人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：8 1 2　樣本相關(guān)系數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE18.1.2樣本相關(guān)系數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性．導(dǎo)語(yǔ)散點(diǎn)圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系，但無法量化兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度的大小，更不能精確地說明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度，那么我們?nèi)绾尾拍軐ふ业竭@樣一個(gè)合適的量來對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容．一、樣本的相關(guān)系數(shù)問題1設(shè)x1,x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分別為eq\x\to(x)和eq\x\to(y).將數(shù)據(jù)以(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))為零點(diǎn)進(jìn)行平移，得到平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)(x1－eq\x\to(x)，y1－eq\x\to(y))，(x2－eq\x\to(x)，y2－eq\x\to(y))，…，(xn－eq\x\to(x)，yn－eq\x\to(y))，并繪制散點(diǎn)圖，則繪制的散點(diǎn)圖有什么特征？你能利用正負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎？〖提示〗散點(diǎn)圖(略)，發(fā)現(xiàn)正相關(guān)時(shí)散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，負(fù)相關(guān)時(shí)散點(diǎn)大多數(shù)分布在第二象限、第四象限．構(gòu)造一個(gè)量：Lxy＝eq\f(1,n)〖(x1－eq\x\to(x))(y1－eq\x\to(y))＋(x2－eq\x\to(x))(y2－eq\x\to(y))＋…＋(xn－eq\x\to(x))(yn－eq\x\to(y))〗．一般情形下，Lxy>0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；Lxy<0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．問題2你認(rèn)為L(zhǎng)xy的大小一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？〖提示〗因?yàn)長(zhǎng)xy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小．為了消除度量單位的影響，需要對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理，用sx＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，sy＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)分別除xi－eq\x\to(x)和yi－eq\x\to(y)(i＝1,2，…，n，eq\x\to(x)和eq\x\to(y)分別為x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－\x\to(x),sx)，\f(y1－\x\to(y),sy)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－\x\to(x),sx)，\f(y2－\x\to(y),sy)))，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xn－\x\to(x),sx)，\f(yn－\x\to(y),sy)))，為簡(jiǎn)單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，則變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為r＝eq\f(1,n)(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).知識(shí)梳理樣本相關(guān)系數(shù)：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).注意點(diǎn)：樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性和絕對(duì)值的大小可以反映出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征．當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．例1假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0計(jì)算y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001，已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)≈140.8，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4)．解∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(x)2＝90－5×42＝10，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)2＝140.8－125＝15.8，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(158))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.反思感悟利用樣本相關(guān)系數(shù)r判斷線性相關(guān)關(guān)系，需要應(yīng)用公式計(jì)算出r的值，由于數(shù)據(jù)較大，有時(shí)需要借助計(jì)算器．跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)x(分)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)y(分)如表所示：學(xué)生號(hào)12345x120108117104103y8464846869學(xué)生號(hào)678910x11010410599108y6869465771計(jì)算y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001，已知eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝116584，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝47384，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝73796)．解eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，所以樣本相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(116584－10×107.8247384－10×682))≈0.751.二、相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱知識(shí)梳理樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為〖－1,1〗．當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．注意點(diǎn)：當(dāng)|r|＝1時(shí)，表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都在一條直線上，即兩個(gè)變量之間滿足一種線性關(guān)系．當(dāng)r＝0時(shí)，表明成對(duì)數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．例2(1)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3〖答案〗A〖解析〗由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，題圖2和題圖4是負(fù)相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，題圖1和題圖2的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，所以相關(guān)性更強(qiáng)，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2<r4<0<r3<r1.(2)兩個(gè)變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，兩個(gè)變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)〖答案〗C〖解析〗由樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859>0知x與y正相關(guān)，由樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568<0知u，v負(fù)相關(guān)，又|r1|<|r2|，∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng)．反思感悟線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度，其絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練2某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070(1)畫出(x，y)的散點(diǎn)圖；(2)計(jì)算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它們的相關(guān)程度．解(1)畫出(x，y)的散點(diǎn)圖如圖所示．(2)eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝47.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝120，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝9900，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1080，故樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r(120－4×529900－4×47.52))≈0.9827.由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827，可以推斷生產(chǎn)原料耗費(fèi)與銷售額這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很高．三、樣本相關(guān)系數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例3以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y(萬元)和房屋的大小x(m2)的數(shù)據(jù)．房屋大小x/m211511080135105銷售價(jià)格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求樣本相關(guān)系數(shù)r，并作出評(píng)價(jià)．(精確到0.01，已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝60975，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝2756.8，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝12952)解(1)畫出散點(diǎn)圖如圖所示．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(545,5)＝109，eq\x\to(y)＝eq\f(116,5)＝23.2，r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(12952－5×109×23.2,\r(60975－5×1092)\r(2756.8－5×23.22))＝eq\f(308,\r(1570)×\r(65.6))≈0.96，由此可知，新房屋的銷售價(jià)格和房屋的大小這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)．反思感悟當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越弱．跟蹤訓(xùn)練3在一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為－1，則所有的樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)滿足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2〖答案〗A〖解析〗∵這組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為－1，∴這一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)線性相關(guān)，且是負(fù)相關(guān)．∴可排除B，C，D，故選A.1．知識(shí)清單：(1)樣本相關(guān)系數(shù)．(2)相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．(3)相關(guān)關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：樣本相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系．1．(多選)對(duì)兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)r，下列說法正確的是()A．|r|越大，相關(guān)程度越大B．|r|越小，相關(guān)程度越大C．|r|趨近于0時(shí)，沒有線性相關(guān)關(guān)系D．|r|越接近1時(shí)，線性相關(guān)程度越強(qiáng)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，|r|越大，相關(guān)程度越大，A正確；對(duì)于B，|r|越小，相關(guān)程度越小，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，|r|趨近于0時(shí)，線性相關(guān)關(guān)系越弱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，|r|越接近1時(shí)，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，D正確．2．給定y與x的一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r＝－0.690，則()A．y與x線性不相關(guān)B．y與x正線性相關(guān)C．y與x負(fù)線性相關(guān)D．以上都不對(duì)〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閞＝－0.690<0，所以y與x負(fù)線性相關(guān)．