參數(shù)，給定操作機(jī)末端執(zhí)行器相對于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)（位姿），操作機(jī)能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個(gè)預(yù)期的位姿？若能達(dá)到，那么操作機(jī)是否存在不同形態(tài)可滿足條件？逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析可解性解的存在問題取決于操作末端的工作空間（Workspace）工作空間：操作臂末端執(zhí)行器所能到達(dá)的范圍，取決于機(jī)器人結(jié)構(gòu)、桿件參數(shù)或手部位姿。工作域外逆解不存在具有轉(zhuǎn)動和移動關(guān)節(jié)的機(jī)器人，在單一串聯(lián)鏈中共有個(gè)6自由度或小于6個(gè)自由度時(shí)是可解的。通解是數(shù)值解，非解析表達(dá)式，是利用數(shù)值迭代原理求解得到，計(jì)算量比求解析解大得多。要使機(jī)器人有解析解，設(shè)計(jì)時(shí)就要使機(jī)器人的結(jié)構(gòu)盡量簡單，而且盡量滿足連續(xù)三個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸交會于一點(diǎn)，或連續(xù)三個(gè)關(guān)節(jié)軸互相平行的充分條件。（Pieper準(zhǔn)則）逆向運(yùn)動學(xué)多解性對于給定位置與姿態(tài)，具有多組解。造成運(yùn)動學(xué)逆解多解是由于解反三角函數(shù)方程產(chǎn)生的。PUMA560機(jī)器人的四個(gè)逆解避免碰撞的一個(gè)可能實(shí)現(xiàn)的解逆運(yùn)動學(xué)分析逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析求解方法逆解形式求解方法閉式解close-formsolution用解析函數(shù)式表示解求解速度快代數(shù)法幾何法數(shù)值解numericalsolution利用迭代性質(zhì)求解求解速度慢數(shù)值法逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析代數(shù)法根據(jù)正運(yùn)動學(xué)分析，設(shè)機(jī)械臂腕關(guān)節(jié)的位置坐標(biāo)為姿態(tài)角

，機(jī)械臂執(zhí)行端坐標(biāo)為

?；贒-H坐標(biāo)系的機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)方程如下：平面三連桿機(jī)械臂代數(shù)法求逆運(yùn)動學(xué)可知：逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析由矩陣兩邊對應(yīng)相等，結(jié)合上式，可得腕部坐標(biāo)

的表達(dá)式為：即：上式有解的條件是等式右邊值的區(qū)間為[-1,1]，如果此約束條件不滿足，則表明目標(biāo)點(diǎn)超出了機(jī)械臂的可達(dá)工作空間，其逆運(yùn)動學(xué)方程無解。代數(shù)法逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析代數(shù)法假設(shè)目標(biāo)點(diǎn)在機(jī)械臂的工作空間內(nèi)，則：由式

和式

可得：上式的求解應(yīng)用了雙變量反正切公式，用

計(jì)算根據(jù)

和

的符號來判別求得的角所在的象限。根據(jù)

帶入式，

得：逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析代數(shù)法進(jìn)而可求得：結(jié)合求出的

與，可得：

則三個(gè)關(guān)節(jié)角運(yùn)用代數(shù)法全部解出。逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析幾何法平面三連桿機(jī)械臂幾何法求逆運(yùn)動學(xué)所示，桿長

，桿長、坐標(biāo)系1的原點(diǎn)、坐標(biāo)系的原點(diǎn)的連線組成三角形，由余弦定理可得：由，得計(jì)算圖中的

和逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)分析幾何法即：結(jié)合

和，得即坐標(biāo)3能夠達(dá)到相同位置時(shí)，連桿機(jī)構(gòu)的另一種可能情況，此時(shí)則有：逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)仿真封閉式解法：以KUKAKR5機(jī)器人為例，對機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)問題進(jìn)行封閉解法的求解。調(diào)用MATLAB里的機(jī)器人工具箱，加載機(jī)器人KR5模型，給定一組關(guān)節(jié)角[0,0,pi/4,0,pi/2,0]，可得出按關(guān)節(jié)角旋轉(zhuǎn)達(dá)到的位姿矩陣T，并且可以由T求出使得末端執(zhí)行器達(dá)到相同位姿的兩組不同的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)角。其中，q2是指定配置得到的一個(gè)目標(biāo)解。例mdl_KR5qn=[00pi/40pi/20];T=KR5.fkine(qn)；q1=KR5.ikine6s(T)；q2=KR5.ikine6s(T,'run')；KR5.plot(q1)；%對應(yīng)輸入q1、q2按給定關(guān)節(jié)角得到的位姿矩陣T如下：代碼：達(dá)到相同位姿的兩組不同關(guān)節(jié)角分別為：逆向運(yùn)動學(xué)逆運(yùn)動學(xué)仿真數(shù)值解法：以puma560機(jī)器人為例，對機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值解法的求解。調(diào)用MATLAB里的機(jī)器人工具箱，加載機(jī)器人puma560模型，給定一組關(guān)節(jié)角[0,pi/3,pi,pi/2,pi/4,0]，得出按關(guān)節(jié)角旋轉(zhuǎn)達(dá)到的位姿矩陣T。未設(shè)定初始關(guān)節(jié)角坐標(biāo)，使用ikine()進(jìn)行求解得出q1；設(shè)定初始關(guān)節(jié)角坐標(biāo)，使用ikine()進(jìn)行求解得出q2。例mdl_puma560qn=[0,pi/3,pi,pi/2,pi/4,0]；T=p560.fkine(qn)；q1=p560.ikine(T)；q2=p560.ikine(T,[103200])；p560.plot(q1)；%對應(yīng)輸入q1、q2按給定關(guān)節(jié)角得到的位姿矩陣T如下：代碼：達(dá)到相同位姿的兩組不同關(guān)節(jié)角分別為：課后習(xí)題機(jī)器人運(yùn)動學(xué)ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用速度與靜力學(xué)第三章目錄機(jī)器人連桿速度PART.1

