2024-2025學(xué)年浙江省四校高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷（附答案解析）

2024-2025學(xué)年浙江省四校高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

,口“在公/={L2,3,4,5,9},5={x|4e/},、

1.已知集合（?,則'（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

2.如圖，已知全集U=R,集合/={1,2,3,4,5},8={引―1（x42},則圖中陰影部分表示的集合的子

C.7D.8

3.已知x,y￡R,則“肛=0”是=0”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知。+力〉0,。<0,那么。，仇一生一人的大小關(guān)系是（）

A.b>-a>a>-bB.a>—b>—a>b

C.b>-a>-b>aD.a>b>-a>-b

23

5.命題“3x>0?x>x”的否定是（）

AVx>0,x2>x3B.Vx>0,x2<x3

C.Vx<0,x2<x3D.Bx>0,x2<x3

6.若命題Txc[-1,3],——21—。40，，為真命題，則實(shí)數(shù)?？扇〉淖钚≌麛?shù)值是（）

A.-1B.0C.1D.3

7.已知關(guān)于x不等式.-2）（辦+8）20的解集為（―叫—2]"1,2],則（）

x-c

A.c=2

B.點(diǎn)（a⑼在第二象限

C.y+bx-2。的最大值為3a

D.關(guān)于x的不等式辦2+辦一620的解集為[-2,1]

8.若數(shù)集/={%,%，L,%}（1<%<%<L<%,〃之2）具有性質(zhì)產(chǎn)：對任意的/<〃）,％勺

與也中至少有一個(gè)屬于/,則稱集合/為“權(quán)集”，則（）

A.“權(quán)集”中一定有1B.{1,2,3,6}為“權(quán)集”

C.{1,2,3,4,6,12}為“權(quán)集”D.{1,3,4}為“權(quán)集”

二、多選題：本題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對得6分，部分選對得部分分，有錯(cuò)選的得0分.

9.中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二.五五數(shù)之,

剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知Z={x|x=3〃+2,〃eN*},

3={x|x=5〃+3,〃eN*},C=x=7"+2,〃eN*},若》6（/口5口0）,則下列選項(xiàng)中符合題意

的整數(shù)x為（）

A23B.133C.233D.333

10.根據(jù)不等式的有關(guān)知識(shí)，下列日常生活中的說法正確的是（）

A.自來水管的橫截面制成圓形而不是正方形,原因是：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積.

B.購買同一種物品，可以用兩種不同的策略.第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品的數(shù)

量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.用第一種方式購買比較經(jīng)

濟(jì).

C.某工廠第一年的產(chǎn)量為A,第二年的增長率為第三年的增長率為b,則這兩年的平均增長率等于

a+b

~T'

D.金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內(nèi)購買20g黃金，店員先將10g的磋碼放在天

平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些

黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.記顧客實(shí)際購得的黃金為xg,

則x>20.

II.若正實(shí)數(shù)x，V滿足2x+y=l,則下列說法正確的是（）

114-

A.孫有最大值為一B.一+一有最小值為6+40

8xj"

C.41+/有最小值為gD.x（y+l）有最大值為:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.某學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一某班共有24名同學(xué)參加比賽，有12人參加游泳比賽，有9人參加田

賽，有13人參加徑賽，同時(shí)參加游泳比賽和田賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和徑賽的有3人，沒有人

同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，借助文氏圖(Venndiagram),可知同時(shí)參加田賽和徑賽的有人.

13.甲、乙兩地相距1000千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)

由可變部分和固定部分組成.可變部分與速度x(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為2,固定部分為

5000元.為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車的速度是________千米/時(shí).

14.若一個(gè)三角形的三邊長分別為。，8c,記夕=g(a+b+c),則此三角形面積

S=《p(p_以p_b)(p-c),這是著名的海倫公式.已知V/8c的周長為9,=2,則VZ8C的

面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為75Gm2的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底

AD,用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成60。，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L為多少時(shí)，所用籬笆的長度最??？并

求出所用籬笆長度的最小值.

A/60°6O°\D

16.已知集合/={4一2<》一1<5},集合5={%|m+l<x<2m-eR).

