專題12.18 構造三角形全等方法-截長補短和倍長中線（精練）（專項練習）（教師版） 2024-2025學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題12.16三角形全等幾何模型（半角模型）（精選精練）（專項練習）1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知是的中線，且．求證：．2．在四邊形中，，點E在DC上，AE平分，BE平分（1）判定△AEB的形狀，并說明理由.（2）求證：3．（22-23八年級上·河北保定·期中）如圖，點E在的中線的延長線上，且．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍；（3）若，求證：是直角三角形．4．如圖，，，，直線過點交于，交于點．求證：．5．（22-23八年級上·河南信陽·期中）如圖，某村莊有一塊五邊形的田地，，，連接對角線，，．（1），與之間的數(shù)量關系是____________．（2）為保護田內(nèi)作物不被牲畜踩踏，村里決定給這塊田地的五邊上圍一圈木柵欄，已知每米木柵欄的建造成本是50元，則建造木柵欄共需花費多少元？（提示：延長至點，使）（3）在和區(qū)域種上小麥，已知每平方米田地的小麥播種量為克，請直接寫出需提前準備多少千克的小麥種．6．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點O，求證：．

7．（20-21七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，、分別平分、，交于E點．（1）如圖1，求的度數(shù)．

（2）如圖2，過點E的直線分別交、于B、C，猜想、、之間的存在的數(shù)量關系：_______．

（3）試證明（2）中的猜想．8．（22-23八年級上·重慶江津·階段練習）如圖，在中，，是的中線，．

（1）若，，則的取值范圍是______；（2）求證：；（3）求證：．9．（23-24八年級上·山西長治·期中）如圖，，分別是的中線和高，是的角平分線

（1）若，求的度數(shù)．（2）若，求中線長的取值范圍．10．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，交于，交于平分平分，直線經(jīng)過點并與分別交于點．

（1）如圖①，求證：；（2）如圖②，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明：若不成立，直接寫出三條線段的數(shù)量關系．11．（22-23八年級上·山西朔州·期末）（1）問題背景：如圖①：在四邊形中，，，．E、F分別是、上的點且．探究圖中線段、、之間的數(shù)量關系．小明同學探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是___________；（2）探索延伸：如圖②，若在四邊形中，，．分別是、上的點，且，上述結論是否仍然成立？說明理由；（3）實際應用：如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進小時后，甲、乙兩艦艇分別到達處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．12．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈現(xiàn)】以下是某數(shù)學教材某頁的部分內(nèi)容（請?zhí)顚憴M線中的依據(jù)）：例4、如圖，在中，D是邊的中點，過點C畫直線，使，交的延長線于點E，求證：．

證明：∵（已知），∴，．∵D為邊中點，∴．在與中，∵，∴（）∴（）

（2）【方法應用】如圖①，在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是．（3）【猜想證明】如圖②，在四邊形中，，點E是的中點，若是的平分線，試猜想線段、、之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．

13．（23-24八年級上·福建莆田·期中）閱讀下列材料，完成相應任務．數(shù)學活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至，使，∵是邊上的中線，∴在和中，∴（依據(jù)一）∴，在中，（依據(jù)二）∴．任務一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______________________________________________；依據(jù)2：______________________________________________．歸納總結：上述方法是通過延長中線，使，構造了一對全等三角形，將轉(zhuǎn)化到一個三角形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．任務二：如圖3，，則的取值范圍是_____________；任務三：如圖，中，，D為中點，求證：．14．（23-24八年級上·江蘇·期末）如圖，在中．是邊上的中線，交于點．（1）如下圖，延長到點，使，連接．求證：．（2）如下圖，若，試探究與有何數(shù)量關系，并說明理由．（3）如下圖，若是邊上的中線，且交于點．請你猜想線段與之間的數(shù)量關系，并說明理由．15．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點D是的中點，，交于點E，交于點F，連接，判斷與的大小關系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點F，點E是的中點，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．16．（23-24八年級上·廣西北海·期末）八年級數(shù)學課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖，中，若，，求邊上的中線的取值范圍小紅在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據(jù)小紅的方法思考作答：（1）由已知和作圖能得到的理由是______；A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范圍是______；A．

B．

C．

D．（3）歸納總結：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中完成上題之后，小紅善于探究，她又提出了如下的問題，請你解答．如圖，在中，點在上，且，過作，且求證：平分．17．（23-24八年級上·江西南昌·期中）綜合與實踐問題提出如圖1，在中，平分，交于點D，且，則，，之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．方法運用

