2023屆云南省曲靖市高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三模擬試題PAGEPAGE1曲靖市2022－2023學(xué)年高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題卷（本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．每小題選出〖答案〗后，將對(duì)應(yīng)的字母填在答題卡相應(yīng)位置上，在試題幕上作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.（－2，2） B.〖0，3）C.（－2，3） D.（－2，3〗〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗求一元二次不等式與分式不等式的解集再求兩者的并集即可.〖詳析〗∵，，∴.故選：C.2.如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)新定義求得a的值，代入求得復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，可得復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)果.〖詳析〗∵，又∵“等部復(fù)數(shù)”的實(shí)部和虛部相等，復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，∴，解得，∴，∴，即：，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限.故選：A.3.在扇形COD中，．設(shè)向量，，則（）A.－4 B.4 C.－6 D.6〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求解即可.詳析〗∵，，∴，，，∴.故選：D.4.如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（）克（精確到個(gè)位數(shù)）A.176 B.207 C.239 D.270〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由臺(tái)燈是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成可求得臺(tái)燈表面積的值，進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).〖詳析〗由已知得圓錐的母線長(zhǎng)，所以臺(tái)燈表面積為，需要涂膠的重量為（克），故選：B.5.已知奇函數(shù)圖像的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為2π，將的圖像向右平移個(gè)單位得函數(shù)的圖像，則的圖像（）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)條件求出，，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸辨析即可.〖詳析〗相鄰兩對(duì)稱中心距離為，則，．已知為奇函數(shù)，根據(jù)可知，則，．令，，故A錯(cuò)誤，B正確；令，，故C、D錯(cuò)誤．故選：B．6.若,則在“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡臈l件下,“函數(shù)為奇函數(shù)”的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先列出所有的結(jié)果數(shù),由于函數(shù)的定義域?yàn)?則,恒成立,可得,在所有結(jié)果數(shù)中選出滿足的情況,求出概率,根據(jù)為奇函數(shù)可得或,在所有結(jié)果數(shù)中選出同時(shí)滿足兩個(gè)事件情況,求出其概率,再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可計(jì)算出結(jié)果.〖詳析〗解:用所有的有序數(shù)對(duì)表示滿足的結(jié)果，則所有的情況為:,共9種,記“函數(shù)的定義域?yàn)椤睘槭录嗀,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以,恒成立,即,即,其中滿足的基本事件有:共6種,故．記“函數(shù)為奇函數(shù)”為事件B．已知是奇函數(shù),且定義域?yàn)?則,即,即,解得或．滿足或的情況有共3種,所以,即同時(shí)滿足事件A和事件B的情況有共3種,故,所以.故選:C7.已知展開(kāi)式中x的系數(shù)為q，空間有q個(gè)點(diǎn)，其中任何四點(diǎn)不共面，這q個(gè)點(diǎn)可以確定的直線條數(shù)為m，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的三角形個(gè)數(shù)為n，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的四面體個(gè)數(shù)為p，則（）A.2022 B.2023 C.40 D.50〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)條件可得展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為6x，則．進(jìn)而可求得〖答案〗.〖詳析〗的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為：，的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為：，所以，的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為6x，其系數(shù)．依題意得，故選：D．8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別得出，，從而得出〖答案〗．〖詳析〗令，則，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，所以，即．綜上，．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.C的離心率為C.曲線經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)D.C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1〖答案〗CD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出雙曲線方程，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.