2024-2025學年山東省青島五十八中高三（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省青島五十八中高三（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合P={x∈N|y=6x+1,y∈N}，Q={x|?1≤x<5}，則P∩Q=A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{1,2,5} D.{0,1,2,5}2.已知z=i2?2i.則|A.2 B.24 C.1 3.已知|a|=3，|b|=1.若(aA.?32 B.?334.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=ma1，則“m=7A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側面積相等，且它們的高均為15，則此正四棱錐的體積為(

)A.605 B.6015 C.6.已知函數(shù)f(x)=(12)x,x≥0,A.1對 B.2對 C.3對 D.4對7.已知函數(shù)f(x)=12cos2x2?12sin2x2+3sinx2cosx2，函數(shù)f(x)的圖象各點的橫坐標縮小為原來的1A.π6 B.π3 C.π28.若關于x不等式ln(ax)≤x+b恒成立，則當1e≤a≤e時，eb+1A.1e+1 B.e?1 C.1 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知3a=5bA.lga>lgb B.a+b=ab C.(12)10.若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=1，A.a7=13 B.2an=a11.如圖，在邊長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1A.若DP/?/平面CEF，則點P的軌跡長度為22

B.若AP=17，則點P的軌跡長度為2π

C.若P是正方形A1B1C1D1的中心，Q在線段EF上，則PQ+CQ的最小值為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線y=x3+313.為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB=BC=50米，則塔的高度OP=______米.14.已知|A1A2|=1，當n≥2時，An+1是線段AnAn?1的中點，點四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+2=2an．

(1)求a2及數(shù)列{an}的通項公式；

(2)在an與an+116.(本小題15分)

設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有2bcos(A?π3)=a+c．

(1)求角B；

(2)若AC邊上的高?=317.(本小題15分)

如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E為CD的中點，將△ADE沿AE折起，連結BD，CD，且BD=4，如圖2．

(1)求證：圖2中的平面ADE⊥平面ABCE；

(2)在圖2中，若點F在棱BD上，直線AF與平面ABCE所成的角的正弦值為3010，求點F到平面DEC的距離．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=sinx+ln(x+1)?ax，且y=f(x)與x軸相切于坐標原點．

(1)求實數(shù)a的值及f(x)的最大值；

(2)證明：當x∈[π6,π]時，f(x)+2x>12；

(3)19.(本小題17分)

對于任意正整數(shù)n，進行如下操作：若n為偶數(shù)，則對n不斷地除以2，直到得到一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為an；若n為奇數(shù)，則對3n+1不斷地除以2，直到得出一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為an.若an=1，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”．

(1)求20以內的質數(shù)“理想數(shù)”；

(2)已知am=m?9.求m的值；

(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列{bn}，記參考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.AC

11.ACD

12.4x?y+3=0

13.1014.2315.解：(1)由題意，當n=1時，S1+2=a1+2=2a1，解得a1=2，

當n=2時，S2+2=2a2，

即a1+a2+2=2a2，解得a2=4，

當n≥2時，由Sn+2=2an，

可得Sn?1+2=2an?1，

兩式相減，可得an=2an?2an?1，

整理，得an=2an?1，

∴數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

∴an=2?2n?1=2n，n∈N?．16.解：(1)因為2bcos(A?π3)=a+c，

由正弦定理可得2sinB(12cosA+32sinA)=sinA+sinC=sinA+sin(A+B)，

而sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以3sinBsinA=sinA+sinAcosB，

在三角形中，sinA>0，

所以3sinB?cosB=1，

即sin(B?π6)=12，因為B∈(0,π)，

可得B?π6=π6，

可得B=π3；

(2)因為AC邊上的高?=34b，

17.解：(1)證明：連接BE，

由題意AD=DE=2，∠ADE=60°，∠BCE=120°，

則△ADE為等邊三角形，

由余弦定理得BE2=4+4?2×2×2×(?12)=12，所以BE=23，

則DE2+BE2=BD2，AE2+BE2=BD2，

所以BE⊥DE，BE⊥AE，

又AE∩DE=E，AE，DE?平面ADE，

所以BE⊥平面ADE，

又BE?平面ABCE，所以平面ADE⊥平面ABCE；

(2)如圖，以點E為原點，建立空間直角坐標系，

則A(2,0,0),B(0,23,0),C(?1,3,0),D(1,0,3),E(0,0,0)，

設DF=λDB(0≤λ≤1)，

故EC=(?1,3,0),ED=(1,0,3),DB=(?1,23,?3)，

AD=AD+18.解：(1)由題意知，f(0)=0且f′(0)=0，x>?1，

∵f′(x)=cosx+1x+1?a，

∴f′(0)=2?a=0，解得a=2，

∴f(x)=sinx+ln(x+1)?2x，f′(x)=cosx+1x+1?2，

當x≥0時，cosx≤1，1x+1≤1，故f′(x)≤0，故f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞減，

則f(x)≤f(0)=0，

當?1<x<0時，令g(x)=cosx+1x+1?2，則g′(x)=?sinx?1(x+1)2，

∵?sinx∈(0,1)，1(x+1)2>1，g′(x)=?sinx?1(x+1)2<0，

∴f′(x)在區(qū)間(?1,0)上單調遞減，f′(x)>f′(0)=0，

∴f(x)在區(qū)間(?1,0)上單調遞增，則f(x)<f(0)=0，即x=0時，函數(shù)取得最大值0，

綜上所述，a=2，f(x)的最大值為0；

證明：(2)要證f(x)+2x>12，即證sinx+ln(x+1)>12，

記m(x)=sinx+ln(x+1)?12，m′(x)=cosx+1x+1，

當x∈[π6,5π6]時，12≤sinx≤1，ln(x+1)>0，m(x)=sinx+ln(x+1)?12>0，

當x∈(5π6,π]時，記n(x)=m′(x)=cosx+1x+1，則n′(x)=?sinx?1(x+1)2<0，

∴m′(x)在區(qū)間(5π6,π]上單調遞減，則m′(x)<m′(5π6)=?32+65π+6<0，m(x)在區(qū)間(5π6,π]上單調遞減，

∴m(x)≥m(π)=sinπ+ln(π+1)?12=ln(π+1)?12，

綜上所述，當x∈[π6,π]時，f(x)+2x>12；

解：(3)f(x)+x=0有2個不相等的實數(shù)根，證明如下：

設?(x)=f(x)+x=sinx+ln(x+1)?x，

∴?′(x)=cosx+1x+1?1，

當19.解：(1)易知a1=1，a2=1，a3=5，a4=1，a5=1，?(后續(xù)直到20都不滿足條件)，

∴2和5為兩個質數(shù)“理想數(shù)”；

(2)由題設可知am=m?9必為奇數(shù)，∴m必為偶數(shù)，

∴存在正整數(shù)p，使得m2p=m?9，即m=92p?1+9：

∵92p?1∈Z，且2p?1≥1，

∴2