2025年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)題型點(diǎn)撥訓(xùn)練之函數(shù)性質(zhì)

年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)題型點(diǎn)撥訓(xùn)練函數(shù)性質(zhì)【題型一】中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)1：幾個(gè)復(fù)雜的奇函數(shù)【題型二】中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)2：與三角函數(shù)結(jié)合的中心對(duì)稱(chēng)【題型三】軸對(duì)稱(chēng)【題型四】中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)構(gòu)造出周期性【題型五】畫(huà)圖：類(lèi)周期函數(shù)【題型六】恒成立和存在型問(wèn)題【題型七】嵌套函數(shù)函數(shù)知識(shí)無(wú)處不在，它可以和任何知識(shí)結(jié)合起來(lái)考察，尤其是由數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)判斷函數(shù)的周期或者對(duì)稱(chēng)軸以及對(duì)稱(chēng)中心，再解決相應(yīng)的問(wèn)題，所以熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是基礎(chǔ)，而高考考察的即為延申的代數(shù)問(wèn)題，包括抽象函數(shù)的理解和圖像的變化。對(duì)于高三的學(xué)生，需要把常見(jiàn)的結(jié)論以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解熟練于心，才能保證做題的速度與準(zhǔn)確度。易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)中心平移和對(duì)稱(chēng)軸平移后求值問(wèn)題若f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，當(dāng)h(x)m時(shí)，則f(x)關(guān)于點(diǎn)(0，m)中心對(duì)稱(chēng)，即可以理解為將奇函數(shù)g(x)向上平移了m個(gè)單位，即f(x)f(x)2f(0)2m；當(dāng)h(x)m時(shí)，則有f(x)f(x)2h(x)．推論若f(x)g(x)m，則f(x)max＋f(x)min2f(0)2m．例（1）已知f(x)=，則．（2）已知f(x)=，則．（3）已知函數(shù)，則．（4）已知函數(shù)，則．注意辨別奇函數(shù)g(x)和常數(shù)項(xiàng)m后直接用f(x)f(x)2f(0)2m來(lái)破解．變式1：（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．變式2：（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)的周期為2D．【題型一】中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)1：幾個(gè)復(fù)雜的奇函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：若滿足，則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)即為二次求導(dǎo)的零點(diǎn)。【例1】（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)，若，則的取值范圍為．【例2】（多選）（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，，那么（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)【例3】（多選）（2024·湖南婁底·一模）已知函數(shù)的定義域和值域均為，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足：，且在上單調(diào)遞減，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 D．為奇函數(shù)【變式1】（2024·江西上饒·二模）定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，若方程在上有實(shí)數(shù)根，則方程在區(qū)間上所有實(shí)根之和是（

）A．28 B．16 C．20 D．12【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖象為（

）A． B．C． D．【變式3】（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.(1)求證：是奇函數(shù)；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【題型二】中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)2：與三角函數(shù)結(jié)合的中心對(duì)稱(chēng)1.三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心（對(duì)稱(chēng)軸）有無(wú)數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適。2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對(duì)稱(chēng)中心。一般情況下，選擇它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【例2】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1】（多選）（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．不等式無(wú)解 D．的最大值為【變式2】（2024·河南·一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記.且，，當(dāng)，，則.（用數(shù)字作答）【題型三】軸對(duì)稱(chēng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言：函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，特別地當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；2.如果函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).3.與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。常見(jiàn)的偶函數(shù)：【例1】（多選）（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．【例2】（2024·寧夏銀川·二模）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù).若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若定義在上的函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C． D．是奇函數(shù)【變式2】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．的最小正周期為2 D．【變式3】（多選）（2024·河北邢臺(tái)·一模）已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．C．若在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為D．【題型四】中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)構(gòu)造出周期性基本規(guī)律關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論1.若函數(shù)有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函數(shù)有兩條對(duì)稱(chēng)軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心（a，0）與一條對(duì)稱(chēng)軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|?！纠?】（2024·浙江·一模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【例2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則.【例3】（多選）（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（多選）（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，若，則（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，，則（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．C．的周期為4 D．【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，且當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型五】畫(huà)圖：類(lèi)周期函數(shù)基本規(guī)律“似周期函數(shù)”或者“類(lèi)周期函數(shù)”，俗稱(chēng)放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大。2.放大（縮?。r(shí)，要注意是否函數(shù)值有0。3.放大（縮?。r(shí)，是否發(fā)生了上下平移?！纠?】定義：若存在非零常數(shù)k，T，使得函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)+k對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為“k距周期函數(shù)”，其中T稱(chēng)為函數(shù)的“類(lèi)周期”．則（

