第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1系統(tǒng)的微分方程

2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

2-3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2-5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)22.1系統(tǒng)的微分方程

在實(shí)際應(yīng)用中，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來描述。用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系數(shù)和各元件的輸入、輸出變量。從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)定理，列寫出動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程。消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。標(biāo)準(zhǔn)化。由②：，代入①得：這是一個(gè)線性定常二階微分方程。①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi例2-1：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。34例2-2設(shè)一彈簧、質(zhì)量塊、阻尼器組成的系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。kF(t)mfy(t)5解：若彈簧恢復(fù)力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)與外力F(t)不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有:式中f—阻尼系數(shù),k—彈性系數(shù)由以上所列方程中消去中間變量：kF(t)mfy(t)相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的?？梢姡晃锢硐到y(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為相似系統(tǒng)[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。6線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。⑶對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，比如略去一些對(duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線性元部件進(jìn)行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。782.2

非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

在一定條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化。飽和非線性xy在工程實(shí)際中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn)，當(dāng)變量在工作點(diǎn)附近作小范圍的變化,且變量在給定的區(qū)域間有各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，便可在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略級(jí)數(shù)中高階無窮小項(xiàng)后，就可得到只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。這種線性化方法稱為小偏差法。9例如，設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示，其輸入量為x，輸出量為y，如果在給定工作點(diǎn)y0=f(x0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級(jí)數(shù)：y=f(x)y0x0xy

小偏差線性化示意圖如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級(jí)數(shù)中高階無窮小項(xiàng)，上式可寫為K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數(shù)在工作點(diǎn)處可以用該點(diǎn)的切線方程線性化。2.2

非線性數(shù)學(xué)模型的線性化10Laplace變換基礎(chǔ)

控制系統(tǒng)的微分方程，是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，這種方法比較直觀，尤其是借助于電子計(jì)算機(jī)，可迅速而準(zhǔn)確地求解結(jié)果。但是，如果系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式改變，則需要重新列寫并求解微分方程，不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)。用拉氏變換將線性常微分方程轉(zhuǎn)化為易處理的代數(shù)方程，可以得到系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，稱為傳遞函數(shù)。它不僅可以表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來的。因此，拉氏變換成為自動(dòng)控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。11拉氏變換的概念若將實(shí)變量t的函數(shù)f(t)，乘以指數(shù)函數(shù)e-st（其中s=σ+jω，是一個(gè)復(fù)變數(shù)），再在0到∞之間對(duì)t進(jìn)行積分，就得到一個(gè)新的函數(shù)F(s)。F(s)稱為f(t)的拉氏變換，可用符號(hào)L[f(t)]表示。拉氏變換的概念拉氏變換的運(yùn)算定理拉氏反變換應(yīng)用拉氏變換求解微分方程Laplace變換是求解線性常微分方程常用的一種數(shù)學(xué)工具。與線性常微分方程的經(jīng)典求解方法相比，Laplace變換有如下顯著的特點(diǎn)：微分方程通過Laplace變換轉(zhuǎn)化成含有s的一代數(shù)方程，然后運(yùn)用簡(jiǎn)單的代數(shù)法則就可以得到代數(shù)方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反變換就可以得到最終我們所需的時(shí)域上的解。12式中的s被稱為是Laplace算子，它是一個(gè)復(fù)數(shù)變量，即有。Laplace（拉氏）變換的定義定義：已知有實(shí)函數(shù)，其Laplace變換為：這個(gè)平面就被我們稱為是S域或復(fù)數(shù)域條件是式中等號(hào)右邊的積分存在(收斂)。拉氏變換是一種單值變換。f(t)和F(s)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。通常稱f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。13常用函數(shù)的拉氏變換：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)：?jiǎn)挝粧佄锞€函數(shù)：正弦函數(shù)：

注：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。142拉氏變換的運(yùn)算定理1.疊加定理

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即:2.比例定理

K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的K倍。即:線性性質(zhì)153.微分定理

在零初始條件下，即：則：上式表明，在初始條件為零的前提下，原函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的拉氏式等于其象函數(shù)乘以。4.積分定理

在零初始條件下，即：則：上式表明，在零初始條件下，原函數(shù)的重積分的拉氏式等于其象函數(shù)除以16證微分性質(zhì)17積分性質(zhì)185.延遲定理

當(dāng)原函數(shù)

延遲

時(shí)間，成為

時(shí)，它的拉氏式為：上式表明，當(dāng)原函數(shù)

