2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（新高考地區(qū)專(zhuān)用集合與邏輯、不等式、函數(shù)、指數(shù)函數(shù)）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)+不等式+函數(shù)+指數(shù)函數(shù)。

5.難度系數(shù)：0.69。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.命題。：Vx>2,%2—1>0,貝U~~P是()

A.Vx>2,%2-l<0B.Vx<2,%2-l>0

C.3x>2,x2-l<0D.3x<2,x2-l<0

【答案】C

【詳解】因?yàn)槊}P：Vx>2,x2-l>0,所以-P：3x>2,x2-l<0.

故選：C

2.已知全集為R,集合A={x[0<x<l},B=[x\x>2\,則()

A.AcBB.B^A

C.=RD.An(”)=A

【答案】D

【詳解】A中，顯然集合A并不是集合B的子集，錯(cuò)誤.

B中，同樣集合B并不是集合A的子集，錯(cuò)誤.

C中，AUB=(0,l)u(2,y),錯(cuò)誤.

。中，由3={小>2},則。8={小42},AA&B)=A,正確.

故選：D.

3.已知集合4=3-14》<2},B=^x\-a<x<a+}^,則"a=l"是"4屋8"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，2={H-1W尤42},此時(shí)A=B,即。=1可以推出AuB,

—ci?—1

若A^B,所以〈，°，得到。21，所以4=8推不出。=1，

a+l>2

即"a=1〃是"A=3"的充分不必要條件，

故選：A.

4.塞函數(shù)〃同=（療-3〃2-3卜"'在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.m=4B.m=4或m=—l

c.是奇函數(shù)D.“X）是偶函數(shù)

【答案】C

【詳解】函數(shù)/（》）=（m2-3m-3b'”為幕函數(shù)，貝IJ病一33=1,解得加=4或〃2=-1.

當(dāng)機(jī)=4時(shí)，/'（x）=x4在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A,B；

所以7（x）=,，定義域{xlxwO}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且/（-x）=1-=-/（無(wú)），

X—X

所以函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.已知關(guān)于x的不等式"2+&c+c>0的解集是{中<1或無(wú)>3},則不等式或2+仆+020的解集是（）

A.B.1x|-1-<x<l|

C.^-oo,u[l,+oo）D.（-oo,-l]O3

—,+oo

4

【答案】B

【詳解】??,關(guān)于尤的不等式a?+6x+c>0的解集是{x|x<l或彳>3},

和3是方程加+6x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且。>0.

所以不等式42+依+<;力0等價(jià)于一4。/+依+3。\0（。>0）,即4%2-%-3<0,

解得一3小VI.

4

所以不等式云2+or+cNO的解集是"14xW11

故選:B.

6.已知函數(shù)/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/（X）=-%5-3X+?-1,則〃一。）的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】由題意得，函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽,

由奇函數(shù)的性質(zhì)得，/（O）=a-l=O,解得。=1,經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)符合題意，

所以當(dāng)尤20時(shí)，f[x）=-^-3x,

所以/（-?）=-/（?）=-/（1）=-（-1-3）=4.

故選：D.

7.已知函數(shù)/（元）={/0.、八，滿足對(duì)任意為力無(wú)2,都有〃占）一/伍）>0成立,則。的取值范圍

（〃一2）x+3〃,x20石-x2

是（）

「3）

A.〃￡（0,1）B.C.〃￡（2,+8）Dn.ae-,2

[4J

【答案】c

[詳解】因?yàn)閷?duì)任意々*無(wú)2，都有"6"無(wú)2）>。成立，

再-x2

所以“X）為R上的增函數(shù)，

a>\

所以<〃-2〉0,解得〃>2,即。?2,+oo）,

4°W（〃-2）x0+3〃

故選：C.

