《反比例函數(shù)》考點(diǎn)例析與拓展

《反比例函數(shù)》

考點(diǎn)例析與拓展一、反比例函數(shù)的意義【例1】函數(shù)是反比例函數(shù)時(shí)，則m的值是多少？解析如果函數(shù)是反比例函數(shù)，則其形式必須滿足（k為常數(shù)，）或（k為常數(shù)，）.此題中應(yīng)滿足：.答案因?yàn)楹瘮?shù)是反比例函數(shù)，所以解得：因此當(dāng)函數(shù)是反比例函數(shù)時(shí)，則m的取值是-2.歸納拓展根據(jù)反比例函數(shù)的一般式（k為常數(shù)，），也可寫成（k為常數(shù)，）.所以函數(shù)為反比例函數(shù)必須具備兩個(gè)條件：（1）x的次數(shù)為-1，（2）系數(shù)不能為0.兩者缺一不可.解決此類問題一定要深刻理解反比例函數(shù)的定義，對(duì)兩種表達(dá)式的系數(shù)和次數(shù)都怎么要求的要搞清楚.【變式訓(xùn)練1】判斷下列函數(shù)哪些是反比例函數(shù)：（1）（2）（3）（4）（k為常數(shù)，）（5）（6）答案（3）（4）（5）二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例2】如圖，在反比例函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，垂足分別是N、M，那么四邊形ONPM的面積是多少？yxOPMN答案矩形的面積等于長(zhǎng)乘以寬，PN、PM就是矩形的長(zhǎng)和寬.設(shè)P（x，y），則PN=、PM=，所以歸納拓展反比例函數(shù)的（k為常數(shù)，）的比例常數(shù)k，不僅決定了函數(shù)圖象的位置，同時(shí)在圖象上還有它的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)做x軸和y軸的垂線，兩垂線與兩坐標(biāo)軸所得的矩形的面積為.同時(shí)過雙曲線上任意一點(diǎn)作其中一個(gè)坐標(biāo)軸的垂線，這一點(diǎn)和垂足及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積等于.【變式訓(xùn)練2】如圖，的頂點(diǎn)A是雙曲線與直線在第四象限的交點(diǎn)，軸于B，且yxOBCAD（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，C的坐標(biāo)和的面積.答案（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）聯(lián)立方程組解得所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,1），設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)D，則Ｄ點(diǎn)坐標(biāo)為（０，-２），三、反比例函數(shù)的應(yīng)用【例3】舞臺(tái)燈光可以在很短的時(shí)間內(nèi)將陽(yáng)光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天，或由黑夜變白晝，這樣的效果是通過改變電阻控制電流的變化實(shí)現(xiàn)的.當(dāng)電流I較小時(shí)，燈光較暗，反之，燈光較亮.在某一電路保持電壓不變，電流Ｉ（安培）與電阻Ｒ（歐姆）成反比例，當(dāng)電阻Ｒ＝２０歐姆時(shí)，電流I=11安培.（1）求I與R的函數(shù)關(guān)系式.（2）當(dāng)電流I=8時(shí)，電阻R的值.解析解決問題的關(guān)鍵是明白當(dāng)電壓不變，電流I（安培）與電阻R（歐姆）成反比例，結(jié)合我們的物理知識(shí)可設(shè)解析式為.求出U來(lái)確定解析式，進(jìn)一步的求問題（2）.答案（1）根據(jù)題意可設(shè)I與R的函數(shù)關(guān)系式：，把R=20，I=11代入，解得U=220.所以I與R的函數(shù)關(guān)系式：（2）把I=8代入，得到R=27.5.所以當(dāng)電流I=8時(shí)，電阻R的值為27.5歐姆.歸納拓展能夠從實(shí)際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些實(shí)際問題的時(shí)候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識(shí).【變式訓(xùn)練3】某水庫(kù)蓄水160萬(wàn)立方米，由于連降大雨，水庫(kù)的水量達(dá)到了190萬(wàn)立方米，為了保證安全，該區(qū)地防洪部門決定開閘放水，使水庫(kù)蓄水量回到160萬(wàn)立方米.（1）寫出放水時(shí)間t（天）與放水量a（萬(wàn)立方米/天）之間的函數(shù)關(guān)系.（2）如果每天放水6萬(wàn)立方米，幾天可以使水庫(kù)的蓄水量回到160萬(wàn)立方米？答案（1）水庫(kù)蓄水量達(dá)到160萬(wàn)立方米，就必須放水30萬(wàn)立方米.由題意可得at=30，即.放水時(shí)間t（天）與放水量a（萬(wàn)立方米/天）之間的函數(shù)關(guān)系為.（2）將a=6代入，得t=5.即每天放水6萬(wàn)立方米，5天可以回到160萬(wàn)立方米.四、數(shù)形結(jié)合的思想【例4】如圖，一定質(zhì)量的氧氣，其體積V（）是密度的反比例函數(shù)，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，寫出函數(shù)表達(dá)式

，并求出時(shí)，氧氣的體積是

.VOA51.8解析設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，由圖象可知當(dāng).代入，解得k=9.所以體積V（）與密度的函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)，代入得到答案；歸納拓展在此章的題目中利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)的解析式，反過來(lái)，如果這個(gè)點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個(gè)點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上.還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)與形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法.【變式訓(xùn)練4】如圖，已知A（-4,2）、B（n，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).yxOBA（1）求兩函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的x的取值范圍.解析觀察圖象A、B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)上，代入解析式，可以求出n，k，b.也就確定了兩個(gè)函數(shù)的解析式.利用圖象，看看什么時(shí)候哪個(gè)函數(shù)在上面，此時(shí)那個(gè)的函數(shù)值就大，然后找到相應(yīng)的自變量的值.答案（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（-4,2）、B（n，-4）都在反比例函數(shù)的圖象上，所以解得：m=-8，n=2.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-4）.又因?yàn)辄c(diǎn)A（