〖詳析〗因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，則設(shè)雙曲線C：，又點(diǎn)在雙曲線C上，有，即雙曲線C的方程為，A錯(cuò)誤；雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，雙曲線C的離心率，B錯(cuò)誤；雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中滿足，C正確；雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離，D正確．故選：CD10.已知，且則下列結(jié)論一定正確的有（）A. B.C.ab有最大值4 D.有最小值9〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗A、C選項(xiàng)，分別根據(jù)基本不等式計(jì)算即可得到；B選項(xiàng)找出反例即可；D選項(xiàng)由基本不等式“1”的代換計(jì)算，漏除了4.〖詳析〗A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，找反例，當(dāng)時(shí)，，，，B不正確；C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；D選項(xiàng)，，D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的〖解析〗式可得判斷A，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域判斷C，利用數(shù)形結(jié)合可判斷D.〖詳析〗因?yàn)椋?，故A正確；由題可知函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；由可得，則函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的大致圖象，由圖象可知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點(diǎn)，且，，為線段的中點(diǎn)，給出下列命題，其中正確的是（）A.與共面；B.三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)；C.當(dāng)時(shí)，；D.當(dāng)時(shí)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為．〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗對(duì)于選項(xiàng)A：可得，可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為定值，且的面積為定值可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：分別求出的長(zhǎng)，驗(yàn)證是否滿足勾股定理，從而判斷;對(duì)于選項(xiàng)D：先將過(guò)，，的截面分析做出，再求周長(zhǎng)可判斷.〖詳析〗對(duì)選項(xiàng)A：在中，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，,可得，，取的中點(diǎn)分別為，連接,則在直角三角形中,則，所以不成立，所以C不正確．對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，取,連接,則,又所以所以共面,即過(guò)，，三點(diǎn)的正方體的截面為，由,則是等腰梯形,且所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，所以D正確；故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出〖答案〗.〖詳析〗，，即，，，利用三角函數(shù)定義，．故〖答案〗為：.14.已知隨機(jī)變量，若，則p＝_____．〖答案〗##025〖解析〗〖祥解〗由可得，進(jìn)而可求解〖答案〗.〖詳析〗已知X～B（2，p），則，∴，解得或（因?yàn)?＜p＜1，故舍去）．故〖答案〗為：．15.已知直線與圓C：相交于點(diǎn)A，B，若是正三角形，則實(shí)數(shù)________〖答案〗##0.5〖解析〗〖祥解〗由是正三角形得到圓心點(diǎn)到直線的距離為，從而用點(diǎn)到直線距離公式即可求解.〖詳析〗設(shè)圓的半徑為，由可得，因?yàn)槭钦切?，所以點(diǎn)到直線的距離為,即，兩邊平方得，解得.故〖答案〗為:.16.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，，關(guān)于軸對(duì)稱且位于軸右側(cè)，，則橢圓的離心率的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗聯(lián)立拋物線與橢圓方程，消元、解得或，再分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)求出、的坐標(biāo)，由，即可得到關(guān)于的不等式，解得即可.〖詳析〗解：聯(lián)立拋物線與橢圓的方程消去整理得到，解得或．①時(shí)，代入解得，已知點(diǎn)位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)，則，此時(shí)，與矛盾，不合題意．②時(shí)，代入解得．已知點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱且位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)、，已知，則軸，．此時(shí)，即，兩端同除以可得：，解得．因?yàn)?，所以，所以．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在①，②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后求解．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，．（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）（1）請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：．〖答案〗（1）選①，；選②，.（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量代入方程組求解即可.（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.〖小問(wèn)1詳析〗由題意知，，，，選①，由題意知，，，所以，，即：，.選②，由題意知，，所以，，即：，.