8.已知奇函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,7(x)在區(qū)間［-詞上單調(diào)遞增，"1)=2,且/'(l-x)為偶函數(shù).若關(guān)于

x的不等式/(x)Va+2對(duì)X/xeR恒成立，則實(shí)數(shù)。取值范圍是()

A.a>lB.a<2

C.a>0D.a>2

【答案】c

【詳解】由"X)為R上的奇函數(shù)，則/(X)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，貝廳(-x)=—“X),

又/。一x)為偶函數(shù)，則故關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，則〃r)=〃x+2)=—/(x),

則/(x+4)=—/(%+2)=/(x),/(尤)是周期為4的周期函數(shù)，

又/(力在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞增，因此/(%)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減，

又/⑴=2,貝|」〃-1)=〃3)=-2,因此〃x)e［—2,2］,

又關(guān)于x的不等式/(x)W。+2對(duì)VxeR恒成立，貝。。+22［〃力］1mx,

因止匕，可得a+222,:.a>0,

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)〃x+1)的定義域?yàn)椋?2,2),則函數(shù)〃力的定義域?yàn)椋跿3)

B.〃x)=土和8(”=》表示同一個(gè)函數(shù)

C.函數(shù)丁=方二的值域?yàn)?°，1

X+3I3」

D.定義在R上的函數(shù)滿足2〃x)-x)=x+l,則〃x)=：+l

【答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于〃x+l),令1=x+l,則無(wú)="1閶—2,2),則在［-1,3),

所以『⑺，即"X)的定義域?yàn)椋?1,3),A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B,〃尤)的定義域?yàn)椴穦尤20},g(x)的定義域?yàn)镽,不是同一個(gè)函數(shù)，B選項(xiàng)不正確；

對(duì)于c,因?yàn)槿?3"所以。<?即函數(shù)y="的值域?yàn)?0，g,C選項(xiàng)正確;

對(duì)于D,由2/(力一/(一力=尤+1可得2/(—％)—/(2=一\+1,

2〃尤)-〃r)=x+l

所以由可得〃x)=5+l，D選項(xiàng)正確;

2/(-x)_/(x)=_x+l

故選：ACD.

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.若0<x<2，則X。-2x)的最大值為:

2o

B.函數(shù)y=」+3x+3-的最小值為2

X+1

y1

C.已知％+y=l,x>0,y>。，則上+一的最小值為3

%V

D.若正數(shù)羽,滿足/+孫一2=0,則3x+y的最小值是4

【答案】ACD

【詳解】對(duì)于A,,.?()<%<］，.*.l-2x>0,

/.x(l-2x)=gx2x(1-2x)-~xf———~―1

8

當(dāng)且僅當(dāng)2x=l-2x,即x時(shí)，等號(hào)成立,

所以Ml-2力的最大值為。.故A正確；

O

對(duì)于B,因?yàn)閤>—1,所以x+l>0,

2

cci，,x+3x+3(尤+1)+(尤+1)+11?c1/八』~1~~

所以y=---------=------------L_=%+1+——+l>2j(x+l)——+1=3,

x+1x+1x+1Y'\x+lj

]無(wú)2_i_3x+3

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=—=,即x=0時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)y=的最小值為3.

x+1x+1

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)閤+y=l,x>0,y>0,

所以上+工=h+蟲(chóng)=)+土+G2口+1=3,

xyxyxyy

yx1y1

當(dāng)且僅當(dāng)上=—即X=y=：時(shí)等號(hào)成立，所以上+一的最小值為3.故C正確;

xy2xy

~2

對(duì)于D,因?yàn)椤?孫-2=0,x>0,y>0,所以y=；-x,

92I2

貝U3尤+y=3x-x+—=2x+->2.2x--=4,

xx\x

2

當(dāng)且僅當(dāng)2尤=*即彳=1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)y=l,

x

所以3x+y的最小值為4.故D正確.

故選：ACD.

