2023屆陜西省咸陽(yáng)市高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1咸陽(yáng)市2023年高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)（理科）試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)繪里，如需上縣市區(qū)下改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.〖詳析〗由得：，而，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解即可.〖詳析〗解：由題知，所以故選：A3.已知向量，都是單位向量，且，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算作答.〖詳析〗向量，都是單位向量，且，則，解得，所以.故選：D4.古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個(gè)有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上烏龜，原因是在競(jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已在他前面爬行了10米，而當(dāng)他追到烏龜爬行的10米時(shí)，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜．“試問(wèn)在阿喀琉斯與烏龜?shù)母?jìng)賽中，當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行了（）A.11.1米 B.10.1米 C.11.11米 D.11米〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.〖詳析〗依題意，烏龜爬行距離依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，，公比，，所以當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行的距離.故選：C5.設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則p＝（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再利用定義求解作答.〖詳析〗拋物線C：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，顯然點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，由拋物線定義得：，所以.故選：B6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出s＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定的程序框圖，運(yùn)行程序，依次計(jì)算判斷作答.〖詳析〗執(zhí)行程序，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出，所以.故選：A7.已知α，β是兩個(gè)不同平面，a，b是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗分別利用線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理判斷即可.〖詳析〗對(duì)于,若，，則或，故錯(cuò)誤，對(duì)于,若，，時(shí)，可能與相交，但不垂直，即不一定，故錯(cuò)誤，對(duì)于,由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，若，，，時(shí)，則，若時(shí)，直線與平面不垂直，故錯(cuò)誤，對(duì)于C.若，則兩平面的法向量互相垂直，因?yàn)?，，所以，正確

故選：C.8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出邊長(zhǎng)a，再判斷三角形形狀，求出面積作答.〖詳析〗在中，由正弦定理得：，因此，則，而，即有是正三角形，所以的面積.故選：B9.如圖，中，，，為的中點(diǎn)，將沿折疊成三棱錐，則當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)它的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題可證明平面，進(jìn)而得時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)三棱錐的體積最大，再求在該條件下的幾何體的外接球半徑，進(jìn)而得表面積.〖詳析〗解：在中，，，為的中點(diǎn)，所以，，所以，在三棱錐中，，因?yàn)槠矫妫?，平面，所以，?dāng)?shù)酌嫒切蔚拿娣e最大時(shí)，該三棱錐的體積最大，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)三棱錐的體積最大，所以，兩兩垂直，所以，三棱錐的外接球即為以為鄰邊的正方體的外接球，所以，棱錐的外接球直徑為以為鄰邊的正方體的體對(duì)角線，所以，三棱錐的外接球的半徑滿足，所以，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C10.某家族有兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)性狀的概率為，出現(xiàn)性狀的概率為，兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)該家族某成員出現(xiàn)性狀為事件，出現(xiàn)性狀為事件，進(jìn)而根據(jù)題意得，再結(jié)合求解即可.〖詳析〗解：設(shè)該家族某成員出現(xiàn)性狀為事件，出現(xiàn)性狀為事件，則兩種性狀都不出現(xiàn)為事件，兩種性狀都出現(xiàn)為事件，所以，，，所以，，又因?yàn)?，所以，，故選：B11.直線過(guò)雙曲線）的右焦點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和已知條件得，，，再根據(jù)，，得，進(jìn)而根據(jù)離心率公式求解即可.〖詳析〗解：如圖，設(shè)直線為雙曲線的兩條漸近線，則直線的方程分別為，，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，直線的方程分別為，即，所以到直線的距離為，所以，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，所以，，所以，在直角三角形中，，因?yàn)橹本€的方程分別為，所以，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性，，所以，即，整理得，所以，雙曲線的離心率為故選：D12.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且．若關(guān)于x的方程有8個(gè)實(shí)根，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分析函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，結(jié)合圖象列出不等式，求解作答.