雅可比矩陣PART.2靜力學(xué)PART.3機(jī)器人連桿速度PART.1機(jī)器人連桿速度操作臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)連桿的運(yùn)動都與它的相鄰桿有關(guān)。由基坐標(biāo)系依次計(jì)算各連桿的速度，連桿

的速度就是連桿

的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)

上的新的速度分量。連桿角速度就等于連桿

的角速度加上一個(gè)由于連桿

的角速度引起的分量，參照坐標(biāo)系

描述關(guān)系可寫成：注意：通過旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)@關(guān)節(jié)

的旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)旋轉(zhuǎn)變換，變換為在坐標(biāo)系

中的描述后，將兩個(gè)角速度分量相加。在上式兩邊同時(shí)左乘

得到連桿

的角速度相對于

坐標(biāo)的表達(dá)式:機(jī)器人連桿速度坐標(biāo)系

原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系

原點(diǎn)線速度加上一個(gè)由于連桿

的角速度引起的新的分量。由于

在坐標(biāo)系

中是常數(shù)，因此有：同時(shí)左乘對于關(guān)節(jié)

為移動關(guān)節(jié)的情況，相應(yīng)的關(guān)系為：如圖a）所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的操作臂。計(jì)算出操作臂末端的速度，將它表達(dá)成關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標(biāo)系{3}表示的，另一種是用坐標(biāo)系{0}表示的。例解：運(yùn)用式

和式

從基坐標(biāo)系{0}開始依次計(jì)算出每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度，其中基坐標(biāo)系的速度為0，由于式

和式

將應(yīng)用到連桿變換，因此先將它們計(jì)算如下：注意上式關(guān)節(jié)3的轉(zhuǎn)角恒為0°。坐標(biāo)系{2}與坐標(biāo)系{3}之間的變換不必轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的連桿變換形式。對各連桿使用連桿速度公式，計(jì)算如下：機(jī)器人連桿速度如圖b）所示坐標(biāo)系{3}固連于操作臂末端，求用坐標(biāo)系{3}表示的該坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度。對于這個(gè)問題的第二部分，求用坐標(biāo)系{0}表示的這些速度。同以前一樣，首先將坐標(biāo)系固連在連桿上（如圖b）。例b）解：式

即為坐標(biāo)系{3}表示的該坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度。同時(shí)，坐標(biāo)系{3}的角速度由式

給出。為了得到這些速度相對于固定基坐標(biāo)系的表達(dá)，用旋轉(zhuǎn)矩陣對它們作旋轉(zhuǎn)變換，即：通過這個(gè)變換可以得到：機(jī)器人連桿速度雅可比矩陣PART.2雅可比矩陣雅克比矩陣可將單個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動或速度轉(zhuǎn)換為感興趣點(diǎn)的微分運(yùn)動或速度，也可將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動與整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動聯(lián)系起來。意義：二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人(2R機(jī)器人)，端點(diǎn)位置X、Y與關(guān)節(jié)θ1、θ2的關(guān)系:例即：雅可比是一個(gè)把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對基坐標(biāo)的廣義速度向量v的變換矩陣。雅可比矩陣將其微分得寫成矩陣形式令式中d=Jdθ雅可比矩陣對于n自由度機(jī)器人，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示，q=[q1，q2，…qn]。轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)：qi=θi，移動關(guān)節(jié)：qi=didq=[dq1，dq2，…dqn]，反映關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動。機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位用末端手爪位姿X表示，是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，為6維列矢量。dX=[dX，dY，dZ，△φX，△φY，△φZ]反映操作空間微小運(yùn)動，由機(jī)器人末端微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動)組成。雅可比矩陣因此，J(q)—為n自由度機(jī)器人速度雅可比，是6xn維偏導(dǎo)數(shù)矩陣，可表示為J(q)雅可比矩陣?yán)脵C(jī)器人速度雅可比可對機(jī)器人進(jìn)行速度分析，左、右兩邊同時(shí)除以dt得：或表示為：v—機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度—機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度J(q)—確定關(guān)節(jié)空間速度與操作空間速度v之間關(guān)系的雅可比矩陣。雅可比矩陣2R機(jī)器人的J(q)是2x2矩陣，若令J1，J2分別為雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則原式可寫為：總的端點(diǎn)速度v為這兩個(gè)速度矢量的合成。因此，機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其他關(guān)節(jié)不動而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。

——僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動引起的端點(diǎn)速度;

——僅由第二個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動引起的端點(diǎn)速度;雅可比矩陣二自由度機(jī)器人手部的速度為：反之，若給定機(jī)器人手部速度，相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度為：假如已知的及是時(shí)間的函數(shù)，即，，則機(jī)器手部瞬時(shí)速度為：——機(jī)器人逆速度雅可比。如圖二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動，桿長為l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)θ1=30o，θ2=-60o

，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。例二自由度機(jī)器人速度雅可比為：逆雅可比為：雅可比矩陣雅可比矩陣如圖二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系X0軸正向以1.0m/s速度移動，桿長為l1=l2=0.5m。設(shè)在某瞬時(shí)θ1=30o，θ2=-60o

，求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。例由于，可得且，即vX=1m/s，vY=0，因此對于平面運(yùn)動的機(jī)器人，矩陣J的行數(shù)恒為3，列數(shù)為機(jī)械手的關(guān)節(jié)數(shù)目，手的廣義位置向量[X，Y，φ]T均容易確定，且方位φ與角運(yùn)動的形成順序無關(guān)，可采用直接微分法求φ，非常方便。三維空間作業(yè)的六自由度機(jī)器人的雅可比矩陣J

行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個(gè))。前三行代表手部線速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比后三行代表手部角速度與關(guān)節(jié)速度的傳遞比每列代表相應(yīng)關(guān)節(jié)速度對手部線速度和角速度的傳遞比雅可比矩陣如果希望工業(yè)機(jī)器人手部在空間按規(guī)定的速度進(jìn)行作業(yè)，則應(yīng)計(jì)算出沿路徑每一瞬時(shí)相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度。當(dāng)雅可比的秩非滿秩時(shí)，求解逆速度雅可比J

–1較困難，甚至可能出現(xiàn)奇異解，相應(yīng)操作空間的點(diǎn)為奇異點(diǎn)，無法解出關(guān)節(jié)速度，機(jī)器人處于退化位置。雅可比矩陣內(nèi)部奇異形位

兩個(gè)或兩個(gè)以上關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動相互抵消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位稱為內(nèi)部奇異形位。機(jī)器人的奇異形位分為兩類：邊界奇異形位當(dāng)機(jī)器人臂全部伸展開或全部折回時(shí)，使手部處于機(jī)器人工作空間的邊界上或邊界附近出現(xiàn)逆雅可比奇異，機(jī)器人運(yùn)動受到物理結(jié)構(gòu)的約束。這時(shí)相應(yīng)的機(jī)器人形位稱為邊界奇異形位。機(jī)器人處在奇異形位時(shí)會產(chǎn)生退化現(xiàn)象，喪失一個(gè)或更多自由度。意味著在工作空間的某個(gè)方向上，不管怎樣選擇機(jī)器人關(guān)節(jié)速度，手部也無法實(shí)現(xiàn)移動。雅可比矩陣上例中當(dāng)l1l2s2＝0時(shí)無解。例由于l1≠0，l2≠0，則在θ2＝0或θ2＝180°時(shí)，二自由度工業(yè)機(jī)器人逆速度雅可比J-1奇異。此時(shí)機(jī)器人二臂完全伸直，或完全折回，即兩桿重合，工業(yè)機(jī)器人處于奇異形位。此奇異形位下，手部處與工作域的邊界上，該瞬時(shí)手部僅能沿著一個(gè)方向(即與臂垂直的方向)運(yùn)動，不能沿其它方向運(yùn)動，退化一個(gè)自由度。雅可比矩陣如圖所示的平面三連桿機(jī)械臂，求其雅可比矩陣。例解：平面三連桿機(jī)械臂的雅可比矩陣表示為：轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸的單位矢量在坐標(biāo)系{0}的投影為。不同連桿的位置矢量在坐標(biāo)系{0}的投影分別計(jì)算如下：根據(jù)如上位置矢量關(guān)系可計(jì)算出雅可比矩陣，由于只有3個(gè)非零矢量是相關(guān)的，故平面三連桿機(jī)械臂的雅可比矩陣如下：雅可比矩陣如圖所示的二自由度機(jī)械手，底座與地板固定。該機(jī)械手桿長、都為0.5，關(guān)節(jié)角

