專題22 【五年中考+一年模擬】 幾何壓軸題-2023年溫州中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

專題22幾何壓軸題

1.(2022?龍港市模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知8(4,4),C(6,0),以為直徑

構(gòu)造M,交x軸于另一點A,直線=經(jīng)過點分別交M于點、E,F(點、E

在左側(cè))，連結(jié)AE,BE,AB,CF.

(1)求人的值.

(2)求/E43的度數(shù)和CF的長.

(3)點P在ABC上，連結(jié)PF.當(dāng)NCFP與A43E的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的

點P的坐標(biāo).

【答案】(1)k=-；(2)Z￡4B=45°,CF=屈;(3)當(dāng)NCFP與A4BE的一個內(nèi)角相

2

等時，滿足條件的點P的坐標(biāo)為(6,4)或(3,1)或(7,1)

【詳解】(1)過點加作"/7,47于點N,如圖，

BC為M的直徑,

:.BA±AC,

3(4,4),

:.AB=4,A(4,0).

:.OA=4.

C(6,0),

:,OC=6,

/.AC=OC-OB=2,

MN1AC,

,\AN=NC=1.

MN//AB,CM=BM,

:.MN=、AB=2,

2

，M(5⑵.

??直線=經(jīng)過點M,

2

.?.5%-』=2,

2

解得：攵=L

2

(2)k=~,

2

直線/:y=-x~—.

22

設(shè)直線y工與x軸交與點。，如圖,

22

令y=0,則L」二o,

'22

x=1>

??.0(1,0).

.?.00=1,

:.AD=OA-OD=3,

.\DN=AD+AN=4.

DN4、MN2

MN2CN1

.DN_MN

…~MN~'CN'

ZDNM=ZMNC=90°，

:.ZDMN=ZMCN.

ZWC+ZMCV=90。，

:.ZDMN+ZNMC=90°，

即NDMC=90。，

.,./MBE=90。,

「.ZEAB=-ZBME=45°.

2

ZDMC=90°,

/.ZBA/F=90°,

MF=MC,

??.AMfC為等腰直角三角形，

CF=yf2CM.

CM=JCM+MM=Jr+2?=石,

.\cr=Vio.

(3)①當(dāng)NCFP=Z4￡B時，連接BP,PC,如圖,

ZCFP=ZAEB.

：.AB=CP,

BC為〃的直徑，

:.ZBAC=ZBPC=9(r.

在RtAABC和RtAPCB中，

\BC=CB

\AB=PC"

??.RtAABC=RtAPCB(HL),

AC=BP=2,

四邊形ACPB為平行四邊形,

Z^4C=90°,

???平行四邊形ACPB為矩形，

.?.PC_Lx軸，PC=AB=4,

0c=6,

尸(6,4)；

②當(dāng)NCFP=NE43時，

連接石C,過點E作石HLQA丁點H,如圖,

2

NCFP=NEAB=45。,

:.ZCFP=ZCFE,

???點七與點P重合.

BA±OA,

:.ZEAH=ZEAB=45°,

EHVOA,

:.EH=AH，

^,EH=AH=x,則HC=x+2,

CM上EF,

.\CE=CF=y/]O.

EH2+HC2=CE\

x2+(x+2)2=(Vio)2,

解得：x=l或==-3(不合題意，舍去)，

：.EH=AH=\,

:.HC=3,

:.OH=OC-HC=3,

尸(3,1)；

③當(dāng)/CFP=ZABE時，

連接PC,PB,過點P作軸于點G,如圖,

:.AE=PC,

AE=^AH-+EH2=72，

:.PC=42.

NCFP=ZABE,NCBP=NCFP,

:.ZCBP=ZABE.

ZABE+ZABC="BE」/EMC=45°,

2

.-.ZABC+ZCBP=45°,

.-.ZABP=45°.

NPCG為圓內(nèi)接四邊形PC4B的外角，

:.ZPCG=ZABP=45°,

PG_Lx軸，

.?."CG為等腰直角三角形，

：.PG=CG=—PC=\,

2

:.OG=OC+CG=1.

綜上，當(dāng)/CFP與AMS的一個內(nèi)角相等時,滿足條件的點P的坐標(biāo)為(6,4)或(3,1)或(7,1).

2.(2022?洞頭區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線CD:y=Jtr+與交AABO的外接

圓：M于點E,點C,交x軸于點。，交y軸于點F.點C是BO的中點，連結(jié)OC,BC.點

A(6,0),點8(0,8).

(1)求A3的長和8的解析式.

