2024-2025學(xué)年河北省高三上學(xué)期省級聯(lián)測數(shù)學(xué)試題及答案

2024—2025高三省級聯(lián)測考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的學(xué)校?班級?姓名及考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.x∣y9x2A2,3,4,BAB1.已知集合，則（）2,3B.1,2AC.D.2,3,42,3a為純虛數(shù)，則（za12az2a24ai,aRzz122.已知復(fù)數(shù)A.1或2，若）2B.1C.2D.3ab2,0ab2a3.已知向量a,b滿足A.0，且，則在b上的投影向量的坐標(biāo)為（）B.0C.0D.012π2sinsin23π，則4已知（）2134A.B.C.2D.645.某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)制作模具，有一個模具的毛壞直觀圖如圖所示，它是由一個圓柱體與一個半球?qū)佣傻慕M合體，已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上?下底面圓的圓心連線的平面）ABCD是面積為16的正方形，則該幾何體的體積為（）第1頁/共5頁16π64πA.B.16πC.D.72π33的前項(xiàng)和，3S2123,3，則數(shù)列n2n的前項(xiàng)和為San86.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列5nn（）A.55B.57C.87D.89π2fxAsinxA0,7.已知函數(shù)的圖象先向fx的部分圖象如圖所示，將函數(shù)π1右平移個單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的的圖象，若gx42ππ126在）x關(guān)于的方程gxm0x,m上有兩個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（3A.2B.D.3,33,2C8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)不是常函數(shù)，且滿足，，則fxyfxyfxfyf10fxfi)（）i12A.B.2C.D.2026?二多選題：本題共小題，每小題分，共3618分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目第2頁/共5頁要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.XN1,4,YN2,19.已知隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（）P(X0)0.2PX，則20.4A.若a9PXaPX0.20.1B.若PX10.4，則PX1PY2C.D.PX4PY410.已知函數(shù)fxx32x2x，若gxfxx22xa，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,3fxB.函數(shù)的極大值點(diǎn)為1fx的值域?yàn)閒xx1,2，則0C.若gx0的取值范圍為,aD.若x0，都有成立，則，則下列說法正確的是（11.已知曲線G:xxyy4）A.點(diǎn)在曲線G上B.直線l:yx與曲線GC.設(shè)直線l:y2，當(dāng)無交點(diǎn)k1,0時，直線與曲線恰有三個公共點(diǎn)lGD.直線l:xy2與曲線G所圍成的圖形的面積為π2?三填空題：本題共小題，每小題分，共3515分.fxa3x1xb,a,bR12.已知函數(shù)2yfxx0在處的切線方程為，若曲線y3x2ab__________.，則?2?2F,2，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C113.已知雙曲線?:?=1(?>0,?>0)的左右焦點(diǎn)分別為?交于?2?2M,NM0.若點(diǎn)P在雙曲線CFP2NF，則雙曲線C兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，滿足上，且1211的離心率為______.14.某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識答題競賽.已知某同學(xué)答對每道第3頁/共5頁2m題的概率均為，且每次答題相互獨(dú)立，若該同學(xué)連續(xù)作答20道試題后結(jié)束比賽，記該同學(xué)答對道試3題的概率為，則當(dāng)__________時，取得最大值.fmfmm?四解答題：本題共小題，共577分解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟..?AAC15.在VABC中，角（1）求角A；,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足.acabbc（2）若a23,ABC的面積為3，求VABC的周長.x22y22π1ab0的左焦點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)分別為F?,BAF1B16.已知橢圓Γ:，且，點(diǎn)1ab22在Γ上.2（1）求橢圓Γ的方程；FM,Nx2（2）過左焦點(diǎn)的直線交橢圓Γ于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)P，設(shè)PMMF，PNNF，證111明：為定值.17.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PCD平面ABCD,為鈍角三角形且，DABABCADBDCB90,E是PA的中點(diǎn).（1）證明：BDPD；（2）若直線PD與底面ABCD所成的角為o，求平面與平面夾角的正弦值.18.已知函數(shù)2fxxaxa0).（1）證明：函數(shù)的極大值大于1；fx（2）若函數(shù)有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；fxa（3）已知Ax,y,i3fx是圖象上四個不重合的點(diǎn)，直線0A30為曲線?