《平面的基本性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄

第1頁(yè)共16頁(yè)《平面的基本性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄（一）平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，也是以后演繹推理的邏輯依據(jù)．平面的基本性質(zhì)是通過(guò)三條公理及其重要推論來(lái)刻劃的，通過(guò)這些內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生初步了解從具體的直觀形象到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述的方法，使學(xué)生的思維從直覺(jué)思維上升至分析思維，使學(xué)生的觀念逐步從平面轉(zhuǎn)向空間．一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)平面的基本性質(zhì)是通過(guò)三個(gè)與平面的特征有關(guān)的公理來(lái)規(guī)定的．1．公理1說(shuō)明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過(guò)直線的“直”來(lái)刻劃平面的“平”，通過(guò)直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．2．公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法．3．公理3及其三個(gè)推論是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問(wèn)題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法．4．“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說(shuō)明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)”說(shuō)明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性．在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來(lái)論證．5．公理3的三個(gè)推論是以公理3為主要的推理論證的依據(jù)，是命題間邏輯關(guān)系的體現(xiàn)，為使命題的敘述和論證簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確，應(yīng)將其證明過(guò)程用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言表述．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1．通過(guò)由模型示范到三條公理的文字?jǐn)⑹雠囵B(yǎng)觀察能力與空間想象能力．2．通過(guò)由公理3導(dǎo)出其三個(gè)推論的思考與論證培養(yǎng)邏輯推理能力．3．將三條定理及三個(gè)推論用符號(hào)語(yǔ)言表述，提高幾何語(yǔ)言水平．（三）德育滲透點(diǎn)借助模型和實(shí)物來(lái)說(shuō)明三個(gè)公理，進(jìn)行“數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐”的唯物主義觀念的教育，通過(guò)三條公理及公理3的三個(gè)推論的學(xué)習(xí)，逐步滲透事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的觀點(diǎn)，更由于對(duì)三個(gè)推論的證明培養(yǎng)言必有據(jù)，一絲不茍的學(xué)習(xí)品質(zhì)和公理法思想．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法1．教學(xué)重點(diǎn)（1）體現(xiàn)平面基本性質(zhì)的三條公理及其作用．（3）兩條公理及公理3的三個(gè)推論中的“有且只有一個(gè)”的含義．（3）用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述三條公理及公理3的三個(gè)推論．（4）理解用反證法和同一法證明命題的思路，并會(huì)證一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．2．教學(xué)難點(diǎn)（1）對(duì)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的理解．（2）對(duì)公理3的三個(gè)推論的存在性與唯一性的證明及書(shū)寫(xiě)格式．（3）確定兩相交平面的交線．3．解決辦法（1）從實(shí)物演示中引導(dǎo)學(xué)生觀察和實(shí)驗(yàn)，闡明公理的條件和結(jié)論間的直觀形象，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的理解．（2）通過(guò)系列設(shè)問(wèn)，幫助學(xué)生漸次展開(kāi)思維和想象，理解公理的實(shí)質(zhì)和作用．三、課時(shí)安排2課時(shí)．四、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)備好兩塊紙板，一塊薄平的泡沫板，四根長(zhǎng)15cm左右的小竹針，其中三根一樣長(zhǎng)，一根稍短．針對(duì)三條公理設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)，對(duì)公理1，可作如下示范：把直尺的兩端緊按在玻璃黑板上，完全密接；對(duì)公理2，可用兩塊硬紙板進(jìn)行演示（如圖1－9）；對(duì)公理3，使用圖1－10所示的模型進(jìn)行演示．五、教學(xué)步驟（一）明確目標(biāo)（1）理解井熟記平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論．（2）掌握這三個(gè)公理和三個(gè)推論的文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言間的互譯．（3）理解“有且只有一個(gè)”的含義，在此基礎(chǔ)上，以公理3為主要依據(jù)，推證其三個(gè)推論．（4）能夠用模型來(lái)說(shuō)明有關(guān)平面劃分空間的問(wèn)題．（5）理解并掌握證明命題的常用方法——反證法和同一法．（二）整體感知本課以平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三個(gè)推論為主要內(nèi)容，既有學(xué)生熟悉的事實(shí)，又有學(xué)生初次接觸的證明，因此以“設(shè)問(wèn)——實(shí)驗(yàn)——?dú)w納”法和講解法相結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)．