專題11.12 三角形中的幾個重要幾何模型（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題11.12三角形中的幾個重要幾何模型（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【模型歸納】【模型一】燕尾模型如圖：這樣的圖形稱之為“燕尾模型”結(jié)論：∠BDC=∠A+∠B+∠C【模型二】8字模型如圖：這樣的圖形稱之為“8字模型”結(jié)論：∠A+∠D=∠B+∠C【模型三】三角形角平分線（內(nèi)分分模型）如圖：這樣的圖形稱之為“三角形雙內(nèi)角平分線模型”條件：BI、CI為角平分線結(jié)論：【模型四】三角形角平分線（內(nèi)外分模型）如圖：這樣的圖形稱之為“三角形內(nèi)外角平分線模型”條件：BP、CP為角平分線結(jié)論：【模型五】三角形角平分線（外外分模型）如圖：這樣的圖形稱之為“三角形雙外角平分線模型”條件：BP、CP為角平分線結(jié)論：【模型六】角平分線+平行線模型條件：CP平分∠ACB,DE平行于BC結(jié)論：ED=EC第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】燕尾模型【例1】如圖所示，已知四邊形，求證．【答案】見解析【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；方法2作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，，兩式相加即可得到結(jié)論；方法3延長BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：方法1如圖所示，連接BC.在中，，即.在中，，；方法2如圖所示，連接AD并延長.是的外角，.同理，..即.方法3如圖所示，延長BD，交AC于點(diǎn)E.是的外角，.是的外角，..【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．【變式1】（2021九年級·全國·專題練習(xí)）在社會實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．解：延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：．【變式2】如圖，．【答案】/180度【分析】連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解．解：如圖所示，連接，∵，，∴，∵，，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．【題型2】8字模型【例2】如圖，求的度數(shù).【答案】.【分析】連接CD，將轉(zhuǎn)化為四邊形CDEF的內(nèi)角和即可求出答案.解：如圖所示，連接CD.由對頂三角形得，，∴.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形、四邊形的內(nèi)角和定理、對頂角的性質(zhì)等知識.將所求角的度數(shù)和轉(zhuǎn)化為四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.【變式1】如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．解：∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變．為了舒適，需調(diào)整的大小，使，則圖中應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計算即可判斷．解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．【題型3】三角形的角平分線（內(nèi)內(nèi)分模型）【例3】（22-23八年級上·江西贛州·期中）如圖，在△ABC中，（1）如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶數(shù)，求這個三角形的周長．（2）如果BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．a(chǎn)、當(dāng)∠A=45°時，求∠BPC的度數(shù)．b、當(dāng)∠A=x°時，求∠BPC的度數(shù)．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋x°【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩之差小于第三邊，得出BC的取值范圍為1＜BC＜7，再根據(jù)BC是能被3整除的偶數(shù)，得到BC=6cm，再求出周長為13cm．（2）利用三角形的內(nèi)角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分線平分角的知識，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠BPC．解：（1）∵AB=4cm，AC=3cm∴1＜BC＜7∴BC=6cm∴三角形的周長為：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、當(dāng)∠A=45°時，由三角形的內(nèi)角和可知：∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?45°=135°∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×135°=67.5°∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?67.5°=112.5°b、當(dāng)∠A=x°時，由三角形的內(nèi)角和可知：∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?x°∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°?x°)=90°?x°∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?(90°?x°)=90°＋x°【點(diǎn)撥】本題考查有關(guān)三角形的知識．第一小問的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩之差小于第三邊進(jìn)行解答；第二小問的解題關(guān)鍵是運(yùn)用三角形的內(nèi)角和等于180°，以及角平分線平分角的知識結(jié)合一起解答，在求角度時，有時不一定需要每個角都求出來，可以利用整體思想．【變式1】如圖，中，與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形②；③；④若，則．其中正確的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解．解：①∵BF是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①選項正確，符合題意；②∵DE=DF+FE，∴DB=DF，EF=EC，∴DE=DB+CE，∴②選項正確，符合題意；③根據(jù)題意不能得出BF＞CF，∴④選項不正確，不符合題意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∴④選項正確，符合題意；故①②④正確．故選C【點(diǎn)撥】等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，解題關(guān)鍵是逐個判斷選項即可得出正確答案．【變式2】如圖，在中，已知，、的平分線、相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.解：在中,，∵與的角平分線相交于點(diǎn)，∴，在中,，故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.【題型4】三角形的角平分線（內(nèi)外分模型）【例4】如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)【答案】40°【分析】由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決問題即可．解：由題意：設(shè)∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，則有，①-2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題．【變式1】如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是A2BD∠的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，若∠A1=α，則∠A2013為（

