專題12.17 構造三角形全等方法-截長補短和倍長中線（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（學生版） 2024-2025學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（人教版）

專題12.17構造三角形全等方法——截長補短和倍長中線（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】當不能直接證明兩個三角形全等時，可以通過添加適當?shù)妮o助線，使它們在兩個合適的三角形之中，再證這兩個三角形全等，本專題介紹截長補短法和倍長中線法.【知識點一】截長補短法截長法：在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證明剩下的線段與另一短邊相等。補短法：延長較短線段至與另一條已知的較短線段的長度相等，然后證明新線段與最長的已知線段的關系?！局R點二】倍長中線法倍長中線：是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應的頂點，則\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"對應角對應邊都對應相等。常用于構造\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"全等三角形。中線倍長法多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系（通常用“\t"/item/%E5%80%8D%E9%95%BF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%E6%B3%95/_blank"SAS”證明）第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】截長補短【例1】已知：如圖，在中，，、分別為、上的點，且、交于點．若、為的角平分線．

(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．【變式2】如圖所示，AD平分∠BAC，P是射線AD上一點，P與A不重合，．求證：．【題型2】倍長中線【例2】（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知中，，，是的中線，求的取值范圍．【變式1】（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，．回答下列問題：(1)求證：和是兄弟三角形．(2)取的中點，連接，試說明．小王同學根據(jù)要求的結論，想起了老師上課講的“中線（點）倍延”的輔助線構造方法，解決了這個問題．①請在圖中通過作輔助線構造，并證明．②求證：．【變式2】（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖1，在中，是邊上的中線，和的周長之差為，且的長是．

(1)求的長；(2)求長度的取值范圍；(3)若，是的中點，如圖，直接寫出的面積．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例】（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是2、拓展延伸【例1】課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．【例2】（22-23八年級上·廣東汕頭·期末）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是______，中線的取值范圍是______；