山東省濟南理工學校2024-2025學年高二春考班上學期月考一數學試題（解析版）

濟南理工學校2024－2025學年度第一學期月考（一）高二春考班數學試題1．本試卷分卷一（選擇題）和卷二（非選擇題）兩部分，滿分120分，考生請在答題卡上答題．2．本次考試允許使用函數型計算器，凡使用計算器的題目，除題目有具體要求外，最后結果精確到0.01.卷一（選擇題共60分）一、選擇題（本大題20個小題，每小題3分，共60分.在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將符合題目要求的選項字母代號選出，并填涂在答題卡上）1.已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意和球的表面積公式可得兩球半徑之比，結合球的體積公式計算即可.由題意知，兩球的表面積之比為，則，所以兩球的體積之比為.故選：C.2.一個球的表面積為，則該球的半徑為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】直接由球的表面積公式列方程即可求解.設所求半徑為，則，解得.故選：B.3.已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側面積是（）A. B.3π C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意求出圓錐的母線長，再利用圓錐的側面積公式可求得答案.因為圓錐的底面半徑是1，高為，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的側面積為.故選：D4.用平面截一個球，所得到的截面面積為，若球心到這個截面的距離為，則該球的表面積為（）A.4 B.8 C.16 D.28【答案】C【解析】【分析】根據球的截面性質，即可由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.由于截面面積為，故截面圓的半徑為，又球心到這個截面的距離為，故球半徑為，故球的表面積為,故選：C5.在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊長為的等腰直角三角形，高為，則該“塹堵”的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用柱體的表面積公式可求得結果.由題意可知，該“塹堵”的表面積為.故選：D.6.已知圓柱的底面直徑和高均為2，則該圓柱的側面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓柱的側面積公式即可得解.由題意，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，故圓柱的側面積為：.故選：B.7.棱長都是1的三棱錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三棱錐性質以及三角形面積計算公式可得結果.棱長都是1的三棱錐的表面都是邊長為1的正三角形，共4個；所以其表面積為.故選：A8.銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體是（）A一個球B.一個球挖去一個圓柱C.一個圓柱D.一個球挖去一個正方體【答案】B【解析】【分析】根據旋轉體的定義可得正確的選項.圓及其內部旋轉一周后所得幾何體為球，而矩形及其內部繞一邊旋轉后所得幾何體為圓柱，故題設中的平面圖形繞旋轉軸（虛線）旋轉一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，故選：B.9.如圖，圓柱的底面直徑和高度都等于球的直徑.若球的表面積為，則圓柱的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據球的表面積公式和圓柱的表面積公式可得解.設球的半徑為，則圓柱底面的半徑為，高為，則，則，所以圓柱的表面積，故選：A.10.如圖，是水平放置△ABC的斜二測畫法的直觀圖，其中，則△ABC是（）A.鈍角三角形 B.等腰三角形，但不是直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【答案】C【解析】【分析】根據題意，將△還原成原圖，分析、、的關系，由三角形的性質即可得答案．將其還原成原圖，設，則可得，，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選：C.11.如圖所示幾何體的俯視圖和側視圖都正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據側視圖，沒有實對角線，俯視圖實對角線方向，排除錯誤選項，得到答案.側視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A，D排除，而俯視時，有半個平面是沒有的，所以有一條實對角線，且其對角線位置從左下角畫到右上角，故B排除.故選：C.12.已知圓柱的軸截面是面積為100的正方形，則該圓柱的側面積為（）A. B.200 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意求得圓柱的底面圓的半徑和母線長，利用側面積公式，即可求解.由題意，圓柱軸截面是面積為100的正方形，可得圓柱的軸截面邊長為10，所以圓柱的底面半徑為5，母線長為10，所以側面積為.故選：C.13.某施工隊要給一個正四棱錐形的屋頂鋪設油氈進行防水，已知該四棱錐的高為，底面邊長是，接縫處忽略不計，則需要油氈的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出斜高，然后求出側面積即可.設該正四棱錐的斜高為．∵高為，底面邊長是，∴根據勾股定理得，∴該正四棱錐的側面積為，即需要油氈的面積為．故選：B14.如圖，一個底面半徑為4的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和6，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】該幾何體的體積由兩部分組成：①底面半徑為4、高為4的圓柱體體積，②底面半徑為4、高為2的圓柱體體積的一半，由此有求出該幾何體的體積．