2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計與概率5.4統(tǒng)計與概率的應(yīng)用課時素養(yǎng)評價含解析新人教B版必修第二冊

PAGE統(tǒng)計與概率的應(yīng)用(15分鐘30分)1.某公司員工對戶外運(yùn)動分別持“喜愛”“不喜愛”和“一般”三種看法,其中持“一般”看法的比持“不喜愛”看法的多12人,按分層抽樣方法從該公司全體員工中選出部分員工座談戶外運(yùn)動,假如選出的人有6位對戶外運(yùn)動持“喜愛”看法,有1位對戶外運(yùn)動持“不喜愛”看法,有3位對戶外運(yùn)動持“一般”看法,那么這個公司全體員工中對戶外運(yùn)動持“喜愛”看法的有 ()A.36人 B.30人 C.24人 D.18人【解析】選A.設(shè)持“喜愛”“不喜愛”“一般”看法的人數(shù)分別為6x,x,3x,由題意得3x-x=12,x=6,所以持“喜愛”看法的有6x=36人.2.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等許多種類.在我國的云南及周邊各省都有分布.春暖花開的時候是放蜂的大好季節(jié).養(yǎng)蜂人甲在某地區(qū)放養(yǎng)了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂,養(yǎng)蜂人乙在同一地區(qū)放養(yǎng)了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中學(xué)生物小組在上述地區(qū)捕獲了1只黑小蜜蜂.那么,生物小組的同學(xué)認(rèn)為這只黑小蜜蜂是哪位養(yǎng)蜂人放養(yǎng)的比較合理 ()A.甲 B.乙C.甲和乙 D.以上都對【解析】選B.從養(yǎng)蜂人甲放的蜜蜂中,捕獲一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率為QUOTE,而從養(yǎng)蜂人乙放的蜜蜂中,捕獲一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率為QUOTE,所以,現(xiàn)在捕獲的這只黑小蜜蜂是養(yǎng)蜂人乙放養(yǎng)的可能性較大.3.假定某運(yùn)動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計該運(yùn)動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每兩個隨機(jī)數(shù)為一組,代表兩次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計,該運(yùn)動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為 ()A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35【解析】選A.兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個數(shù)為1,2,3,4中的一個,它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10個,因此所求的概率為QUOTE=0.50.4.某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目,假如勝利,一年后可獲收益12%;一旦失敗,一年后將丟失全部資金的50%,如表是去年200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果.則該公司一年后估計可獲收益的平均數(shù)為________元.

投資勝利投資失敗192次8次【解析】應(yīng)先求出投資勝利與失敗的概率,再計算收益的平均數(shù).設(shè)可獲收益為x萬元,假如勝利,x的取值為5×12%,假如失敗,x的取值為-5×50%.一年后公司勝利的概率約為QUOTE,失敗的概率約為QUOTE,所以估計一年后公司收益的平均數(shù)為QUOTE×10000=4760(元).答案:47605.小明和小展按如下規(guī)則做嬉戲:桌面上放有5支鉛筆,每次取1支或2支,最終取完鉛筆的人獲勝,你認(rèn)為這個嬉戲規(guī)則________(填“公允”或“不公允”).

