2025年高考數學復習之填空題：平面解析幾何（10題）

2025年高考數學復習之小題狂練600題（填空題）：平面解析幾何（10題）

—.填空題（共10小題）

1.（2024?松江區(qū)校級模擬）雙曲線二-丁=1的漸近線夾角大小為.

2.（2024?邵陽三模）寫出滿足“點（3,-2）在圓?+/-2x+4j+m=0外部”的一個m的值：機

x*2*45678910y2

3.（2024?鹽湖區(qū)一模）已知H、尸2是橢圓二+二=l（a〉b〉0）的左、右焦點，尸是橢圓上的一點，且

\PFI\=3\PF2\,\OP\=^-\F1F2\,則橢圓的離心率e等于.

V2X2

4.（2024?河北模擬）已知尸1,尸2為橢圓C：7+二=l（a〉b〉0）的兩個焦點，尸為橢圓。上一點，且

△PBR的周長為6,面積的最大值為次，則橢圓C的離心率為.

5.（2024?銅川一模）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞

詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的

一部分.唐代詩人李頑的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中

隱含著一個有趣的數學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬

后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是A（2,4）,軍營所

在位置為8（6,2）,河岸線所在直線的方程為x+y-3=0,若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將

軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為.

6.（2024?蘇州模擬）已知拋物線y2=2Px（p>0）的焦點為F,滿足若過點尸（-1,1）的直線交Ci

\UF\\VF\

于U,V,則有端=土，?在Q上有三點構成等邊三角形，其中心的軌跡記為C2,則C2的軌跡方

程為,試給出一圓r,使得對C2上任意一點T,過點T作『的兩條切線分別交C2

于不同于T的點A,B,則A8必為「的切線：.

X2V2

7.（2024?廣西模擬）已知雙曲線0一三=l（a>0,b>0）的一個焦點在直線y=x-2上，且焦點到漸近

線的距離為百，那么雙曲線的方程為.

8.（2024?咸寧校級模擬）由曲線，+/=2（|x|-\y\）圍成的圖形的面積為.

%2y2

9.（2024?青海二模）已知橢圓C：—+—=1（〃>6>0）的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)2,上頂點為A,

azbz

過八作A/2的垂線，與y軸交于點P,若|P6|=孚，則橢圓C的離心率為.

10.（2024?安徽模擬）已知圓C：（x-1）2+y2=4的圓心為點c,直線/：x=my+2與圓C交于M,N兩

—>—>—>

點，點A在圓C上，且CA〃MN,若4M-4N=2,貝!||MN|=

2025年高考數學復習之小題狂練600題（填空題）：平面解析幾何（10題）

參考答案與試題解析

一.填空題（共10小題）

x乙4

1.（2024?松江區(qū)校級模擬）雙曲線一-/=1的漸近線夾角大小為arctan1

43

【考點】求雙曲線的漸近線方程.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

4

【答案】arctan-.

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，求出漸近線的斜率，由夾角公式加71戊=慝1斗即可求出漸

近線的夾角.

【解答】解：因為雙曲線丁—y2=1,

4

所以漸近線方程為y=9和y=—聶，

設兩條漸近線的夾角為銳角a,

則tana=，1（"J=《，所以夾角為arctan-.

|l+|x（4）l33

4

故答案為：arctan-.

【點評】本題考查雙曲線漸近線方程的求法以及夾角公式，屬于基礎題.

2.（2024?邵陽三模）寫出滿足“點（3,-2）在圓』+y2-2x+4y+加=0外部”的一個根的值：m=4（答

案不唯一，1（楊＜5）

【考點】點與圓的位置關系.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數學運算.

【答案】4（答案不唯一，1＜加＜5）.

【分析】利用方程表示圓、點在圓外列出不等式組求解即得.

【解答】解：圓（x-1）2+（y+2）2=5-m,則5-相＞0,

由點（3,-2）在圓x2+y2-2x+4y+m=0夕卜部，得32+（-2）2-2X3+4X（-2）+機＞0,

解得1＜相＜5,取，"=4.

故答案為：4（答案不唯一，1＜根＜5）.

【點評】本題考查的知識點：點和圓的位置關系，圓的方程，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

x2y2

3.（2024?鹽湖區(qū)一模）已知H、尸2是橢圓二+六=l（a〉b〉0）的左、右焦點，尸是橢圓上的一點，且

|PF1|=3|PF2|,10Pl=卓|&尸21，則橢圓的離心率e等于字.