首先，對(duì)于平面基本性質(zhì)的三條公理，因?yàn)槭恰肮怼?，無(wú)需證明，教學(xué)中以系列設(shè)問(wèn)結(jié)合模型示范引導(dǎo)學(xué)生共同思考、觀察和實(shí)驗(yàn)，從而歸納出三條公理并加以驗(yàn)證．其中公理1應(yīng)以直線的“直”和“無(wú)限延伸”來(lái)刻劃平面的“平”和“無(wú)限延展”；公理2要抓住平面在空間的無(wú)限延展特征來(lái)講；公理3應(yīng)突出已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置，強(qiáng)調(diào)“三個(gè)點(diǎn)”且“不在同一直線上”．通過(guò)三條公理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念，加深對(duì)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的理解．對(duì)于公理3的三個(gè)推論的證明，學(xué)生是初次接觸“存在性”和“唯一性”的證明，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以公理3為主要的推理依據(jù)進(jìn)行分析，逐漸擺脫對(duì)實(shí)物模型的依賴，培養(yǎng)推理論證能力，證明過(guò)程不僅要進(jìn)行口頭表述，而且教師應(yīng)進(jìn)行板書(shū)，使學(xué)生熟悉證明的書(shū)寫(xiě)格式和符號(hào)．最后，無(wú)論定理還是推論，都要將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，并且做到既不遺漏又不重復(fù)且忠于原意．三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與完成過(guò)程A．公理師：立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個(gè)公理體系．人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察和實(shí)踐，把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理．請(qǐng)同學(xué)們思考下列問(wèn)題（用幻燈顯示）．問(wèn)題1：直線l上有一個(gè)點(diǎn)P在平面α內(nèi)，直線l是否全部落在平面α內(nèi)？問(wèn)題2：直線l上有兩個(gè)點(diǎn)P、Q在平面α內(nèi)，直線l是否全部落在平面α內(nèi)？（用竹針穿過(guò)紙板演示問(wèn)題1，用直尺緊貼著玻璃黑板演示問(wèn)題2，學(xué)生思考回答后教師歸納．）這就是公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．這里的條件是什么？結(jié)論是什么？生：條件是直線（a）上有兩點(diǎn)（A、B）在平面（α）內(nèi)，結(jié)論是：直線（a）在平面（α）內(nèi)．師：把條件表示為A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把結(jié)論表示11）．這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿．在這里，我們用平行四邊形來(lái)表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？生：不是，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的．師：對(duì)，根據(jù)公理1，直線是可以落在平面內(nèi)的，因?yàn)橹本€是無(wú)限延伸的，如果平面是有限的，那么無(wú)限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無(wú)限延展的特征．現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無(wú)限延展性來(lái)觀察一個(gè)現(xiàn)象（演示圖1－9－（1）給學(xué)生看）．問(wèn)：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？生甲：只有一個(gè)公共點(diǎn)．生乙：因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共點(diǎn)．師：生乙答得對(duì)，正因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．那么這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？（教師隨手一壓，一塊紙板隨即插入另一塊紙板上事先做好的縫隙里）．可見(jiàn)，這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上．這說(shuō)明，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線．此時(shí)，就說(shuō)兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就是公理2，其條件和結(jié)論分別是什么？生：條件是兩平面（α、β）有一公共點(diǎn)（A），結(jié)論是：它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線．師：條件表示為A∈α，A∈β，結(jié)論表示為：α∩β＝a，A∈a，圖形表示為圖1－9－（2）或圖1－12．公理2是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定相交平面的交線的方法．下面請(qǐng)同學(xué)們思考下列問(wèn)題（用幻燈顯示）：?jiǎn)栴}1：經(jīng)過(guò)空間一個(gè)已知點(diǎn)A可能有幾個(gè)平面？問(wèn)題2：經(jīng)過(guò)空間兩個(gè)已知點(diǎn)A、B可能有幾個(gè)平面？問(wèn)題3：經(jīng)過(guò)空間三個(gè)已知點(diǎn)A、B、C可能有幾個(gè)平面？（教師演示圖1－10給學(xué)生看，學(xué)生思考后回答，教師歸納）．這說(shuō)明，經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，即公理3，其條件、結(jié)論分別是什么？生：條件是：不在同一直線上的三點(diǎn)（A、B、C），結(jié)論是：過(guò)這三點(diǎn)（A、B、C）有且只有一個(gè)平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，圖形表示為圖1－13，公理3是確定平面位置的依據(jù)之一．