1°、1111

°，機(jī)械手沿固定坐標(biāo)系1以速度1恒定移動，輸出相應(yīng)關(guān)節(jié)角速率，對其進(jìn)行仿真計(jì)算。解：按所給條件進(jìn)行仿真計(jì)算如下：L1=0.5；L2=0.5；vx=1；vy=0theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]p=inv(J)*[vx;vy]w1(i)=p(1,1)*180/piw2(i)=p(2,1)*180/pii=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,1,2,3,4,5]plot(t,w1,'r',t,w2,'b')gridon;title('關(guān)節(jié)角速率');例關(guān)節(jié)角速率輸出圖雅可比矩陣靜力學(xué)PART.3機(jī)器人工作狀態(tài)下與環(huán)境之間產(chǎn)生相互作用的力和力矩。機(jī)器人各關(guān)節(jié)的驅(qū)動裝置為關(guān)節(jié)提供力和力矩，通過連桿傳遞至末端執(zhí)行器，克服外界作用力和力矩。關(guān)節(jié)驅(qū)動力和力矩與末端執(zhí)行器施加的力和力矩之間的關(guān)系是機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)。靜力學(xué)靜力學(xué)為相鄰桿件所施加的力和力矩定義以下特殊的符號：為連桿

施加在連桿

上的力。為連桿

施加在連桿

上的力矩。如圖所示為施加在連桿上的靜力和靜力矩（除了重力以外）。將這些力相加并令其和為0，有：將坐標(biāo)系{}原點(diǎn)的力矩相加，有：靜力學(xué)從末端連桿到基座進(jìn)行計(jì)算就可以計(jì)算出作用于每一根連桿上的力和力矩，從高序號連桿向低序號連桿進(jìn)行迭代求解，結(jié)果如下：用坐標(biāo)系

相對于坐標(biāo)系

描述的旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換，就得到了最重要的連桿之間的靜力“傳遞”公式：為了求出保持系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計(jì)算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點(diǎn)積：是移動關(guān)節(jié)的情況，可以計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動力為：靜力學(xué)例L1=0.5；L2=0.5Fx=4；Fy=3theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]q1(i)=J(1,1)*Fx+J(2,1)*Fy如圖所示的二自由度機(jī)械手，底座與地板固定。該機(jī)械手桿長、都為0.5，關(guān)節(jié)角111°、1111°，機(jī)械手端點(diǎn)力為11111，11輸出相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩，對其進(jìn)行仿真計(jì)算。q2(i)=J(1,2)*Fx+J(2,2)*Fyp=J.'*[Fx;Fy]i=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,1,2,3,4,5]plot(t,q1,'r',t,q2,'b')gridon;title('關(guān)節(jié)力矩');解：按已知條件，進(jìn)行仿真計(jì)算如下：關(guān)節(jié)角力矩輸出圖課后習(xí)題速度與靜力學(xué)3.1計(jì)算Puma560在坐標(biāo)系{6}中的雅可比矩陣。3.2某兩連桿操作臂的雅可比矩陣為：不計(jì)重力，求出使操作臂產(chǎn)生靜力矢量

的關(guān)節(jié)力矩3.3已知一個(gè)3R機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)解為求，將其乘以關(guān)節(jié)速度矢量，求坐標(biāo)系{3}的原點(diǎn)相對于坐標(biāo)系{0}的線速度。ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用機(jī)器人動力學(xué)第四章

目錄剛體動力學(xué)基礎(chǔ)PART.1牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程PART.2歐拉-拉格朗日方程PART.3引言

動力學(xué)正問題是已知機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，即機(jī)器人的運(yùn)動軌跡

，這可以用于對機(jī)械臂的仿真。

動力學(xué)逆問題是已知機(jī)械臂的運(yùn)動軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力或力矩

，這可以用于對機(jī)械臂的控制。

動力學(xué)主要研究產(chǎn)生運(yùn)動所需要的力。對于機(jī)器人動力學(xué)分析，有兩種經(jīng)典的方法：一種是牛頓-歐拉法，另一種是拉格朗日法。與機(jī)器人運(yùn)動學(xué)相似，機(jī)器人動力學(xué)也有兩個(gè)相反的問題：剛體動力學(xué)基礎(chǔ)PART.1質(zhì)量分布剛體的加速度剛體動力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)量分布如圖表示一個(gè)剛體，坐標(biāo)系建立在剛體上，