(.1)若加=4,求\(/°5)；

(2)設(shè)命題p：xeZ；命題若命題)是命題9的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍

17.如圖，/皿。為梯形，其中=CD=b,設(shè)。為對角線的交點(diǎn).GH表示平行于兩底且與它

們等距離的線段(即梯形的中位線)，KL表示平行于兩底且使梯形48LK與梯形KLDC相似的線段,

ER表示平行于兩底且過點(diǎn)。的線段，跖V表示平行于兩底且將梯形48QC分為面積相等的兩個(gè)梯形

的線段.

試研究線段G",KL,EF,"N與代數(shù)式巴吆，府，1―F,

之間的關(guān)系，并據(jù)此

2一+:

iab

推測它們之間的一個(gè)大小關(guān)系.你能用基本不等式證明所得到的猜測嗎？

18.已知二次函數(shù)y=a/+21+。

3

(1)若y〉0的解集為{x\-2<x<3},解關(guān)于x的不等式x2+2ax-c<0；

22

(2)若a>c且ac=l,求巴士J的最小值；

a-c

n+4c+4

(3)若〃<2,且對任意XER,不等式歹20恒成立，求---------的最小值.

2-a

19.已知集合A為非空數(shù)集，定義：S^[x\x=a+b,a,b^A],T={x|x=,一[,凡6eZ}(實(shí)數(shù)°,

6可以相同)

(1)若集合/={2,5},直接寫出集合S、T-,

(2)若集合/={石/2，13，％}，不<》2<》3<》4，且7=4，求證：Xi+X4=X2+Xi；

(3)若集合/口{x[0<xW2021,xeN},ScT=0,記|/|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求|/|的最大

值.

2024學(xué)年第一學(xué)期高一年級10月四校聯(lián)考

數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)(填涂)；

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知集合U45,9},卜…,則露…1)

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合B的定義求出2,結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?={l,2,3,4,5,9},B={x|?e/},所以5={1,4,9,16,25,81},

則/口8={1,4,9},6,(^AS)={2,3,5}

故選：D

2.如圖，已知全集U=R,集合/={l,2,3,4,5},B={x|—l<x<2},則圖中陰影部分表示的集合的子

集個(gè)數(shù)為()

4

u

AB

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先求出圖中陰影部分表示的集合，再利用集合的子集個(gè)數(shù)公式即可得解.

【詳解】由題意得幺口8={1,2},故圖中陰影部分表示的集合為{3,4,5},

所以圖中陰影部分表示的集合的子集個(gè)數(shù)為23=8個(gè).

故選：D.

3.已知x,yeR,則“肛=0”是=0,,的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)由9=0能不能推出V+/=0及由/+/=0能不能推出中=0即可得答案.

【詳解】解：由肛=0,可得x=0或y=o；

由一+「=0可得》=0且>=0,

所以由9=0不能推出_?+/=0,但由/+72=。能推出中=（）,

所以“9=0”是“Y+「=0，，的必要不充分條件.

故選：B

4.已知。+6〉0,。<0,那么“一a,-b的大小關(guān)系是（）

A.b>-a>a>-bB.a>-b>-a>b

C.b>-a>-b>aD.a>b>-a>-b

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)比較大小即可.

【詳解】由a+b>0可得一6<a<0,所以6>—a>0>a>一3.

故選：A

5.命題“it>0,x2>x3”的否定是（）

A.Vx>0,x2>x3B.Vx>0,x2<x3

5

C.Vx<0,x2<x3D.Bx>0,x2<x3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定即可得解.

【詳解】命題"5X>0,X2>X3”的否定是"Vx>O,x2<x3".

故選：B.

6.若命題1,3],必一2x—。<0”為真命題，則實(shí)數(shù)?？扇〉淖钚≌麛?shù)值是（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知必―2xVa，根據(jù)存在性問題結(jié)合配方法分析求解.

【詳解】因?yàn)椤?x—aVO,即Y—2xWa，

又因?yàn)椤?x=（x—1）、12—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立,

若Hr6[—1,3],x2—2x—a<0即a2—1,

所以實(shí)數(shù)?？扇〉淖钚≌麛?shù)值是-1.

故選：A.

