人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案：8 2 2　第二課時　非線性回歸模型及回歸模型的擬合效果的判斷

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第二課時非線性回歸模型及回歸模型的擬合效果的判斷課標要求素養(yǎng)要求1.進一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，會用相關(guān)統(tǒng)計軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.通過學習回歸模型的應(yīng)用及對回歸模型的擬合效果的判斷，提升數(shù)學運算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).自主梳理1.殘差的概念對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.2.刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好.(2)殘差平方和法殘差平方和eq\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.(3)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)，R2越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差.3.非線性回歸模型對于非線性回歸分析問題，應(yīng)先進行變量代換，求出代換后的經(jīng)驗回歸方程，再求非線性經(jīng)驗回歸方程.在使用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測時，需要注意的問題：(1)經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；(2)所建立的經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性；(3)解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠.一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報效果好，超出這個范圍越遠，預(yù)報的效果越差；(4)不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值.自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好.(√)(2)在畫兩個變量的散點圖時，響應(yīng)變量在x軸上，解釋變量在y軸上.(×)〖提示〗在畫兩個變量的散點圖時，響應(yīng)變量在y軸上，解釋變量在x軸上.(3)R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好.(×)〖提示〗R2越大，線性回歸模型的擬合效果越好.(4)回歸分析前，要先進行相關(guān)性的分析.(√)2.在一次試驗中，當變量x的取值分別為1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)時，變量y的值分別為2，3，4，5，則y關(guān)于eq\f(1,x)的回歸曲線方程為()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,x)＋1 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(2,x)＋3C.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝x－1〖答案〗A〖解析〗由數(shù)據(jù)可得，四個點都在曲線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,x)＋1上.3.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up6(^))，且x1＋x2＋…＋x8＝2(y1＋y2＋…＋y8)＝6，則實數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))等于()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)〖答案〗B〖解析〗由x1＋x2＋…＋x8＝2(y1＋y2＋…＋y8)＝6，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3,4)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(3,8).由于經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up6(^))過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，則eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,3)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(1,8).4.甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性作試驗，并用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則________同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量更強的線性相關(guān)性.〖答案〗丁〖解析〗由題表可知，丁同學的相關(guān)系數(shù)r最大且殘差平方和m最小，故丁同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量更強的線性相關(guān)性.題型一殘差分析與決定系數(shù)R2的應(yīng)用〖例1〗假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點圖；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，對于基本苗數(shù)56.7預(yù)報成熟期有效穗；(3)計算各組殘差，并計算殘差平方和；(4)求R2，并說明(2)中求出的回歸模型的擬合程度.解(1)散點圖如下.(2)由(1)中散點圖看出，樣本點大致分布在一條直線的附近，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用經(jīng)驗回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系.設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，又eq\o(x,\s\up6(－))＝30.36，eq\o(y,\s\up6(－))＝43.5，eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝5101.56，eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝1320.66，eq\o(x,\s\up6(－))2＝921.7296，eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xiyi＝6746.76.則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)≈0.29，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈34.70.故所求的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.29x＋34.70.當x＝56.7時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.故估計成熟期有效穗為51.143.(3)由eq\o(y,\s\up6(^))i＝eq\o(b,\s\up6(^))xi＋eq\o(a,\s\up6(^))，可以算得eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i分別為eq\o(e,\s\up6(^))1＝0.35，eq\o(e,\s\up6(^))2＝0.718，eq\o(e,\s\up6(^))3＝－0.5，eq\o(e,\s\up6(^))4＝－2.214，eq\o(e,\s\up6(^))5＝1.624，殘差平方和：eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))eq\o(e,\s\up6(^))eq\o\al(2,i)≈8.43.(4)eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝50.18，故R2≈1－eq\f(8.43,50.18)≈0.832.所以(2)中求出的回歸模型的擬合效果較好.思維升華刻畫回歸效果的三種方法①殘差圖法：殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適.②殘差平方和法：殘差平方和eq\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好.③決定系數(shù)法：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)越接近1，表明回歸的效果越好.〖訓練1〗為研究質(zhì)量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求經(jīng)驗回歸方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進行殘差分析.解(1)散點圖如圖所示.樣本點分布在一條直線附近，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.由表中數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，eq\o(∑,\s\up16(6),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝2275，eq\o(∑,\s\up16(6),\s\do14(i＝1))xiyi＝1076.2.計算得eq\o(b,\s\up6(^))≈0.183，eq\o(a,\s\up6(^))≈6.285.故所求經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.285＋0.183x.(2)列表如下：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－eq\o(y,\s\up6(－))－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313可得eq\o(∑,\s\up16(6),\s\do14(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2≈0.01318,eq\o(∑,\s\up16(6),\s\do14(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2≈14.6783.所以R2＝1－eq\f(0.01318,14.6783)≈0.9991，回歸模型的擬合效果較好.(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正錯誤，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系.題型二非線性回歸分析〖例2〗某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(w,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up16(8),\s\do14(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up16(8),\s\do14(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up16(8),\s\do14(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up16(8),\s\do14(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up16(8),\s\do14(i＝1))wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）（vi－\o(v,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的經(jīng)驗回歸方程.由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(8),\s\do14(i＝1))（wi－\o(w,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up16(8),\s\do14(i＝1))（wi－\o(w,\s\up6(－))）2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(d,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6(t)，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元).②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.思維升華求非線性經(jīng)驗回歸方程的步驟(1)確定變量，作出散點圖.(2)根據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù).(3)變量置換，通過變量置換把非線性經(jīng)驗回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出經(jīng)驗回歸方程.(4)分析擬合效果：通過計算決定系數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果.(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性經(jīng)驗回歸方程.〖訓練2〗下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)