2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.1.1條件概率教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE第七章隨機(jī)變量及其分布7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.結(jié)合古典概型,了解條件概率,能計(jì)算簡(jiǎn)潔隨機(jī)事務(wù)的條件概率.2.結(jié)合古典概型,會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率.1.通過(guò)對(duì)詳細(xì)情境的分析,了解條件概率的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.駕馭簡(jiǎn)潔的條件概率的計(jì)算問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能利用條件概率公式、概率的乘法公式解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備學(xué)問(wèn)·素養(yǎng)奠基1.條件概率(1)定義:一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事務(wù),且P(A)>0,我們稱P(B|A)=QUOTE為在事務(wù)A發(fā)生的條件下,事務(wù)B發(fā)生的條件概率,簡(jiǎn)稱條件概率.1.P(B|A)和P(A|B)的意義相同嗎?為什么?提示:不同.P(B|A)是指在事務(wù)A發(fā)生的條件下,事務(wù)B發(fā)生的概率,而P(A|B)是指在事務(wù)B發(fā)生的條件下,事務(wù)A發(fā)生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意義不同.2.古典概型中的條件概率還可以怎樣計(jì)算?提示:P(B|A)=QUOTE(2)特例:當(dāng)P(A)>0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A與B相互獨(dú)立時(shí),有P(B|A)=P(B).2.概率的乘法公式對(duì)隨意兩個(gè)事務(wù)A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)·P(B|A).3.條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)假如B和C是兩個(gè)互斥事務(wù),則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);(3)設(shè)QUOTE和B互為對(duì)立事務(wù),則P(QUOTE|A)=1-P(B|A).1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)P(A∩B)=P(AB).()(2)若事務(wù)A,B互斥,則P(B|A)=1.()(3)PQUOTE=PQUOTEPQUOTE.()提示:(1)√.事務(wù)A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事務(wù)稱為事務(wù)A與B的交(或積),記作A∩B(或AB),所以P(A∩B)=P(AB).(2)×.若事務(wù)A,B互斥,則事務(wù)A∩B是不行能事務(wù),P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0.(3)×.PQUOTE=PQUOTEPQUOTE.2.設(shè)A,B為兩個(gè)事務(wù),若P(A∩B)=QUOTE,P(B)=QUOTE,則P(A|B)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.某產(chǎn)品長(zhǎng)度合格的概率為QUOTE,質(zhì)量合格的概率為QUOTE,長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格的概率為QUOTE,任取一件產(chǎn)品,已知其質(zhì)量合格,則它的長(zhǎng)度也合格的概率為________.

【解析】令A(yù):產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格,B:產(chǎn)品的質(zhì)量合格,A∩B:產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(A∩B)=QUOTE.任取一件產(chǎn)品,已知其質(zhì)量合格,它的長(zhǎng)度也合格,即為A|B,其概率P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一條件概率的計(jì)算角度1利用條件概率公式計(jì)算【典例】在5道題中有3道理科題和2道文科題.假如不放回地依次抽取2道題,求在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率.【思維·引】設(shè)出事務(wù),利用條件概率公式求解.【解析】設(shè)第1次抽到理科題為事務(wù)A,第2次抽到理科題為事務(wù)B,則第1次和第2次都抽到理科題為事務(wù)A∩B.從5道題中不放回地依次抽取2道題的樣本空間總數(shù)為QUOTE=20.事務(wù)A所含樣本點(diǎn)的總數(shù)為QUOTE×QUOTE=12.故P(A)=QUOTE=QUOTE.因?yàn)槭聞?wù)A∩B含QUOTE=6個(gè)樣本點(diǎn).所以P(A∩B)=QUOTE=QUOTE.所以在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率為P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【素養(yǎng)·探】★本例考查條件概率的計(jì)算,同時(shí)考查了數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).若本例條件不變,求第1次抽到文科題的條件下,第2次抽到理科題的概率.【解析】設(shè)第1次抽到文科題為事務(wù)A,第2次抽到理科題為事務(wù)B,則第1次抽到文科題且第2次抽到理科題為事務(wù)A∩B.從5道題中不放回地依次抽取2道題的樣本空間總數(shù)為QUOTE=20.事務(wù)A所含樣本點(diǎn)的總數(shù)為QUOTE×QUOTE=8.故P(A)=QUOTE=QUOTE.因?yàn)槭聞?wù)A∩B含QUOTE×QUOTE=6個(gè)樣本點(diǎn).所以P(A∩B)=QUOTE=QUOTE.所以在第1次抽到文科題的條件下,第2次抽到理科題的概率為P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.角度2利用縮小樣本空間計(jì)算【典例】集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù),若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數(shù)的條件下,求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率.【思維·引】正確理解條件概率的特點(diǎn),結(jié)合古典概型求解.【解析】將甲抽到數(shù)字a,乙抽到數(shù)字b,記作(a,b),甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15個(gè)樣本點(diǎn),在這15個(gè)樣本點(diǎn)中,乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9個(gè),所以所求概率P=QUOTE=QUOTE.【類題·通】條件概率計(jì)算的關(guān)注點(diǎn)1.原型:在題目條件中,若出現(xiàn)“在……發(fā)生的條件下……發(fā)生的概率”時(shí),一般可認(rèn)為是條件概率.2.方法:(1)在原樣本空間中,先計(jì)算P(AB),P(A),再利用公式P(B|A)=QUOTE計(jì)算求得P(B|A);(2)若事務(wù)為古典概型,可利用公式P(B|A)=QUOTE,即在縮小后的樣本空間中計(jì)算事務(wù)B發(fā)生的概率.【習(xí)練·破】拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子,設(shè)事務(wù)A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”,事務(wù)B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”.(1)求P(A),P(B),P(A∩B);(2)當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí),問(wèn)兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為多少?【解析】(1)設(shè)x為擲紅骰子得的點(diǎn)數(shù),y為擲藍(lán)骰子得的點(diǎn)數(shù),則全部可能的事務(wù)為(x,y),建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,由題意作圖如圖明顯:P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE=QUOTE,P(A∩B)=QUOTE.(2)方法一:P(B|A)=QUOTE=QUOTE.方法二:P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.類型二條件概率的實(shí)際應(yīng)用【典例】有一批燈泡壽命超過(guò)500小時(shí)的概率為0.9,壽命超過(guò)800小時(shí)的概率為0.8,在壽命超過(guò)500小時(shí)的燈泡中壽命能超過(guò)800小時(shí)的概率為________.