7.已知關(guān)于x不等式一-2）（"+'）2o的解集為（―%—2]“1,2],則（）

x-c

A.。二2

B.點(diǎn)（a,b）在第二象限

C.y=ax?+bx—2a的最大值為3a

D.關(guān)于x的不等式口必+"―bNO的解集為

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分式不等式與整式不等式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合解的性質(zhì)可得x=l和x=-2分別是X-c=0和

◎+6=0的實(shí)數(shù)根，即可得c=l,-2a+b=0,進(jìn)而可求解AB,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解C,

由一元二次不等式的求解即可判斷D.

(%-2)3+b)(x-c)>0

【詳解】原不等式等價(jià)于

x-cw0

因?yàn)榻饧癁椋èD%―2]u（l,2],所以x=l和x=—2分別是x—c=0和℃+6=0的實(shí)數(shù)根,

故。<0且。=1,一2。+6=0,故A錯(cuò)誤;

6

因?yàn)椤?lt;0,b=2a<Q,所以點(diǎn)(。,。)在第三象限，故B錯(cuò)誤；

y=ax2+bx-2a=ax2+lax-2a=a(xi+2x-2^=a^x+\^-3a,由于開口向下，故最大值為

-3a,故C錯(cuò)誤，

由ax2+ax-b>0得ax?+々(:一2(2之0即%:2+》一240解集為,故D正確.

故選：D.

8.若數(shù)集/={%,%4，?！眪(1<%<%<1<@”〃之2)具有性質(zhì)產(chǎn)：對任意的z；/(l為%

與也中至少有一個(gè)屬于/,則稱集合/為“權(quán)集”，則()

%

A.“權(quán)集”中一定有1B.{123,6}為“權(quán)集”

C.{1,2,3,4,6,12}為“權(quán)集”D.{1,3,4}為“權(quán)集”

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合的新定義，驗(yàn)證選項(xiàng)B,C,D,集合“權(quán)集”中不一定有1,判定A錯(cuò)誤.

【詳解】因?yàn)?x3,|=3,1=2都屬于數(shù)集{2,3,6},{2,3,6}是“權(quán)集”，

所以“權(quán)集”中不一定有1，所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)?x2,1x3,1x6,2x3,■!：都屬于數(shù)集{1,2,3,6},{1,2,3,6}為“權(quán)集”，所以B正確；

因?yàn)?x6與均不屬于數(shù)集{123,4,6,12},{1,2,3,4,6,12}不為“權(quán)集”，所以C錯(cuò)誤；

因?yàn)?x4與g均不屬于數(shù)集{1,3,4},{1,3,4}不為“權(quán)集”，所以D錯(cuò)誤；

故選：B

二、多選題：本題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對得6分，部分選對得部分分，有錯(cuò)選的得0分.

9.中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二.五五數(shù)之,

剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知Z={x|x=3〃+2,〃eN*},

8={x|x=5〃+3,〃eN*},C={x|x=7〃+2,〃eN*},若xe(/n5P|C),則下列選項(xiàng)中符合題意

的整數(shù)x為()

A.23B.133C.233D.333

【答案】AC

【解析】

【分析】直接將各選項(xiàng)的數(shù)字變形判斷即可.

【詳解】對A,23=3x7+2=2x2x5+3,滿足4瓦。的描述，所以23e(ZcBcC),符合;

7

對B,133=7x19,不滿足。的描述，則133e(NcBcC),不符合；

對C,233=7x3x11+2=5x46+3,滿足4瓦。的描述，233e(/c5cC),符合；

對D,333=3x111,不滿足A的描述，則333e(ZcBcC),不符合.

故選：AC

10.根據(jù)不等式的有關(guān)知識(shí)，下列日常生活中的說法正確的是()

A.自來水管的橫截面制成圓形而不是正方形,原因是：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積.

B.購買同一種物品，可以用兩種不同的策略.第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品的數(shù)

量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.用第一種方式購買比較經(jīng)

濟(jì).

C.某工廠第一年的產(chǎn)量為A,第二年的增長率為a,第三年的增長率為b,則這兩年的平均增長率等于

a+b

2

D.金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內(nèi)購買20g黃金，店員先將10g的磋碼放在天

平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些

黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.記顧客實(shí)際購得的黃金為xg,

則x>20.