=?(?)在點(diǎn)處的iii第4頁/共5頁A,A,Axx2x.120切線，若三點(diǎn)共線，證明：123Aa,a,a,,a1nn2，若A中的元素aiL,ni滿足19.已知有限集23aaaaaan，則稱A為“元重生集”.12n12n1212,是否為“2元重生集，請說明理由；”（1）集合22（2）是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“3元重生集”？如果有，請求出有幾個，如果沒有，請說明理由；aNi*n，證明：“元重生集”A有且只有一個，且n3.（3）若第5頁/共5頁2024—2025高三省級聯(lián)測考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的學(xué)校?班級?姓名及考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.x∣y9x2A2,3,4,BAB1.已知集合，則（）2,31,2A.B.D.C.2,3,42,3【答案】B【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域化簡集合B，再由交集的定義求AB.BxZy9x2xZ9x20xZ3x32，【詳解】集合A2,3,4，所以AB1,2而.故選：B.a為純虛數(shù)，則（za12az2a24ai,aRzz122.已知復(fù)數(shù)，若）2A.1或2B.1C.2D.3【答案】C【解析】，根據(jù)純虛數(shù)的概念得到方程和不等式，求出答案.zza2a2a4a3i2【分析】計算出12az2a4ai,aR可知，za122【詳解】由24a3i，zza2a2a24aia2a2a212第1頁/共20頁24a30a因?yàn)?z2為純虛數(shù)，所以，解得a2.a2a20故選：C.ab2,0ab2a3.已知向量a,b滿足，且，則在b上的投影向量的坐標(biāo)為（）A.000D.0B.C.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得ab2，結(jié)合投影向量的坐標(biāo)公式即可求解.ab2，所以(ab)2a22abb242ab44，可得ab2，【詳解】已知ab1，b2,01,0所以|b|22故選：A.12π2sinsin23π，則4.已知（）2134A.B.C.2D.64【答案】D【解析】2tan【分析】根據(jù)已知條件得，然后將目標(biāo)式子用表示，由此即可得解.π23π，得sin2cos2，則，【詳解】由1sin2sin2sinsincos2tantan4262所以2，22故選：D.5.某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)制作模具，有一個模具的毛壞直觀圖如圖所示，它是由一個圓柱體與一個半球?qū)佣傻慕M合體，已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上?下底面圓的圓心連線的平面）ABCD是面積為16的正方形，則該幾何體的體積為（）第2頁/共20頁16π64πA.B.16πC.D.72π33【答案】C【解析】【分析】得到ABBC4，確定球的半徑和圓柱的底面圓半徑和高，利用球和圓柱體積公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是面積為16的正方形，則ABBC4，由題意可知半球的半徑R2，圓柱的底面圓半徑r2，高h(yuǎn)4，14VR16π3由球的體積公式可得半球的體積，1233VShr22h16π由圓柱的體積公式可得圓柱的體積，16π64πVVV16π故該幾何體的體積.1233故選：C.的前項(xiàng)和，3S2123,3，則數(shù)列n2n的前項(xiàng)和為San86.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列5nn（）A.55B.57C.87D.89【答案】C【解析】an【分析】先由已知條件算出公比，然后得表達(dá)式，結(jié)合分組求和、等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式即可求解.a01q0.【詳解】因?yàn)閧??}是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，公比3Sa2a31，所以a123232210，因?yàn)?，則21321221q2aq2a02q2q20q=2或q即，則，解得11aaq2418，又因?yàn)?1第3頁/共20頁a2所以所以，所以數(shù)列{??}的通項(xiàng)公式為n2n，1a2n12nn2n1，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為a2n1nn，n12322n52T2123n則n21352n212223nn12n1212n2n12n2，122T25652287所以，故選：C.π2fxAsinxA0,7.已知函數(shù)的圖象先向fx的部分圖象如圖所示，將函數(shù)π1右平移個單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的的圖象，若gx42ππ126在）x關(guān)于的方程gxm0x,m上有兩個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（3A.2B.D.3,33,2C.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可得表達(dá)式，先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得fxπ3gx4x，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定m的取值范圍.