專題13.1 軸對稱（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題13.1軸對稱（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】軸對稱圖形

軸對稱圖形的定義：一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.【要點提示】軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.

【知識點二】軸對稱1.軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點是對應(yīng)點，也叫做對稱點

【要點提示】軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.【知識點三】軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)1.軸對稱的性質(zhì)：若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；2.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．【知識點四】線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．【要點提示】線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】軸對稱圖形的識別【例1】（23-24八年級上·江西宜春·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點分別在，上，．

（1）判斷該圖形是否是軸對稱圖形（填“是”或“否”）；（2）求證：．【變式1】下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）在線段、角、圓、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是軸對稱圖形的是．【題型2】成軸對稱的兩個圖形的識別與判斷【例2】（23-24八年級上·吉林·期中）如圖，和關(guān)于直線對稱，與的交點在直線上．（1）圖中點的對應(yīng)點是點______，的對應(yīng)邊是______；（2）若，，求的度數(shù)．【變式1】（2024·廣西·中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，下列與端午節(jié)有關(guān)的文創(chuàng)圖案中，成軸對稱的是（

）A． B． C． D．【變式2】（21-22八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【題型3】由軸對稱的性質(zhì)特征求值【例3】（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，O為內(nèi)部一點，，P、R為O分別以直線、為對稱軸的對稱點．（1）請指出當是什么角度時，會使得的長度等于7？并完整說明的長度為何在此時等于7的理由．（2）承（1）小題，請判斷當不是你指出的角度時，的長度小于7還是大于7？并完整說明你判斷的理由．【變式1】（23-24八年級上·河北承德·期末）如圖，點是外的一點，點，分別是兩邊上的點，點關(guān)于的對稱點恰好落在線段上，點關(guān)于的對稱點落在的延長線上．若，，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·四川達州·期末）如圖，在中，，點是邊上一點，點關(guān)于直線的對稱點為，當時，則的度數(shù)為．【題型4】利用軸對稱的性質(zhì)求最值【例4】（23-24八年級上·河南周口·階段練習(xí)）已知點P在內(nèi)．

（1）如圖①，點P關(guān)于射線的對稱點分別是G、H，連接．①若，則是什么特殊三角形？為什么？②若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，若，A、B分別是射線上的點，于點B，點P、Q分別為上的兩個定點，且，，在上有一動點E，試求的最小值．【變式1】（23-24八年級上·山東日照·期中）已知，點P是內(nèi)部任意一點，點M，N分別在上，當?shù)闹荛L取得最小值時，，則與的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是的角平分線，若分別是和邊上的動點，則的最小值是．

【題型5】折疊問題【例5】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖1，點M，N分別在長方形紙條的邊和上，將長方形紙條沿折疊得到圖2，點A，B的對應(yīng)點分別為點，，折疊后與相交于點E．（1）若，求的度數(shù)；（2）設(shè)，．①請用含α的代數(shù)式表示β；②當α的值為_________時，是等邊三角形；當α的值為______時，是直角三角形．【變式1】（2024·山東東營·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片折疊，使點C，D落在邊上的點，處，折痕為，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·湖南株洲·期末）折紙是一門古老而有趣的藝術(shù)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們甚至為折紙建立了一套完整的“折紙幾何學(xué)公理”．如圖，小明在課余時間把一張長方形紙片沿折疊，，則°．【題型6】線段垂直平分線的性質(zhì)【例6】（23-24七年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，在中，，的平分線交于點，垂直平分，垂足為點．（1）請說明：；（2）若的面積為4，求的面積．【變式1】（2024·吉林·三模）如圖，在中，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24七年級下·山東青島·期末）如圖，在中，邊的垂直平分線，分別交，于點D，E兩點，連接，，，則的度數(shù)是．【題型7】線段垂直平分線的判定【例7】（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點E，F(xiàn)，的垂直平分線分別交，于點M，N，直線，交于點P．（1）求證：點P在線段的垂直平分線上；（2）已知，求的度數(shù)．【變式1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”如圖，四邊形是一個箏形，其中，，點O為對角線、的交點，在探究箏形性質(zhì)時，我們得到以下結(jié)論：①圖中有三對全等三角形．②互相平分．③．其中錯誤的結(jié)論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式2】（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形邊的中點，連接并延長與延長線交于點G，則的度數(shù)為．

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點為圓心，以長為半徑作圖，與相交于點，連接．以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別與，相交于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點，作射線，與相交于點，則的長為（用含的代數(shù)式表示）．【例2】（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．（1）求證：．（2）若，求證：2、拓展延伸【例1】（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，已知長方形紙片，點E，F(xiàn)分別在邊和上，且，H和G分別是邊和上的動點，現(xiàn)將點A，B，C