表示單元體

的位置矢量。坐標(biāo)系

中的慣性張量可用3×3矩陣表示如下：矩陣中的各元素為：式中剛體由單元體

組成，單元體的密度為

。每個(gè)單元體的位置由矢量

確定，如圖所示。慣性張量剛體動力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)量分布

,

和

為慣量矩，是單元體質(zhì)量

乘以單元體到相應(yīng)轉(zhuǎn)軸垂直距離的平方在整個(gè)剛體上的積分。

交叉項(xiàng)稱為慣量積。對于一個(gè)剛體來說，上述六個(gè)相互獨(dú)立參量取決于所在坐標(biāo)系的位姿。慣性張量剛體動力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度有關(guān)剛體加速度問題：任一瞬時(shí)，對剛體的線速度和角速度求導(dǎo)。例如，加速度可以通過計(jì)算空間一點(diǎn)

相對于坐標(biāo)系

的速度的微分進(jìn)行描述，即：同速度一樣，當(dāng)微分的參考坐標(biāo)系為世界坐標(biāo)系時(shí)，可用下列符號表示剛體的速度，即：線速度剛體動力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度把坐標(biāo)系

固連在一剛體上，要求描述相對于坐標(biāo)系

的速度矢量，如圖，這里假設(shè)坐標(biāo)系

是固定的。坐標(biāo)系

相對于坐標(biāo)系

的位置矢量

和旋轉(zhuǎn)矩陣

來描述，假設(shè)方位

不隨時(shí)間變化，則

點(diǎn)相對于坐標(biāo)

的運(yùn)動是由于

或

隨時(shí)間的變化引起的。求解坐標(biāo)系

中

的線速度只要寫出坐標(biāo)系

中的兩個(gè)速度分量，求其和為：公式（4.7）只適用于坐標(biāo)系

和坐標(biāo)系

的相對方位保持不變的情況。坐標(biāo)系

以速度

相對于坐標(biāo)系

平移坐標(biāo)系

相對于坐標(biāo)系

的方位是隨時(shí)間變化的，

相對于

的旋轉(zhuǎn)速度用矢量

來表示。已知矢量

確定了坐標(biāo)系

中一固定點(diǎn)的位置，則可得點(diǎn)

的角速度為：角速度剛體動力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度固定坐標(biāo)系

中的矢量

以角速度

相對于坐標(biāo)系

旋轉(zhuǎn)首先討論兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、相對相速度為零的情況，而且它們的原點(diǎn)始終保持重合，其中一個(gè)或兩個(gè)坐標(biāo)系固連在剛體上，如圖所示。

線速度和角速度同時(shí)存在時(shí)，且兩坐標(biāo)系原點(diǎn)不重合，把線速度帶入上式，可以得到從坐標(biāo)系

觀測坐標(biāo)系

中固定速度矢量的普遍公式：線加速度剛體動力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度式

描述了當(dāng)坐標(biāo)系

的原點(diǎn)與坐標(biāo)系

的原點(diǎn)重合時(shí)，坐標(biāo)系

下的速度矢量

，方程左邊描述的是矢量

隨時(shí)間變化的情況，由于兩個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，因此可以把改寫成如下形式：對式

求導(dǎo)，當(dāng)坐標(biāo)系

的原點(diǎn)與坐標(biāo)系

的原點(diǎn)重合時(shí)，可得到

的加速度在坐標(biāo)系

的表達(dá)式：上式第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)應(yīng)用式（1），則式（2）變?yōu)椋海?）（2）線加速度剛體動力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度將

同類項(xiàng)合并，整理得：為了將結(jié)論推廣到兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)不重合的一般情況，附加一個(gè)表示坐標(biāo)系

原點(diǎn)線加速度的項(xiàng)，最終得到一般表達(dá)式：值得指出的是，當(dāng)

是常量時(shí)，即：此時(shí)，上式簡化為：角加速度剛體動力學(xué)基礎(chǔ)剛體的加速度假設(shè)坐標(biāo)系

以角速度

相對于坐標(biāo)系

轉(zhuǎn)動，同時(shí)坐標(biāo)系

以角速度

相對于坐標(biāo)系

轉(zhuǎn)動。為求

在坐標(biāo)系

中進(jìn)行矢量相加，即：對上式求導(dǎo)，得：將式

代入上式右側(cè)最后一項(xiàng)中，得：上式用于計(jì)算操作臂連桿的角加速度。牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程PART.2歐拉方程牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓方程牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓方程作用于剛體質(zhì)心的力F引起剛體運(yùn)動加速度如圖所示的剛體質(zhì)心正以加速度

做加速運(yùn)動。此時(shí)，由牛頓方程可得作用在質(zhì)心上的力F引起剛體加速度為：式中，m代表剛體總質(zhì)量。牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程歐拉方程如圖所示為一個(gè)旋轉(zhuǎn)剛體，其角速度和角加速度分別為

