湖北省高中名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷 含解析

湖北省高中名校聯(lián)盟2025屆高三第二次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷命題單位：武漢外國語學(xué)校數(shù)學(xué)備課組審題單位：圓創(chuàng)教育教研中心宜昌市第一中學(xué)本試卷共4頁，19題.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考試時(shí)間：2024年11月7日下午15：00—17：00★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)戰(zhàn)均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.2.已知，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.3.已知為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A.B.2C.4D.4.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.5.若關(guān)于的函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.6.如圖，某圓柱的一個(gè)軸截面是邊長為3的正方形，點(diǎn)在下底面圓周上，且，點(diǎn)在母線上，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.4C.6D.7.在正三棱柱每條棱的中點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)所在直線平行于正三棱柱的某個(gè)側(cè)面或底面所在平面的概率為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若所在平面不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某老師想了解班上學(xué)生的身高情況，他隨機(jī)選取了班上6名男同學(xué)，得到他們的身高的一組數(shù)據(jù)（單位：厘米）分別為，則下列說法正確的是（）A.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的平均值會(huì)變大B.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的方差會(huì)變小C.若去掉一個(gè)最高身高和一個(gè)最低身高，則身高的極差會(huì)變小D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為18110.已知拋物線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線分別與的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn).則下列說法正確的是（）A.B.直線的斜率分別記為，則為定值C.的取值范圍為D.面積的最小值為11.如圖，在長方體中，為棱上一點(diǎn)，且，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足是該長方體外接球（長方體的所有頂點(diǎn)都在該球面上）上一點(diǎn)，設(shè)該外接球球心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.長方體外接球的半徑為B.點(diǎn)到平面的距離為C.球心到平面的距離為D.點(diǎn)的軌跡在內(nèi)的長度為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.13.已知為銳角，且，則__________.14.對任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若邊的中點(diǎn)為，且外接圓的半徑為，求外接圓的半徑.16.（15分）如圖，球的半徑為為球面上三點(diǎn)，若三角形為直角三角形，其中.延長與球的表面交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角分別為，試求二面角的正弦值.17.（15分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（17分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與的左?右端點(diǎn)重合）.①當(dāng)時(shí)，求的面積；②點(diǎn)在線段上，且和的內(nèi)切圓半徑相等，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.19.（17分）對任意，都存在.若數(shù)列滿足，且，則稱為“階好數(shù)列”.記為“階好數(shù)列”的個(gè)數(shù).例如，對，有3個(gè)“6階好數(shù)列”，分別為①；②；③.因此.（1）直接寫出的值；（2）求，其中；（3）給定，求證：存在，使得對任意，都有.湖北省高中名校聯(lián)盟2025屆高三第二次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷參考答案與評分細(xì)則題號1234567891011答案BCDCCADBBCABDABD1.【答案】B【詳解】因?yàn)?，畫?shù)軸可得，所以B正確.2.【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長線上，且，所以.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以C正確.3.【答案】D【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，即.所以且，解得，所以.所以D正確.4.【答案】C【詳解】由題知，，解得，又雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以該雙曲線的漸近線方程為.5.【答案】C【詳解】由題意，，且對任意①，.②對于①，，結(jié)合，得.若，由②知對任意，矛盾；若，由②知對任意，即，則，得，所以C正確.6.【答案】A【詳解】由題意知，又，所以.將三角形展開到與三角形共面，記為三角形.易知共線，所以.所以，當(dāng)共線時(shí)取等號.又，在中，由余弦定理得，所以A正確.7.【答案】D【詳解】如圖，將直線分成3種情況：，均平行于上?下底面，有條；，均不平行于正三棱柱的某個(gè)平面；，均平行于某個(gè)側(cè)面，有條.又直線總數(shù)為條，所求概率為，所以D正確.8.【答案】B【詳解】由圖得，所以，由得，所以，將代入，得，所以，于是，即.又，所以，所以.因?yàn)?，所以，所?所以，令，則.因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以在恒成?所以在上恒成立，所以.又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，所以，所以B正確.9.【答案】BC【詳解】去掉前的平均值為，去掉后的平均值為，所以A錯(cuò)誤；去掉前的方差為，去掉后的方差為，所以B正確；去掉前的極差為，去掉后的極差為，所以C正確；由，知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為184，所以D錯(cuò)誤.10.【答案】ABD【詳解】設(shè)的方程為.由消去，得.所以，而，所以，所以A正確；因?yàn)?，所以正確；的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理.所以，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)椋訢正確.11.【答案】ABD【詳解】對于A，長方體外接球的半徑，所以A正確.對于B，以為一頂點(diǎn)，為以為頂點(diǎn)的棱，構(gòu)造棱長為3的正方體，則點(diǎn)到平面的距離為正方體體對角線長的，則，所以B正確.（或者通過等體積法可得，.）對于C，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以面.面平面平面.過作于，則平面.在中，可計(jì)算得，所以，于是，所以C錯(cuò)誤.對于D，過點(diǎn)向平面作垂線，垂足為，連結(jié)，則，又由，可得，即點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，在中，，則點(diǎn)的軌跡在內(nèi)的長度為，所以D正確.12.【答案】10【詳解】由，得.又，所以，則，故.13.【答案】【詳解】由，得，即.所以.由于為銳角，所以，則，結(jié)合，所以，因此.14.【答案】【詳解】記，則.由，得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以的最小值為（*）記，則.則單調(diào)遞減，且.所以在內(nèi)，在內(nèi).所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.所以.則由（*）知，即的取值范圍是.（注：求出給滿分）15.【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，又，所?（2）設(shè)外接圓的半徑為外接圓的半徑為.由正弦定理，得，則.因?yàn)椋詾殇J角.所以.于是，所以.16.【答案】（1）見過程（2）【詳解】（1）因?yàn)槭乔虻闹睆剑?因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)橹本€與平面所成的角分別為，所以.不妨令，則.由，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以設(shè)平面的法向量為，平面法向量為，由得即.取，得.由得即.取，得.設(shè)二面角的平面角為，則，所以.17.【答案】（1）見答案（2）【詳解】（1）.若，則，此時(shí)在單調(diào)遞減；若，令，解得，其中.由，得，由，得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由，得，則，即.令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，所以.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.所以，即的取值范圍是.18.【答案】（1）（2）①②【詳解】（1）將代入的方程可得.①由離心率可得.②聯(lián)立①②得到.所以的方程為.（2）①設(shè)，則.在中，由余弦定理，得，所以.所以.②設(shè)，記和的面積分別為，內(nèi)切圓半徑均為，記，則.所以，由，得.同理.在和中，，由余弦定理得，所以，整理可得.即.（*）將代入（*），解得，即.所以為定值.19.【答案】（1）（2）①②見答案【詳解】（1）對于，由，知，此時(shí)有2個(gè)“2階好數(shù)列”.①；②，因此.對于，由，知，此時(shí)有4個(gè)“14階好數(shù)列”.①；②；③；④，因此.（2）對于，因?yàn)?，所以，則且.若，則，與矛盾，所以或0.①若，則，即.所以為“階好數(shù)列”，有個(gè).②若，則.又，則此時(shí)只有一個(gè)“階好數(shù)列”“”.所以.又