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足〃x+y)=/(x)+/(y),當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)>0,/⑵=4,則()

A."5)=10B./(尤)為奇函數(shù)

C./(X)在R上單調(diào)遞減D.當(dāng)x<T時(shí)，f(x)-2>f(2x)

【答案】ABD

【詳解】A選項(xiàng)，〃x+y)=/(x)+/(y)中，令x=y=l得，f(2)=f(1)+f(1),

又〃2)=4,故/(1)=2,

令〃元+>)=/。)+/。)中，令x=y=2得/(4)=/(2)+/⑵=8,

令x=4,y=l得/(4+1)=/(4)+/(1)=8+2=10,即/(5)=10,A正確；

B選項(xiàng)，/(尤+川=/(幻+/口)中，令x=〉=0得/(0)=/(。)+/(0),解得〃0)=0,

f(x+y)=f(x)+f(y)中，令V=-得/(x)+/(-%)=/(0)=0,

故了(無(wú))為奇函數(shù)，B正確；

c選項(xiàng)，/(%+丁)=/(尤)+/()0中，令苫=%,>=尤2-不，且%>占，

/(%!+X2-X1)~/(%1)=/(%2-Xj),即/(%2)—/(%)=/(%一占)，

當(dāng)x>0時(shí),/(X)>0,故/(無(wú)2)-/■(玉)=/(尤2-再)>。，

即/(%)>/(玉)，故/(X)在R上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，"1)=2,/(%)-2=/(%)-/(l)=/U-l),

又x<-1,故x-l>2x,

又/(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)-2>/(2x),D正確.

故選：ABD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知夕:。-2Vx<a+2,q：-l<x<7,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】[1,5]

【詳角星】解：p'.a-2<x<a+2,q：-l<x<7,

因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以(。-2,。+2)。(-1,7),

伍+2<7

則,即14a45.

經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.

故答案為：[1,5].

/、、)

13.已知函數(shù)/("=[4%3'-,2,XxN<1\，則/(/匕(3卜一?

【答案】3

33

【詳解】f4x『2=l,/(1)=31=3,

故答案為：3

14.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有"數(shù)學(xué)王子"的稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德，牛頓并列為

世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)"為：對(duì)于實(shí)數(shù)x,符號(hào)[可表示不超過(guò)了的最大整數(shù)，貝Uy=[x]

稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如團(tuán)=3,[-1.08]=-2,定義函數(shù)=則下列命題中正確的序號(hào)是.

①函數(shù)的最大值為1；②函數(shù)〃x)的最小值為0；

③函數(shù)y=/⑺的圖象與直線y=j有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)；④f(x+l)=f(x).

【答案】②③④

元+2,—2W%<—1

x+1,-1<x<0

【詳解】由題意得:f(x)=x-[x]=<x,Q<x<l

x-l,l<x<2

x-2,2<x<3

由解析式可得函數(shù)圖形如下圖所示,

7A

y=lV=/(x)

7^7

-2-1O123x

對(duì)于①，函數(shù)/(X)<1,①錯(cuò)誤；對(duì)于②：函數(shù)“X)的最小值為0,②正確;

對(duì)于③，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=；有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，③正確；

對(duì)于④，函數(shù)滿足〃x+l)=J(x),④正確;

故答案為：②③④

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

1

_12(_2V(1V

15.(13分)(1)求值:0.252-(-2xl6°yx23+癢

1717

(2)已知層+/5=3(°>0)，求值：

1,121

233

【詳解】(1)MJ^=42-(-2X1)x2-+2x2=2-4x-+2=4-l=3..............6分

11,.11

(2)由層+〃一2=3(〃>0)，而〃+〃T=(層+/5)2-2=7，.........................9分

貝I。2+。-2=(Q+QT)2_2=47,故,+1=47+1=6..............................13分

〃+〃+17+1

16.(15分)已知集合A={尤|-3<尤44},集合B={xM+14x42A—l}.

(1)當(dāng)左=2時(shí)，求Au昆(4A)cB；

(2)若AUB=A，求上的取值范圍.