(2)求點E的坐標(biāo).

(3)點尸在x軸上，連結(jié)砂，即與ABCO的任意一邊平行時，求OP的長.

【答案】(1)AB=10,8的解析式為：y=--x+—；(2)E(7,l)；(3)。P=7或也或

332

13

T

.?.3=6,OB=8,

：.ABZO^+OB?=10,

,點C是80的中點，

:.BG=OG=-OB=4,

2

.\GM=-OA=3,

2

.?.CG=CM-GM=5-3=2,

C(-2,4),

把點。(―2,4)代入直線＞=丘+與，得Z=—g,

.?.C￡)的解析式為：y=--%+—;

33

(2)連接勵7,

，直線C￡)交x軸于點。，交y軸于點產(chǎn)，

.?.0(10,0),F(0,—),

3

設(shè)點E(a,—a----),

33

.,點石在1M上，

:.EM=5,

M(3,4),

110

3)"?+(4+—tz——)*91=59,

.?.々=7或a=-2(舍去)，

￡(7,1)；

(3)設(shè)OP=x,

要使EP與MCO的任意?邊平行，分以下三種情況:

①EP//OB,

:.ZBOA=ZEPD=90。,M)EP^ADFO,

.EPDP

~OF~~OD'

日n1I。—x

1010

3

..x=7,

.?.QP=7；

②EP//OC,

過點。、石作x軸垂線，分別交無軸于點N、Q,

又/CNO=/EQP=90。,

..ACQVSAEPQ,

,幽="

CN-ON'

③EP//BC,

連接CM交08于點G,后作x軸垂線，交x軸于點。,

:.ZBCE=/CEP,

EQ//OF,

/OFE=/QED,

ZOFE=/CFB,

.?./CFB=NQED，

,ZBCE+ZCFB+ZCBF=180°,/CEP+/PEQ+NQED=180。,

/CBF=/PEQ,

又NCGB=NEQP=90。,

:.NCGBsbPQE,

,CGBG

■,~PQ=~EQ'

:.OP=—,

2

綜上所述，OP=7或”或U.

22

3.(2022?溫州)如圖1,他為半圓O的直徑，C為84延長線上一點，C￡＞切半圓于點￡＞,

BELCD,交8延長線于點E,交半圓于點F,已知8c=5,BE=3,點、P,。分別在

AP5

線段座上(不與端點重合)，且滿足生=?.設(shè)8Q=x,CP=y.

(1)求半圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

(3)如圖2,過點P作PRJLCE于點A,連結(jié)PQ,RQ.

①當(dāng)APQR為直角三角形時，求x的值.

②作點尸關(guān)于QR的對稱點尸，當(dāng)點尸落在3c上時，求塵的值.

BF'

圖1圖2

【答案】（1）—;（2）y=-x+-；（3）①2或義；②更

8447119

【詳解】(1)如圖1,連接式＞,設(shè)半徑為r,

E

圖1

CD切半圓于點。，

:.OD工CD,

BEtCD,

;.OD//BE,

:MOAbCBE,

.ODCO

r_5—r

??—―,

35

解得r=”,

8

半圓O的半徑為”；

8

(2)由⑴得，CA=CB-AB=5-2X—=-

849

AP5n八

,=_，BQ=x，

BQ4

AP=—x,

4

:.CP=AP+AC,

55

V=—x+—；

44

(3)①顯然NPRQ<90。，所以分兩種情形，

當(dāng)NRPQ=90。時，則四邊形RPQE是矩形，

/.PR=QE,

333

PR=PCxs\nC=-y=-x+-,

544

9

x=-

7

肖NPQR=90。時'過點、P作PH上BE于點H,如圖,

則四邊形「〃￡7?是矩形,

:.PH=RE,EH=PR,

4

C/?=CPcosC=—j=x+l,

；,PH=RE=3-x=EQ,

/EQR=/ERQ=45°,

:.ZPQH=45°=ZQPH,

:.HQ=HP=3-X,

由￡W=PR得：(3-x)+(3-x)==x+±,

44

21

x=—

11

綜上，x的值為2或包;

711

②如圖，連接"，QF',由對稱可知。/=QU,

CP=-+-x,

44

.\CR=x+\,

ER=3—x,

BQ=x,

EQ=3-x,

/.ER=EQ,

??.NF'QR=/EQR=45。,

E

CAPOP7

NBQF=90。,

4

/.QF=QF'=BQ-tanB=4x,

AB是半圓O的直徑，

:.ZAFB=90°,

9

/.BF=ABcosB=—,

4

49

/.—x+x=—，

.CF'BC-BF'BC,319

BF'BF'BF'x9

4.(2021?溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M經(jīng)過原點O,分別交x軸、y軸于點42,0),

8(0,8),連結(jié)直線CM分別交＜M于點。，E(點。在左側(cè))，交x軸于點C(17,0),

連結(jié)

(1)求M的半徑和直線CM的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求點。，E的坐標(biāo)；

(3)點P在線段AC上，連結(jié)PE.當(dāng)NA￡P(guān)與AO3O的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條

件的OP的長.