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)題意利用不等式的性質(zhì)以及作差法、基本不等式逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)周長為/>0,則圓的面積為5圓=兀

正方形的面積為S正方形

117272

因?yàn)椤狄?/2〉0,可得上_〉2_,即S圓〉S正方形，故A正確；

4兀164兀16

對于選項(xiàng)B：按第一種策略購物，設(shè)第一次購物時(shí)的價(jià)格為41元/kg,購〃kg,

第二次購物時(shí)的價(jià)格為72元/kg，購〃kg,兩次購物的平均價(jià)格為+2〃="+Pz

2n2

mi

若按第二種策略購物，第一次花機(jī)元錢，能購一kg物品，

m1------

第二次仍花〃，元錢，能購孩kg物品，兩次購物的平均價(jià)格為

一十一

PlPl

比較兩次購的平均價(jià)格:

8

P\+22_2=Px+P22Pm「(，1+22)——402=(Pi-p2y0

-

2±+±2P1+P22(n+22)2(pt+p2)-

PiP2

當(dāng)且僅當(dāng)目=0時(shí)，等號(hào)成立，

所以第一種策略的平均價(jià)格不低于第二種策略的平均價(jià)格，因而用第二種策略比較經(jīng)濟(jì)，故B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C：設(shè)這兩年的平均增長率為X,

則/(I+a)(l+b)=2(1+X)2,可得x=++1,

日4，/Z---C7；—―(1+?)(1+6)a+ba+b

因?yàn)閤+1—++V-----------------F1I,B即nx，

222

當(dāng)且僅當(dāng)l+〃=l+b,即〃=b時(shí)，等號(hào)成立，

即這兩年的平均增長率不大于"2,故c錯(cuò)誤；

2

對于選項(xiàng)D：設(shè)天平左臂長為加，右臂長為〃，機(jī),〃>0且加片〃，

左盤放的黃金為王克，右盤放的黃金為工2克，

l0m=nx210〃10m

,八，解得X]=---,X

mX[=10〃m2n

當(dāng)且僅當(dāng)加=〃時(shí)，取到等號(hào),

由于加W”，所以x>20,故D正確;

故選：AD.

H.若正實(shí)數(shù)x,v滿足2x+y=i,則下列說法正確的是()

14—,廣

A,孫有最大值為一B.—+—有最小值為6+40

8xy-

C.4必+/有最小值為1D.x(y+l)有最大值為:

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】直接利用不等式即可求解AC,利用乘“1”法即可求解B,利用不等式成立的條件即可求解D.

【詳解】對于A：因?yàn)?x+y=l?2j2”,則封當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即x==：時(shí)取等號(hào),

故A正確，

對于B,-+2%+'4(2》+田="+、622k+6=6+4后，當(dāng)且僅當(dāng)史=上，即

xyxyjx\yxyx

9

x2—正時(shí)取等號(hào)，故B正確，

2

對于C：因?yàn)閹稀缎?1；/，則4》2+/21,,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即x=：/=1■時(shí)取等號(hào)，

故C正確，

—12

,/、1/、12x+(y+l)1

對于D：因?yàn)閠x(y+l)=5x2x()；+1)----\-----=—,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y+l,即》=』，＞=0時(shí)取等號(hào)，這與x，V均為正實(shí)數(shù)矛盾，故D錯(cuò)誤，

2

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一某班共有24名同學(xué)參加比賽，有12人參加游泳比賽，有9人參加田

賽，有13人參加徑賽，同時(shí)參加游泳比賽和田賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和徑賽的有3人，沒有人

同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，借助文氏圖(Venndiagram),可知同時(shí)參加田賽和徑賽的有人.

【答案】4

【解析】

【分析】設(shè)同時(shí)參加田賽和徑賽的學(xué)生人數(shù)為X,作出韋恩圖，根據(jù)題意可得出關(guān)于X的等式，即可解

出x的值.

【詳解】設(shè)同時(shí)參加田賽和徑賽的學(xué)生人數(shù)為x,如下圖所示：

由韋恩圖可的12+(6—x)+x+(10—x)=28—x=24,解得x=4.

