數(shù)學(xué)物理方法-第9章-本征值問題

第九章二階常微分方程級數(shù)解法本征值問題球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中分離變量法9.1特殊函數(shù)的常微分方程

圓球形和圓柱形是兩種常見的邊界，本章考察拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中分離變量法所導(dǎo)致的常微分方程以及相應(yīng)的本征值問題。（一）直角坐標(biāo)系內(nèi)的拉普拉斯方程正交曲線座標(biāo)系中的拉普拉斯方程直角坐標(biāo)：柱坐標(biāo)：球坐標(biāo)：拉普拉斯算子：3球域內(nèi)Laplace方程的邊值問題坐標(biāo)變換隱含著的周期邊值條件和球內(nèi)約束條件zxy直角坐標(biāo)：柱坐標(biāo)：球坐標(biāo)：（1）球坐標(biāo)系拉普拉斯方程的分離變量令拉普拉斯算子：5歐拉形式方程球函數(shù)方程6常數(shù)對歐拉形式方程作變量代換因式分解解為：式中：C和D為積分常數(shù).球函數(shù)方程，令自然的周期邊界條件：l-階締合(連帶）勒讓德(Legendre)方程8l-階勒讓德方程u是軸對稱的，對φ的轉(zhuǎn)動(dòng)不改變

u

。9令（2）柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的分離變量101.2.3.m階-貝塞爾(Bessel)方程虛宗量貝塞爾方程側(cè)面的齊次邊界條件的可能數(shù)值上下低面的齊次邊界條件的可能數(shù)值11m階-貝塞爾(Bessel)方程虛宗量貝塞爾方程12x-ix（二）高維波動(dòng)方程的分離變量令振動(dòng)方程亥姆霍茲(Helmholtz)方程（三）高維輸運(yùn)方程的分離變量令亥姆霍茲方程增長（t<0）或衰變(t>0)的方程13（四）亥姆霍茲方程1.球坐標(biāo)l階球貝塞爾方程球函數(shù)方程14階貝塞爾方程15m階貝塞爾方程

2.柱坐標(biāo)齊次邊界條件，本征值問題1617分離變量法的結(jié)果18三類高維數(shù)學(xué)物理方程歐拉方程連帶Legendre方程（球坐標(biāo)）、Bessel方程（柱坐標(biāo)）分離時(shí)間空間變量分離空間坐標(biāo)變量Helmholtz方程振動(dòng)方程一階微分方程高維二階線性PDE的分離變量的求解框架常系數(shù)線性微分方程9.2歐拉方程19歐拉方程的算子解法:

20則由上述計(jì)算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:21例1.解:則原方程化為亦即其根則①對應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①22①的通解為換回原變量,得原方程通解為設(shè)特解:代入①確定系數(shù),得①23例2.解:

將方程化為(歐拉方程)

則方程化為即②特征根:設(shè)特解:代入②解得A=1,所求通解為24例3.解:

由題設(shè)得定解問題③則③化為特征根:設(shè)特解:④⑤代入⑤得A＝125得通解為利用初始條件④得故所求特解為③④26思考:

如何解下述微分方程提示:原方程直接令為常數(shù)27289.3常點(diǎn)處的級數(shù)解法29阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Adrien-MarieLegendre

1752-1833法國數(shù)學(xué)家，約1770畢業(yè)于馬扎蘭學(xué)院。1775任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授。1782以《關(guān)於阻尼介質(zhì)中的彈道研究》獲柏林科學(xué)院獎(jiǎng)金，次年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。1787為倫敦皇家學(xué)會會員。主要研究領(lǐng)域是分析學(xué)（尤其是橢圓積分理論，橢圓函數(shù)論的奠基人）、數(shù)論、初等幾何（《幾何學(xué)原理》，第一版出版于1792年，是將近一個(gè)世紀(jì)中初等幾何的權(quán)威教科書