0\-APCX

【答案】(1)圓的半徑為炳，y--X+—：(2)。、E的坐標(biāo)分別為(-3,5)、(5,3)；

(3)5或10或二

4

【詳解】(1)ZAOB=90°,

.?.A3為M的直徑，

?點M是45的中點，則點用(1,4),

則圓的半徑為AM="(2-以+4?=717,

k=~-

設(shè)直線CM的表達(dá)式為尸fcr+b,則P"+"=°,解得<4

[k+h=4,17

b=—

故直線CM的表達(dá)式為y=-』x+U;

44

117

(2)設(shè)點。的坐標(biāo)為(%,--x+—),

44

由=得：(x-1)2+(--%+—-4)2=(V17)2.

44

解得x=5或-3,

故點D、E的坐標(biāo)分別為(-3,5)、(5,3)；

(3)過點。作￡>"_LOB于點”，則￡>〃=3,BH=8-5=3=DH,

由點A、E、B、。的坐標(biāo)得，AE=7(5-2)2+(0-3)2=372,

同理可得：8。=3夜，08=8,

①當(dāng)ZAEP=Z.DBO=45°時，

則A4EP為等腰直角三角形，EP±AC,

故點P的坐標(biāo)為(5,0),

故OP=5；

②=時,

ZEAP=ZDBO,

/.AE4P，

AEAP3>/2APAP50

=一，BanP—!==一=一，解得AP=8,

~BDBO3>/2BO8

故尸0=10;

③NAEP=N8O。時,

ZEAP=ZDBO,

\EAP^\OBD,

AEAP3近AP屹俎,?9

—=——，H即n---=—產(chǎn)，解得4尸=一,

OBBD83724

a17

貝1」尸。=2+己=一

44

綜上所述，OP為5或10或

4

5.（2020?溫州）如圖，在四邊形43C￡＞中，ZA=ZC=90°,DE,3尸分別平分NADC,

ZABC,并交線段AB,CD于點E,F（點E,8不重合）.在線段5尸上取點M,N（點

M在&V之間），使BM=2FN.當(dāng)點尸從點。勻速運(yùn)動到點E時，點Q恰好從點“勻速

運(yùn)動到點N.記QN=x,PD=y,已知y=-16x+12,當(dāng)0為8尸中點時，y=y?4.

（1）判斷與5尸的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）求DE,M的長.

（3）若AD=6.

①當(dāng)DP=DF^\,通過計算比較BE與BQ的大小關(guān)系.

②連接PQ,當(dāng)尸。所在直線經(jīng)過四邊形A8CD的一個頂點時，求所有滿足條件的x的值.

【答案】（1）見解析；（2）DE=\2,BF=16；（3）①見解析；②當(dāng)乂=10或%=一或、=一

33

時，PQ所在的直線經(jīng)過四邊形A88的一個頂點

【詳解】（1）DE與BF的位置關(guān)系為:DE//BF,理由如下：

如圖1所示：

ZA=ZC=90°,

/.ZADC+ZABC=360°-(ZA+ZC)=180°,

DE、斯分別平分NAZ)。、ZABC,

:.ZADE=-ZADC,ZABF=-ZABC,

22

/.ZAZ)E+ZABF=-xl80o=90o,

2

ZADE+ZAED=90°,

:.ZAED=ZABF,

:.DE//BF；

(2)令x=0,得y=12,

..DE=12,

令y=0,得x=10,

把丁=等代入y=-《x+12,

解得：％=6,即NQ=6,

/.2M=10-6=4,

Q是跖中點，

:,FQ=QB,

BM=2FN,

:.FN+6=4+2FN,

解得：FN=2,

;.BF=FN+MN+MB=\6；

(3)①連接EM并延長交3。于點〃，如圖2所示:

FM=2+\0=12=DE,DE//BF,

???四邊形DFME是平行四邊形，

.?.DF=EM,EH//CD,

.,.ZMHB=NC=90。,

AD=6，DE=12,zSA=90°，

:,ZDEA=30°,

ZDEA=NFBE=NFBC=30°，

.?.ZAT>￡：=60o,

:.ZADE=ZCDE=ZFME=60°，

:.ZDFM=ZDEM=i20°，

.\ZA/EB=l80o-120o-30o=30°,

:.ZMEB=NFBE=30。,

??.4EHB=180°-30°-30°-30°=90°,DF=EM=BM=4,

:.MH=-BM=2,

2

.?.￡//=4+2=6,

由勾股定理得：HB=qBM?-MH。=>/42-22=2粗,

/.BE=sjEH2+HB2=招+(2我2=4后，

當(dāng)￡>P=￡>尸時，-3+12=4,

5

解得：x=—,

3

B0=14-X=14-y=y,

■—>4^.

3

BQ>BE；

②(I)當(dāng)P。經(jīng)過點。時，如圖3所示：

y=0,

則x=10；

(ID當(dāng)P。經(jīng)過點C時，如圖4所示：

跖=16,ZFCB=90°,ZG?F=30°,

:.CF=-BF=8

2f

二.8=8+4=12,

FQUDP,

.?.bCFQsbCDP,

,FQCF

..----=-----,

DPCD

2+x8

-------=—f

6…12

——x+12

解得：x=—:

3

(III)當(dāng)尸。經(jīng)過點A時;如圖5所示:

PE//BQ,

.PEAE

"~BQ~~AB'

由勾股定理得：AE=ylDE2-AD2=7122-62=6>/3,

A4=6G+4百=1。6

12-母+12)6G

14-x-106'

解得：x=匕，

3

由圖可知，尸。不可能過點8：

綜上所述，當(dāng)x=10或x=￥或x=￡時，PQ所在的直線經(jīng)過四邊形MCD的一個頂點.

B

圖3

c

圖4圖5

6.(2019?溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-gx+4分別交x軸、y軸于點3,

C,正方形AOCD的頂點。在第二象限內(nèi)，E是中點，于點F,連接OE.動

點P在AO上從點A向終點。勻速運(yùn)動，同時，動點。在直線上從某一點0向終點Qz

勻速運(yùn)動，它們同時到達(dá)終點.

(2)設(shè)點Q為(見〃)，當(dāng)277=！1tanNEO/時，求點?的坐標(biāo).

m7

(3)根據(jù)(2)的條件，當(dāng)點P運(yùn)動到AO中點時，點。恰好與點C重合.

①延長A￡＞交直線3c于點口，當(dāng)點。在線段Q2Q3上時，設(shè)。3。=$，AP=t,求s關(guān)于f的

函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)PQ與&OEF的一邊平行時，求所有滿足條件的AP的長.

【答案】(1)8(8,0),OE=2y/5；(2)Q,(6,l)；⑶①s=延一石(2領(lǐng))4)；②當(dāng)PQ

'23

與△(?￡?產(chǎn)的一邊平行時，4P的長為嶼或獨(dú)

519

【詳解】(1)令y=0,則」x+4=0,

,2

.\x=8

8(8,0),

C(0,4),

.*.OC=4,08=8,

在RtABOC中，BC=782+42=4>/5,

乂-E為BC中點、,

；.OE=LBC=2也；

2

后是6c的中點

是OC的中點

:.EM=-OB=4,OE=-BC=2y/5

22

/CDN="EM,/CND=AMNE

「.△CD/VsAMEV，

.CNCD=、

’,而一商一'