以上三個(gè)公理是平面的基本性質(zhì)．其中公理2和公理3中的“有且只有一個(gè)”有兩層含義，在數(shù)學(xué)中，“有一個(gè)”是說(shuō)明“存在”、但不唯一；“只有一個(gè)”是說(shuō)明“唯一”，但不保證圖形存在．也就是說(shuō)，如果有頂多只有一個(gè)．因此，在證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的命題時(shí)，要證明兩個(gè)方面——存在性和唯一性．B．推論師：確定一個(gè)平面的依據(jù)，除公理3外，還有它的三個(gè)推論．推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．說(shuō)出推論1的條件和結(jié)論．生：條件是：一條直線和直線外一點(diǎn)，結(jié)論是：經(jīng)過(guò)這條直線和這一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．求證：經(jīng)過(guò)a和A有且只有一個(gè)平面．證明：“存在性”即存在過(guò)A、a的平面，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C．∴A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上．∴過(guò)A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即過(guò)直線a和點(diǎn)A有一個(gè)平面α．“唯一性”，假設(shè)過(guò)直線a和點(diǎn)A還有一個(gè)平面β．∴B∈β，C∈β．∴過(guò)不共線三點(diǎn)A、B、C有兩個(gè)平面α、β，這與公理3矛盾．∴假設(shè)不成立，即過(guò)直線a和點(diǎn)A不可能還有另一個(gè)平面β，而只能有一個(gè)平面α．這里證明“唯一性”時(shí)用了反證法．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．其條件、結(jié)論分別是什么？生：條件是：兩條直線相交，結(jié)論是：經(jīng)過(guò)這兩條直線有且只有一個(gè)平面．師（板書(shū)）：已知：直線a∩直線b＝A．求證：經(jīng)過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面．證明：“存在性”．在a、b上分別取不同于點(diǎn)A的點(diǎn)B、C，得不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，則過(guò)A、B、C三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是經(jīng)過(guò)相交直線a、b的一個(gè)平面．“唯一性”．設(shè)過(guò)直線a和b還有另一個(gè)平面β，則A、B、C三點(diǎn)也一定都在平面β內(nèi)．∴過(guò)不共線三點(diǎn)A、B、C就有兩個(gè)平面α和β．∴平面α與平面β重合．∴過(guò)直線a、b的平面只有一個(gè)．這里證明唯一性時(shí)，用的是“同一法”．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（證明作為思考題）C．練習(xí)1．下面是一些命題的敘述語(yǔ)（A、B表示點(diǎn)，a表示直線，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命題和敘述方法都正確的是．[]2．下列推斷中，錯(cuò)誤的是[]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一個(gè)平面把空間分成____部分，兩個(gè)平面把空間最多分成____部分，三個(gè)平面把空間最多分成____部分．4．確定經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的平面與已知平面α、β的交線．（圖1－16）四、總結(jié)、擴(kuò)展本課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是平面的基本性質(zhì)，有三條公理及公理3的三推論．其中公理1用于判定直線是否在平面內(nèi)，公理2用于判定兩平面相交，公理3及三個(gè)推論是確定平面的依據(jù)．“確定一個(gè)平面”與“有且只有一個(gè)平面”是同義詞．“有”即“存在”，“只有一個(gè)”即“唯一”．所以證明有關(guān)“有且只有一個(gè)”語(yǔ)句的命題時(shí)，要證兩方面——存在性和唯一性．證明的方法是反證法和同一法．五、布置作業(yè)1．復(fù)習(xí)課本有關(guān)內(nèi)容并預(yù)習(xí)課本例題．2．課本習(xí)題（略）．3．確定經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的平面與已知平面α、β、γ的交線．4．思考題：（1）三個(gè)平面把空間可能分成幾部分？（2）如何證明推論3？六、答案練習(xí)：1．D，2．C，3．圖1－18．作業(yè)：3．圖1－19．七、板書(shū)設(shè)計(jì)《平面的基本性質(zhì)》課堂教學(xué)實(shí)錄（二）平面的基本性質(zhì)是立體幾何中演繹推理的邏輯依據(jù)．以平面的基本性質(zhì)證明諸點(diǎn)共線、諸線共點(diǎn)、諸點(diǎn)共面是立體幾何中最基礎(chǔ)的問(wèn)題，既加深了對(duì)平面基本性質(zhì)的理解，又是今后解決較復(fù)雜立體幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)．一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)掌握利用平面的基本性質(zhì)證明諸點(diǎn)共面、諸線共面、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問(wèn)題的一般方法．1．證明若干點(diǎn)或直線共面通常有兩種思路（1）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素確定一個(gè)平面，再證明其余元素在這平面內(nèi)，如例1之②．2．證明三點(diǎn)共線，通常先確定經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線是某兩個(gè)平面的交線，再證明第三點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，即該點(diǎn)分別在這兩個(gè)平面內(nèi)，如例2．3．證明三線共點(diǎn)通常先證其中的兩條直線相交于一點(diǎn)，然后再證第三條直線經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)，如練習(xí)．