）與天體力學(xué)。在關(guān)于行星形狀和球體引力的研究中，勒讓德引進(jìn)了著名的“勒讓德多項(xiàng)式”，發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)。他還研究了β函數(shù)（Βeta函數(shù)）和Γ函數(shù)（他把這兩個(gè)函數(shù)分別稱為第一和第二類歐拉積分）。

3L”：法國18世紀(jì)后期到19世紀(jì)初數(shù)學(xué)界著名的三人：勒讓德（Adrien-marie

Legendre，1752-1833)拉格朗日（JosephLouisLagrange，1736-1813)拉普拉斯（Pierre-simon

Laplace，1749-1827)。30因?yàn)槔兆尩率值驼{(diào)，因此他沒有留下什么畫像，2005法國斯特拉斯堡大學(xué)的兩個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)誤的（一個(gè)圖像兩個(gè)不同的人），直到2008年才發(fā)現(xiàn)了一副他真正的畫像。

法國畫家路易斯·利奧波德·布瓦伊

（Julien-LeopoldBoilly,1796-1874）(左(A.Lagrange)

右(Fourier)肖像專輯73幅中的第29,30個(gè)法國政治家LouisLegendre（1755-1797）

誤認(rèn)為是數(shù)學(xué)家勒讓德的圖像100多年。PeterDüren,

“ChangingFaces（變臉）:TheMistakenPortraitofLegendre".NoticesoftheAMS.56(2009):144031貝塞爾（Bessel，F(xiàn)riedrichWilhelm，1784～1846）德國天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測量學(xué)的奠基人之一。貝塞爾在天文學(xué)上有較多貢獻(xiàn)，在天體測量方面，他重新訂正《巴拉德雷星表》，并把位置歸算到1760年春分點(diǎn)，1810年，奉普魯士國王之命，任新建的柯尼斯堡天文臺臺長。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。

他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學(xué)和天文學(xué)的有關(guān)問題提供了重要工具。此外，他在大地測量學(xué)方面也做出一定貢獻(xiàn)，提出貝塞爾地球橢球體等觀點(diǎn)

323334這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級數(shù)解法解出．所謂冪級數(shù)解法，就是在某個(gè)任意點(diǎn)Z0的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪級數(shù)，代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)．冪級數(shù)解法是一個(gè)比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數(shù)的理論進(jìn)行討論．求得的解既然是級數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問題.

盡管冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應(yīng)用于微分方程的求解問題中．幾點(diǎn)說明（1）勒讓德方程的級數(shù)解法化為標(biāo)準(zhǔn)形式：是方程的奇點(diǎn)在

常點(diǎn)的鄰域：1.級數(shù)解代入方程或35遞推公式系數(shù)的兩個(gè)序列3637這樣l階Legendre方程的解是：3839這樣l階Legendre方程的解是：

所以

l階Legendre的級數(shù)解在單位圓內(nèi)收斂，在單位圓外發(fā)散。（Gauss判別法）冪級數(shù)解的收斂半徑

a_k/a_{k+2}4041429.4正則奇點(diǎn)級數(shù)解法：43（三）貝塞爾方程(1)v階貝塞爾方程在x0=0的鄰域上求解v

整數(shù)或半奇數(shù)(1/2,3/2,5/2,…)44判定條件：最低冪次4546474849505152535455565758596061629.5施圖姆-劉維爾本征值問題636364656667686869697070717172739.6勒讓德多項(xiàng)式約定級數(shù)中最高次冪的系數(shù)是反用系數(shù)遞推公式勒讓德多項(xiàng)式74微分表示展開再求導(dǎo)L次可得75積分表示(高階柯西積分公式)也稱為施列夫利積分76具體形式代數(shù)表達(dá)式77圖像7879二.勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)奇偶性零點(diǎn)定理：L階勒讓德多項(xiàng)式為L次，有L個(gè)零點(diǎn)。正交性正交性公式模完備性完備性公式廣義傅立葉系數(shù)80

一.連帶勒讓德函數(shù)2連帶勒讓德函數(shù)設(shè)