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

V5

【答案】—.

4

—>—>—?

【分析】利用已知條件和橢圓的定義求出|尸為I、\PF2\,由平面向量的線性運算可得出P6+PF2=2P0,

康=PF.-PF2,利用平面向量數量積的運算性質可得出a、c的齊次等式，即可解得該橢圓的離心率

的值.

由己知條件和橢圓的定義可得￡信仁氏，匚，可得|PR|=當，\PF2\=^,

U卜廣il十H^21=乙a乙乙

-?—>—>

因為。為尸S2的中點，貝|。&+。尸2=。，

因為P6=PO+O&，PF2=PO+OF2,所以，PF1+PF2=2PO,

又因為尸2&=P&—PF2，

—>—>—>—>—>—>—>—>

22

所以，引PO|2+隹6『=(PF1+PF2)+(PF1-PF2y=2(|P&|2+\PF2\),

即4X(V3c)2+4c2=2(當-+半)，即4c=V5a,解得e=~=卓.

V5

故答案為：—.

4

【點評】本題考查橢圓離心率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

V2第2

4.(2024?河北模擬)已知為，尸2為橢圓C：彳+二=l(a>b>0)的兩個焦點，尸為橢圓C上一點，且

—1

△尸為尸2的周長為6,面積的最大值為百，則橢圓C的離心率為一.

Z

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【答案】見試題解答內容

【分析】利用周長為6,得至Ua+c=3；根據面積的最大值為g，得到bc=g；再結合橢圓里a,b,c

之間的關系，可求得a,b,c.

【解答】解：由題意可得PH|+|PF2|+gF2|=2a+2c=6,；.a+c=3,

當△尸尸L&面積最大時，S=^x2cXb=V3,：.bc=V3,

又在橢圓中，〃2=房+。2,

a+c=3(a=2

曲be=b，聯(lián)立可得b=V3，

a2—b2+c2vc=1

；.e=-=

a2

1

故答案為：

【點評】本題考查橢圓的性質，屬于中檔題.

5.(2024?銅川一模)2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞

詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的

一部分.唐代詩人李頑的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中

隱含著一個有趣的數學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬

后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是A(2,4),軍營所

在位置為8(6,2),河岸線所在直線的方程為x+y-3=0,若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營(“將

軍飲馬”)的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為M店，拈.

【考點】與直線關于點、直線對稱的直線方程.

【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數學運算.

【答案】見試題解答內容

【分析】由題可知A,B在x+y-3=0的同側，設點2關于直線尤+y-3=0的對稱點為9(a,b),然

后結合對稱性可求.

【解答】解：由題可知A,8在x+y-3=0的同側，

設點8關于直線無+y-3=0的對稱點為8(a,b),

厚+竽一3=。

則占：

IH=6=1

解得a=l,b=-3,即8(1,-3),

將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為A3,又A(2,4),

所以直線的方程為lx-y-10=0,

設將軍在河邊飲馬的地點為M,則〃即為7x-y-10=0與x+y-3=0的交點,

聯(lián)乂1+y_3=0，解侍x=E，產后，即陽后，豆).

故答案為:喈，、

【點評】本題主要考查了點關于直線的對稱性的應用，屬于中檔題.

6.(2024?蘇州模擬)已知拋物線Q：y2=2Px(p>0)的焦點為F,滿足若過點尸(-1,1)的直線交Ci

\UF\\VF\

于U,V,則有端=端.在Cl上有三點構成等邊三角形，其中心的軌跡記為C2,則C2的軌跡方

程為9儼=4廠32,試給出一圓「，使得對C2上任意一點T,過點T作「的兩條切線分別交C2于

不同于T的點A,B,則AB必為r的切線：(尤-94-8-2力？+y2=41。>。)

【考點】軌跡方程.

【專題】對應思想；數形結合法；綜合法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；直觀

想象；數學運算.

【答案】9y2=4X-32；(x-9?-8-2t)2+/=4?G>0).

【分析】先確定Q的方程，然后利用等邊三角形的性質計算軌跡方程；先給出圓的方程(尤-9尸-8-

2力2+/=4?(/>0),再計算驗證即可.

【解答】解：設直線UV交Ci的準線于點Q,

根據已知條件有盟=黑,

由拋物線定義可知：黑=耨,

故也=幽

|"|\VQ\

而點P,。都在線段外，故P,。重合,

從而尸(-1,1)在Ci的準線上，所以Ci的準線是x=-1.

