人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案：7 3 2　離散型隨機變量的方差

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.3.2離散型隨機變量的方差學習目標1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.3.掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．知識點一離散型隨機變量的方差、標準差設離散型隨機變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差(variance)，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(DX)為隨機變量X的標準差(standarddeviation)，記為σ(X)．知識點二離散型隨機變量方差的性質(zhì)1．設a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．1．離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定．(×)2．若a是常數(shù)，則D(a)＝0.(√)3．離散型隨機變量的方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．(√)4．若a，b為常數(shù)，則eq\r(Dax＋b)＝aeq\r(Dx).(×)一、求離散型隨機變量的方差例1袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號．(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．解(1)ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)則E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1，所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4))即為所求．反思感悟(1)求離散型隨機變量方差的步驟①理解隨機變量X的意義，寫出X的所有取值；②求出X取每個值的概率；③寫出X的分布列；④計算E(X)；⑤計算D(X)．(2)線性關系的方差計算：若η＝aξ＋b，則D(η)＝a2D(ξ)．跟蹤訓練1已知隨機變量ξ的分布列如下表：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)(1)求E(ξ)，D(ξ)，eq\r(Dξ)；(2)設η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．解(1)E(ξ)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，eq\r(Dξ)＝eq\f(\r(5),3).(2)E(η)＝2E(ξ)＋3＝eq\f(7,3)，D(η)＝4D(ξ)＝eq\f(20,9).二、方差的應用例2有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下：ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好)．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故兩種材料的抗拉強度的均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性較好．反思感悟均值、方差在決策中的作用(1)均值：均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度，方差越大越不穩(wěn)定．(3)在決策中常結合實際情形依據(jù)均值、方差做出決斷．跟蹤訓練2甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且候鳥的種類和數(shù)量也大致相同，兩個保護區(qū)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．解甲保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的次數(shù)X的均值和方差分別為E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的次數(shù)Y的均值和方差分別為E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件的平均次數(shù)相同，但甲保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的事件次數(shù)相對分散且波動較大，乙保護區(qū)內(nèi)違反保護條例的事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定，相對而言，乙保護區(qū)的管理更好一些．三、分布列、均值、方差的綜合應用例3甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(3,4).(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的分布列、均值及標準差．解(1)P＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(13,18).(2)由題意，得X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故X的分布列為X012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)E(X)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(25,18)))2×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(25,18)))2×eq\f(7,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(25,18)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324).∴σ(X)＝eq\r(DX)＝eq\f(\r(149),18).反思感悟處理綜合問題的方法第一步：確定事件間的關系，是互斥、對立還是相互獨立．第二步：要依據(jù)事件間的關系，選擇相應的概率公式，計算相應事件的概率．第三步：列分布列，并計算均值及方差．跟蹤訓練3有三張形狀、大小、質(zhì)地完全相同的卡片，在各卡片上分別寫上0,1,2，現(xiàn)從中任意抽取一張，將其上數(shù)字記作x，然后放回，再抽取一張，其上數(shù)字記作y，令X＝xy，求：(1)X所取各值的分布列；(2)隨機變量X的均值與方差．解(1)由題意知，隨機變量X的可能取值為0,1,2,4.“X＝0”是指兩次取的卡片上至少有一次為0，其概率為P(X＝0)＝1－eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)，“X＝1”是指兩次取的卡片上都標著1，其概率為P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，“X＝2”是指兩次取的卡片上一個標著1，另一個標著2，其概率為P(X＝2)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，“X＝4”是指兩次取的卡片上都標著2，其概率為P(X＝4)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).則X的分布列為X0124Peq\f(5,9)eq\f(1,9)eq\f(2,9)eq\f(1,9)(2)E(X)＝0×eq\f(5,9)＋1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(2,9)＋4×eq\f(1,9)＝1，D(X)＝(0－1)2×eq\f(5,9)＋(1－1)2×eq\f(1,9)＋(2－1)2×eq\f(2,9)＋(4－1)2×eq\f(1,9)＝eq\f(16,9).1．設隨機變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為()A．2B．3C．4D．5〖答案〗C〖解析〗D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.2．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計算出樣本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計()A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較〖答案〗B3．(多選)下列說法中錯誤的是()A．離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值〖答案〗ABD〖解析〗E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的離散程度．4．已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)〖答案〗eq\f(5,12)eq\f(1,4)〖解析〗由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝\f(11,12)，,－a＋c＋\f(1,6)＝0，,a＋c＋\f(1,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,12)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))5．隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.〖答案〗eq\f(