、

。此時(shí)，由歐拉方程可得，作用在剛體上的力矩N引起剛體的轉(zhuǎn)動為：作用在剛體上的力矩N，剛體旋轉(zhuǎn)角速度

和角加速度式中

是剛體在坐標(biāo)系{C}中的慣性張量。剛體的質(zhì)心在坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)上。牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動力學(xué)方程有關(guān)操作臂給定運(yùn)動軌跡的力矩計(jì)算的問題。（1）計(jì)算速度和加速度的向外迭代法：為了計(jì)算作用在連桿上的慣性力，需要計(jì)算操作臂每個(gè)連桿在某一時(shí)刻的角速度、線加速度和角加速度?？蓱?yīng)用迭代方法完成這些計(jì)算。首先對連桿1進(jìn)行計(jì)算，接著計(jì)算下一個(gè)連桿，這樣一直向外迭代到連桿n。角速度在連桿之間的傳遞如圖所示，連桿

的角速度為：由角加速度的公式可得：牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動力學(xué)方程當(dāng)?shù)趇+1個(gè)關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)時(shí)，上式可簡化為：由線速度公式可以得到每個(gè)連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)的線加速度：當(dāng)?shù)趇+1個(gè)關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)時(shí)，上式可簡化為：牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動力學(xué)方程進(jìn)而可以得到每個(gè)連桿質(zhì)心的線加速度：假定坐標(biāo)系{C}連于連桿i上,坐標(biāo)系原點(diǎn)位于連桿質(zhì)心，且各坐標(biāo)軸方位與原連桿坐標(biāo)系{i}方位相同。由于上式與關(guān)節(jié)的運(yùn)動無關(guān)，因此無論是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)還是移動關(guān)節(jié)，上式對于第i+1個(gè)連桿來說都是有效的。計(jì)算每個(gè)連桿質(zhì)心的線加速度和角加速度后，運(yùn)用牛頓-歐拉公式可以分別計(jì)算出作用在連桿質(zhì)心上的慣性力和力矩，即：式中，坐標(biāo)系

的原點(diǎn)位于連桿質(zhì)心，各坐標(biāo)軸方位與原連桿坐標(biāo)系

方位相同。牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動力學(xué)方程（2）計(jì)算力和力矩的向內(nèi)迭代法：計(jì)算出作用在每個(gè)連桿上的力和力矩之后，需要計(jì)算關(guān)節(jié)力矩，它們是實(shí)際施加在連桿上的力和力矩。根據(jù)典型連桿在無重力狀態(tài)下的受力圖，如圖所示，列出力平衡方程和力矩平衡方程，每個(gè)連桿都受到相鄰連桿的作用力和作用力矩以及附加的。這里定義了一些專用符號用來表示相鄰的作用力和力矩：單個(gè)連桿的力平衡、力矩平衡=連桿

作用在連桿

上的力；②=連桿

作用在連桿

上的力矩。將所有作用在連桿

上的力相加，得到力平衡方程如下：牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動力學(xué)方程將所有作用在質(zhì)心上的力矩相加，并且令他們的和為零，得到力矩平衡方程如下：將式

的結(jié)果以及附加旋轉(zhuǎn)矩陣的方法帶入上式，可得：最后，重新排列力和力矩方程，形成相鄰連桿從高序號向低序號排列的迭代關(guān)系分別為：牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動力學(xué)方程應(yīng)用這些方程對連桿依次求解，從連桿n開始向內(nèi)迭代一直到機(jī)器人基座。在靜力學(xué)中，可通過下式計(jì)算一個(gè)連桿施加于相鄰連桿的力矩在

方向的分量求得關(guān)節(jié)力矩：式中，

表示線性驅(qū)動力。注意：對一個(gè)在自由空間中運(yùn)動的機(jī)器人來說，

和

等于零，因此應(yīng)用這些方程首先計(jì)算連桿n時(shí)是很簡單的；如果機(jī)器人與環(huán)境接觸，

和

不為零，力平衡方程中就包含了接觸力和力矩。牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程牛頓-歐拉法迭代動力學(xué)方程（3）牛頓-歐拉迭代動力學(xué)算法:由關(guān)節(jié)運(yùn)動計(jì)算關(guān)節(jié)力矩的完整算法由兩部分組成:第一部分是對每個(gè)連桿應(yīng)用牛頓-歐拉方程，從連桿1到連桿n向外迭代計(jì)算連桿的速度和加速度；第二部分是對每個(gè)連桿n到連桿1向內(nèi)迭代計(jì)算連桿間的相互作用力和力矩以及關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)來說，這個(gè)算法歸納如下：1）外推，