所以一§=—1,解得p=2,

所以Ci的方程是/=?.

設。上的三個不同點L(4M2,4M),M,N構成等邊三角形LMN,

->

設該三角形的重心為G(a,P),貝亞G=(a-4a2,^?-4u).

所以M,N的坐標分別是需cc—2u2,—2.U)士(―0+2A/3U/cc—2V3u2).

故(18—2u+cc—2V^"2)2=4(acc-B—2〃2+2A/3U),

得—2〃)2+3(]a—2〃2)2_|_2^3(2P—2〃)(,a—2u^)=2(3a—4u2)+2V5(—/?+4〃),

S—2〃)2+38a—2〃2)2—2V——2u2)—2(3a—4/)—2^/3(—(+4〃).

Q1

兩式分別相加，得$°—2〃)2+3(]仇—2〃2)2=2(3a—4u2),

Q1

相減，得(]S—2u)(2—2〃2)=-8+4u.

故可得方程組，鬻—叱+3,二寸=8*—4吟，

1(3/?—4u)(a—4u2)=4(—/?+4u)

尸女目口,日(16〃4+16u2—8au2—8Bu+3/?2+a2-8cr=0

I16u3—120/_4的—I6u+3a0+413—0

將第一式減去第二式的"倍，

得12P?3+32M2-4aw2-120〃-3ap?+3p2+a2-8a=0,

從而48PU3+128M2-16aw2-48%-12apw+12p2+4a2-32a=0.

2222

再由第二式得480/-36pM-12apw-48pM+9ap+12p=0,

兩式作差，得128a2-16a?2+4a2-32a=-36pV+9ap2.

所以(128-16a+36p2)M2=-4a2+32a+9ap2=a(32-4a+9『)，

即a(32-4a+9p2)=(128-16a+36仍)z?=4(32-4a+9p2)IT.

所以a=4u2或32-4a+9p2=0.

當a=4w2時,

則由(30-4M)(a-4u2)=4(-0+4”),知0=4”，

所以LG重合，這不符合題意，故舍去；

當32-4a+91=o時，即9伊=4a-32；

此時取方程16a3-12p?2-4au-16w+3ap+4p=0的一根u后，

根據上面類似的計算知16M4+16層-8au2-80〃+3伊+式2-8a=0.

取M>N的坐標為(2cc—2a之,—p-2a)土(一0+2y/3u>a—2V3u2)>

則等邊三角形LMN的頂點在Ci上，且中心為(a,0),滿足題意.

綜上，Ci上的等邊三角形的中心的軌跡方程為：9y2=4X-32；

設圓r的方程為(%-9r-8-2力2+y2="(?>o).

則對C2上的點T(952+8,2s),

設過該點的％=左(y-25)+9s?+8與圓「相切，

22

則根據點到線距離公式及直線與圓相切，得^|-9-t--+-27t+=2f=c——s-9s[|=2t.

Vfc2+i

從而(9於+2什2依-9s衰)2=4/2(Q+1),

即4(?-?)武+4s(9?+2r-9s2)k+(9尸+2L9?)2-4尸=0.

設滿足條件的人分別為后，k2,

2o

由韋達定理可知：七+七=9s2),后的=(9"+總雛—4產.

又因為該直線與9『=4x-32的另一個交點(x,j)滿足9y2=4Qk(y-2s)+9?+8)-32,

從而由韋達定理知”等-2s.

設A(9次+8,2a),B(9■+8,2b),

貝!]2a=S^—2s,2b=—2s.

2

而直線AB的方程為y=9(q+b)(%-9a2-8)+2a,

即2x-9(a+b)y+18ab-16=0,

從而圓心到直線AB的距離d=M(9t2：8+2t)/g"-16|=|18t2+4t+18a^_

j4+81(a+h)2j4+81(a+b)2

2kl

a="gs

而?

,2k2

b=-^-s

2(41+右)？_—2s(9t2+2t—9s2)——4st

故a+b9s—9(s2T2)s—9(s2T2.

2

4+16s2產_4(s2+t2)

所以4+81(a+b)2

(s2—t2)2(s2—t2)2

得J4+81(a+存=2?),

且ab=4鬻2一券(備+卜2)+s2

2

222

_4(9於+21-9s2)-4t2s-s(9t+2t-9s)2

=814(s2T2)VZ?+s

2c

2222

_181(s—t)-36t(s—t)2s22t2

=81

=(s2—

故產+割+仍=—全+等.舟

2t

得18t12+4t+18ab=-4t+4s2?

