專題13.8 等邊三角形（精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題13.8等邊三角形（精選精練）（專項(xiàng)練習(xí)）（基礎(chǔ)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（23-24七年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，，于點(diǎn)D，則等于（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）在中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為，，，且滿足等式，這個(gè)三角形是（）A．只有兩邊相等的等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形3．（22-23八年級(jí)下·廣西桂林·期中）如圖，在中，，，，，則（

）A．1.5 B．2 C．3 D．44．（23-24八年級(jí)上·上海奉賢·期中）已知，如圖在等邊中，是的一點(diǎn)，，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．．5．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)B、A．連結(jié)，用尺規(guī)作圖法依據(jù)圖中的作圖痕跡作射線交于點(diǎn)C，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（23-24八年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，線段與相交于點(diǎn)，且，連接，分別將和平移到，的位置．若，連接，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（2023·貴州·中考真題）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長(zhǎng)為，則底邊上的高是（

）

A． B． C． D．8．（22-23八年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）如圖，已知等邊三角形的周長(zhǎng)為a，，則等于（）A． B． C． D．9．（23-24八年級(jí)上·湖南湘西·期末）在某草原上，有兩條交叉且筆直的公路、，如圖，，在兩條公路之間的點(diǎn)處有一個(gè)草場(chǎng)，．現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動(dòng)放牧，分別記為、，存在、使得的周長(zhǎng)最?。畡t周長(zhǎng)的最小值是（

）．A．4 B．6 C．8 D．1210．（23-24八年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖，，點(diǎn)、、…在射線上，點(diǎn)、、…在射線上，、、…均為等邊三角形，若，則的邊長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．16 D．8二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（23-24七年級(jí)下·遼寧錦州·期末）如圖，直線，將等邊按如圖方式放置，點(diǎn)在直線上，邊交直線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．12．（23-24八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，已知，D為邊上一點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，線段長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)E，連接，則的長(zhǎng)是.13．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)D為的邊上一點(diǎn)，且滿足，作于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為．

14．（23-24八年級(jí)上·云南文山·階段練習(xí)）如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，,則．15．（2024·山東東營(yíng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長(zhǎng)為．16．（22-23八年級(jí)上·陜西延安·期末）如圖，，，，，若，，且長(zhǎng)為奇數(shù)，則的長(zhǎng)為．17．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，過(guò)的中點(diǎn)作另一邊的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，作的垂直平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作，垂足為點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．18．（21-22八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）已知：等邊三角形，點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)E在直線上，，連接，直線交于點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，若，則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，D是上的點(diǎn)，點(diǎn)E在外，

且，．求證：(1)；(2)．20．（8分）（23-24八年級(jí)下·甘肅張掖·期中）如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．21．（10分）（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，是的角平分線，，交于點(diǎn)F．已知．（1）求的度數(shù)．（2）若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．22．（10分）如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．（1）求證：是等邊三角形．（2）求證：．23．（10分）（21-22八年級(jí)下·河南駐馬店·階段練習(xí)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，連接．①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_____；②猜想：線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，并證明你的猜想；（2）拓展探究：如圖，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一條直線上，為中邊上的高，連接，試探究，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明你的理由．24．（12分）（22-23八年級(jí)上·廣西桂林·期中）小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：是等邊三角形，點(diǎn)在射線上，且滿足，交等邊外角平分線于點(diǎn)，試探究與的數(shù)量關(guān)系．(1)【初步探究】小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖①，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理論證，能夠得到線段與的數(shù)量關(guān)系，則線段與的數(shù)量關(guān)系是∶；構(gòu)造的的形狀是：(2)【類比探究】當(dāng)點(diǎn)是線段上（不與點(diǎn)、重合）任意一點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，如圖②，試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，連接．請(qǐng)?jiān)趫D③中補(bǔ)全圖形，并直接寫出的大小為參考答案：1．A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)推出，．本題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)推出．【詳解】解：是等邊三角形，，于點(diǎn)，．故選：A2．B【分析】本題考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，等邊三角形的性質(zhì)，正確理解絕對(duì)值、平方的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)求出，，之間的等量關(guān)系，即可求解．【詳解】解：，，，，，，這個(gè)三角形是等邊三角形．故選：B．3．B【分析】本題考查了直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)．根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出，再求出，然后求出，從而得到，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，從而得解．【詳解】解：，，，，，，，，，．故選：B．4．D【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的定義和三角形內(nèi)角和定理證明，，進(jìn)而證明，得到根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，則選項(xiàng)正確；又∵，∴，則選項(xiàng)正確；∴，則選項(xiàng)正確；∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有D選項(xiàng)根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明，故選：D．5．C【分析】本題考查作圖-基本作圖、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖方法、等邊三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由作圖痕跡可知，射線為的平分線，，則為等邊三角形，即可得，即．【詳解】解：由作圖痕跡可知，射線為的平分線，，，為等邊三角形，，．故選：C．6．B【分析】本題考查平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，推出是等邊三角形，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵將將和平移到，的位置，∴，，∴，∵．∴，∴是等邊三角形，∴，故選：B．7．B【分析】作于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)D，