向外迭代。2）內(nèi)推，

向內(nèi)迭代。已知關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，應(yīng)用外推和內(nèi)推公式可以計(jì)算出所需的關(guān)節(jié)力矩。假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程首先，確定牛頓-歐拉迭代公式中各參量的值。每個(gè)連桿質(zhì)心的位置矢量分別為:由于假設(shè)為集中質(zhì)量，因此每個(gè)連桿質(zhì)心的慣性張量為零矩陣，即:末端執(zhí)行器上沒有作用力，因而有:機(jī)器人基座不旋轉(zhuǎn)，因此有:包括重力因素，有:相鄰連桿坐標(biāo)系之間的相對轉(zhuǎn)動由下式給出:牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用方程式外推和內(nèi)推公式，對連桿1用向外迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例對連桿2用向外迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例對連桿2用向內(nèi)迭代法求解如下:（48）牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例對連桿1用向內(nèi)迭代法求解如下:牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例牛頓-歐拉法應(yīng)用實(shí)例取中的方向分量，得關(guān)節(jié)力矩:上式將驅(qū)動力矩表示為關(guān)于關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的函數(shù)。牛頓-歐拉迭代動力學(xué)方程假設(shè)機(jī)械臂每個(gè)連桿的質(zhì)量都集中在連桿的末端，設(shè)其質(zhì)量分別為

和

；設(shè)其桿長分別為

、

，關(guān)節(jié)角分別為

、

，關(guān)節(jié)力矩分別為

、

；例歐拉-拉格朗日方程PART.3歐拉-拉格朗日方程歐拉-拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)表示完整工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程，拉格朗日函數(shù)

定義為系統(tǒng)的全部動能

和全部勢能

之差，即：式中，動能

取決于機(jī)器人系統(tǒng)中連桿的位姿和速度；而勢能

取決于連桿的位形。系統(tǒng)動力學(xué)方程式，即歐拉-拉格朗日方程如下：式中，

表示與廣義坐標(biāo)

相關(guān)的廣義力；

為相應(yīng)的廣義速度。勢能計(jì)算運(yùn)動方程動能計(jì)算拉格朗日法仿真實(shí)例歐拉-拉格朗日方程動能計(jì)算在機(jī)械臂中，連桿是運(yùn)動部件，連桿

的動能

連桿質(zhì)心線速度產(chǎn)生的動能和連桿角速度產(chǎn)生的動能之和。因此，對于有

個(gè)連桿的機(jī)器人系統(tǒng)，其總動能是每一連桿相關(guān)運(yùn)動產(chǎn)生的動能之和，表達(dá)如下：式中，

為連桿

的質(zhì)心

的三維線速度矢量；

為連桿

的三維角速度矢量；

為連桿

的質(zhì)量，是標(biāo)量；

為連桿

的慣性張量。由于

和

分別為關(guān)節(jié)變量

和關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)，由

可知機(jī)器人的動能是關(guān)節(jié)變量

和關(guān)節(jié)速度

的函數(shù)。歐拉-拉格朗日方程勢能計(jì)算與動能計(jì)算類似，機(jī)器人的總勢能也是各連桿的勢能之和。假設(shè)連桿是剛性體，勢能的表達(dá)如下：式中，矢量

為關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，且該函數(shù)是非線性的。由此可知，總勢能

只關(guān)于關(guān)節(jié)變量

的函數(shù)，與關(guān)節(jié)速度

無關(guān)。歐拉-拉格朗日方程運(yùn)動方程按照式

和式

計(jì)算系統(tǒng)總動能和總勢能，牛頓歐拉章節(jié)的例題中機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)可寫為：拉格朗日函數(shù)對關(guān)節(jié)變量

、關(guān)節(jié)速度

和時(shí)間

求導(dǎo)可得動力學(xué)運(yùn)動方程，其中勢能與關(guān)節(jié)速度

無關(guān)，即有：式中，

表示與廣義坐標(biāo)

相關(guān)的廣義力；

為相應(yīng)的廣義速度。實(shí)際計(jì)算機(jī)械臂動力學(xué)時(shí)，

和

對應(yīng)連桿轉(zhuǎn)矩

；而

和

對應(yīng)連桿推力

。歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例機(jī)器人是結(jié)構(gòu)復(fù)雜的連桿系統(tǒng)，一般采用齊次變換的方法，用拉格朗日方程建立其系統(tǒng)動力學(xué)方程，對其位姿和運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行描述。機(jī)器人動力學(xué)方程的具體推導(dǎo)過程如下：1.選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量

。2.選定相應(yīng)關(guān)節(jié)上的廣義力

：當(dāng)

位移變量時(shí)，

為力；當(dāng)

是角度變量時(shí)，

為力矩。3.求出機(jī)器人各構(gòu)件的動能和勢能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。4.代入拉格朗日方程求得機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)方程。例歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例說明下圖機(jī)器人動力學(xué)方程的推導(dǎo)過程。選取笛卡兒標(biāo)系。連桿1和連桿2的關(guān)節(jié)變量分別是轉(zhuǎn)角