）A．一次函數(shù)均為“k距周期函數(shù)”B．存在某些二次函數(shù)為“k距周期函數(shù)”C．若“1距周期函數(shù)”f(x)的“類(lèi)周期”為1，且f（1）=1，則f(x)=xD．若g(x)是周期為2函數(shù)，且函數(shù)f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域?yàn)閇0，1]，則函數(shù)f(x)=x+g(x)在區(qū)間[2n，2n+2]上的值域?yàn)閇2n，2n+1]【變式1】定義“函數(shù)是上的級(jí)類(lèi)周期函數(shù)”如下:函數(shù)，對(duì)于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都有恒成立，此時(shí)為的周期.若是上的級(jí)類(lèi)周期函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，,且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為，，，(其中表示不超過(guò)的最大整數(shù))，則（

）A．是偶函數(shù) B． C． D．【題型六】恒成立和存在型問(wèn)題基本規(guī)律常見(jiàn)不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問(wèn)題：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；【例1】（2024·上海黃浦·二模）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意恒有，且當(dāng)時(shí)，．若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例3】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意x，，恒成立，且，則（

）A．函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．【變式2】（2024·上海奉賢·二模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)的切線方程；(2)已知，當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，存在非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)使得恒成立？(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足.試判斷對(duì)任意的實(shí)數(shù)是否恒成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式3】（21-22高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求不等式的解集；(2)若，，使得能成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【題型七】嵌套函數(shù)在某些情況下，我們可能需要將某函數(shù)作為另一函數(shù)的參數(shù)使用，這一函數(shù)就是嵌套函數(shù)．在函數(shù)里面調(diào)用另外一個(gè)函數(shù)，就叫做函數(shù)嵌套．如果調(diào)用自己本身，就叫做遞歸調(diào)用，也叫遞歸嵌套．一嵌套函數(shù)解析式問(wèn)題的解題方法：換元法：將被嵌套的部分換為一個(gè)主元t，即求出yf(t)解析式，屬于通法．待定系數(shù)法：將被嵌套部分換成一個(gè)常數(shù)，最后解出這個(gè)常數(shù)即可．二不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)f(x)(xD)，我們把方程f(x)x的解x稱(chēng)為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即yf(x)與yx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．例如：函數(shù)f(x)2x1有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為1，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，1．穩(wěn)定點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)f(x)(xD)，我們把方程f[f(x)]x的解x稱(chēng)為函數(shù)f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，即yf[f(x)]與yx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。很顯然，若為函數(shù)yf(x)的不動(dòng)點(diǎn)，則必為函數(shù)yf(x)的穩(wěn)定點(diǎn)．證明：因?yàn)閒()，所以f(f())f()，故也是函數(shù)yf(x)的穩(wěn)定點(diǎn)．【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱(chēng)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．若存在個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱(chēng)為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【例3】（2024·浙江溫州·二模）定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱(chēng)為的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱(chēng)為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為和，即.(1)證明下面兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則；(2)已知函數(shù)，若集合中恰有1個(gè)元素，求的取值范圍.【變式1】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）取名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理.該定理表明：對(duì)于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù)，在其定義域內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，那么下列函數(shù)具有“不動(dòng)點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·貴州黔西·一模）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡(jiǎn)單地講就是:對(duì)于