）A． B． C． D．【答案】D解：∵BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴∠A1BC+∠A1=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC=∠A+∠A1BC，∴∠A1=∠A；,同理可得：∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，，∠An=∠An-1=，∴∠A2013=.故選D．點(diǎn)撥：利用三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理結(jié)合角平分線的定義推導(dǎo)得到∠A1和∠A的關(guān)系是解這道題的關(guān)鍵，由此可推導(dǎo)出∠A2與∠A1的關(guān)系，進(jìn)一步推廣到∠An和∠An-1的關(guān)系就可找到規(guī)律求得∠A2013.【變式2】如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，……以此類推，若，則．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α．∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)，∴，故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是三角形外角性質(zhì)，角平分線定理，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【題型5】三角形的角平分線（外外分模型）【例5】如圖，已知在中，、的外角平分線相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù).【答案】【分析】運(yùn)用角平分線的知識列出等式求解即可．解答過程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)系．解：∠B、∠C的外角平分線相交于點(diǎn)G，在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的知識．此類題的關(guān)鍵是找出與之相關(guān)的等量關(guān)系簡化計算得出．【變式1】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，設(shè)∠A=m，則∠BOC=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠ABC+∠ACB，根據(jù)角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根據(jù)角平分線的定義，可得∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得答案．解：如圖：，由三角形內(nèi)角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，由∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，得∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，由三角形的內(nèi)角和，得∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)角和定理，角的和差，角平分線的定義是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ABC中，分別延長△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，愛動腦筋的小明在寫作業(yè)的時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：（1）若∠A＝60°，則∠P＝°；（2）若∠A＝40°，則∠P＝°；（3）若∠A＝100°，則∠P＝°；（4）請你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納∠A與∠P的關(guān)系．【答案】（1）65；（2）45；（3）40；（4）∠P=90°-∠A【分析】（1）若∠A=50°，則有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根據(jù)角平分線的定義可以求得∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠P的度數(shù)；（2）、（3）和（1）的解題步驟類似．解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∴∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴；（2）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠DBC+∠BCE=360°-140°=220°，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴；（3）∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，∴∠DBC+∠BCE=360°-80°=280°，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴；（4）∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴，∵BP，CP分別為∠CBD與∠BCE的平分線，∴，，∴，∴．故答案為：∠P=90°-∠A．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)．關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)以及角平分線的定義．【題型6】角平分線+平行線模型【例6】（23-24八年級上·四川瀘州·期末）如圖，在中，平分平分，過點(diǎn)作的平行線與分別相交于點(diǎn)．若．（1）求的度數(shù)；（2）求的周長．【答案】(1)(2)14【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及角平分線定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線定義得出，再根據(jù)內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證明，，進(jìn)而求解即可．（1）解：，平分，平分，，；（2）解：平分，，，，，，同理可得：，，，的周長．【變式1】如圖，△EFG的三個頂點(diǎn)E，G和F分別在平行線AB，CD上，F(xiàn)H平分∠EFG，交線段EG于點(diǎn)H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，則∠EHF的大小為（

）A．105° B．75° C．90° D．95°【答案】B【分析】首先根據(jù)∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大??；然后根據(jù)AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根據(jù)FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠EHF的大小為多少即可．解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，∴∠FEH=180°-36°-57°=87°；∵AB∥CD，∴∠EFG=∠AEF=36°，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=∠EFG=×36°=18°，∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．【變式2】如圖，的三個頂點(diǎn)，和分別在平行線，上，平分，交線段于點(diǎn)，若，，則的大小為．【答案】75°．【分析】首先根據(jù)∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根據(jù)AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根據(jù)FH平分∠EFG，求出∠EFH的大??；最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠EHF的大小為多少即可．解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°∵∴∠EFG=∠AEF=36°∵FH平分∠EFG∴∠EFH=∠EFG=18°∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°故答案為：【點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，以及平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則度．【答案】【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先分別對運(yùn)用三角形的外角定理，設(shè)，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．解：如圖：∵，，∴設(shè)，，則，，由三角形的外角的性質(zhì)得：，，∴，如圖：同理可求：，∴，……，∴，即，故答案為：．【例2】（2019·遼寧鐵嶺·中考真題）如圖，在中，，，，，連接BC，CD，則的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】連接AC并延長交EF于點(diǎn)M．由平行線的性質(zhì)得，，再由等量代換得，先求出即可求出．解：連接AC并延長交EF于點(diǎn)M．，，，，，，，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．【例3】（2020·北京·中考真題）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（

）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【答案】A【分析】根據(jù)對頂角性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．解：由兩直線相交，對頂角相等可知A正確；由三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可知B選項為∠2＞∠3，C選項為∠1=∠4+∠5，D選項為∠2＞∠5．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行判斷．2、拓展延伸【例1】如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若，直接寫出的結(jié)果；②如圖3，平分，平分，若，求的度數(shù)；③如圖4，的10等分線相交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】(1)，見解析(2)①；②；③【分析】（1）首先連接并延長，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出；（2）①由（1）可得，然后根據(jù)，，即可求出的值；②由（1）可得，再根據(jù)，求出的值；然后根據(jù)，即可求出的度數(shù)；③設(shè)，，結(jié)合已知可得，，再根據(jù)（1）可得，，即可判斷出的度數(shù)．解：（1）解：，理由如下：如圖，連接并延長．根據(jù)外角的性質(zhì)，可得，，又∵，，∴，故答案為：；（2）①由（1）可得，∵，，∴；②由（1）可得，∴，∴，∴；③設(shè)，，則，，則，，解得，所以，即的度數(shù)為．【點(diǎn)撥】此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【例2】如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．

（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q，∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點(diǎn)E，在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)∠A的度數(shù)是或或或【分析】（1）在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根據(jù)角平分線的定義得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