和

，連桿1和連桿2的質(zhì)量分別是

和

，桿長分別為

和

，質(zhì)心分別在

和

處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為

和

，其中底座與大地固定。因此，連桿1質(zhì)心

的位置坐標(biāo)為：連桿1質(zhì)心

速度的平方為：連桿2質(zhì)心

的位置坐標(biāo)為：連桿2質(zhì)心

速度的平方為：歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例系統(tǒng)動能為：系統(tǒng)勢能為：拉格朗日函數(shù)為：選取笛卡兒標(biāo)系，設(shè)定連桿1的關(guān)節(jié)變量

，則其角速度連桿2的關(guān)節(jié)變量

，則其角速度

，連桿1的桿長

，其質(zhì)量

。連桿2的桿長

，其質(zhì)量

。根據(jù)上述動力學(xué)方程的推導(dǎo)過程對機(jī)械臂10s內(nèi)的動能和勢能變化進(jìn)行仿真求解，仿真代碼及結(jié)果如下。歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例例已知條件：

歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例t=0:2:10;theta1=2*pi/180*(t.^2);theta2=pi/180*(t.^2);a=4*pi/180*t;b=2*pi/180*t;m1=20;m2=15;l1=4;l2=3;g=9.8;p1=1/2*l1;p2=1/2*l2;X1=p1*sin(theta1);Y1=-p1*cos(theta1);V12=(p1*a).^2;X2=l1*sin(theta1)+p2*sin(theta1+theta2);Y2=-l1*cos(theta1)-p2*cos(theta1+theta2);V22=(l1^2)*(a.^2)+(p2^2)*((a+b).^2)+2*l1*p2*((a.^2)+a.*b).*cos(theta2);Ek1=1/2*m1*V12;Ek2=1/2*m2*V22;Ek=Ek1+Ek2;subplot(2,1,1);plot(t,Ek,'r','LineWidth',1),xlabel('t'),ylabel('Ek'),gridon;動能代碼：動能變化曲線圖已知條件：

勢能代碼：歐拉-拉格朗日方程拉格朗日法仿真實(shí)例已知條件：

勢能變化曲線圖X1=p1*sin(theta1);Y1=-p1*cos(theta1);V12=(p1*a).^2;X2=l1*sin(theta1)+p2*sin(theta1+theta2);Y2=-l1*cos(theta1)-p2*cos(theta1+theta2);V22=(l1^2)*(a.^2)+(p2^2)*((a+b).^2)+2*l1*p2*((a.^2)+a.*b).*cos(theta2);Ep1=m1*g*p1*(1-cos(theta1));Ep2=m2*g*l1*(1cos(theta1))+m2*g*p2*(1-cos(theta1+theta2));Ep=Ep1+Ep2;subplot(2,1,2);plot(t,Ep,'g','LineWidth',2),xlabel('t'),ylabel('Ep'),gridon;t=0:2:10;theta1=2*pi/180*(t.^2);theta2=pi/180*(t.^2);a=4*pi/180*t;b=2*pi/180*t;m1=20;m2=15;l1=4;l2=3;g=9.8;p1=1/2*l1;p2=1/2*l2;課后習(xí)題機(jī)器人動力學(xué)簡述歐拉方程的基本原理。簡述用拉格朗日方程建立機(jī)器人動力學(xué)方程的步驟。動力學(xué)方程的簡化條件有哪些？推導(dǎo)圖1所示二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程。用拉格朗日法推導(dǎo)圖2所示二自由度機(jī)器人手臂的運(yùn)動方程。連桿質(zhì)心位于連桿中心，其轉(zhuǎn)動慣量分別為

和

。圖1二自由度系統(tǒng)圖2二自由度機(jī)器人手臂ENDROBOT機(jī)器人技術(shù)——建模、仿真及應(yīng)用軌跡規(guī)劃第五章

目錄軌跡規(guī)劃應(yīng)考慮的問題PART.1關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃PART.2直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃PART.3引言一類是點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動，如將部件從一點(diǎn)搬運(yùn)到另外一點(diǎn)。另外一類是沿著一段連續(xù)的曲線運(yùn)動，如擬合一段焊縫的操作。機(jī)器人機(jī)械臂的運(yùn)動規(guī)劃是指機(jī)械臂做運(yùn)動的指令函數(shù)，這種隨時(shí)間變化的指令函數(shù)主要包含兩類：軌跡規(guī)劃應(yīng)考慮的問題PART.1軌跡規(guī)劃應(yīng)考慮的問題軌跡規(guī)劃中不僅要規(guī)定機(jī)器人的起始點(diǎn)和終止點(diǎn),還要給出中間點(diǎn)(路徑點(diǎn)