人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：7 2　第一課時(shí)　離散型隨機(jī)變量

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE17.2離散型隨機(jī)變量及其分布列第一課時(shí)離散型隨機(jī)變量課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念.2.了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.通過研究離散型隨機(jī)變量的概念，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究在奧運(yùn)射擊運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員射擊一次，可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，……，命中10環(huán)等結(jié)果，若用X來表示他一次射擊所命中的環(huán)數(shù)，則X即為隨機(jī)變量．問題上述情景中，隨機(jī)變量X的取值情況如何？〖提示〗隨機(jī)變量X的結(jié)果可由0，1，……，10共11個(gè)數(shù)來表示．1．隨機(jī)變量隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值.3.隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．拓展深化〖微判斷〗1．隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限可列個(gè)．(√)2．離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù)．(×)〖提示〗取值是有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量才是離散型隨機(jī)變量．3．離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值．(×)〖提示〗離散型隨機(jī)變量一定是某個(gè)區(qū)間內(nèi)有限個(gè)或可以一一列舉的值．〖微訓(xùn)練〗1．袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中無放回地條件下每次任意取出一個(gè)球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為()A．1，2，…，6 B．1，2，…，7C．1，2，…，11 D．1，2，3，…〖解析〗可能第一次就取到白球，也可能把6個(gè)紅球都取完后，才取得白球，故X的可能取值為1，2，3，4，5，6，7.〖答案〗B2．在考試中，需回答三個(gè)問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的所有可能取值是__________．〖解析〗當(dāng)答對(duì)3道題時(shí)，X＝300；當(dāng)答對(duì)2道題時(shí)，X＝100；當(dāng)答對(duì)1道題時(shí)，X＝－100；當(dāng)答對(duì)0道題時(shí)，X＝－300.〖答案〗300,100,－100,－300〖微思考〗1．隨機(jī)變量是自變量嗎？〖提示〗不是．它是隨試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的，不是主動(dòng)變化的．2．離散型隨機(jī)變量的取值必須是有限個(gè)嗎？〖提示〗不一定．離散型隨機(jī)變量的取值可以一一列舉出來，所取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)．

題型一隨機(jī)變量的概念〖例1〗判斷下列各個(gè)量是否為隨機(jī)變量，并說明理由．(1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(從1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被抽出卡片的號(hào)數(shù)；(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和；(3)體積為8cm3的正方體的棱長(zhǎng)．解(1)被抽取卡片的號(hào)數(shù)可能是1，2，…，10，出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量．(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11種情況，出現(xiàn)哪種情況都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(3)正方體的棱長(zhǎng)為定值，不是隨機(jī)變量.規(guī)律方法解答此類題目的關(guān)鍵在于分析變量是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)，但這些數(shù)是預(yù)先知道所有可能取的值，而不知道在一次試驗(yàn)中哪一個(gè)結(jié)果發(fā)生，隨機(jī)變量取哪一個(gè)值．〖訓(xùn)練1〗指出下列哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由．(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)；(2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；(3)某個(gè)人的屬相隨年齡的變化．解(1)某人射擊一次，可能命中的所有環(huán)數(shù)是0，1，…，10，而且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此命中的環(huán)數(shù)是隨機(jī)變量．(2)擲一枚骰子，出現(xiàn)的結(jié)果是1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)中的一個(gè)，且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是隨機(jī)變量．(3)一個(gè)人的屬相在他出生時(shí)就確定了，不隨年齡的變化而變化，因此屬相不是隨機(jī)變量．題型二離散型隨機(jī)變量的判斷〖例2〗指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由．(1)湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈，將所有路燈進(jìn)行編號(hào)，其中某一路燈的編號(hào)X；(2)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)，小明同學(xué)參加競(jìng)賽獲得的獎(jiǎng)次X；(3)丁俊暉在2017年世錦賽中每局所得的分?jǐn)?shù)．解(1)橋面上的路燈是可數(shù)的，編號(hào)X可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量．(2)小明獲獎(jiǎng)等次X可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量．(3)每局所得的分?jǐn)?shù)X可以一一列舉出來，是離散型隨機(jī)變量．規(guī)律方法判斷離散型隨機(jī)變量的方法(1)明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果．(2)將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是．〖訓(xùn)練2〗下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是()①擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；②投籃一次的結(jié)果；③某同學(xué)在12：00至12：30到校的時(shí)間；④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件，其中合格品的件數(shù)．A．1 B．2C．3 D．