【詳解】(1)由題設(shè)3={3},則AuB={x|-3<x44},............................3分

a4=口|尤<一3或x>4},則(\A)I3=0.........................................6分

(2)由AuB=A=>B=A......................................................8分

若3=0時(shí)，k+l>2k-l^k<2,滿足；........................................10分

k+l<2k-l

若3x0時(shí)，<k+l>-3=2<左<|；...........................................14分

2144~

綜上，^<|....................................................................15分

17.(15分)已知函數(shù)/(無(wú))是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)*40時(shí)，”x)=d+4x,函數(shù)/(x)在V軸左側(cè)

的圖象如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象；

⑴畫(huà)出/(x)在丁軸右側(cè)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)/(x)(xeR)的單調(diào)區(qū)間;

(2)寫(xiě)出函數(shù)〃x)(xeR)的解析式;

⑶若函數(shù)g(x)=y(x)+(3-a)x+4(xe[2,4]),求函數(shù)g(x)的最小值.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，即函數(shù)/(無(wú))的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

則函數(shù)/(》)圖象如圖所示.

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2),(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2)；….4分

(2)根據(jù)題意，

令x>0,貝l|-x<0,貝(-無(wú))=f-4x,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),

所以-/(x)=/(-x)=x2-4x,

即/(%)=—尤2+4x,............................................6分

x2+4x,x<0

所以/(%)=......................................8分

-x2+4x,x>0

(3)當(dāng)％w⑵4]時(shí)，/(x)=-x2+4x,

貝！Jg(%)——%2+4x+(3—ci)x+4——%2+(7—ci)x+4,

7-/7

其對(duì)稱(chēng)軸為％二號(hào)，........................................9分

7-/7

當(dāng)量<3時(shí)，即則g(%)1n-8(4)=16-4〃,...........................11分

〃

當(dāng)7量—23時(shí)，即則雙心=8(2)=14-2a,............................13分

fl6-4tz,<2>1

故g(X)min=I4o,.................................................................................15分

[14-2a,a<l

18.（17分）己知函數(shù)/（可=受受/⑺＞。，。*：1）是定義在R上的奇函數(shù)?

⑴求實(shí)數(shù)”的值；

（2）判斷，（無(wú)）在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；

（3）*e[l,2],使得加/（力22-2成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【詳解】⑴因?yàn)榘肆Χ?（。＞。，"1）一一，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

令x=0,所以/'（0）=^^=。，故。=2,......................................................................2分

2%-12-x-l1-2V2%-1

則〃x)=(xeR),/(-x)==一?。?，

2%+12-*+11+2'2，+1

所以/'（X）為定義在R上的奇函數(shù)，故a=2.....................................................................4分

（2）/（x）=二二是R上的增函數(shù).

I/2'+1

證明：任取網(wǎng),々eR，且西〈尤2,

(2為一1)(2項(xiàng)+1)-(2X2-1)(2V>+1)2(2為一2也)

小)-/㈤6分

付+1)(2^+1)一(2』+1)(2*+1)

因?yàn)檎?lt;々，所以23+1>0,2%+1>0,0<2X'<2i2,

所以2為_(kāi)2均＜0,（2為+1）（2&+1）＞0,

所以/（%）一/（/）＜。，即〃%）＜〃々），

所以/'（x）是R上的增函數(shù)......................................................9分

(3)當(dāng)龍目1,2]時(shí)，不等式fj(x)22￡_2即/2(2'2)(2'+1),

11分

"2V-1

故此紅三二

2'-1

2

則令丫=2"-1,由題意可知為?1,3],r>V--+1,13分

因?yàn)楹瘮?shù)〉=%，y=-*為［1,3］上的增函數(shù),

X

7

故＞="：+1在ve［l,3］上單調(diào)遞增,

故卜一j+1|=1-1+1=0,

min

所以此017分

19.（17分）歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱(chēng)的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研

究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，=/（尤），如果對(duì)于其定義域。中任意給定

的實(shí)數(shù)X,都有-XC。，并且/（x）"（-x）=l,就稱(chēng)函數(shù)y=/（x）為倒函數(shù).

⑴已知/（幻=2）奴工）=11-4-X,判斷＞=/（X）和丁=8。）是不是倒函數(shù)，并說(shuō)明理由；

1-X

（2）若＞=/（尤）是R上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0,且在R