中,，，，，，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．8．B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵等邊三角形的周長(zhǎng)為a，，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．A【分析】本題考查的是軸對(duì)稱－最短路線問(wèn)題、等邊三角形的判定和性質(zhì)．作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別交、于、，得到的周長(zhǎng)的最小值為，再證得為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形即可得出答案．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別交、于、，如圖：∴，，∴的周長(zhǎng)的最小值為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，，，，，，，，為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，的周長(zhǎng)的最小值為4．故選：A．10．C【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，從而得到的邊長(zhǎng)為2，同理：的邊長(zhǎng)為4，的邊長(zhǎng)為8，的邊長(zhǎng)為16，即可．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴的邊長(zhǎng)為2，同理：的邊長(zhǎng)為4，的邊長(zhǎng)為8，的邊長(zhǎng)為16．故選：C．11．/40度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由題意得出，然后再利用平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖所示，∵是等邊三角形，∴，∵∴，∵，∴，故答案為：．12．4【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)作圖得到，從而得到為等邊三角形即可得到答案．【詳解】解：∵，為線段的中點(diǎn)，∴，∵以點(diǎn)O為圓心，線段長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)E，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，故答案為：4．13．3【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形中30度角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．由等腰三角形的性質(zhì)得，求出，然后由30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案為：3．14．【分析】本題考查了直角三角形的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．先根據(jù)點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，求出，再根據(jù)直角三角形的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半求出．【詳解】解：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．15．【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．16．3【分析】由已知條件得，進(jìn)而得出，，再根據(jù)得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出．【詳解】解：在和中，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，,長(zhǎng)為奇數(shù)，，故答案為3．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．2【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，線段垂直平分線的性質(zhì)求得，再利用證明即可求解．【詳解】解：作于，∵，∴，∵的垂直平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，∵，∴，又，∴，∴．故答案為：2．18．【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含度角的直角三角形的性質(zhì)，證明，得出，根據(jù)，進(jìn)而可得，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形∴，∴，又∵，∴∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，故答案為：．19．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定—“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）由是等邊三角形得出，在根據(jù)已知條件即可得證；（2）由（1）得可得，再利用是等邊三角形，得出，即可得證．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，在和中，（2）由（1）得又是等邊三角形，，，．20．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定、含度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的性質(zhì)定理得出，利用即可證明；（2）由角平分線的性質(zhì)定理得出，求出，再由含度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵平分，，，∴，，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．21．(1)(2)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，等邊三角形的判定；（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，即可得到答案；（2）由（1）得：，從而得到，再由點(diǎn)F是的中點(diǎn)，可得，然后根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵是的角平分線，，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為；（2）解：是等邊三角形，理由：由（1）得：，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．22．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可．（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴．∵，∴，．∴是等邊三角形．（2）∵為等邊三角形，∴．∵平分，∴．

∵是等邊三角形，∴．∴．23．（1）①60°；②AD=BE，證明見(jiàn)解析；（2）AE=2CM+BE【分析】（1）①由條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；（2）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據(jù)此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，根據(jù)∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據(jù)此判斷出AE=BE+2CM．【詳解】解：（1）①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°，AC=BC，CD=CE，∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CEB=∠ADC=180°?∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°；②AD=BE，理由如下：證明：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）AE=2CM+BE；理由如下：∵△A