從而I--?|*|18?+4r+18tz/?|=|-4,($2-?)+4$2?24=4/(/+金),

、寺部4日不_|18產+4t+18abi_|18t2+4t+18ab|_\s2—t2\\18t2+4t+18ab|_4t（s2+t2）_

這就侍到=[4+83）2=卷=-E—=E7=2Qa

所以直線A8到圓（X-9?-8-2?）2+/=4戶的距離恰等于其半徑，故是其切線.

故答案為：9y2=4*-32；（x-9?-8-2t）2+/=4?（/>0）.

【點評】本題考查了拋物線的性質、直線與圓的位置關系及數形合思想，屬于難題.

Xv

7.（2024?廣西模擬）已知雙曲線"一方=l（a〉0,b〉0）的一個焦點在直線y=x-2上，且焦點到漸近

2

線的距離為百，那么雙曲線的方程為/一除=1.

□

【考點】雙曲線的幾何特征；雙曲線的標準方程.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【答案】一一9=1.

【分析】根據點到直線的距離公式可得b=舊，由焦點在直線上可得c=2,進而可求解a=信=貶=1.

【解答】解：由題意可得雙曲線的焦點在x軸上，

又直線>=尤-2與x軸的交點為（2,0）,

所以右焦點為（2,0）,故c=2,

漸近線方程為y=±^x，

b

所以（C,0）到漸近線的距離為L^_=b=g

尸

又a=7c2—b2=1,故雙曲線方程為/—1=1.

故答案為：%2-^=1.

【點評】本題考查了雙曲線的性質，屬于中檔題.

8.(2024?咸寧校級模擬)由曲線/+/=2(|x|-\y\)圍成的圖形的面積為2豆-4.

【考點】曲線與方程.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數學運算.

【答案】2it-4.

【分析】先看當時整理曲線的方程，求出圖形在第一象限弓形面積，然后求解即可.

【解答】解：f+/=2(|x|-|y|)圍成的圖形，關于x軸，y軸對稱，故只需求出第一象限弓形的面積,

曲線x1+y2=2(|x|-|y|),當xNO,時，面積為：-TT(V2)2--x2xl=——1,

422

TT

AS=4x(J-l)=2n-4.

故答案為：2TT-4.

Ay

【點評】本題主要考查了圓方程的綜合運用，曲線的軌跡方程和求幾何圖象的面積.考查了考生綜合運

用基礎知識解決實際問題的能力.

x2y2

9.(2024?青海二模)已知橢圓C—+—=1(。＞辦＞0)的左、右焦點分別為尸1,尸2,上頂點為A,

azbz

過人作A尸2的垂線，與y軸交于點尸，若|PFi|=g^,則橢圓。的離心率為；.

J2

【考點】橢圓的幾何特征.

【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

1

【答案】

【分析】設尸1(-c,0),F2(C,0),得到直線PQ的方程，解得點P,再利用勾股定理即可求解.

【解答】解：Fi(-c,0),Fi(c,0),

則直線AF2的斜率為-直線PF1的斜率為:，

cb

直線PF1的方程為y=三(％+c).

令x=0,得y=1，即P（0，y）.

22

設O為坐標原點,因為||P0『=\0F1\+\PO\,

所以（學）2=C2+婚）2,解得e=￡=1.

故答案為：--

2

【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題.

10.（2024?安徽模擬）己知圓C：（x-1）2+y2=4的圓心為點C,直線/：x=my+2與圓C交于M,N兩

點，點A在圓C上，且CA〃腦V,若我?眾=2,則I疝Vl=2b.

【考點】直線與圓的位置關系；平面向量數量積的性質及其運算.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；直線與圓；數學運算.

【答案】2V3.

【分析】設弦MN的中點為B,得至IJBCLAC,化簡力M?AN=2R2—]|MN|2,即可求解.

【解答】解：由圓C：（x-1）2+>2=4,可得圓心C（l,0）,半徑為R=2,設弦MN的中點為8,

因為CA〃MN,BCLMN,所以BCLLAC,

—>—>—>—>—>—>—>—>

且AM=AB+BM,AN=AB+BN=AB-BM,

所以AM-AN=-IBMI2=\AB\2~^\MN\2=ft2+\CB\2~^\MN\2

44

1T[T1717

=R2+（R2一a|MN『）-\MN\2=2R2_.\MN\2=8—\MN\2=2,

―>

解得|MN|=2V3.