〖詳析〗當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：，顯然當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而是R上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又，即，因此函數(shù)是周期函數(shù)，周期為2，且，函數(shù)，是R上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，如圖，關(guān)于x的方程的根，即是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依題意，函數(shù)與的圖象有8交點(diǎn)，則在時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象知，，解得，所以a的取值范圍為.故選：B〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.受新冠病毒肺炎影響，某學(xué)校按照上級(jí)文件精神，要求錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，高三年級(jí)一層樓有四個(gè)班排隊(duì)，甲班不能排在最后，且乙、丙班必須排在一起，則這四個(gè)班排隊(duì)吃飯不同方案有__________種（用數(shù)字作答）．〖答案〗8〖解析〗〖祥解〗根據(jù)相鄰問(wèn)題捆綁法，特殊位置（元素）法求解即可.〖詳析〗解：先將乙、丙班排序，并綁在一起，看成一個(gè)元素，有種方案，此時(shí)考慮將甲，丁及乙、丙的整體3個(gè)元素排序，由于甲班不能排在最后，故將甲班選取1個(gè)位置安排，有種方案，最后，再將丁及乙、丙的整體安排在剩下的兩個(gè)位置上，有種方案，所以，根據(jù)乘法原理，共有種方案.故〖答案〗為：14.已知半徑為1的圓過(guò)點(diǎn)，則該圓圓心到原點(diǎn)距離的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)該圓圓心為，進(jìn)而得該圓圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離求最值即可.〖詳析〗解：設(shè)該圓圓心為，因?yàn)榘霃綖?的圓過(guò)點(diǎn)，所以，，所以，該圓圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)榈皆c(diǎn)的距離為，所以，該圓圓心到原點(diǎn)的距離的最大值為故〖答案〗為：15.設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，則的最小值為__________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定的條件，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再利用最值求出的表達(dá)式作答.〖詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，，又，因此，即，所以當(dāng)時(shí)，.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題知或，進(jìn)而作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.〖詳析〗解：令，即，解得或，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，有個(gè)實(shí)數(shù)解，且均互不相同，所以，的實(shí)數(shù)解有個(gè)，所以，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．請(qǐng)從①；②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分．〖答案〗（1）；（2）條件選擇見〖解析〗，.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)給定條件，利用前n項(xiàng)積的意義求解作答.（2）選擇條件①②，結(jié)合等差數(shù)列求出的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求解作答.〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)之積為，則當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．〖小問(wèn)2詳析〗選①，，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，而，則，又，解得，因此，，則于是得兩式相減得，所以．選②，，而數(shù)列是等差數(shù)列，則，即，又，則公差，因此，，則于是得兩式相減得，所以．18.某學(xué)校為研究高三學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校400名高三學(xué)生（其中女生220名）平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，得到下表：平均每天鍛煉時(shí)間（分鐘）人數(shù)4072881008020將日平均體育鍛煉時(shí)間在40分鐘以上的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”，調(diào)查知女生有40人為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”．（1）完成下面2×2列聯(lián)表，試問(wèn)：能否有99.9%以上的把握認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與性別有關(guān)？鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)男女合計(jì)400附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中用分層抽樣方法抽取10人進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流，再?gòu)倪@10人中選2人作重點(diǎn)發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖答案〗（1）填表見〖解析〗；有99.9%以上把認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與有關(guān)（2）分布列見〖解析〗；期望為〖解析〗〖祥解〗（1）計(jì)算出的值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）列出隨即變量的分布列，利用期望的公式計(jì)算可得.〖小問(wèn)1詳析〗補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下：鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)男60120180女40180220合計(jì)100300400∵，∴有99.9%以上的把認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與有關(guān)．〖小問(wèn)2詳析〗“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中男女人數(shù)之比為60：40＝3：2，抽取的男生有6，女生有4人，易知X＝0，1，2，，，，X的分布列為：X012P．19.如圖，直三棱柱中，，D為上一點(diǎn)．