延遲

，即成

時(shí)，相應(yīng)的象函數(shù)

應(yīng)乘以因子。

6.終值定理上式表明原函數(shù)在

時(shí)的數(shù)值(穩(wěn)態(tài)值)，可以通過將象函數(shù)

乘以后，再求

的極限值來求得。條件是當(dāng)

和

時(shí)，等式兩邊各有極限存在。終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能時(shí)(例如分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等)有著很多的應(yīng)用。因此終值定理也是一個(gè)經(jīng)常用到的運(yùn)算定理。7.初值定理：19例1求的象函數(shù)。解：由比例定理可知：通過查表可知：再根據(jù)疊加定理，可求得的象函數(shù)為：20例2求的原函數(shù)。21例2求的原函數(shù)。解：首先用部分分式展開法，將所給的象函數(shù)展開：其中，A、B是待定系數(shù)，將上式進(jìn)行通分后可得：比較以上兩式的分子，可得：通過查表，可求得：22

應(yīng)用拉氏變換求解微分方程S(t=0)+-RC+-UC這是一個(gè)一階RC電路，我們?nèi)‰娙輧啥说碾妷簽檩敵鲭妷海O(shè)開關(guān)S閉合前，電路處于零初始狀態(tài)，即：在t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，電路接入直流電源Us。Ｕs23

應(yīng)用拉氏變換求解微分方程S(t=0)+-RC+-UC這是一個(gè)一階RC電路，我們?nèi)‰娙輧啥说碾妷簽檩敵鲭妷海O(shè)開關(guān)S閉合前，電路處于零初始狀態(tài)，即：在t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，電路接入直流電源Us。有：Ｕs代入電路，可得到電路的把和微分方程：24現(xiàn)在對(duì)于上面的微分方程，我們用Laplace變換求解。由題可知：開關(guān)閉合瞬間的輸入信號(hào)可視為階躍信號(hào)，且當(dāng)t=0時(shí)，Uc(0+)=0，所以上式有：首先，利用Laplace變換中的微分定理，將微分方程變換成如下形式：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的Laplace變換25利用待定系數(shù)法可求得：再對(duì)上式進(jìn)行Laplace反變換，得：整理，可得：將所求系數(shù)帶入上述方程，有：262.3.1傳遞函數(shù)的定義

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若線性定常系統(tǒng)的微分方程為在初始條件為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得2.3

線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)過程。

了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響---分析

可以對(duì)系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對(duì)傳遞函數(shù)的要求---綜合27282.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)和初始條件無關(guān)。

2.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，其分子多項(xiàng)式的次數(shù)m低于或等于分母多項(xiàng)式的次數(shù)n，即m≤n。且系數(shù)均為實(shí)數(shù)。

3.在同一系統(tǒng)中，當(dāng)選取不同的物理量作為輸入、輸出時(shí)，其傳遞函數(shù)一般也不相同。傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)。

4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。29常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積式中的K稱為傳遞函數(shù)的增益或傳遞系數(shù)（放大系數(shù)）。zj(j=1.2.…m)為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。Pi(1.2.…n)為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式就是相應(yīng)微分方程式的特征多項(xiàng)式，令該分母多項(xiàng)式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方程。302.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學(xué)方程為式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，K為放大系數(shù)（或增益）。1.比例環(huán)節(jié)312.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸入、輸出間的微分方程為式中T為時(shí)間常數(shù)，K為比例系數(shù)慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上延遲，時(shí)間常數(shù)愈大慣性愈大，延遲時(shí)間也愈長(zhǎng)，時(shí)間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。

在單位階躍輸入時(shí)慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當(dāng)t=3T～4T時(shí)，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。323.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程是積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為

c(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為K，如右圖所示。c(t)t0式中K=1/T，稱為積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，T稱為積分時(shí)間常數(shù)。334.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示。c(t)10t式中T--時(shí)間常數(shù)，

--阻尼比，對(duì)振蕩環(huán)節(jié)有

0≤<1345.微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為式中為微分時(shí)間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為這是一個(gè)強(qiáng)度為的理想脈沖。在實(shí)際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。356.純滯后環(huán)節(jié)

當(dāng)輸入作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時(shí)間后，才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，在時(shí)間0到的時(shí)間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時(shí)效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中為純滯后時(shí)間。當(dāng)輸入信號(hào)為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)曲線如下圖(b)所示。r(t)1t0(a)tc(t)10