故答案為：2

【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題.

考點卡片

1.平面向量數量積的性質及其運算

【知識點的認識】

1、平面向量數量積的重要性質：

設聯(lián)，b都是非零向量，"是與b方向相同的單位向量，［與b和夾角為①則：

—>—>—>—>—>

(1)a-e=e-a=|a|cos0；

TTTt

(2)a1boa-b=0；(判定兩向量垂直的充要條件)

(3)當a,b方向相同時，a-b=|a||h|；當a,b方向相反時，a-b=-\a\\b\；

特別地：a-a=\a\2^\a\=Va-a(用于計算向量的模)

TT

(4)cosO=羋~(用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀)

\a\\b\

(5)日4|W面向

2、平面向量數量積的運算律

->TTT

(1)交換律：a'b=b'a；

(2)數乘向量的結合律：(入a)?b=入(a?b)=a*(Ah)；

、z.->TT—T-

(3)分配律：Qa?b)?(:手a，(b?c)

平面向量數量積的運算

_>_>_->—>_》_>_->_->_—>

平面向量數量積運算的一般定理為①(a±b)2=+廬.②(a_力)(0+b)=滔一戶.③口?(力?

TT—T

c)#(a?6)?c,從這里可以看出它的運算法則和數的運算法則有些是相同的，有些不一樣.

【解題方法點撥】

例：由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：

T—T—

①umn=nmn類比得到“a?6=b?a”

②“（機+〃）t=mt+ntv類比得到“（a+b）?c=a?c+b?c”；

③“/WO,mt=ntnm=n”類比得到“cW0,a?c=b?c=a=b"；

Tr—>

④a\m9n\=\m\9\n\ff類比得到“|a?b|=|a|,|b|"；

—TTTTT

⑤“(機?")t=m(〃?，)”類比得到"(a?b)?c=a?(b?c)”；

TT—

⑥，皆=?，類比得到受=2.以上的式子中，類比得到的結論正確的是①②

bebb.ca

解：：向量的數量積滿足交換律，

amn=nm,>類比得到喝工=V百'，

即①正確；

;向量的數量積滿足分配律，

a(m+n')t—mt+nt,>類比得到“(a+b)*c=a-c+b-Cn,

即②正確；

;向量的數量積不滿足消元律，

二."/WO,mt=nQm=n”不能類比得到“cH0,a-c=b-c=>a—b”,

即③錯誤；

T—TT

V|a?b\^\a\9\b\,

—>r—>r

a\m*n\=\m\'\n\n不能類比得到“|a?b|=|a|?|b|"；

即④錯誤；

???向量的數量積不滿足結合律，

T—TT—T

"(.?")t=m(〃?/)”不能類比得到"(a'b),c=a-(b'c)”,

即⑤錯誤；

???向量的數量積不滿足消元律，

———

acaa-cb

—=/'不能類比得到==-

bebbea

即⑥錯誤.

故答案為：①②.

TTTT

向量的數量積滿足交換律，由"7加=〃機”類比得到"a/=b-a"；向量的數量積滿足分配律，故“(機+〃)

t=mt+nt”類比得到“(a+b)?c=a?c+b?c”；向量的數量積不滿足消元律，故“，W0,mt=nt=>m=n"

—>

不能類比得到“cH0,a-c=b-c=>a=c"；\a?b|W|a|*|b|,故"\m9n\=\m\9\n\v不能類比得到“|a?b\

=\a\9\b\"；向量的數量積不滿足結合律，故"(m?n)t=m(n?t)”不能類比得到“(a?b)?c=a?(b?c)”；

TTt

acaacb

向量的數量積不滿足消元律，故丁=/'不能類比得到不=

bebb.ca

【命題方向】

本知識點應該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也

不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握.

2.與直線關于點、直線對稱的直線方程

【知識點的認識】

-對稱直線：

-點對稱：直線/關于點(xo,yo)的對稱直線方程為：

y-y0=-~(x-x0)

-直線對稱：給定直線/和對稱直線可以利用垂直平分線的方程來確定/'的方程.

【解題方法點撥】

-求對稱直線方程：

1.點對稱：將直線關于點對稱，得到對稱點和新直線方程.