π2fxAsinxA0,【詳解】由函數(shù)A2，的部分圖象可知，第4頁/共20頁ππ32πT，所以Tπ,2，因?yàn)?264Tπ6πππ2π,kZ，解得2π,kZ，f2，所以2又由626πππfx2sin2x可得，所以，266π1將的圖象向右平移個單位長度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的fx42πππ2ππ33π，可得tgx4x的圖象，令t4x3x,,，由，31262ππππ,y2sint,函數(shù)在3上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，223π2π2π3,3，且33ππg(shù)xm0在上有兩個不等實(shí)根，x因?yàn)殛P(guān)于的方程x,126ππymymgx的圖像在yx,即即與與上有兩個交點(diǎn)，1262ππty2sint,在上有兩個交點(diǎn)，333m所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)不是常函數(shù)，且滿足，，則fxyfxyfxfyf10fxfi)（）i12A.B.2C.D.2026【答案】A【解析】f02fx的周期為4，進(jìn)一步結(jié)合已知得【分析】依次算得，，由此得?(1)+?(2)+?(3)+?(4)=0，然后利f4f02f3f1f2f0用周期性即可求解.第5頁/共20頁，又?=?(?)不是常函數(shù)，所以2，y02fx，得fxf0f0【詳解】由題意，令y1，得fx1fx1fxf1，即，0fx1fx1再令則?(?+2)=??(?)，即所以函數(shù)?=?(?)的周期為4，由?(?+2)=??(?)，令x1，fxfx2，故fxfx4，f3f1f2f0f4f02，得所以?(1)+?(2)+?(3)+?(4)=0，fi)ff(2)ff(4)]f(2025)f(2026)f(2025)f(2026)所以i1f1f22.故選：A.?二多選題：本題共小題，每小題分，共3618分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.XN1,4,YN2,19.已知隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（）P(X0)0.2PX，則20.4A.若a9PXaPX0.20.1B.若PX10.4，則PX1PY2C.D.PX4PY4【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷各個選項(xiàng)即可求解.P(X0)PX20.2PX21PX210.2【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?.8，故A錯誤；，所以XN1,4，且PXaPX0.20.1，對于選項(xiàng)B，因?yàn)閍0.2則1，即a1.8，2第6頁/共20頁a9則，故B正確；PX1P(0.2XP(XPX0.20.50.10.4PX1PY20.5對于選項(xiàng)C，，故C錯誤；XN1,4,YN，對于選項(xiàng)D，因?yàn)殡S機(jī)變量2,1所以，1122PX4PX5PX,PY4PY因?yàn)椋?122PXPY2又，112所以PX4PY4，故D正確，故選：BD.10.已知函數(shù)fxx32x2x，若gxfxx22xa，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,3fxB.函數(shù)的極大值點(diǎn)為1fx的值域?yàn)閒xx1,2，則0C.若gx0的取值范圍為,a成立，則D.若x0，都有【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求導(dǎo)，解不等式求出函數(shù)單調(diào)性；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到函數(shù)的極大值點(diǎn)；C選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，從而求出值域；選項(xiàng)，參變分離，得到1,2Dfxx3x2ax，構(gòu)造函數(shù)hxx3x2xhx，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出的最小值為，故h11a1.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)閒xx32xx，2所以fx3x24x13x1x1，13x,時，fx0；所以當(dāng)1x,113fx0，所以fx,1，故A錯誤；當(dāng)時，3對于選項(xiàng)B，如下表：第7頁/共20頁13131,1x,13fx-0+0-fx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以1為函數(shù)的極大值點(diǎn).故B正確；fx對于選項(xiàng)C，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，fx1,2fxf22最大值為f0x1,2時，fx0，故C正確；的值域?yàn)?，所以?dāng)gxfxx對于選項(xiàng)D，22xax3xxa.2因?yàn)間x0.即ax3x2x，hxx令3x2xhx3x22x13x1x1時，，則，xxhxhx單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)x時，單調(diào)遞減，hxhx當(dāng)所以當(dāng)x1時取到極小值，所以的最小值為，hxh11所以a1，故D正確.故選：BCD.11.已知曲線G:xxyy4，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在曲線G上B.直線l:yx與曲線G無交點(diǎn)C設(shè)直線l:y2，當(dāng)k1,0時，直線與曲線恰有三個公共點(diǎn)lGD.直線l:xy2與曲線G所圍成的圖形的面積為π2【答案】BCD【解析】【分析】直接將點(diǎn)代入曲線方程即可判斷A；分x,y的正負(fù)四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，當(dāng)斜率為1時結(jié)合漸近線可得B正確；由四分之一圓面積減去三角形面積可得D正確；由圖形可得第8頁/共20頁C正確.222222xy0xyxxxyy4yxxy0xy0【詳解】，yx2yxy02xy0時，x2y4無意義，無此曲線，故舍去，2因?yàn)楫?dāng)222222xy0xyyxxy0xy0所以曲線G表示為x，作出曲線圖象如圖所示，yxxyy4，得到24，顯然不成立，故A錯誤；對于選項(xiàng)A，將點(diǎn)代入yxxxxx04，無解，故B正確；對于選項(xiàng)B，將對于選項(xiàng)C，由于直線軸平行，與曲線G代入曲線G得，y2恒過點(diǎn)(0,2)，當(dāng)k0時，直線與x有一個交點(diǎn)；當(dāng)k1時，直線與曲線G的漸近線平行，此時與曲線G有兩個交點(diǎn).1k0時.