〖小問(wèn)2詳析〗證明：由（1）得，∴①，②，①②得：，∴．又∵對(duì)，恒成立，∴．18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)依次是a，b，c，，．（1）求角B的大小；（2）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長(zhǎng)．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理角化邊，再應(yīng)用余弦定理可解得角B.（2）由余弦定理與重要不等式可得△ABC面積最大時(shí)a、c的值，在△ABD中應(yīng)用正弦定理可解得AD的值.〖小問(wèn)1詳析〗∵，∴由正弦定理可得，∴由余弦定理得，又∵，∴．〖小問(wèn)2詳析〗在△ABC中，由余弦定理得，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，，又∵△ABC面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)△ABC面積最大．當(dāng)a＝c＝2時(shí)，．又∵為的角平分線，∴∴在△ABD中，，∴在△ABD中，由正弦定理得．19.某地A，B，C，D四個(gè)商場(chǎng)均銷售同一型號(hào)的冰箱，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2022年10月份這四個(gè)商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)和銷售該型號(hào)冰箱的臺(tái)數(shù)如下表（單位：十臺(tái)）：A商場(chǎng)B商場(chǎng)C商場(chǎng)D商場(chǎng)購(gòu)講該型冰箱數(shù)x3456銷售該型冰箱數(shù)y2.5344.5（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）假設(shè)每臺(tái)冰箱的售價(jià)均定為4000元．若進(jìn)入A商場(chǎng)的甲、乙兩位顧客購(gòu)買這種冰箱的概率分別為p，，且甲乙是否購(gòu)買冰箱互不影響，若兩人購(gòu)買冰箱總金額的期望不超過(guò)6000元，求p的取值范圍．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)最小二乘法求線性回歸方程即可；（2）設(shè)甲、乙兩人中選擇購(gòu)買這種冰箱的人數(shù)為X，求出分布列得到期望，由期望的性質(zhì)求出，列出不等式求解即可.〖小問(wèn)1詳析〗，，，．所以，則．故y關(guān)于x的線性回歸方程為．〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)甲、乙兩人中選擇購(gòu)買這種冰箱的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2．，，．所以，X的分布列為X012P所以，．令，即，解得，又，所以．所以p的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)．（1）求證：MN平面PAD；（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）存在，〖解析〗〖祥解〗（1）取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．由線面平行的判定定理可證得ME平面PAD，NE平面PAD，再由面面平行的判定定理即可證明；（2）以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式可求出Q點(diǎn)的位置，即可得出的值.〖小問(wèn)1詳析〗如圖，取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．∵M(jìn)，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，∴MEPA．又∵平面PAD，平面PAD，∴ME平面PAD，同理得NE平面PAD．又∵，∴平面PAD平面MNE．∵平面MNE，∴MN平面PAD．〖小問(wèn)2詳析〗∵ABCD為矩形，∴AB⊥AD．PA⊥平面ABCD，∴AP、AB、AD兩兩垂直．依次以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，PC中點(diǎn)，∴，．設(shè)平面DMN的法向量，則，即，取x＝1，得y＝1，z＝－1，．若滿足條件的CD上的點(diǎn)Q存在，設(shè)，，又，則．設(shè)直線NQ與平面DMN所成的角為，則，解得t＝1或t＝－3．已知0≤t≤4，則t＝1，∴．DQ＝1，CD＝4，CQ＝CD－DQ＝4－1＝3，．故CD上存在點(diǎn)Q，使直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為，且．21.如圖，已知，直線l：，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)M，設(shè)，，證明定值，并求的取值范圍．〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.（2）設(shè)直線AB的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程后由韋達(dá)定理得、，由已知向量關(guān)系式可得，，進(jìn)而求得的值與的范圍.〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)點(diǎn)，則，且．由得，即，化簡(jiǎn)得．故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：．〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)直線AB的方程為：，則．聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程得，消去x得，則．設(shè)，，由韋達(dá)定理知，．由，得：，，整理得，．所以．故為定值0．∵，∴，∴的取值范圍是．〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù)的圖像與直線l：相切于點(diǎn)．（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在x軸上的截距；（2）求c與a的函數(shù)關(guān)系；（3）當(dāng)a為函數(shù)g（a）的零點(diǎn)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立．求實(shí)數(shù)k的最值．〖答案〗（1）（2）（3）最大值為3，最小值為．