2.直線對稱：對直線關于另一條直線的對稱，先找到垂直平分線，再確定對稱方程.

【命題方向】

-對稱直線：?？疾槿绾卫命c對稱或直線對稱求得直線方程.

3.點與圓的位置關系

【知識點的認識】

點與圓的位置關系分為在園內，在圓上和在圓外，判斷的方法就是該點到圓心的距離和圓半徑的大小之

間的比較.

①當點到圓心的距離小于半徑時，點在圓內;

②當點到圓心的距離等于半徑時，點在圓上;

③當點到圓心的距離大于半徑時，點在圓外.

4.直線與圓的位置關系

【知識點的認識】

直線與圓的位置關系

【解題方法點撥】

判斷直線與圓的位置關系的方法

直線Ar+8y+C=0與圓(x-a)2+(y-6)2=r(r>0)的位置關系的判斷方法:

(1)幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑廠的關系判斷.

圓心到直線的距離d=嗎+的力

①相交：d<r

②相切：d=r

③相離：d>r

(2)代數方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉化為一元二次方程，用判別式△判斷.

A丫-1_D-W_1_「—Q

{2工n二kn消元，得到一元二次方程的判別式△

①相交：△>()

②相切：△=()

③相離：△<().

5.橢圓的幾何特征

【知識點的認識】

1.橢圓的范圍

由圖可知：

-a<x<a

-b<y<b

橢圓落在直線x=±戴口產士b所圍成的矩形內。

由圖可知：

橢圓關于由、洋由及原點對稱。

坐標軸為橢圓對稱軸，坐標原點是其對稱中心,

對稱中心也叫橢圓的中心。

頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點.

頂點坐標(如上圖)：Ai(-a,0),A2(a,0),Bi(0,-b),Bi(0,b)

其中，線段442,8182分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b,。和6分別叫做橢圓的長

半軸長和短半軸長.

4.橢圓的離心率

①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比￡叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e=［且0<e<l.

②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：

e越大越接近1,橢圓越扁平，相反，e越小越接近0,橢圓越圓.當且僅當a=b時，c=0,橢圓變?yōu)閳A,

方程為x2+y2=cz2.

5.橢圓中的關系：/=“2.

6.雙曲線的標準方程

【知識點的認識】

雙曲線標準方程的兩種形式:

Xv

(1)--—=1(〃>0，&>0),焦點在x軸上，焦點坐標為尸(土c,0),焦距尸1尸2|=2C；

azbz

y2x2_

(2)—=1(〃>0,Z?>0),焦點在y軸上，焦點坐標為尸(0,±c),焦距尸西2|=2八

兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a>0,b>0；c2=Z>2+a2

兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同.

標準方程X2y2y2

-=1(cz>0,b>0)-=1(a>0,b>0)

bzbz

中心在原點，焦點在無軸上中心在原點，焦點在y軸上

頂點(a,0)和(-a,0)(0,a)和(0,-a)

對稱軸尤軸、y軸，實軸長2a,虛軸長2bx軸、y軸，實軸長2a,虛軸長2b

焦點在實軸上焦點在實軸上

焦點Fi(-c,0),F2(c,0)Fi(0,-c),F2(0,c)

焦距\FIF2\=2C(C>0)\FIF2\=2C(C>0)

c^—cP+b2(T—cr+b1

離心率c(e>l)e.(e>l)

a

2

漸近線x2y2y"x

正=°a2b2

brQ

即y=±~x即y=±-x

ab

準線a2a2

x=±—尸土工

7.求雙曲線的漸近線方程

【知識點的認識】

x2y2y2%2

雙曲線的漸近線是雙曲線無限遠處的切線.對于雙曲線二-77=1或—-—=1,其漸近線方程為y=

azbzazbz

士或無=土

【解題方法點撥】

1.計算斜率：利用電計算漸近線的斜率.

a

2.代入方程：寫出漸近線方程.

【命題方向】

-給定雙曲線的參數，求漸近線方程.

-利用標準方程計算漸近線方程.

8.雙曲線的幾何特征

【知識點的認識】

雙曲線的標準方程及幾何性質

標準方程

圖形

焦點Fl(0,-c),F1(0,c)

焦距\FIF2\=2C\FIF2\=2C

范圍\x\^a,yGR

對稱關于X軸，y軸和原點對稱

頂點(-4,0).(。，0)(0,-a)(0,a)

軸實軸長2a,虛軸長26

性

離心率