因此，同時(shí)參加田賽和徑賽的有4人.

故答案為：4.

13.甲、乙兩地相距1000千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)

由可變部分和固定部分組成.可變部分與速度x(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為2,固定部分為

10

5000元.為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車的速度是千米/時(shí).

【答案】50

【解析】

【分析】依據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求解最值即可.

【詳解】設(shè)汽車速度為x千米/時(shí)，運(yùn)輸成本為

尸(2/.5000)1°°°=2。皿+&0000221000苫巫=200000，

5000000

...當(dāng)且僅當(dāng)2000x=即x=50時(shí)，運(yùn)輸成本最小.

x

故答案為：50

14.若一個(gè)三角形的三邊長分別為見“c,記夕=g(a+b+c),則此三角形面積

S=Qp(p-祖p_b)(p-c),這是著名的海倫公式.已知V48c的周長為9,=2,則V48c的

面積的最大值為.

【答案】hH##-45

22

【解析】

9

【分析】由條件可得0=a，c=2,(p-a)+(p-6)=2,然后利用基本不等式可得

2>2^(p-a)(p-b),然后可得答案.

9

［詳解］由題意p=—,c=2,^p-a）+（p-b）=2p-a-b=c=2,

由/_q=6+；_a〉0,/_8=〃+；_%>0,則2之21（夕一a）（0—4）,a=6時(shí)取等,

3逐

則8=（。-a）（十一6）（。一c）<Jp（0-c）xl=---2

~T~

故答案為：----

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為75Gm2的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底

AD,用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成60。，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L為多少時(shí)，所用籬笆的長度最?。坎?/p>

求出所用籬笆長度的最小值.

B

A/60°60°\D

墻

11

【答案】當(dāng)?shù)妊菪蔚难L為10m時(shí)，所用籬笆長度最小，其最小值為30m.

【解析】

【分析】以實(shí)際應(yīng)用問題為情境，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)最值的求法解出結(jié)果;

設(shè)48=a(m)(a>0),上底3c=6(m)伍>0),

分別過點(diǎn)8C作下底的垂線，垂足分別為瓦廠,

則8￡=旦，AE=DF=-

22

則下底AD=--^-b+—=a+b,

22

該等腰梯形的面積S=(*"+').軋=0”2b、a=756

224')

所以(a+26”=300,則6=等—

所用籬笆長為/=2a+6

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?+，即a=10(m),6=10(m)時(shí)取等號(hào).

所以，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L為10m時(shí)，所用籬笆長度最小，其最小值為30m.

16.已知集合/={x|-2?x—l?5},集合5={x[m+l<x<2m-l1(mGR).

⑴若m=4,求

(2)設(shè)命題P：XEZ；命題若命題夕是命題9的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

【答案】(1){x[%<-1或x〉7}.

7

(2)m<—

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)集合的并集和補(bǔ)集的定義即可求解，

(2)根據(jù)5是集合A的真子集，討論3=0和8。0兩種情況即可求解.

【小問1詳解】

由題意可知/={x|—2?x—1W5}={x|-1<xW6},

12

若加=4,8={x|5WxW7},故Zu3={x|-

x<-l或x〉7}.

【小問2詳解】

???命題?是命題q的必要不充分條件，...集合B是集合A的真子集,

當(dāng)5=0時(shí)，m+l>2m-1,解得m<2,

m+l<2m-1

7

當(dāng)3/0時(shí)，+（等號(hào)不能同時(shí)成立），WM2<m<—,

2

2m-1<6

7

綜上所述，實(shí)數(shù)加的取值范圍為加W—

2

17.如圖，/皿。為梯形，其中NB=a,CD=b,設(shè)。為對角線的交點(diǎn).G8表示平行于兩底且與它

們等距離的線段（即梯形的中位線），KL表示平行于兩底且使梯形48LK與梯形KLDC相似的線段,

EF表示平行于兩底且過點(diǎn)。的線段，跖V表示平行于兩底且將梯形45QC分為面積相等的兩個(gè)梯形

的線段.