（1）證明：當(dāng)D為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面；（2）若，異面直線AB和所成角余弦值為時(shí)，求二面角的余弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)，直線CA，CB，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求解即可；或者利用異面直線的定義作出異面直線AB和所成角，利用余弦定理求出的長(zhǎng)度，再利用二面角的定義作出二面角平面角，即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗證明：如圖，分別取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，EF，，易知,且∥,∴是平行四邊形，∴．由，為的中點(diǎn)，可知，而平面平面，且平面平面，平面，∴平面．又∵，∴DE⊥平面，而平面，∴平面平面．〖小問(wèn)2詳析〗方法1：不妨設(shè)，，注意到，知或其補(bǔ)角為異面直線AB和所成角，在△中，，，易知，解得，即D為的中點(diǎn)，如圖，延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于，連接，過(guò)C作于，連接，∵平面,,,,∴平面，∴,又∵,∴平面,∴∴為二面角平面角，在△中，，，得，∴，即二面角的平面角的余弦值為．方法2：取C為原點(diǎn)，直線CA，CB，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，則，，，，∴，．∴，解得．由已知可得平面的一個(gè)法向量為，易知，，設(shè)平面的法向量為，由得，可取，則．∴二面角的平面角的余弦值為．20.已知橢圓的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程，解出、的值，可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線不與軸平行或重合，設(shè)直線的方程為，利用直線與圓相切可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式以及基本不等式可求得的最大值.〖小問(wèn)1詳析〗解：橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，由題意可得，解得，．所以，橢圓的方程為．〖小問(wèn)2詳析〗解：若直線與軸平行或重合，此時(shí)直線與圓相交，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由題意可得，即.聯(lián)立消去得，即，．設(shè)、，則，．所以，．令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，．故的最大值為．〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求證：．〖答案〗（1）遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由題知對(duì)于任意的恒成立，進(jìn)而分時(shí)和時(shí)兩種情況討論求解即可.〖小問(wèn)1詳析〗解：，令，則，即，解得的遞增區(qū)間為；令，則，即，解得的遞減區(qū)間為．所以，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為〖小問(wèn)2詳析〗證明：因?yàn)?，?duì)于任意的，恒成立，所以，對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，令，，所以，．令，，所以，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞減，所以，，即在上恒成立所以，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，．綜上，．〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于分離參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題.（二）選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．〖選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化求解即可；（2）根據(jù)直線的參數(shù)方程的幾何意義求解即可.〖小問(wèn)1詳析〗解：曲線：，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為．〖小問(wèn)2詳析〗解：法1：將直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線的直角坐標(biāo)方程得：，整理得，設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為，所以，，所以一正一負(fù)，所以，由直線的參數(shù)方程幾何意義得：．法2：由（1）知曲線表示圓，圓心為，半徑為直線（t為參數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程為，所以，曲線的圓心到直線的距離為，所以，直線與曲線相交，因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，．〖選修4-5：不等式選講〗23.已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)的最小值為m，且，求證．〖答案〗（1）；（2）證明見〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗（1）用分段函數(shù)表示函數(shù)，再分段解不等式作答.（2）利用（1）的結(jié)論，利用均值不等式“1”的妙用推理作答.〖小問(wèn)1詳析〗依題意，函數(shù)，因此不等式化為：或或，解得或或，所以不等式的解集為．〖小問(wèn)2詳析〗由（1）知，，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，所以．高考模擬試題PAGEPAGE1咸陽(yáng)市2023年高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)（理科）試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)繪里，如需上縣市區(qū)下改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.〖詳析〗由得：，而，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解即可.〖詳析〗解：由題知，所以故選：A3.已知向量，都是單位向量，且，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算作答.〖詳析〗向量，都是單位向量，且，則，解得，所以.故選：D4.古希臘大哲學(xué)家芝諾提出一個(gè)有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤校乃俣仁菫觚斔俣鹊?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上烏龜，原因是在競(jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏龜已在他前面爬行了10米，而當(dāng)他追到烏龜爬行的10米時(shí)，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜．“試問(wèn)在阿喀琉斯與烏龜?shù)母?jìng)賽中，當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行了（）A.11.1米 B.10.1米 C.11.11米 D.11米〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.〖詳析〗依題意，烏龜爬行距離依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，，公比，，所以當(dāng)阿喀斯與烏龜相距0.01米時(shí)，烏龜共爬行的距離.故選：C5.設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則p＝（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再利用定義求解作答.〖詳析〗拋物線C：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，顯然點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，由拋物線定義得：，所以.故選：B6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出s＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定的程序框圖，運(yùn)行程序，依次計(jì)算判斷作答.〖詳析〗執(zhí)行程序，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出，所以.故選：A7.已知α，β是兩個(gè)不同平面，a，b是兩條不同直線，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗分別利用線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理判斷即可.〖詳析〗對(duì)于,若，，則或，故錯(cuò)誤，對(duì)于,若，，時(shí)，可能與相交，但不垂直，即不一定，故錯(cuò)誤，對(duì)于,由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，若，，，時(shí)，則，若時(shí)，直線與平面不垂直，故錯(cuò)誤，對(duì)于C.若，則兩平面的法向量互相垂直，因?yàn)?，，所以，正確

故選：C.8.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出邊長(zhǎng)a，再判斷三角形形狀，求出面積作答.〖詳析〗在中，由正弦定理得：，因此，則，而，即有是正三角形，所以的面積.故選：B9.如圖，中，，，為的中點(diǎn)，將沿折疊成三棱錐，則當(dāng)該三棱錐體積最大時(shí)它的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題可證明平面，進(jìn)而得時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)三棱錐的體積最大，再求在該條件下的幾何體的外接球半徑，進(jìn)而得表面積.〖詳析〗解：在中，，，為的中點(diǎn)，所以，，所以，在三棱錐中，，因?yàn)槠矫?，所以，平面，所以，?dāng)?shù)酌嫒切蔚拿娣e最大時(shí)，該三棱錐的體積最大，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)三棱錐的體積最大，所以，兩兩垂直，所以，三棱錐的外接球即為以為鄰邊的正方體的外接球，所以，棱錐的外接球直徑為以為鄰邊的正方體的體對(duì)角線，所以，三棱錐的外接球的半徑滿足，所以，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C10.某家族有兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)性狀的概率為，出現(xiàn)性狀的概率為，兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)該家族某成員出現(xiàn)性狀為事件，出現(xiàn)性狀為事件，進(jìn)而根據(jù)題意得，再結(jié)合求解即可.〖詳析〗解：設(shè)該家族某成員出現(xiàn)性狀為事件，出現(xiàn)性狀為事件，則兩種性狀都不出現(xiàn)為事件，兩種性狀都出現(xiàn)為事件，所以，，，所以，，又因?yàn)?，所以，，故選：B11.直線過(guò)雙曲線）的右焦點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和已知條件得，，，再根據(jù)，，得，進(jìn)而根據(jù)離心率公式求解即可.〖詳析〗解：如圖，設(shè)直線為雙曲線的兩條漸近線，則直線的方程分別為，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，直線的方程分別為，即，所以到直線的距離為，所以，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，所以，，所以，在直角三角形中，，因?yàn)橹本€的方程分別為，所以，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性，，所以，即，整理得，所以，雙曲線的離心率為故選：D12.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，且．若關(guān)于x的方程有8個(gè)實(shí)根，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分析函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，結(jié)合圖象列出不等式，求解作答.〖詳析〗當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：，顯然當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而是R上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又，即，因此函數(shù)是周期函數(shù)，周期為2，且，函數(shù)，是R上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的部分圖象，如圖，關(guān)于x的方程的根，即是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依題意，函數(shù)與的圖象有8交點(diǎn)，則在時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象知，，解得，所以a的取值范圍為.故選：B〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.受新冠病毒肺炎影響，某學(xué)校按照上級(jí)文件精神，要求錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，高三年級(jí)一層樓有四個(gè)班排隊(duì)，甲班不能排在最后，且乙、丙班必須排在一起，則這四個(gè)班排隊(duì)吃飯不同方案有__________種（用數(shù)字作答）．〖答案〗8〖解析〗〖祥解〗根據(jù)相鄰問(wèn)題捆綁法，特殊位置（元素）法求解即可.〖詳析〗解：先將乙、丙班排序，并綁在一起，看成一個(gè)元素，有種方案，此時(shí)考慮將甲，丁及乙、丙的整體3個(gè)元素排序，由于甲班不能排在最后，故將甲班選取1個(gè)位置安排，有種方案，最后，再將丁及乙、丙的整體安排在剩下的兩個(gè)位置上，有種方案，所以，根據(jù)乘法原理，共有種方案.故〖答案〗為：14.