【解析】當(dāng)?shù)谝粋€人第一次取2支時,還剩余3支,無論是其次個人取1支還是取2支,第一個人在其次次取鉛筆時,都可取完,即第一個人肯定能獲勝,所以不公允.答案:不公允6.甲乙兩人玩一種嬉戲,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.(1)若以A表示和為6的事務(wù),求P(A);(2)現(xiàn)連玩三次,若以B表示甲至少贏一次的事務(wù),C表示乙至少贏兩次的事務(wù),試問B與C是否為互斥事務(wù)?為什么?(3)這種嬉戲規(guī)則公允嗎?試說明理由.【解析】(1)甲、乙出手指都有5種可能,因此基本領(lǐng)件的總數(shù)為5×5=25,事務(wù)A包括甲、乙出的手指的狀況有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)共5種狀況.所以P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)B與C不是互斥事務(wù),因?yàn)槭聞?wù)B與C可以同時發(fā)生,如甲贏一次,乙贏兩次的事務(wù),即符合題意.(3)這種嬉戲規(guī)則不公允,由(1)知和為偶數(shù)的基本領(lǐng)件數(shù)為13個.(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).所以甲贏的概率為QUOTE,乙贏的概率為QUOTE.所以這種嬉戲規(guī)則不公允.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.某中學(xué)要在高一年級的二、三、四班中任選一個班參與社區(qū)服務(wù)活動,有人提議用如下方法選班:擲兩枚硬幣,正面對上記作2點(diǎn),反面對上記作1點(diǎn),兩枚硬幣的點(diǎn)數(shù)和是幾,就選幾班.依據(jù)這個規(guī)則,當(dāng)選概率最大的是 ()A.二班 B.三班C.四班 D.三個班機(jī)會均等【解析】選B.擲兩枚硬幣,共有4種結(jié)果:(2,2),(2,1),(1,2),(1,1),故選四班的概率是QUOTE,選三班的概率為QUOTE=QUOTE,選二班的概率為QUOTE,故選B.2.甲、乙、丙、丁四人做相互傳遞球練習(xí),第一次甲傳給其他三人中的一人(假設(shè)每個人得到球的概率相同),其次次由拿球者再傳給其他三人中的一人,這樣共傳了三次,則第三次球仍傳回到甲手中的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.本題可用樹形圖進(jìn)行解決,如圖所示,共有27種結(jié)果,第三次球傳回到甲手中的結(jié)果有6種.故所求概率為P=QUOTE=QUOTE.3.《史記》中講解并描述了田忌與齊王賽馬的故事.“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.”雙方從各自的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場競賽,則田忌的馬獲勝的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a,b,c,齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A,B,C,由題意可知,可能的競賽為:Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9種,其中田忌可以獲勝的事務(wù)為:Ba,Ca,Cb,共有3種,則田忌的馬獲勝的概率為P=QUOTE=QUOTE.4.五個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前放著完全相同的硬幣,全部人同時拋出自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人接著坐著.那么沒有相鄰的兩個人站起來的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.假設(shè)有甲、乙、丙、丁、戊五個人按依次圍成一桌,五個人同時拋出自己的硬幣,基本領(lǐng)件總數(shù)為2×2×2×2×2=32.若五個人都坐著,有1種狀況;若四個人坐著,一個人站著,有5種狀況;若三個人坐著,不相鄰的兩個人站著,有甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊5種狀況,故沒有相鄰的兩個人站起來所包含的基本領(lǐng)件共有1+5+5=11個,故所求的概率為QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.某班有50名同學(xué),其中男女各25名,今有這個班的一個學(xué)生在街上遇到一個同班同學(xué),則下列結(jié)論不正確的是 ()A.遇到異性同學(xué)比遇到同性同學(xué)的概率大B.遇到同性同學(xué)比遇到異性同學(xué)的概率大C.遇到同性同學(xué)和異性同學(xué)的概率相等D.遇到同性同學(xué)和異性同學(xué)的概率隨機(jī)改變【解析】選BCD.遇到異性同學(xué)概率為QUOTE,遇到同性同學(xué)的概率為QUOTE.6.有三個嬉戲規(guī)則如下,袋子中分別裝有形態(tài)、大小相同的球,從袋中無放回地取球.嬉戲1嬉戲2嬉戲3袋中裝有3個黑球和2個白球袋中裝有2個黑球和2個白球袋中裝有3個黑球和1個白球從袋中取出2個球從袋中取出2個球從袋中取出2個球若取出的兩個球同色,則甲勝若取出的兩個球同色,則甲勝若取出的兩個球同色,則甲勝若取出兩個球不同色,則乙勝若取出的兩個球不同色,則乙勝若取出的兩個球不同色,則乙勝其中不公允的嬉戲是 ()A.嬉戲1 B.嬉戲2C.嬉戲3 D.都不公允【解析】選AB.對于嬉戲1,取出兩球同色的概率為QUOTE,取出兩球不同色的概率為QUOTE,不公允;對于嬉戲2,取出兩球同色的概率為QUOTE,取出兩球不同色的概率為QUOTE,不公允;對于嬉戲3,取出兩球同色即全是黑球,概率為QUOTE,取出兩球不同色的概率為QUOTE,公允.三、填空題(每小題5分,共10分)7.電腦“掃雷”嬉戲的操作面被平均分成480塊,其中有99塊埋有地雷,現(xiàn)在在操作面上隨意點(diǎn)擊一下,遇到地雷的概率為________.

【解析】由古典概型的概率公式可得遇到地雷的概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.某汽車站,每天均有3輛開往南京的分為上、中、下等級的客車.某天袁先生打算在該汽車站乘車前往南京辦事,但他不知道客車的車況,也不知道發(fā)車依次.為了盡可能乘上上等車,他實(shí)行如下策略:先放過第一輛,假如其次輛比第一輛好則上其次輛,否則上第三輛,那么他乘上上等車的概率為________.