（1）我們可以通過作輔助線，構造全等三角形來解題．如圖2，延長至點E，使得，連接，……，請判斷，，之間的數(shù)量關系并補充完整解題過程．（2）以上方法叫做“補短法”．我們還可以采用“截長法”，即通過在上截取線段構造全等三角形來解題．如圖3，在線段上截取，使得①______，連接②______．請補全空格，并在圖3中畫出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“補短法”或“截長法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問題．如圖4，在五邊形中，，，，若，求的度數(shù)．18．（23-24七年級下·四川成都·期中）在的高、交匯點，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖1，求的度數(shù)；（3）如圖2，延長到點，過點作的垂線交的延長線于點，當時，探究線段、、的數(shù)量關系，并證明你的結論．19．（22-23七年級下·山東青島·期末）為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學興趣小組合作交流時，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長到，使，連接．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】圖1中中與的數(shù)量關系是，位置關系是；(2)【初步應用】如圖2，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍；(3)【探究提升】如圖3，是的中線，過點分別向外作、，使得，，延長交于點，判斷線段與的數(shù)量關系和位置關系，請說明理由．參考答案：1．見解析【分析】本題考查了倍長中線證全等，三角形的三邊關系；延長至點E，使，連接，證明，得出，進而根據(jù)三角形的三邊關系，即可得證．【詳解】證明：如圖，延長至點E，使，連接，在中，∴，∴．在中，，∴，即．2．（1）△AEB為直角三角形，理由見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分線得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；（2）在AB上截取線段AF=AD，連接EF，構建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代換即可得證【詳解】（1）解：△AEB為直角三角形，理由如下：∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC，∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°，∴∠AEB=180°?90°=90°,∴△AEB為直角三角形；(2)證明：如圖，在邊AB上截取線段AF=AD，連接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠DAE，在△ADE和△AFE中,，∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠AED=∠AEF，∵AE⊥BE，∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，∴∠BEC=∠BEF，又∵在△BFE與△BCE中,∴△BFE≌△BCE(AAS)，∴BF=BC，∵AB=AF+BF，∴AB=AD+BC.【點撥】本題考查全等三角形的綜合問題，是“截長補短”模型的典型題目，熟練掌握此模型輔助線的作法，構造全等三角形是解決本題的關鍵.3．(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可證明；（2）結合（1）根據(jù)三角形三邊關系即可得的取值范圍；（3）根據(jù)已知線段關系得到，利用等邊對等角推出，，再利用三角形內(nèi)角和求出即可．【詳解】（1）解：證明：是的中線，，在和中，，，；（2），，，即．，的取值范圍是．（3）∵，，，∴，∴，，又，∴，即是直角三角形．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關系，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關系．4．詳見解析【分析】在線段上取，連接，易證≌，可得，因為得，∠D+∠C=180°，再根據(jù)鄰補角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可證≌，可得BC=BF，再進行等量代換即可得出答案.【詳解】解：在線段上取，連接，在與中，，∴≌（SAS）．∴．由又可得，∴．又，∴．在與中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．【點撥】本題考查全等三角形證明中輔助線其中一種截長補短的方法，在遇到兩條線段和等于第三條線段的時候可用截長補短構造全等三角形，即在較長的線段上截取某條較短線段長度，或者延長一條較短線段長度使之等于另一條線段長度.5．(1)(2)12000元(3)千克【分析】（1）由直接可以得到；（2）延長至點，使，證得，得到，，進而證明解題；（3）利用（2）中結論可得，運用三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1），，故答案為：；（2）如圖，延長至點，使，連接．.在與中，，，.，即.在與中，，，（米）．五邊形的周長為（米），（元）．答：建造木柵欄共需花費12000元.（3）千克，需小麥種數(shù)量為：(千克）．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解決一條線段長等于兩條線段和的問題常用方法“截長或補短”．6．證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結論．【詳解】證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構造全等三角形是解題關鍵．7．(1)(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，，利用三角形內(nèi)角和定理整體計算即可；（2）根據(jù)圖形猜想即可；（3）在上截取，連接，證明得到，進一步推出，再證明，可得，進而證明．【詳解】（1）解：∵，∴，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）猜想：；（3）證明：在上截取，連接．

平分，．在和中，，，，，．，，又，．平分，．在和中，，，，，，．即．【點撥】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，關鍵是添加輔助線，構建對應全等三角形，使問題得以解決．8．(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）延長至點，構造全等三角形，然后用三角形三邊關系即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，證明角度相等即可；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，再通過角度和差即可證明．【詳解】（1）解：延長至點，使得，連接，

∵是的中線，∴，在和中，∴，∴，，在中，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：，（2）由（1）得：，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴，（3）由(1)(2)得：，，∴，，又∵，，∴，∴，即．【點撥】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關鍵是添加輔助線，構造全等三角形．9．(1)(2)【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再結合高與三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）延長至，使，再證明，可得，而，則，再結合中線的含義可得答案．【詳解】（1）解：，，，平分，，為高，，；（2）延長至，使，

∵是的中線，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴．【點撥】本題考查的是三角形的中線，高，角平分線的含義，三角形的外角的性質(zhì)，內(nèi)角和定理的應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關系的應用，熟記基礎概念是解本題的關鍵．10．(1)見解析；(2)（1）中結論不成立，；【分析】（1）在上截取，連，根據(jù)題意證明，得到，，再由證明，由平角定義得到，則有，再證明，得到，則；（2）延長交于點H，根據(jù)題意證明，得到，，再由平分，證明，得到，則．【詳解】（1）證明：如圖，在上截取，連，

∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵∴，即，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）（1）中的結論不成立，；理由：延長交于點H，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及全等三角形的性質(zhì)和判定，解答過程中，根據(jù)題意做出輔助線構造全等三角形是解題關鍵．11．（1）問題背景：，理由見詳解；（2）探索延伸：成立，理由見詳解；（3）實際應用：兩艦艇之間的距離為海里【分析】（1）問題背景：，，，可證，由，，為公共邊，可證，由此即可求解；（2）探索延伸：根據(jù)“問題背景”的提示，延長到點，使，由此即可求解；（3）實際應用：如圖所示（見詳解），延長，使得，連接，證明，，可知，由此即可求解．【詳解】解：（1）問題背景：根據(jù)題意，在，中，∵，∴，∴，，∵，，∴，即，∴在，中，∵，∴，∴，∴；（2）探索延伸：如圖所示，延長到點，使，∵，，∴，在，中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在，中，∵，∴，∴，∴，∴成立；（3）實際應用：如圖所示，延長，使得，連接，∵艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，艦艇乙沿北偏東的方向行駛，∴，，，∴在，中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在，中，，∴，∴，∵艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進小時，∴，，∴（海里），∴兩艦艇之間的距離為海里．【點撥】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)及實際應用，掌握作輔助線求證三角形全等，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)是解題的關鍵．12．（1），全等三角形的對應邊相等；（2）；（3），證明見解析【分析】本題是“倍長中線”模型綜合應用，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關系等知識點；（1）根據(jù)前后邏輯關系填空即可；（2）延長到，使，連接，證，推出，在中，根據(jù)三角形三邊關系定理得出，代入求出即可．（3）結論：．延長，交于點，證明，推出，再證明即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵（已知），∴，．∵D為邊中點，∴．在與中，∵，∴∴（全等三角形的對應邊相等）;故答案為：，全等三角形的對應邊相等；（2）延長到，使，連接，

是邊上的中線，，在和中，，，，在中，，，，故答案為：；（3）結論：．理由：如圖②中，延長，交于點，

，，在和中，，，，是的平分線，，，，，．13．任務一：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（或“邊角邊”或“”）；三角形兩邊的和大于第三邊；任務二：【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長中線法：任務一：依據(jù)1：根據(jù)全等的判定方法判斷即可；依據(jù)2：根據(jù)三角形三邊關系判斷；任務二：可根據(jù)任務一的方法直接證明即可；任務三：根據(jù)任務一的方法，延長中線構造全等三角形證明線段關系，可得，即可．【詳解】解：任務一：依據(jù)1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（或“邊角邊”或“”）；依據(jù)2：三角形兩邊的和大于第三邊．故答案為：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（或“邊角邊”或“”）；三角形兩邊的和大于第三邊．任務二：由任務一得：，∵，∴，∴；故答案為：任務三：如圖，延長至F，使，連接，由任務一得：∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴．14．(1)見解析；(2)，理由見解析；(3)，理由見解析．【分析】（）利用可得；（）延長到點，使，連接，先根據(jù)證得，，進而得到，；再證得利用全等三角形全等的性質(zhì)即可；（）延長到點，使，連接．延長到點，使，連接，，，證得可得，進而得到，本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：在和中，∴；（2）解：，理由如下：延長到點，使，連接，如圖由（）得，∴，∴，∴，∵，∴，∴在和中∴∴，∴；（3），理由如下：延長到點，使，連接．延長到點，使，連接，，，如圖，由（）得，，∴，，，∴，，∴，在和中，，∴∴，∴．15．（1）；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）由已知得出，即為的一半，即可得出答案；（2）延長至點M，使，連接，可得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關系得出即可得出結論；（3）延長交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖①，延長到點E，使，連接，∵D是的中點，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：延長至點M，使，連接，如圖②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，延長交于點G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分線，∴∴，∴，∵，∴．【點撥】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關系，作輔助線—倍長中線法、全等三角形的判定與性質(zhì)，角的關系等知識點，所以本題的綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．16．(1)B(2)C(3)證明見解析【分析】本題是三角形綜合題，考查了倍長中線法解題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握倍長中線法，靈活進行三角形全等的證明，是解題的關鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定定理去選擇即可；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形三邊關系定理計算即可；（3）由“”可證，可得，，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證，可得平分．【詳解】（1）解：延長到點，使，，在和中，，，故選：B．（2）解：，，，，，，，故選：C；（3）證明：如圖，延長至，使，連接，，，，，，，，，，，，，，，平分．17．（1），見解析（2）①AC

②DF，見解析（3）【分析】（1）利用證明，得出，從而證得，所以，即可得出結論；（2）根據(jù)語言描述作出圖形即可；（3）延長至點G，使，連接，利用證明，得出，，從