：.CN=MN=\,

；.EN=4E+42=47,

SAONE=*N-OF=；ONEM,

由勾股定理得：ElOE*小后T唔十后,

14所

EFV7-7

z.tan/EOF=——=J=

OF12V176

17

7?171

——=—x——=一

m166

n=——m+4，

2

/.zn=6,幾=1,

.-.e2（6,i）；

（3）①動點尸、。同時做勻速直線運(yùn)動，

??.S關(guān)于f成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)5=公+。，

■當(dāng)點尸運(yùn)動到AO中點時，點Q恰好與點C重合,

.」=2時，CD=4,。。3=2,

s=Q,C=yl22+42=275,

Q3(T,6),。式6,1),

.」=4時，s=J(6+4)2+(6-1)2=5#),

t=2r=4k=-y/5

將廠和＜廠代入得4=解得一2

s=2V5s-5yl54k+b=5小

b=

鳴一行,

2

s..O,1..0,且|百＞0,

.?.s隨/的增大而增大，

當(dāng)S..0時，—r-V5..O,即/.」，當(dāng)t=2時，。，與Q重合,

233

點Q在線段。2。3匕

綜上，s關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式為：5=—4）；

23

②（i）當(dāng)尸Q//OE時，如圖2,NQPB=NEOB=NOBE,

作Q/7_Lx軸于點“，則PH=BH=；PB,

圖2

RtAABQs中，AQ=6,AB=4+8=12,

22

BQ}=V6+12=64，

BQ=6舊-s=6亞-=~t+#)=]屈-當(dāng)~t,

c°s@"=絲=空=與二6

BQ,BQ6x/55

BH=14-3t,

PB=28-6t,

.「+28-6f=12,?=—；

5

(〃)當(dāng)PQ//OF時，如圖3,過點。作QGLA03于點G,過點尸作P"_LG。于點，,

由△Q3QG^\CBO得：Q,G：QG:Q,Q=1：2：6，

Q3Q=s=-^-t-\[5,

/.e3G=|r-l,GQ=3t-2,

33

?,PH=AG=AQ3-Q3G=6-^t-\)=7-^t,

:.QH=QG-AP=3t-2-t=2t-2f

4HPQ=4CDN,

tanZHPQ=tan/CDN=-,

（訪）由圖形可知尸Q不可能與￡尸平行，

綜上’當(dāng)仁與△。印的一邊平行時’"的長為*

7.（2018?溫州）如圖，己知P為銳角NMAN內(nèi)部一點，過點P作AM于點B,

PC_L4V于點C,以P8為直徑作O,交直線CP于點。，連接小，BD,"交。于

點、E.

（1）求證：ZBPD=ZBAC.

（2）連接￡B,ED,當(dāng)tanNM4N=2,48=2遙時，在點P的整個運(yùn)動過程中.

①若N應(yīng)史=45。，求PD的長.

②若&詡為等腰三角形，求所有滿足條件的網(wǎng)＞的長.

（3）連接OC,EC,OC交AP于點尸，當(dāng)tanNM4N=l,OC//BE'時，記AOEP的面積

q

為S、,AC莊的面積為S2,請寫出山的值.

S?

【答案】（1）見解析；（2）①2；@BD=2,3或26-2時，Afi。上為等腰三角形；（3）-

3

【詳解】(1)PB±AM.PCA.AN,

.?.NABP=NACP=90。，

二ZBAC+ZBPC=180°,

又ZBPD+ZBPC=180。,

:.ABPD=ABAC\

(2)①如圖1,

ZAPB=ZBDE=45。,ZABP=90°,

:.BP=AB=2加,

ZBPD=ZBAC,

tan/BPD=tanZBAC,

BDc

，——=2,

DP

：.BP=4SPD,

:.PD=2；

②當(dāng)BD=BE時,ZBED=ZBDE,

4BPD=ZBPE=ABAC，

tanZBPE=2,

AB=245,

：.BP=y/5,

：.BD=2；

當(dāng)3E=DE'時，ZEBD=ZEDB,

ZAPB=ZBDE、ADBE=ZAPC,

ZAPB=ZAPC,

AC=AB=2y[5,

過點B作BG±AC于點G,得四邊形BGCD是矩形,

AB=2亞、tanZfi4c=2,

;.AG=2,

：.BD=CG=2s/5-2；

當(dāng)B￡)=￡)E時，NDEB=NDBE=ZAPC,

ZDEB=ZDPB=ABAC,

:.ZAPC=ZBAC,

T&PD=X,則8￡>=2X,

絲=2,

PC

空二=2,

4-x

，X=一，

2

BD=2x=3,

綜上所述，當(dāng)5￡)=2、3或2括-2時，ABDE為等腰三角形;

(3)如圖3,過點。作O"_L￡)C于點H,

tanZBPD=tanZMAN=1,

:.BD=PD,

設(shè)BD=PD=2a、PC=2b,

貝=CH=a+2b,

過點3作3。_LAN于點。，

則QC=Q=勿，AQ=BQ=CD=2a+2h,

AC=4a+2Z?,

OC//8E且ZBE尸=90。，

.?.NPFC=90。，

.\ZPAC+ZAPC=ZOCH+ZAPC=90°f

/OCH=APAC,

??.AAC—AC//。，

OHPC

即O〃AC=C〃，C,

CHAC

a(4a+2b)=2b(a+2b),

：.a=b,

即CP=2a、CH=3a,

則oc=715。,

ACPF^ACOH,

CFCPHnCF2a

CHOC3a\/\0a

則入醇OF=OC-CF=^^-a

5

BE〃OCR-BO=PO,

尸為AP3E的中位線，

；.EF=PF,

.S\_OF_2

,ST"CF-3'

8.（2022?鹿城區(qū)校級一模）如圖，在矩形中，鉆=12,3c=9,點E是射線4）

上一動點，且以每秒3個單位的速度從A出發(fā)向右運(yùn)動，連結(jié)8E交AC于點F,作

石加_13。于加，交直線AC于N,設(shè)E點運(yùn)動時間為f秒.