4〖解析〗①中骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6，可以一一列舉出來．②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，則也可以一一列舉出來．④中所取3件產(chǎn)品的合格品數(shù)可能為0，1，2，3，共4種情況，可以一一列舉出來．③中學(xué)生到校時(shí)間可以是12：00到12：30中的任意時(shí)刻，不能一一列舉出來，因此③不是離散型隨機(jī)變量，故只有①②④滿足．〖答案〗C題型三用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果〖例3〗寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任取1個(gè)球，取后不放回，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)．(2)從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．解(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X,則X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，3，4，…，11.(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X＝3，4，5，…，11.X＝3,表示“取出標(biāo)有1，2的兩張卡片”；X＝4,表示“取出標(biāo)有1，3的兩張卡片”；X＝5,表示“取出標(biāo)有2，3或1，4的兩張卡片”；X＝6,表示“取出標(biāo)有2，4或1，5的兩張卡片”；X＝7,表示“取出標(biāo)有3，4或2，5或1，6的兩張卡片”；X＝8,表示“取出標(biāo)有2，6或3，5的兩張卡片”；X＝9,表示“取出標(biāo)有3，6或4，5的兩張卡片”；X＝10,表示“取出標(biāo)有4，6的兩張卡片”；X＝11,表示“取出標(biāo)有5，6的兩張卡片”．〖遷移1〗(變條件)若本例(2)中條件不變，所取卡片上的數(shù)字之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量Y,請(qǐng)問Y有哪些取值？其中Y＝4表示什么含義？解Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5.Y＝4表示“取出標(biāo)有1，5或2，6的兩張卡片”．〖遷移2〗(變條件，變問法)甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”，用X表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出X所有可能的取值，并寫出表示的試驗(yàn)結(jié)果．解根據(jù)題意可知X的可能取值為4，5，6，7.X＝4表示共打了4局，甲、乙兩人有1人連勝4局．X＝5表示在前4局中有1人輸了一局，最后一局此人勝出．X＝6表示在前5局中有1人輸了2局，最后一局此人勝出．X＝7表示在前6局中，兩人打平，后一局有1人勝出．規(guī)律方法解答用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果問題的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(2)注意點(diǎn)：解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．〖訓(xùn)練3〗(多空題)一個(gè)木箱中裝有6個(gè)大小相同的籃球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)隨機(jī)抽取3個(gè)籃球，以X表示取出的籃球的最大號(hào)碼，則X所有可能的取值為__________，其中X＝4表示的試驗(yàn)結(jié)果有__________種．〖解析〗根據(jù)題意可知X的可能取值為3，4，5，6，其中當(dāng)X＝4時(shí)，表示取得的一球編號(hào)為4，另兩個(gè)球從1，2，3中選取，有Ceq\o\al(2,3)＝3(種)．〖答案〗3，4，5，63一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．所謂的隨機(jī)變量就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，隨機(jī)變量是將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的某一個(gè)隨機(jī)事件．3．寫隨機(jī)變量表示的結(jié)果，要看三個(gè)特征：(1)可用數(shù)來表示；(2)試驗(yàn)之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗(yàn)之前不能確定取值．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為()A．將一枚均勻硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有2個(gè)黑球6個(gè)紅球，任取2個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性〖解析〗選項(xiàng)A，擲硬幣不是正面向上就是反面向上，次數(shù)之和為5，是常量；選項(xiàng)B，是隨機(jī)變量，但不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量；選項(xiàng)D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量．故選C.〖答案〗C2．?dāng)S均勻硬幣一次，隨機(jī)變量為()A．?dāng)S硬幣的次數(shù)B．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)C．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)或反面向上的次數(shù)D．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與反面向上的次數(shù)之和〖解析〗擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量，設(shè)為X，X的取值是0，1.A項(xiàng)中擲硬幣的次數(shù)就是1，不是隨機(jī)變量；C項(xiàng)中的標(biāo)準(zhǔn)模糊不清；D項(xiàng)中，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)和反面向上的次數(shù)的和必是1，對(duì)應(yīng)的是必然事件，試驗(yàn)前便知是必然出現(xiàn)的結(jié)果，所以不是隨機(jī)變量．故選B.〖答案〗B3．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是()A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率〖解析〗對(duì)于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，B、D也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機(jī)變量．〖答案〗C4.拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么“X＝4”表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是()A．2枚都是4點(diǎn)B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)或者1枚是3點(diǎn)，另1枚是1點(diǎn)C．2枚都是2點(diǎn)D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)，或者1枚是3點(diǎn)，另一枚是1點(diǎn)〖解析〗拋擲2枚骰子，設(shè)其中1枚是x點(diǎn)，另1枚是y點(diǎn)，其中x，y＝1，2，…，6.而X＝x＋y，故X＝4?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\a