專題12.9 角平分線的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.9角平分線的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】角的平分線的性質(zhì)(1)性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(2)符號(hào)語(yǔ)言：OC平分∠ADB，又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，PE=PF【知識(shí)點(diǎn)二】角的平分線的判定(1)判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.(2)符號(hào)語(yǔ)言：PE⊥AD，PF⊥BD，垂足為E、F，又PE=PFOC平分∠ADB，【知識(shí)點(diǎn)三】角的平分線的尺規(guī)作圖（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用角平分線性質(zhì)定理進(jìn)行求值與證明【例1】（23-24七年級(jí)下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：；【變式1】（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，平分，點(diǎn)P是射線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)度不可能是（

）A．18 B． C．6 D．【變式2】（23-24七年級(jí)下·四川巴中·期末）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O到邊的距離為3，且的周長(zhǎng)為20，則的面積為．【題型2】利用角平分線判定定理進(jìn)行求值與證明【例2】如圖，于于F，若，

（1）求證：平分；（2）已知，求的長(zhǎng)．【變式1】如圖，在中，，，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】6．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在中，，三角形的外角和的平分線交于點(diǎn)E，則．【題型3】綜合運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行證明與求值【例3】如圖，和中，，連接與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．（1）求證：；（2）求證：；（3）連接，有以下兩個(gè)結(jié)論：①平分；②平分，其中正確的一個(gè)是（請(qǐng)寫序號(hào)），并給出證明過程．【變式1】（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，，M是的中點(diǎn)，平分，且，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級(jí)上·重慶永川·期末）如圖，在中，，，的平分線與的外角平分線交于點(diǎn)，連接，則的大小等于．【題型4】通過作圖（作角平分線）進(jìn)行求值或證明【例4】（23-24八年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┱?qǐng)回答下列問題：（1）如圖1，已知，利用直尺和圓規(guī)，作的平分線交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）如圖2所示，是的角平分線分別是上的點(diǎn)，且，求證：．【變式1】（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)O，作射線，交于點(diǎn)E．已知，，的面積為（

）A．6 B．11 C．14 D．28【變式2】（2024·湖南·中考真題）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．若，，則．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】1．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）在的內(nèi)部相交于點(diǎn)；畫射線，與相交于點(diǎn)，則的大小為（

）

A． B． C． D．【例2】．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖1，在中，為邊上的高，是的角平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，．（1）求證：平分（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若與的面積相等，求證：【例2】（23-24八年級(jí)上·江西宜春·期末）課本再現(xiàn)：思考如圖12.3-3，任意作一個(gè)角，作出的平分線．在上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出，的垂線，分別記垂足為D、E，測(cè)量、并作比較，你得到什么結(jié)論？在上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？【實(shí)驗(yàn)猜想】針對(duì)以上問題，同學(xué)們進(jìn)行了小組實(shí)驗(yàn)探究，并猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【推理證明】為了證明該定理，小明同學(xué)根據(jù)書上的圖形（如圖12.3-3）寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你利用全等的知識(shí)完成證明