〖解析〗〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，進(jìn)而求出截距；（2）先求出函數(shù)在x＝1處的切線方程，對(duì)照系數(shù)消去b即可得到；（3）把題意轉(zhuǎn)化為對(duì)，不等式恒成立．對(duì)x分類討論：①x＝0直接判斷；②時(shí)，利用分離參數(shù)法得到恒成立．設(shè)，求得．利用導(dǎo)數(shù)求出；③當(dāng)時(shí)，與②同，求出的范圍．〖小問(wèn)1詳析〗，，，．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是：.令y＝0得，所以該切線在x軸上的截距等于．〖小問(wèn)2詳析〗，，函數(shù)的圖像在x＝1處的切線方程是：，即，兩端乘以b變作：①．又已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是：②．直線①與直線②重合，則③，④，聯(lián)立③④消去b得，所以c與a的函數(shù)關(guān)系為：．〖小問(wèn)3詳析〗函數(shù)的零點(diǎn)為a＝1，a＝1時(shí)．對(duì)，恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)，不等式恒成立．①當(dāng)x＝0時(shí)，對(duì)恒成立，此時(shí)．②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，恒成立．設(shè)，求得．0＜x≤2時(shí)，由得，由得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，，此時(shí)．③當(dāng)時(shí)，恒成立．與②同，設(shè)，．令，則，在上單調(diào)遞增．所以，時(shí)，得，在上單調(diào)遞減．所以，時(shí)，取得最大值，此時(shí)．整合①②③三種情形，得，且等號(hào)都取得到．所以，實(shí)數(shù)k的最大值為3，最小值為．〖『點(diǎn)石成金』〗導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與〖解析〗幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）利用導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問(wèn)題．高三模擬試題PAGEPAGE1曲靖市2022－2023學(xué)年高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題卷（本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．每小題選出〖答案〗后，將對(duì)應(yīng)的字母填在答題卡相應(yīng)位置上，在試題幕上作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.（－2，2） B.〖0，3）C.（－2，3） D.（－2，3〗〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗求一元二次不等式與分式不等式的解集再求兩者的并集即可.〖詳析〗∵，，∴.故選：C.2.如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)新定義求得a的值，代入求得復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，可得復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)果.〖詳析〗∵，又∵“等部復(fù)數(shù)”的實(shí)部和虛部相等，復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，∴，解得，∴，∴，即：，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限.故選：A.3.在扇形COD中，．設(shè)向量，，則（）A.－4 B.4 C.－6 D.6〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求解即可.詳析〗∵，，∴，，，∴.故選：D.4.如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（）克（精確到個(gè)位數(shù)）A.176 B.207 C.239 D.270〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由臺(tái)燈是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成可求得臺(tái)燈表面積的值，進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).〖詳析〗由已知得圓錐的母線長(zhǎng)，所以臺(tái)燈表面積為，需要涂膠的重量為（克），故選：B.5.已知奇函數(shù)圖像的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為2π，將的圖像向右平移個(gè)單位得函數(shù)的圖像，則的圖像（）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)條件求出，，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸辨析即可.〖詳析〗相鄰兩對(duì)稱中心距離為，則，．已知為奇函數(shù)，根據(jù)可知，則，．令，，故A錯(cuò)誤，B正確；令，，故C、D錯(cuò)誤．故選：B．6.若,則在“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡臈l件下,“函數(shù)為奇函數(shù)”的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先列出所有的結(jié)果數(shù),由于函數(shù)的定義域?yàn)?則,恒成立,可得,在所有結(jié)果數(shù)中選出滿足的情況,求出概率,根據(jù)為奇函數(shù)可得或,在所有結(jié)果數(shù)中選出同時(shí)滿足兩個(gè)事件情況,求出其概率,再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可計(jì)算出結(jié)果.〖詳析〗解:用所有的有序數(shù)對(duì)表示滿足的結(jié)果，則所有的情況為:,共9種,記“函數(shù)的定義域?yàn)椤睘槭录嗀,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以,恒成立,即,即,其中滿足的基本事件有:共6種,故．記“函數(shù)為奇函數(shù)”為事件B．已知是奇函數(shù),且定義域?yàn)?則,即,即,解得或．滿足或的情況有共3種,所以,即同時(shí)滿足事件A和事件B的情況有共3種,故,所以.故選:C7.