（1）若將線段EV繞點F旋轉(zhuǎn)后恰好落在直線旗上，則「=—.

（2）當(dāng)點E在線段45上運(yùn)動時，若FN=5t-3,求f的值.

（3）連結(jié)抽，點E在運(yùn)動過程中，是否存在，的值，使"MV為等腰三角形？若存在，

請求出，的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)3；(2)r=3；(3)見解析

4

【詳解】(1)由題意得：AB=CD=12,AD=BC=9,AB^BC,DCLBC,

EMIBC,

：.EM//AB,

AFEN

麗一法

若將線段EN繞點F旋轉(zhuǎn)后恰好落在直線43上，則AF=,

AFEN<.5八八

----=-----=1,即niEN=AZ?=CD,

FNAB

此時EV與DC重合,

:.AE=AD,即3f=9,

，=3,

故答案為：3；

（2）在RtAABC中，由勾股定理得：AC=，AB2+BC2=15,

EMI/CD,

AN_AE

~AC~AD

cAEAC3/xl5匚AExDC3/xl2)

：.AN=----------=---------=5t，EN=-------=-----=4,，

AD9AD9

FNEN4r_t

FAAB~V2~3

FN=—AN=-^—x5t=5t-3,

/+3，+3

/.5r=(5r-3)(r+3),

解得:t=—；

4

(3)存在，當(dāng)1=2或應(yīng)叵，使A/MV為等腰三角形.

7

①當(dāng)噫出3B寸，如圖,

在RtAMNC中，NMNC<90°,

在中，ZFNM=1800-ZMNC>90°,即N/WM為鈍角,

:.FN=MN,

由(2)得：FN=—,

f+3

■,MN=ME-EN=DC-EN=12-4t,

5/

即工=12-4,

f+3

解得f=2或"-2（舍去），

②當(dāng)f>3時，如圖，延長MF交A3于點H,

ZCM7V=90°,

在AfMN中，NFMN=/FMC+/CMN＞琳,即NR0N為鈍角,

:.FM=MN,

AB//EN,

.HBHF_BF_AFAB_\2

"EM-FM-FE~FN-EN_4t'

___12___12_36

即HnBH=—EM=—x12=—，

4r4/t

在RtAHBM中，HM=4BH2+BM'=)2+(3f)2,

MN=EN—EM=4t-12,

化簡得：V362+9?4=4r-36,

解得：f=或/=_兇1（舍去），

77

綜上所述，當(dāng)，=2或坦但，使A/旃為等腰三角形.

7

9.（2022?溫州一模）如圖1,在矩形中，AB=4,BC=6,點、E,尸分別在邊AD,

C￡）上，&ZABE=ZCBF,延長BE交CD的延長線于點G,4為3G中點，連結(jié)CH分

別交3尸，4）于點M,N.

（1）求證：BFLCH.

(2)當(dāng)尸G=9時.

①求tanNFSG的值.

②在線段C”上取點尸，以上為圓心，￡尸為半徑作石(如圖2),當(dāng)：石與四邊形

某一邊所在直線相切時，求所有滿足條件的〃尸的長.

45

【詳解】（1）證明：.四邊形A8C。是矩形,

:.AB//CD9ZBCD=90。，

:.ZABE=NG,

H為3G的中點，

:.CH=GH，

ZG=ZHCG=ZCBF，

??.ZCFB+ZCBF=NCFB+ZHCG=90°，

CH.LBF；

（2）解：①由（1）得，

NG=/CBF,

ZBCF=ZGCB=90°f

/.RtABCF^RtAGCB，

2

:.CFCG=BCf

設(shè)CF=x,則CG=b+AG=9+x,

BC=6,

二.x（9+x）=36,

解得，七=-12（不合題意，舍去），x2=3,

BG=ylCG?+BC?=6石,

同理研=3石，

CH=3y/5,

CM:BM:BC=1:2:后,

?6亞-12后

..CM=-----,BM=-------，

55

9V5

:.HM=CH-CM=—,

5

/LMHM3

tanZ.FBG=-----=一；

BM4

②顯然:_E不與直線4V相切，故分三種情況:

I當(dāng)_七與直線AB相切時，如圖：

AB=CD=4,

；.AE=DN=2,

.\EP=AE=EN=2,

若點P與點N重合,HP=HN=BH-BE=3>/5-2y/5=yf5,

若點P不與點N重合，

AHEK=/FBG，

:.HK=-EH=—,

55

KN^KP=—EN=—,

55

:.HP=KH-KP=—,

5

故HP的長為；g,百；

11當(dāng)（E與直線MV相切時，如圖:

:.HP=HK+KP=^—+2

5t

綜上所述，當(dāng)：E與四邊形A8MN某一邊所在直線相切時，"P的長為手，石，孚，

述+2.

5

10.(2022?平陽縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,5的坐標(biāo)分別為(3,2),(0,8),

以A5為直徑的圓交y軸于點C,D為圓上一點，AC=CD,直線4)交x軸于點E,交y

軸于點連結(jié)。4.

(1)求tanNABC的值和直線A8的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求點￡>,E的坐標(biāo).

(3)動點P,Q分別在線段OE,。4上，連結(jié)P。.若PQ=2,當(dāng)PQ與的一邊平

行時，求所有滿足條件的OP的長.

一

0|PE、.

【答案】(1)tanZABC=；，岫：V=-2*-t-8；(2)D(-|,y),E(7,0)；(3)02=竿?或

7逐一8百

---或----

55

【詳解】(1)如圖，連接AC,

四是直徑，

.?.ZACB=90。,

AC_Ly軸，

/.AC=xA=3fOC=yA=2,

=

/.BCyR—OC=8—2=6,

/A"AC31

..tanzS43c==-=一,

BC62

A(3,2),B(0,8),

設(shè)如：y=履+6,

j2=3A+〃

,,\s=b

[k=-2

一%=8，

/.y=-2x+8,

/.tanZABC=g,:y=-2x+8；

(2)過點。作。M_Ly軸，垂足為點M,連接AC,

01PE、/

AC=CD,

:.ZDBC=ZABC,

tan/DBM=tanZABC=—,

2

/DBC=NDAC,ZACF=90°,

CF1

---=一,

AC2

13MF_1DM_1

:,CF=-AC=-,

22DM"2'~BM~2'

設(shè)=則。W=2,BM=4x,

BC=BM+MF+CF=4x+x+-=5x-}--=6,

22

9

x=—

10

9

:.DM=-

5

3922

:.OM=OC+CF+DM=2+-+—=—

2105

922

4CJ_x軸，QE”軸,

??.AC//OE,

/.占AC=/FEO,

丁”O(jiān)F1

/FEO=----=一，

OE2

37

OF=2+—=—，

22

/.OE=7,

￡（7,0）,

.?.O（-；9一22），風(fēng)7,0）；

（3）當(dāng)PQ//BO時，如圖，延長尸。交。后于G,過A作AN//PQ交OE于點N,過點A

作AM_Lx軸于點M,

BD//PQ,

:.BD//ANf

ZAZ)B=90°，

：.ZDAN=ZNAE=90°f

:.ZANE=/OFE，

.\ZNAM=ZOEF,

:.AM;OE=NM:OF=AN:EF,

:,NM=1,A7V=6,

..ON=2,

-PQ//AN,

:.OP:ON=PQ;AN,即OP:2=2:b，

.?.AFCASAFOE,

,FAAC3

..==—f

FEEO7

FE2=OF2+OE2,

.-.FE2=(2+|)2+72,

s7后

..FE=-----，

2

加

：.FA=—3x-7-6=-3--,

722

AE=FE-FA=^~=2s/5,

2

PQ//AE,

A￡)Q尸SA04上,

OPPQ21

0E~EA~2s[5~4s'

V55

當(dāng)PQ//A3時，如圖，延長84交x軸于點N,

如：y=-2x+8,令y=0,

/.x=4，

..ON=4,

OB=8,

：.BN=JOB、。。?=4V5,

AB=JAC、+8c2=375,

:.AN=BN-AB=y[5,

PQ//BN,

\OPQ^\ONA,

.OP尸。一2

?麗一麗一忑’

...0P.4理

A/55

綜上，op=逑或拽或延.

555

11.（2022?樂清市一模）如圖，A3是一O的直徑，AB=8,點E為弧AC的中點，AC,

BE交于點D,過點A作。的切線交BE的延長線于點尸，AF=6.

（1）求證：AD=AF.