(b)362.3.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對(duì)于簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)，在求取傳遞函數(shù)時(shí)，可采用直接計(jì)算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程，再由拉氏變換求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2-4

設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為ur,輸出電壓為u0，試寫出其傳遞函數(shù)。uru0C1i2R1i1iR2C2372.3.4控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對(duì)于簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)，在求取傳遞函數(shù)時(shí)，可采用直接計(jì)算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程，再由拉氏變換求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解

根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式例2-4

設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為ur,輸出電壓為u0，試寫出其傳遞函數(shù)。uru0C1i2R1i1iR2C238在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式由此得出該電路的傳遞函數(shù)為39

在上述計(jì)算過程中，如果先對(duì)所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡(jiǎn)化計(jì)算。在零初始條件下，對(duì)方程組取拉氏變換，得到去中間變量可得)(1)()()()()()]()([)()]()([1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=402.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。采用結(jié)構(gòu)圖，不僅能方便地求取復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而且能形象直觀地表明信號(hào)在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。2.4.1結(jié)構(gòu)圖的組成

把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號(hào)分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖，這種圖形既說明了信號(hào)之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系，又描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，因此稱之為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，簡(jiǎn)稱為結(jié)構(gòu)圖。41

信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，且信號(hào)只能單向傳輸。

方塊單元：即一個(gè)元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖，該方塊可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，其變換關(guān)系為

Xc(s)=G(s)Xr(s)G(s)xr(s)xc(s)方塊單元

信號(hào)比較點(diǎn)：表示兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)在此代數(shù)相加。信號(hào)比較點(diǎn)的運(yùn)算關(guān)系為xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)±±±

信號(hào)引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同。x(s)x(s)422.4.2結(jié)構(gòu)圖的畫法繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下：

1.列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時(shí)應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時(shí)應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負(fù)載效應(yīng)。

2.在零初始條件下，對(duì)各微分方程進(jìn)行拉氏變換，并將變換式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。

3.由標(biāo)準(zhǔn)變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個(gè)基本單元，分別畫出各元部件的結(jié)構(gòu)圖。

4.按照系統(tǒng)中信號(hào)的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。432.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換1.串聯(lián)連接方式的等效變換

前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖所示，G1(s)G2(s)G3(s)R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)G(s)R1(s)R4(s)442.并聯(lián)連接方式的等效變換輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如下圖所示，G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)453.反饋連接方式的等效變換

將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較，就構(gòu)成了反饋連接。G(s)H(s)E(s)B(s)-R(s)C(s)464.分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則

將分支點(diǎn)跨越元件方塊圖移動(dòng)時(shí)，必須遵循移動(dòng)前后所得的分支信號(hào)保持不變的等效原則。G(s)1/G(s)BR(s)C1(s)C2(s)移動(dòng)前后的分支輸出信號(hào)不變，達(dá)到了等效變換的目的。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)47G(s)G(s)AR(s)C1(s)C2(s)

分支點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)則為：若分支點(diǎn)從一個(gè)方塊圖的輸入端移到其輸出端時(shí)，應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點(diǎn)從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時(shí)，應(yīng)在移動(dòng)后的分支中串入一個(gè)方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)485.比較點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則如圖(a)所示，當(dāng)比較點(diǎn)在A處時(shí)，總輸出量為

C(s)=G(s)[R1(s)-R2(s)]當(dāng)比較點(diǎn)移到B處時(shí)，必須使兩個(gè)輸入都經(jīng)過元件方塊圖后再相加，如圖(b)所示，此時(shí)

C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s)與移動(dòng)前相等，因而兩圖是等效的。G(s)AR1(s)R2(s)-C(s)BG(s)G(s)R1(s)R2(s)BC(s)-(a)(b)49

當(dāng)綜合點(diǎn)之間相互移動(dòng)時(shí)，如下圖所示，因?yàn)槿咻敵龆紴?/p>

C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它們都是等效的。R2(s)R1(s)R2(s)R3(s)--E1C(s)R1(s)R3(s)R1(s)R3(s)R2(s)----C(s)C(s)(a)(b)(c)可見，互換綜合點(diǎn)的位置，不會(huì)影響總的輸入輸出關(guān)系。50

相加點(diǎn)和分支點(diǎn)在一般情況下，不能互換。一般情況下，相加點(diǎn)向相加點(diǎn)移動(dòng)，分支點(diǎn)向分支點(diǎn)移動(dòng)。512.4.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化例2-4