試研究線段GH,KL,EF,VN與代數(shù)式竺而，1―f,之間的關(guān)系，并據(jù)此

2-+y

推測它們之間的一個(gè)大小關(guān)系.你能用基本不等式證明所得到的猜測嗎？

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】根據(jù)題中所給的梯形模型，結(jié)合平行線分線段成比例定理，相似，面積相等等方式，建立得到

幾個(gè)平均數(shù)，再利用基本不等式和作差法比較大小即可

【詳解】因?yàn)镚7Z是梯形48。。的中位線，

因?yàn)樘菪蜰5LK與梯形KZ/>C相似,

所以KL=s/ABxCD=4ab；

因?yàn)锳ZEOS“CD,ADOF“DAB,

13

,,OEOAOFOD

所cr以丁=——,——=—

bDAaAD

,,OEOF,

所cr以1—+=1，

ba

所以田吟/r,

—+—

ab

所以.=廠

1,

—+—

ab

設(shè)梯形MNDC,ABNM48QC的面積分別為SVS2.S,高分別為國色,〃,

則S]=S2=gs,^(a+b)h=(b+MN)h1=(a+MN)h2,

所以g(a+b)〃+，

a+MN+b+MN-'

所以如+，）［￡“—

所以上W=

由圖可知，EF<KL<GH<MN,

即

證明：

顯然“”〉,

2

1T<4=癡

入2&

因?yàn)閍1+b2>lab，

所以土也

2

14

18.已知二次函數(shù)y=a/+21+。

(1)若y〉0的解集為{x|-2<x<3},解關(guān)于x的不等式x2+2ax-c<Q；

22

(2)若a>c且。。=1,求巴士的最小值；

a-c

a+4c+4

(3)若〃<2,且對任意XER,不等式歹20恒成立，求---------的最小值.

2-a

【答案】(1)不等式必+2"—c<0的解集為{x|—2<x<6}.

22

(2)巴士的最小值為20；

a-c

a++4

(3)巴一一的最小值為8.

2—a

【解析】

【分析】(1)由條件可得-2,3是方程狽2+2%+°=()的解，由此可求a,c,結(jié)合一元二次不等式解法

求*+2ax-c<0的確牟集；

2,2Q

(2)由已知可得幺工=(a—c)+上，結(jié)合基本不等式求結(jié)論；

a-ca-c

441

a+4c+4—+—+1

(3)由條件可得的21，由此可得丁-----之一，一，換元并結(jié)合基本不等式可求其最小值.

2-aa」

a

【小問1詳解】

由已知ax?+2x+c〉0的解集為{x卜2<x<3},且a<0,

所以一2,3是方程a/+2%+c=o的解，

2c

所以—2+3=——,(-2)x3=-,

aa

所以Q=—2,c=12,

所以不等式/+2ax-c<0可化為一41一12<0，

所以—2<x<6,

故不等式r+2ax—c<0的解集為{乂-2<、<6}.

【小問2詳解】

15

因?yàn)閍c=l,

2

6l-r（a~+c（a-cf+2ac,、2

所以-------=------------=（a-c）+-----

a-ca-ca-c

因?yàn)閍>c,所以。一。>0,

由基本不等式可得空巴=（a-c）+-22J5,

a-ca-c

當(dāng)且僅當(dāng)a-c=逝4=1時(shí)等號(hào)成立，

即當(dāng)且僅當(dāng),c=立二Y2時(shí)等號(hào)成立;

22

22

所以幺士的最小值為20；

a-c

【小問3詳解】

因?yàn)閷θ我鈞eR,不等式a—+2x+c>0怛成立,

所以Q>0,4—4ac<Qy

所以Q>0,ac>\^

44cl441

?1----Fl----FI

a+4c+4A=q。>cra

2-a-2一2'

-----1------1

a----------a

22

令/=一一1,貝iJ/>0,-=z+l,

aa

所以0+4c+4>（7+l）2+2（/+l）+l=-4+±之&,

2-att

2

當(dāng)且僅當(dāng)一二3,QC=1時(shí)等號(hào)成立，

a

23

即當(dāng)且僅當(dāng)a=—,c=—時(shí)等號(hào)成立，

32

a+4c+4

所以^---的最小值為8.