【解析】上、中、下三輛車的動身依次是隨意的,有上、中、下;上、下、中;中、上、下;中、下、上;下、上、中;下、中、上,6種狀況,若其次輛車比第一輛車好,有3種狀況:下、中、上;下、上、中;中、上、下,符合條件的僅有2種狀況;若其次輛不比第一輛好,有3種狀況:中、下、上;上、中、下;上、下、中,其中僅有1種狀況符合條件.所以袁先生乘上上等車的概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.甲乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩嬉戲,他們將撲克牌洗勻后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一張.(1)設(shè)(i,j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字,寫出甲乙二人抽到的牌的全部狀況;(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少?(3)甲乙約定:若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大,則甲勝,反之,則乙勝,你認(rèn)為此嬉戲是否公允,說明你的理由.【解析】(1)甲乙二人抽到的牌的全部狀況(方片4用4’表示,紅桃2,紅桃3,紅桃4分別用2,3,4表示)為:(2,3)、(2,4)、(2,4’)、(3,2)、(3,4)、(3,4’)、(4,2)、(4,3)、(4,4’)、(4’,2)、(4’,3)、(4’,4),共12種不同狀況.(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4’,因此乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為QUOTE.(3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4’,2)、(4’,3)5種,甲勝的概率p1=QUOTE,乙獲勝的概率為p2=QUOTE,因?yàn)镼UOTE<QUOTE.所以此嬉戲不公允.10.如圖所示,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時間(分鐘)10-2020-3030-4040-5050-60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.【解析】(1)由已知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),所以用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.(2)設(shè)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由頻數(shù)分布表知,40分鐘趕往火車站,選擇不同路徑L1,L2的頻率分別為(6+12+18)÷60=0.6,(4+16)÷40=0.5,所以估計P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,則P(A1)>P(A2),因此,甲應(yīng)當(dāng)選擇路徑L1,同理,50分鐘趕到火車站,乙選擇路徑L1,L2的頻率分布為48÷60=0.8,36÷40=0.9,所以估計P(B1)=0.8,P(B2)=0.9,P(B1)<P(B2),因此乙應(yīng)當(dāng)選擇路徑L2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某超市隨機(jī)選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買.(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率.(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率.(3)假如顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?【解析】(1)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙,所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為QUOTE=0.2.(2)從統(tǒng)計表可以看出,在這1000位顧客中,有100位顧客同時購買了甲、丙、丁,另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品,所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為QUOTE=0.3.(3)與(1)同理,可得:顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為QUOTE=0.2,顧客同時購買甲和丙的概率可以估計為QUOTE=0.6,顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為QUOTE=0.1,所以,假如顧客購買了甲,則該顧客同時購買丙的可能性最大.1.(多選題)某競賽為兩運(yùn)動員制定下列發(fā)球規(guī)則:規(guī)則一:投擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面對上,甲發(fā)球,反面對上,乙發(fā)球;規(guī)則二:從裝有2個紅球與2個黑球的布袋中隨機(jī)地取出2個球,假如同色,甲發(fā)球,否則乙發(fā)球;規(guī)則三:從裝有3個紅球與1個黑球的布袋中隨機(jī)地取出2個球,假如同色,甲發(fā)球,否則乙發(fā)球.則對甲、乙公允的規(guī)則是 ()A.規(guī)則一 B.規(guī)則二C.規(guī)則三 D.都公允【解析】選AC.規(guī)則一每人發(fā)球的幾率都是相等的.規(guī)則二全部狀況有(紅1,紅2),(紅1,黑1),(紅1,黑2),(紅2,黑1),(紅2,黑2),(黑1,黑2)6種,同色的有2種,所以甲發(fā)球的可能性為QUOTE,不公允.規(guī)則三全部狀況有(紅1,紅2),(紅1,紅3),(紅2,紅3),(紅1,黑),(紅2,黑),(紅3,黑),同色球有3種,所以兩人發(fā)球的可能性都是相等的.2.2024年3月鄭州市被國務(wù)院確定為全國46個生活垃圾分類處理試點(diǎn)城市之一,此后由鄭州市城市管理局起草公開征求看法,經(jīng)專家論證,多次組織修改完善,數(shù)易其稿,最終形成《鄭州市城市生活垃圾分類管理方法》(以下簡稱《方法》).《方法》已于2024年9月26日被鄭州市人民政府第35次常務(wù)會議審議通過,并于2024年12月1日起先施行.《方法》中將鄭州市生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4類.為了獲悉中學(xué)學(xué)生對垃圾分類的了解狀況,某中學(xué)設(shè)計了一份調(diào)查問卷,500名學(xué)生參與測試,從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的調(diào)查問卷,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如圖頻率分布直方圖:(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計其分?jǐn)?shù)不低于60的概率;(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)低于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的學(xué)生人數(shù),(3)學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會確定組織同學(xué)們利用課余時間分批參與“垃圾分類,我在實(shí)踐”活動,以增加學(xué)生的環(huán)保意識.首次活動從樣本中問卷成果低于40分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參與,已知樣本中分?jǐn)?shù)低于40的5名學(xué)生中,男生3人,女生2人,求抽取的2人中男女同學(xué)各1人的概率是多少?【解析】(1)依據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不低于60的頻率為(0.02+0.04+0.02)×10=0.8,所以樣本中分?jǐn)?shù)高于60的概率為0.8.故從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其分?jǐn)?shù)不低于60的概率估計為0.8.(2)依據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)不低于50的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100-100×0.9-5=5,所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計為500×QUOTE=25.(3)設(shè)3名男生分別為a1,a2,a3,2名女生分別為b1,b2,則從這5名同學(xué)中選取2人的結(jié)果為:{a1,a2},{a1,a3},{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2},{a3,b1},{a3,b2},{a2,a3},{b1,b2},