簡(jiǎn)化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)522.4.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化例2-4

簡(jiǎn)化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解這是一個(gè)沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡(jiǎn)化時(shí)不需要將分支點(diǎn)和綜合點(diǎn)作前后移動(dòng)?？砂春?jiǎn)單串、并聯(lián)和反饋連接的簡(jiǎn)化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡(jiǎn)化。53G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)54[例2-6]利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級(jí)RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。[解]：不能把左圖簡(jiǎn)單地看成兩個(gè)RC電路的串聯(lián),有負(fù)載效應(yīng)。根據(jù)電路定理，有以下式子：------55總的結(jié)構(gòu)圖如下：

為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q。一個(gè)可能的變換過程如下：-----①--②56--③-④57[例2-12]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞數(shù)

。-+58[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例2-12]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞數(shù)

。-+相加點(diǎn)移動(dòng)-+①59-+②信號(hào)流圖的定義和術(shù)語節(jié)點(diǎn)：表示變量或信號(hào)的點(diǎn)，用“○”表示。支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有向有權(quán)線段，方向用箭頭表示，

權(quán)值用傳遞函數(shù)表示。輸入支路：指向節(jié)點(diǎn)的支路。輸出支路：離開節(jié)點(diǎn)的支路。源節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，也稱輸入節(jié)點(diǎn)，如圖中節(jié)點(diǎn)X1。匯節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖節(jié)點(diǎn)X7?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。6061信號(hào)流圖定義與術(shù)語前向通道：從輸入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))到匯節(jié)點(diǎn)的通道。如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5到X6到X7也為另一條前向通道。閉通道(反饋通道或回環(huán))：通道的起點(diǎn)就是通道的終點(diǎn)，如圖X2到X3又反饋到X2；X4到X5又反饋到X4。自回環(huán)：?jiǎn)我恢返拈]通道，如圖中的-H3構(gòu)成自回環(huán)。通道傳輸或通道增益：沿著通道的各支路傳輸?shù)某朔e。如從X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。不接觸回環(huán)：如果一些回環(huán)沒有任何公共的節(jié)點(diǎn)，稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。如－G2H1與－G4H2。62信號(hào)流圖的性質(zhì)（1）信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)；（2）信號(hào)流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)形式的代數(shù)方程；（3）信號(hào)只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞；（4）節(jié)點(diǎn)上可把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把總和信號(hào)傳送到所有輸出支路；（5）具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可把其變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)，即匯節(jié)點(diǎn)；（6）對(duì)于給定的系統(tǒng)，其信號(hào)流圖不是唯一的。63信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化（1）加法規(guī)則：n個(gè)同方向并聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之和，如圖(a)所示：（2）乘法規(guī)則：n個(gè)同方向串聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之積，如圖（b）。64（3）混合節(jié)點(diǎn)可以通過移動(dòng)支路的方法消去，如圖（c）。（4）回環(huán)可根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路，如圖（d）。65梅遜公式一般形式為2.4.5用梅遜(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)66例2-11利用梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。67解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有四條前向通道，對(duì)應(yīng)Pk與Δk為P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1G6G4G5Δ2=1P3=G1G2G7G5Δ3=1P4=-G1G6H2G7G5Δ4=1圖中有六個(gè)單回環(huán)，其增益為：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，

L6=G5H3G6H2G7其中L1與L2是互不接觸的，其增益之積L1L2=G3G5H1H2

68系統(tǒng)的特征式Δ為

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為69例2-12求圖示信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù)

70例2-12求圖示信號(hào)流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：系統(tǒng)單回環(huán)有：L1=G1，L2=－G2，L3=－G1G2，L4=－G1G2，L5=－G1G2系統(tǒng)的特征式

Δ為：

71前向通道有四條：

P1=-G1Δ1=1P2=G2

Δ2=1P3=G1G2Δ3=1P4=G1G2

Δ4=1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

72例2-5用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----73例2-5用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----解圖中共有四個(gè)不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為故∑Li=L1+L2+L3+L474

在上述四個(gè)回路中，互不接觸回路有：L2、L3，它們之間沒有重合的部分，因此有∑LiLj=L2L3=(-G2G3H2)(－G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3

圖中沒有三個(gè)互不接觸回路，故∑LiLjLK=0可得特征式G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----75圖中只有