2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元素養(yǎng)評價(jià)含解析新人教A版選修2-2

PAGE單元素養(yǎng)評價(jià)(三)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.(2024·全國Ⅱ卷)(1-i)4= ()A.-4 B.4 C.-4i D.4i【解析】選A.(1-i)4=QUOTE=QUOTE=(-2i)2=-4.2.復(fù)數(shù)z=i(i+1)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是 ()A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i【解析】選A.因?yàn)閦=i(i+1)=-1+i,所以QUOTE=-1-i.3.若a為實(shí)數(shù),且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a= ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選B.因?yàn)?2+ai)(a-2i)=-4i,所以4a+(a2-4)i=-4i.所以QUOTE解得,a=0.4.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)QUOTE在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1+i,由復(fù)數(shù)的幾何意義知,-1+i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為(-1,1),該點(diǎn)位于其次象限.5.已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=2,則|z+3-4i|的最小值是()A.5 B.2 C.7 D.3【解析】選D.|z|=2表示復(fù)數(shù)z在以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓上,而|z+3-4i|表示圓上的點(diǎn)到(-3,4)這一點(diǎn)的距離,故|z+3-4i|的最小值為QUOTE-2=5-2=3.6.復(fù)數(shù)QUOTE=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a2-b2的值為 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選A.QUOTE=QUOTE=-i=a+bi,所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1.7.已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-3,1) B.(-1,3)C.(1,+∞) D.(-∞,-3)【解析】選A.由題意知QUOTE即-3<m<1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-3,1).8.設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)是QUOTE,則QUOTE等于 ()A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i【解析】選C.由題意可得QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1+2i.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知復(fù)數(shù)z=-QUOTE+QUOTEi,則QUOTE+|z|= ()A.-QUOTE-QUOTEi B.-QUOTE+QUOTEiC.QUOTE+QUOTEi D.QUOTE-QUOTEi【解析】選D.因?yàn)閦=-QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE+|z|=-QUOTE-QUOTEi+QUOTE=QUOTE-QUOTEi.9.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,則“m=1”是“z1=z2”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.m=1時(shí),z1=3-2i=z2,故“m=1”是“z1=z2”的充分條件.由z1=z2,得m2+m+1=3,且m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,故“m=1”不是“z1=z2”的必要條件.10.設(shè)z是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是 ()A.若z2≥0,則z是實(shí)數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)C.若z是虛數(shù),則z2≥0D.若z是純虛數(shù),則z2<0【解析】選C.設(shè)z=a+bi,a,b∈R?z2=a2-b2+2abi.對于選項(xiàng)A:若z2≥0,則b=0?z為實(shí)數(shù),所以z為實(shí)數(shù)正確.對于選項(xiàng)B:若z2<0,則a=0,且b≠0?z為純虛數(shù),所以z為虛數(shù)正確.對于選項(xiàng)C:若z為虛數(shù),則z2不肯定為實(shí)數(shù),所以z2≥0錯誤.對于選項(xiàng)D:若z為純虛數(shù),則a=0,且b≠0?z2<0,所以z2<0正確.11.若1+QUOTEi是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根,則 ()A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1【解析】選B.由題意可得(1+QUOTEi)2+b(1+QUOTEi)+c=0?-1+b+c+(2QUOTE+QUOTEb)i=0,所以QUOTE?QUOTE12.已知復(fù)數(shù)z=(x-2)+yi(x,y∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量的模為QUOTE,則QUOTE的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閨(x-2)+yi|=QUOTE,所以(x-2)2+y2=3,所以點(diǎn)(x,y)在以C(2,0)為圓心,以QUOTE為半徑的圓上,如圖,由平面幾何學(xué)問知,-QUOTE≤QUOTE≤QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)13.若復(fù)數(shù)z=1-2i(i為虛數(shù)單位),則z·QUOTE+z=________.

【解析】因?yàn)閦=1-2i,所以z·QUOTE=|z|2=5,所以z·QUOTE+z=6-2i.答案:6-2i14.設(shè)z2=z1-QUOTE(其中QUOTE表示z1的共軛復(fù)數(shù)),已知z2的實(shí)部是-1,則z2的虛部為________.

【解析】設(shè)z1=a+bi(a,b∈R),則z2=z1-QUOTE=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因?yàn)閦2的實(shí)部是-1,即a-b=-1,所以z2的虛部為1.答案:115.若關(guān)于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有實(shí)數(shù)根,則純虛數(shù)m=________.

【解析】設(shè)m=bi(b∈R,且b≠0),方程的實(shí)根為x0,則QUOTE+(2-i)x0+(2bi-4)i=0,即(QUOTE+2x0-2b)-(x0+4)i=0,即QUOTE解得x0=-4,b=4.故m=4i.答案:4i16.已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)且QUOTE+QUOTE=QUOTE,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限.

【解析】因?yàn)閍,b∈R且QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以5a+5ai+2b+4bi=15-5i,即QUOTE解得QUOTE所以z=7-10i.所以z對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.答案:四三、解答題(共70分)17.(10分)復(fù)平面內(nèi)有A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2-4i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4-i,求B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】因?yàn)橄蛄繉?yīng)的復(fù)數(shù)是-2-4i,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-4-i,所以表示的復(fù)數(shù)是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5-2i.18.(12分)已知復(fù)數(shù)z1=i(1-i)3,(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),所以|z1|=QUOTE=2QUOTE.(2)|z|=1,所以設(shè)z=cosθ+isinθ,|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|=QUOTE=QUOTE.當(dāng)sinQUOTE=1時(shí),|z-z1|取得最大值QUOTE,從而得到|z-z1|的最大值為2QUOTE+1.【一題多解】本題還可用下面的方法求解:|z|=1,可把復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡看成半徑為1,圓心為(0,0)的圓,而z1對應(yīng)坐標(biāo)系中的點(diǎn)(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成點(diǎn)(2,-2)到圓上的點(diǎn)的最大距離,由圖可知:|z-z1|max=2QUOTE+1.19.(12分)已知z=1+i,a,b為實(shí)數(shù).(1)若ω=z2+3QUOTE-4,求|ω|;(2)若QUOTE=1-i,求a,b的值.【解析】(1)因?yàn)棣?z2+3QUOTE-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,所以|ω|=QUOTE=QUOTE.(2)由條件QUOTE=1-i,得QUOTE=1-i,即QUOTE=1-i.所以(a+b)+(a+2)i=1+i,所以QUOTE解得QUOTE20.(12分)已知復(fù)數(shù)z1滿意(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i為虛數(shù)單位,a∈R,若|z1-QUOTE|<|z1|,求a的取值范圍.【解析】因?yàn)閦1=QUOTE=2+3i,z2=a-2-i,QUOTE=a-2+i,所以|z1-QUOTE|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=QUOTE,又因?yàn)閨z1|=QUOTE,|z1-QUOTE|<|z1|,所以QUOTE<QUOTE,所以a2-8a+7<0,解得1<a<7.所以a的取值范圍是(1,7).21.(12分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=QUOTE,z2的虛部是2.(1)求復(fù)數(shù)z.(2)設(shè)z,z2,z-z2在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,求△ABC的面積.【解析】(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi,由題意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)當(dāng)z=1+i時(shí),z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以QUOTE=1.當(dāng)z=-1-i時(shí),z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以QUOTE=1.22.(12分)已知z=m+3+3QUOTEi,其中m∈C,且QUOTE為純虛數(shù),(1)求m對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡;(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)設(shè)m=x+yi(x,y∈R),則QUOTE=QUOTE=QUOTE