結(jié)合斜率的范圍可得直線與曲線G當(dāng)C正確；x,y對于選項(xiàng)D，設(shè)直線l與軸的交點(diǎn)分別為,B.因?yàn)閳A的半徑為2.且點(diǎn)，A2,0,B0,211π2222π2所以直線與曲線G圍成的圖形的面積為故選：BCD.，故D正確.42第9頁/共20頁x,y【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是能根據(jù)的正負(fù)去掉絕對值符號得到曲線方程，作出圖象，數(shù)形結(jié)合分析.?三填空題：本題共小題，每小題分，共3515分.fxa3x1xb,a,bR12.已知函數(shù)2yfxx0在處的切線方程為，若曲線y3x2ab__________.，則【答案】3【解析】a,b【分析】由切線方程可知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，建立方程，可求的值，進(jìn)而得到所求和.fxa3x1x【詳解】由函數(shù)2bf0，有，ba3x1fx，可得2xf0a，由因?yàn)榍€?=?(?)在x0處的切線方程為y3x2，aab2ab3.，則所以解得b30故答案為：3.?2?2F,2，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C113.已知雙曲線?:?=1(?>0,?>0)的左右焦點(diǎn)分別為?交于?2?2M,NM0.若點(diǎn)P在雙曲線CFP2NF，則雙曲線C兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，滿足上，且1211的離心率為______.1731317【答案】【解析】##NF1mPF12m，由雙曲線定義可得【分析】作出輔助線，根據(jù)數(shù)量積為0得到垂直關(guān)系，設(shè)，則2c179173PF2a2,NF2amma，由勾股定理得到方程，求出，進(jìn)而求出.223a,,NF,，2【詳解】如圖，連接122ππ因?yàn)?，所以FFNF，由對稱性可得12，121222第10頁/共20頁由FP2NF，可設(shè)NF1m，則PF12m，11PFPF2aNFNF2a由雙曲線的定義可知，，，2121πPF2a2,NF2amFNF2NF222|PN|2，則，由得，2212223(2a2m)29m2(2am)2ma即，解得，πFNF222又由得，121NNF2，122222a8a689c17172即12a24c2，解得，33a93173所以雙曲線C的離心率e.17故答案為：314.某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識答題競賽.已知某同學(xué)答對每道2m題的概率均為，且每次答題相互獨(dú)立，若該同學(xué)連續(xù)作答20道試題后結(jié)束比賽，記該同學(xué)答對道試3題的概率為，則當(dāng)fm__________時，取得最大值.fmm【答案】13或14【解析】2m20mfmfm123【分析】先得到fmm20，利用C1解不等式即可.fmfm132m320m23【詳解】由題意得fmm200m20mN且，C1，第11頁/共20頁2m20m20mm1m1m19m232323CCm201CCm12011,,fmfm13，即則故fmfm12m222m2011m120333320!220!,m!20m!3m1!21m!3mN，所以，m13或m=14又20!120!2,m!20m!3m1!19m!3fm取得最大值.故當(dāng)故答案為：13或14.m13或m=14時，?四解答題：本題共小題，共577分解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟..?AAC15.在VABC中，角（1）求角A；,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足.acabbc（2）若a23,ABC的面積為3，求VABC的周長.π【答案】（1）3（2）2623【解析】1）根據(jù)正弦定理、三角恒等變換得A1，進(jìn)一步即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式得bc4，進(jìn)一步結(jié)合余弦定理可得bc26，由此即可得解.【小問1詳解】AAC由題意，因?yàn)?，ac所以bAAaC，2sinBcosAsinCcosAsinAcosCabbc由正弦定理可得，BcosAsinAcosCsinCcosAsinACsinB即，12因?yàn)閟inB0，所以A1，所以A，π又0Aπ，所以【小問2詳解】A.3第12頁/共20頁π312A由（1）可知，，則sinA,cosA，32113因?yàn)閂ABC的面積Sbc34，可得bc26sinAbc3，可得bc4，222由余弦定理可得a222bccosAbc)bc，2即12bc)2，所以VABC的周長為abc2623.x22y22π1ab0的左焦點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)分別為F?,BAF1B16.已知橢圓Γ:，且，點(diǎn)1ab22在Γ上.2（1）求橢圓Γ的方程；FM,Nx2（2）過左焦點(diǎn)的直線交橢圓Γ于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)P，設(shè)PMMF，PNNF，證111明：為定值.x2y12【答案】（1）2（2）證明見解析【解析】2πAF1Ba,b代入橢圓方程求出即可；1）由，得ab，再把點(diǎn)22（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，設(shè)Mx,y,Nx,y，由PMMF，PNNF，表112211示出，利用韋達(dá)定理化簡得定值.