已知展開(kāi)式中x的系數(shù)為q，空間有q個(gè)點(diǎn)，其中任何四點(diǎn)不共面，這q個(gè)點(diǎn)可以確定的直線條數(shù)為m，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的三角形個(gè)數(shù)為n，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的四面體個(gè)數(shù)為p，則（）A.2022 B.2023 C.40 D.50〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)條件可得展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為6x，則．進(jìn)而可求得〖答案〗.〖詳析〗的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為：，的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為：，所以，的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為6x，其系數(shù)．依題意得，故選：D．8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別得出，，從而得出〖答案〗．〖詳析〗令，則，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，所以，即．綜上，．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.C的離心率為C.曲線經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)D.C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1〖答案〗CD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出雙曲線方程，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.〖詳析〗因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，則設(shè)雙曲線C：，又點(diǎn)在雙曲線C上，有，即雙曲線C的方程為，A錯(cuò)誤；雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，雙曲線C的離心率，B錯(cuò)誤；雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中滿足，C正確；雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離，D正確．故選：CD10.已知，且則下列結(jié)論一定正確的有（）A. B.C.ab有最大值4 D.有最小值9〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗A、C選項(xiàng)，分別根據(jù)基本不等式計(jì)算即可得到；B選項(xiàng)找出反例即可；D選項(xiàng)由基本不等式“1”的代換計(jì)算，漏除了4.〖詳析〗A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，找反例，當(dāng)時(shí)，，，，B不正確；C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；D選項(xiàng)，，D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗根據(jù)函數(shù)的〖解析〗式可得判斷A，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域判斷C，利用數(shù)形結(jié)合可判斷D.〖詳析〗因?yàn)?，所以，故A正確；由題可知函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；由可得，則函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的大致圖象，由圖象可知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點(diǎn)，且，，為線段的中點(diǎn)，給出下列命題，其中正確的是（）A.與共面；B.三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)；C.當(dāng)時(shí)，；D.當(dāng)時(shí)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為．〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗對(duì)于選項(xiàng)A：可得，可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為定值，且的面積為定值可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：分別求出的長(zhǎng)，驗(yàn)證是否滿足勾股定理，從而判斷;對(duì)于選項(xiàng)D：先將過(guò)，，的截面分析做出，再求周長(zhǎng)可判斷.〖詳析〗對(duì)選項(xiàng)A：在中，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，,可得，，取的中點(diǎn)分別為，連接,則在直角三角形中,則，所以不成立，所以C不正確．對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，取,連接,則,又所以所以共面,即過(guò)，，三點(diǎn)的正方體的截面為，由,則是等腰梯形,且所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，所以D正確；故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出〖答案〗.〖詳析〗，，即，，，利用三角函數(shù)定義，．故〖答案〗為：.14.已知隨機(jī)變量，若，則p＝_____．〖答案〗##025〖解析〗〖祥解〗由可得，進(jìn)而可求解〖答案〗.〖詳析〗已知X～B（2，p），則，∴，解得或（因?yàn)?＜p＜1，故舍去）．故〖答案〗為：．15.已知直線與圓C：相交于點(diǎn)A，B，若是正三角形，則實(shí)數(shù)________〖答案〗##0.5〖解析〗〖祥解〗由是正三角形得到圓心點(diǎn)到直線的距離為，從而用點(diǎn)到直線距離公式即可求解.〖詳析〗設(shè)圓的半徑為，由可得，因?yàn)槭钦切危渣c(diǎn)到直線的距離為,即，兩邊平方得，解得.故〖答案〗為:.16.