解：一個底面半徑為4的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為4和6，該幾何體的體積由兩部分組成：底面半徑為4、高為4的圓柱體體積，②底面半徑為4、高為2的圓柱體體積的一半，則該幾何體的體積為：．故選：D15.下列試驗中是古典概型的是（）A.在適宜的條件下，種下一粒大豆，觀察它是否發(fā)芽B.口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球C.向一個圓面內隨機地投一個點，該點落在圓內任意一點都是等可能的D.射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性進行判斷．】對于A，“發(fā)芽”或“不發(fā)芽”概率不同，不滿足等可能性，故A錯誤；對于B，任取一球的概率相同，均為，故B正確；對于C，基本事件有無限個，不滿足有限性，故C錯誤；對于D，由于射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)的概率不等，不滿足等可能性，故D錯誤.故選：B.16.已知數列為等差數列，，則（）A.8 B.12 C.15 D.24【答案】B【解析】【分析】根據等差數列的性質得到，計算得到答案.，故，.故選：B17.記等差數列的前n項和為,若,則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的前項和公式及等差數列性質:若,則即可得到結果.解:由題知,即,,.故選:C18.設等差數列的前項和為，若，則（）A.28 B.148 C.168 D.248【答案】C【解析】【分析】根據等差數列下標和性質及等差數列前項和公式計算可得；解：因為等差數列中，，所以，則．故選：C．19.在等比數列中，，，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用可得到等比數列的公比的平方，再利用即可得出.在等比數列中，由得，所以，，所以.故選：D.20.在等比數列中，，若、、成等差數列，則的公比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設等比數列的公比為q，則，根據題意可得出、的等量關系，即可求得數列的公比.設等比數列的公比為q，則，由題意可得，即，則，故.故選：B.卷二（非選擇題共60分）二、填空題（本大題5個小題，每小題4分，共20分.請將答案填在答題卡相應題號的橫線上）21.如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的邊長為___________.【答案】2【解析】【分析】根據體積公式直接計算即可.設正方體邊長為，則，解得.故答案為：22.水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則邊的實際長度為_________．【答案】【解析】【分析】根據直觀圖得到平面圖形，利用勾股定理求出，即可得解.由直觀圖可得如下平面圖形：因為，，所以，，所以在直角三角形中，.故答案為：.23.在一個底面直徑為12cm，高為18cm的圓柱形水杯中加入水后，水面高度為12cm，加入一個球型小鋼珠后水面上升到了13cm，則球型小鋼珠的半徑為______cm．【答案】【解析】【分析】由題意可得，求解即可.設球型小鋼珠的半徑為，上升水柱的體積，所以，，．故答案為：.24.將一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，則點數之和為8的概率是__________.【答案】【解析】【分析】先計算基本事件的樣本空間，再計算所求事件的種數，按照古典概型計算即可.連續(xù)投擲2次，骰子點數的樣本空間為，2次點數之和為8的有：，故有種，其概率為；故答案為：.25.數列滿足，且，則它的通項公式______．【答案】##【解析】【分析】根據給定條件，結合等差數列定義求出公差，再求出通項作答.因數列滿足，即，因此數列是首項為1，公差為的等差數列，所以數列的通項公式為.故答案為：三、解答題（本大題5個小題，共40分）26.（1）已知球的表面積為64π，求它的體積；（2）已知球的體積為π，求它的表面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由球的表面積公式求得半徑，再由球的體積公式求得答案；（2）由求得體積公式求得半徑，再由求得表面積公式求得答案.（1）設球的半徑為r，則由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的體積：V＝×π×r3＝π；（2）設球的半徑為R，由已知得πR3＝π，所以R＝5，所以球的表面積為：S＝4πR2＝4π×52＝100π.【點睛】本題考查求球的表面積與體積，屬于基礎題.27.在正方體中，，求該正方體的外接球表面積．【答案】【解析】【分析】設該正方體外接球的半徑為，可得，計算可求球的表面積.設該正方體外接球的半徑為，則，所以，所以該正方體外接球的表面積為．28.如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，求原來圖形的面積.【答案】【解析】【分析】利用斜二測畫法性質還原出原圖形即可得出原圖形面積.根據斜二測畫法可知正方形的對角線長為，畫出原圖形如下圖所示：原圖為兩直角邊分別為的直角三角形組成的平行四邊形，所以原來圖形的面積為.29.數列的通項公式是.（1）這個數列的第4項是多少？（2）150是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾項？【答案】（1）（2）是，第16項【解析】【分析】（1）利用數列的通項公式能求出這個數列的第4項；（2）令，求出方程的解，即可判斷．【小問1】解：數列的通項公式是．這個數列的第4項是：．【小問2】解：令，即，解得或（舍，是這個數列的項，是第16項．30.已知單調遞增的等差數列{an}的前三項之和為21,前三項之積為231,求數列{an}的通項公式.【答案】【解析】【分析】可設前三項分別為，利用前三項和和積得到關于的方程組，解這個方程組后可得通項公式.也可以設前三項為，同樣利用題設條件得到的方程組，解這個方程