【小問1詳解】πAF1B由題意可知，，所以ab，2211Γ1，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以22b22b2解得b1，故a2，第13頁/共20頁x2所以橢圓Γ的方程為【小問2詳解】y1.22ykx，由已知得直線的斜率必存在，可設(shè)直線的方程為代入橢圓方程，整理得12kx4kx2k4k20，22228k80，22k22設(shè)，則xx,xx，Mx,y,Nx,y11221221212k212kx211x221Pk,F1,0又，由,NF1,2得.1113x4x1121222121x212所以，x1x1122k24k242340，2因?yàn)?123xx12212k12k0所以17.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PCD平面DABABCADBDCB90,E為定值.ABCD,為鈍角三角形且，是PA的中點(diǎn).（1）證明：BDPD；（2）若直線PD與底面ABCD所成的角為o，求平面【答案】（1）證明見解析與平面夾角的正弦值.第14頁/共20頁427（2）【解析】1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證.B,C,D,E（2）根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，求出兩個平面的法向量，再結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可求解.【小問1詳解】由則2DCB90，得AB,//BC，DCB45，BDCD,BDC90BDCD，所以，即PCDABCDPCDABCDCD,BDABCD，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫嫠云矫?，又PD平面，所以【小問2詳解】BDPD.如圖，過點(diǎn)P作CD的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)H，連接，PCDABCDPCD,CDPCDABCDCD,PH因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以PH平面ABCD，則為PD在底面ABCD內(nèi)的射影，所以為直線PD與底面ABCD所成的角，即60.設(shè)1，得BDDCDP2,BC2，26在中，DH，,PH222在ADH中，，由余弦定理得AHAD2ADcos45，222CD，所以AH22AD2，所以如圖，過點(diǎn)D作//，則ABCD底面，x,y,zDB,DC,DF以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第15頁/共20頁6262222B2,0,0,C2,0,P,,,0,E,,,A，則22224246222,0,0,,,,2,0所以，424nx,y,z,mx,y,z，設(shè)平面和平面的法向量分別為111222n2x0m2y012則令，10m，226226n112y2z204244243zz1，則xy,x3,y0，22121123n,1,m3,0,1所以，2nm17n,m則nm747，2設(shè)平面與平面的夾角為，742則,sin1cos，7742故平面與平面夾角的正弦值為.718.已知函數(shù)2fxxaxa0).（1）證明：函數(shù)的極大值大于1；fx（2）若函數(shù)有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；fxa（3）已知Ax,y,i3fx是圖象上四個不重合的點(diǎn)，直線0A30為曲線?=?(?)在點(diǎn)處的iiiA,A,Axx2x.120切線，若三點(diǎn)共線，證明：123第16頁/共20頁【答案】（1）證明見解析332,（2）2（3）證明見解析【解析】a【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，確定當(dāng)x時，取得極大值，由單調(diào)性得到fx3aff01；3a（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到函數(shù)有3個零點(diǎn)，應(yīng)滿足f0，即fx3aaa33210，解得；a3320Ak32xxxa20（3）表達(dá)出直線的斜率，同理可得3i03302x，又3kk12xxx23a,k2112xxx22ax1，根據(jù)三點(diǎn)共線得到方程，得到131312fxx2xxx032xxx2x，故.120，所以，求出03030300【小問1詳解】a證明：由題，fx3x2，令，afx0，解得x3aa當(dāng)x<--或x>-時，單調(diào)遞增，fxfx33aa當(dāng)--<x<-時，單調(diào)遞減，fxfx33a所以當(dāng)x時，取得極大值，fx3aff01，由單調(diào)性可知3所以函數(shù)的極大值大于1.fx【小問2詳解】第17頁/共20頁aafx時，f有極大值，且極大值為10，由（1）可知，當(dāng)x33ax,fx;x,fx有極小值，fx時，因?yàn)?，且?dāng)x3aa3a所以要使得函數(shù)有3個零點(diǎn)，應(yīng)滿足f0，即a10，fx33323323,解得aa，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.22【小問3詳解】x2xxxa0x33ax1x30013x20A30330直線因?yàn)榈男甭蔾03，33030xx3k32xxx20a，所以，0i0330k12xxx23a,k2112xxx22a同理可得，131312A,A,Ax21xxx23a12xxx22a，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則有1231312整理得xxxxxxx，1232323xxxxxxxx因?yàn)?，所以，即?2321123fx，所以2320a3x02kx30xa，又030整理得x2xxx0，0303xxx2x032x，即，0因?yàn)樗?，所?030xx2x.012【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)