(2)求tanNO/M的值.

（3）若點P為。上一點，連接CP,DP,當(dāng)CP與AOBD三邊中的一條邊平行時，求

所有滿足條件的AP的長.

（備用圖）

【答案】（1）見解析；（2）—；（3）%或史或重西

27525185

【詳解】（1）證明：連接E4,

E為弧AC的中點，

:.NEAC=ZABE,

AF與O相切于點A,

/.ZMB=90°,

.?.ZB+ZF=90°,

「.反是；O的直徑，

/.ZA￡B=90°,

..ZEAC+ZADE=90°

:.ZADE=AF,

:,AD=AF.

(2)解：連結(jié)OE交AD于點〃，

ZA￡>F=ZF,

4

tanZADF=—,

3

EH4

-----=—,

DH3

設(shè)〃石=4式，

則。”=3x,

^DEH^AEAH,

EHHD

---=---,

AHEH

:.EH2=AHHD,

解得AH=3工，

3

...42=(4-4x)2+(y%)2,

18

x=—，

25

OH=—,

25

-OH14

tanNODA=-----=—.

DH27

(3)解：①當(dāng)CP//8D時，得弧依=弧8。,

.\ZPAE=ZCAB,

.\ZPAB=ZEAC

4

cosZPAB=cosZ.EAC=—

5

432

AP=-x8=—

55

②當(dāng)CP/MB時，得弧僧=弧3。,

AP=BC,

：.OH=—.H,O分別為AC,/W的中點

25

為AABC的中位線，

??-AP=BC=Hx2=i

③當(dāng)CP//OZ）時,

過點4作AG_LPC于G,

/.ZACP=Z.ODA,

/.tanZACP=tanZODA,

.AGOH14

~CG~~DH~?J'

設(shè)AG=14x,

則CG=27x,AC=5x/37x,

AG=-^AC

5V37

AU24

tanZAPG=tanZAOE=——

OHT

AP=-AG=—x-^=AC

24245歷

192

AC=2AH

=x192=112^

24573725185

綜上所述，AP的長度為必或型或U2歷.

525185

12.(2022?甌海區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，NABC=90。，。是8c上的一點，且

ZBAD=ZACB,/^，^。于點尸，交3c的平行線于點E.

(1)求證：AD=DE.

(2)若80=巫，CD=V15.

3

①求AC的長.

②過點E作EGJ_A。于點G,在射線AC上取一點M與MEG某一邊的兩端點，構(gòu)成以M

為頂點的角等于NACB,求所有滿足條件的AM的長.

【答案】(1)見解析；(2)①竺史；②A用=色四或述或述

3333

【詳解】(1)證明：AEI/BC,

:.NE=NCDF,ZDAE=ZADB,

ZB=ZCFD=90°,

:.ABAD+ZABD=90°,NACB+NC。尸=90。，

:.ZADB=ZCDF,

：,ZE=ZDAE.

AD=DE；

(2)①BC=BD+CD=^^~,

3

ZB=Zfi,4BAD=ZACB,

:.^BAD^ABCA,

,AB_BD

茄一罰’

/.AB2=BDBC=—x^^-=-xl5,

339

"8=純

3

：.AC=-JAB2+BC2=舊而￥+g畫?=；

②如圖i,

當(dāng)以EG的兩個端點與M點組成的ZEMG=ZACB時,

作EH//A8交45的延長線于”，

.ABBDAD

一而一布一麗’

ABA.BC,

:.EH工BC,

.\ZDOE=ZDOH=90°，

ZODH=ZADB,ZABD=ZEDC,

:.ZEDC=ZODH,

:.ZDEH=ZH,

:.DH=DE,

AD=DE,

:.AD=DH,

—=—=1,DE=DH,

OHOD

?,OD=BD=—,OE=OH,

3

OC=CD-OD=^^

3

；.OC=OB=OH=AB=^^~

3

/EGH=90。，

OG=OE=OH=-EH=,

23

:.E、G、H、C在以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓上,

/.ZECG=ZH=ZBAD=ZACB,

.?.點/和點C重合，

..此時AM=AC=3叵，

3

如圖2,

圖2

當(dāng)以他的兩個端點時，

在AC上截取=

DEVAC,

：.AE=EM,

:.ZEAC=ZAME,

AE//BC,

:.AEAC=ZACB,

:.ZAME=ZACB,

DE=AD=VAS2+BD2=

=2-AEAB2=-DEAF,

27152厲

AEAB~y~X~3~85/3

AF

DE5?3-亍

3

AM=AF=—