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，，關(guān)于軸對(duì)稱且位于軸右側(cè)，，則橢圓的離心率的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗聯(lián)立拋物線與橢圓方程，消元、解得或，再分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)求出、的坐標(biāo)，由，即可得到關(guān)于的不等式，解得即可.〖詳析〗解：聯(lián)立拋物線與橢圓的方程消去整理得到，解得或．①時(shí)，代入解得，已知點(diǎn)位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)，則，此時(shí)，與矛盾，不合題意．②時(shí)，代入解得．已知點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱且位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)、，已知，則軸，．此時(shí)，即，兩端同除以可得：，解得．因?yàn)?，所以，所以．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在①，②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后求解．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，．（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）（1）請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：．〖答案〗（1）選①，；選②，.（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量代入方程組求解即可.（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.〖小問(wèn)1詳析〗由題意知，，，，選①，由題意知，，，所以，，即：，.選②，由題意知，，所以，，即：，.〖小問(wèn)2詳析〗證明：由（1）得，∴①，②，①②得：，∴．又∵對(duì)，恒成立，∴．18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)依次是a，b，c，，．（1）求角B的大??；（2）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長(zhǎng)．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理角化邊，再應(yīng)用余弦定理可解得角B.（2）由余弦定理與重要不等式可得△ABC面積最大時(shí)a、c的值，在△ABD中應(yīng)用正弦定理可解得AD的值.〖小問(wèn)1詳析〗∵，∴由正弦定理可得，∴由余弦定理得，又∵，∴．〖小問(wèn)2詳析〗在△ABC中，由余弦定理得，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，，又∵△ABC面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)△ABC面積最大．當(dāng)a＝c＝2時(shí)，．又∵為的角平分線，∴∴在△ABD中，，∴在△ABD中，由正弦定理得．19.某地A，B，C，D四個(gè)商場(chǎng)均銷售同一型號(hào)的冰箱，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2022年10月份這四個(gè)商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)和銷售該型號(hào)冰箱的臺(tái)數(shù)如下表（單位：十臺(tái)）：A商場(chǎng)B商場(chǎng)C商場(chǎng)D商場(chǎng)購(gòu)講該型冰箱數(shù)x3456銷售該型冰箱數(shù)y2.5344.5（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）假設(shè)每臺(tái)冰箱的售價(jià)均定為4000元．若進(jìn)入A商場(chǎng)的甲、乙兩位顧客購(gòu)買這種冰箱的概率分別為p，，且甲乙是否購(gòu)買冰箱互不影響，若兩人購(gòu)買冰箱總金額的期望不超過(guò)6000元，求p的取值范圍．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)最小二乘法求線性回歸方程即可；（2）設(shè)甲、乙兩人中選擇購(gòu)買這種冰箱的人數(shù)為X，求出分布列得到期望，由期望的性質(zhì)求出，列出不等式求解即可.〖小問(wèn)1詳析〗，，，．所以，則．故y關(guān)于x的線性回歸方程為．〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)甲、乙兩人中選擇購(gòu)買這種冰箱的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2．，，．所以，X的分布列為X012P所以，．令，即，解得，又，所以．所以p的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)．（1）求證：MN平面PAD；（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）存在，〖解析〗〖祥解〗（1）取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．由線面平行的判定定理可證得ME平面PAD，NE平面PAD，再由面面平行的判定定理即可證明；（2）以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式可求出Q點(diǎn)的位置，即可得出的值.〖小問(wèn)1詳析〗如圖，取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．∵M(jìn)，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，∴MEPA．又∵平面PAD，平面PAD，∴ME平面PAD，同理得NE平面PAD．又∵，∴平面PAD平面MNE．∵平面MNE，∴MN平面PAD．〖小問(wèn)2詳析〗∵ABCD為矩形，∴AB⊥AD．PA⊥平面ABCD，∴AP、AB、AD兩兩垂直．依次以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，PC中點(diǎn)，∴，．設(shè)平面DMN的法向量，則，即，取x＝1，得y＝1，z＝－1，．若滿足條件的CD上的點(diǎn)Q存在，設(shè)，，又，則．設(shè)直線NQ與平面DMN所成的角為，則，解得t＝1或t＝－3．已知0≤t≤4，則t＝1，