【思維·引】細(xì)致閱讀分析題意,利用條件概率公式解題.【解析】記“壽命超過(guò)500小時(shí)”為事務(wù)A,“壽命超過(guò)800小時(shí)”為事務(wù)B,則所求事務(wù)為B|A,因?yàn)锽?A,所以B∩A=B,又P(A)=0.9,P(B∩A)=P(B)=0.8,所以P(B|A)=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【內(nèi)化·悟】條件概率的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解題的難點(diǎn)是什么?提示:條件概率是指事務(wù)A發(fā)生的條件下,事務(wù)B發(fā)生的概率,需正確分析事務(wù)A,B并計(jì)算其概率.【類題·通】解決條件概率問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)關(guān)鍵:理清條件和結(jié)論,建立條件概率模型;(2)留意:B∩A事務(wù)的含義;(3)公式:P(A|B)=QUOTE,P(B|A)=QUOTE.【習(xí)練·破】某種元件用滿6000小時(shí)未壞的概率是QUOTE,用滿10000小時(shí)未壞的概率是QUOTE.現(xiàn)有1個(gè)此種元件,已經(jīng)用過(guò)6000小時(shí)未壞,求它能用到10000小時(shí)的概率.【解析】設(shè)A:用滿10000小時(shí)未壞,B:用滿6000小時(shí)未壞,明顯AB=A,所以P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.類型三利用乘法公式求概率【典例】有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中,隨機(jī)抽取1粒,則這粒種子能長(zhǎng)成幼苗的概率為________.

【思維·引】細(xì)致分析題意,利用乘法公式求解.【解析】記“種子發(fā)芽”為事務(wù)A,“種子長(zhǎng)成幼苗”為事務(wù)AB(發(fā)芽,又成活),出芽后的幼苗成活率為P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9.故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72.答案:0.72【內(nèi)化·悟】乘法公式與條件概率公式是什么關(guān)系?提示:乘法公式是條件概率公式的變形式.【類題·通】應(yīng)用乘法公式的關(guān)注點(diǎn)1.功能:已知事務(wù)A發(fā)生的概率和事務(wù)A發(fā)生的條件下事務(wù)B發(fā)生的概率,求事務(wù)A與B同時(shí)發(fā)生的概率.2.推廣:設(shè)A,B,C為三個(gè)事務(wù),且P(AB)>0,則有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A).【習(xí)練·破】某項(xiàng)射擊嬉戲規(guī)定:選手先后對(duì)兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊,只有兩個(gè)目標(biāo)都射中才能過(guò)關(guān).某選手射中第一個(gè)目標(biāo)的概率為0.8,接著射擊,射中其次個(gè)目標(biāo)的概率為0.5,則這個(gè)選手過(guò)關(guān)的概率為________.

【解析】記“射中第一個(gè)目標(biāo)”為事務(wù)A,“射中其次個(gè)目標(biāo)”為事務(wù)B,則P(A)=0.8,P(B|A)=0.5.所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.5=0.4,即這個(gè)選手過(guò)關(guān)的概率為0.4.答案:0.4【加練·固】一批彩電,共100臺(tái),其中有10臺(tái)次品,采納不放回抽樣依次抽取3次,每次抽一臺(tái),求第3次才抽到合格品的概率.【解析】設(shè)Ai(i=1,2,3)為第i次抽到合格品的事務(wù),則有P(QUOTEQUOTEA3)=P(QUOTE)P(QUOTE)P(A3QUOTE)=QUOTE×QUOTE×QUOTE≈0.0083.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.某班學(xué)生的考試成果中,數(shù)學(xué)不及格的占15%,語(yǔ)文不及格的占5%,兩門都不及格的占3%,已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格,則他的語(yǔ)文也不及格的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)A為事務(wù)“數(shù)學(xué)不及格”,B為事務(wù)“語(yǔ)文不及格”,P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以當(dāng)數(shù)學(xué)不及格時(shí),該學(xué)生語(yǔ)文也不及格的概率為QUOTE.2.4張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由4名同學(xué)無(wú)放回地抽取.若已知第一名同學(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)券,則最終一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選B.因?yàn)榈谝幻瑢W(xué)沒(méi)有抽到中獎(jiǎng)券,所以問(wèn)題變?yōu)?張獎(jiǎng)券,1張能中獎(jiǎng),最終一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率明顯是QUOTE.3.甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游,依據(jù)一百多年來(lái)的氣象記錄,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,兩地同時(shí)下雨占12%,記P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,則P(A|B)和P(B|A)分別等于()A.QUOTE,QUOTE B.QUOTE,QUOTEC.QUOTE,QUOTE D.QUOTE,QUOTE【解析】選C.P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.第一個(gè)袋中有黑、白球各2只,其次個(gè)袋中有黑、白球各3只.先從第一個(gè)袋中任取一球放入其次個(gè)袋中,再?gòu)钠浯蝹€(gè)袋中任取一球.則第一、二次均取到白球的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.記Ai:第i次取得白球,i=1,2,則PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,由乘法公式求得,P(A1A2)