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)通過(guò)嚴(yán)格的推理論證，培養(yǎng)邏輯思維能力，發(fā)展空間想象能力．（三）德育滲透點(diǎn)通過(guò)對(duì)解題方法和規(guī)律的概括，了解個(gè)性與共性．特殊與一般間的關(guān)系，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點(diǎn)，又從有理有據(jù)的論證過(guò)程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑問(wèn)及解決辦法1．教學(xué)重點(diǎn)（1）證明點(diǎn)或線共面，三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)問(wèn)題．（2）證明過(guò)程的書(shū)寫(xiě)格式與規(guī)則．2．教學(xué)難點(diǎn)（1）畫(huà)出符合題意的圖形．（2）選擇恰當(dāng)?shù)墓砘蛲普撟鳛檎摀?jù)．3．解決辦法（1）教師完整板書(shū)有代表性的題目的證明過(guò)程，規(guī)范學(xué)生的證明格式．（2）利用實(shí)物，擺放成符合題意的位置．三、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)動(dòng)手畫(huà)圖并證明．四、教學(xué)步驟（一）明確目標(biāo)1．學(xué)會(huì)審題，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并寫(xiě)“已知、求證”．2．論據(jù)正確，論證嚴(yán)謹(jǐn)，書(shū)寫(xiě)規(guī)范．3．掌握基本方法：反證法和同一法，學(xué)習(xí)分類討論．（二）整體感知立體幾何教學(xué)中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行推理論證訓(xùn)練是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的有效手段．首先應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，包括根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出已知、求證．其次，推理的依據(jù)是平面的基本性質(zhì)，要引導(dǎo)學(xué)生確定平面．由于學(xué)生對(duì)立體幾何中的推理頗不熟練，因此宜采用以啟發(fā)為主，邊講邊練的教學(xué)方式．教師在講解時(shí)，應(yīng)充分展開(kāi)思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生分析空間問(wèn)題的能力，在板書(shū)時(shí)，應(yīng)復(fù)誦公理或推論的內(nèi)容，加深對(duì)平面基本性質(zhì)的理解．（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過(guò)程A．復(fù)習(xí)與講評(píng)師：我們已學(xué)習(xí)了平面的基本性質(zhì)，那么具備哪些條件時(shí)，直線在平面內(nèi)？（生回答公理1，教師板畫(huà)圖1－20示意．）師：具備哪些條件可以確定一個(gè)平面？（生4人回答，教師板畫(huà)圖1－21示意．）師：上一節(jié)課后布置思考證明推論3，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們共同討論這個(gè)證明過(guò)程．已知：直線a∥b．求證：經(jīng)過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面．證明：“存在性”．∵a∥b，∴a、b在同一平面α內(nèi)（平行線的定義）．“唯一性”——在直線a上作一點(diǎn)A．假設(shè)過(guò)a和b還有一個(gè)平面β，則A∈β．那么過(guò)b和b外一點(diǎn)A有兩個(gè)平面α和β．這與推論1矛盾．注：證唯一性，用了“反證法”．B．例題與練習(xí)師：先看怎樣證幾條線共面．例1求證：兩兩相交而不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi)．分析：四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)，可能有兩種：一是有三條直線共點(diǎn)；二是沒(méi)有三條直線共點(diǎn)，故而證明要分兩種情況．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于點(diǎn)O．求證：a、b、c、d共面．證明：∵d∩a＝P，∴過(guò)d、a確定一個(gè)平面α（推論2）．同理過(guò)d、b和d、c各確定一個(gè)平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都經(jīng)過(guò)直線d和d外一點(diǎn)O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本題的方法是“同一法”．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無(wú)三線共點(diǎn)．求證：a、b、c、d共面證明：∵d∩a＝P，∴d和a確定一個(gè)平面α（推論2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四線共面．注：①讓學(xué)生從實(shí)物擺放中得到四條直線的兩種位置關(guān)系．②分類討論時(shí)，強(qiáng)調(diào)要注意既不要重復(fù)，又不要遺漏．③結(jié)合本例，說(shuō)明證諸線共面的常用方法．例2如圖1－25，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點(diǎn)，且EF交GH于P．求證：P在直線BD上．分析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面公共點(diǎn)．已知：EF∩GH＝P，E∈AB、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求證：B、D、P三點(diǎn)共線．證明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD確定平面ABD（推論2）．∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F(xiàn)∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．∴平面ABD∩平面BCD＝BD．∴P∈BD即B、D、P三點(diǎn)共線．注