已知半徑為1的圓過(guò)點(diǎn)，則該圓圓心到原點(diǎn)距離的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)該圓圓心為，進(jìn)而得該圓圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離求最值即可.〖詳析〗解：設(shè)該圓圓心為，因?yàn)榘霃綖?的圓過(guò)點(diǎn)，所以，，所以，該圓圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)榈皆c(diǎn)的距離為，所以，該圓圓心到原點(diǎn)的距離的最大值為故〖答案〗為：15.設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，則的最小值為__________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定的條件，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再利用最值求出的表達(dá)式作答.〖詳析〗因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，，又，因此，即，所以當(dāng)時(shí)，.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由題知或，進(jìn)而作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.〖詳析〗解：令，即，解得或，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，有個(gè)實(shí)數(shù)解，且均互不相同，所以，的實(shí)數(shù)解有個(gè)，所以，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．請(qǐng)從①；②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分．〖答案〗（1）；（2）條件選擇見〖解析〗，.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)給定條件，利用前n項(xiàng)積的意義求解作答.（2）選擇條件①②，結(jié)合等差數(shù)列求出的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求解作答.〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)之積為，則當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．〖小問(wèn)2詳析〗選①，，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，而，則，又，解得，因此，，則于是得兩式相減得，所以．選②，，而數(shù)列是等差數(shù)列，則，即，又，則公差，因此，，則于是得兩式相減得，所以．18.某學(xué)校為研究高三學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校400名高三學(xué)生（其中女生220名）平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，得到下表：平均每天鍛煉時(shí)間（分鐘）人數(shù)4072881008020將日平均體育鍛煉時(shí)間在40分鐘以上的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”，調(diào)查知女生有40人為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”．（1）完成下面2×2列聯(lián)表，試問(wèn)：能否有99.9%以上的把握認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與性別有關(guān)？鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)男女合計(jì)400附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中用分層抽樣方法抽取10人進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流，再?gòu)倪@10人中選2人作重點(diǎn)發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．〖答案〗（1）填表見〖解析〗；有99.9%以上把認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與有關(guān)（2）分布列見〖解析〗；期望為〖解析〗〖祥解〗（1）計(jì)算出的值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）列出隨即變量的分布列，利用期望的公式計(jì)算可得.〖小問(wèn)1詳析〗補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下：鍛煉達(dá)標(biāo)生鍛煉不達(dá)標(biāo)合計(jì)男60120180女40180220合計(jì)100300400∵，∴有99.9%以上的把認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)生”與有關(guān)．〖小問(wèn)2詳析〗“鍛煉達(dá)標(biāo)生”中男女人數(shù)之比為60：40＝3：2，抽取的男生有6，女生有4人，易知X＝0，1，2，，，，X的分布列為：X012P．19.如圖，直三棱柱中，，D為上一點(diǎn)．（1）證明：當(dāng)D為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面；（2）若，異面直線AB和所成角余弦值為時(shí)，求二面角的余弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)，直線CA，CB，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求解即可；或者利用異面直線的定義作出異面直線AB和所成角，利用余弦定理求出的長(zhǎng)度，再利用二面角的定義作出二面角平面角，即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗證明：如圖，分別取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，EF，，易知,且∥,∴是平行四邊形，∴．由，為的中點(diǎn)，可知，而平面平面，且平面平面，平面，∴平面．又∵，∴DE⊥平面，而平面，∴平面平面．〖小問(wèn)2詳析〗方法1：不妨設(shè)，，注意到，知或其補(bǔ)角為異面直線AB和所成角，在△中，，，易知，解得，即D為的中點(diǎn)，如圖，延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于，連接，過(guò)C作于，連接，∵平面,,,,∴平面，∴,又∵,∴平面,∴∴為二面角平面角，在△中，，，得，∴，即二面角的平面角的余弦值為．方法2：取C為原點(diǎn)，直線CA，CB，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，則，，，，∴，．∴，解得．由已知可得平面的一個(gè)法向量為，易知，，設(shè)平面的法向量為，由得，可取，則．∴二面角的平面角的余弦值為．20.已知橢圓的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程，解