吉林省四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024?2025（上）高二年級(jí)第一次月考

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上

作答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交.

5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第一章?第二章2.3.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線x+gy—2=0的傾斜角為（

2.若4:x—沖—1=0與4：（機(jī)—2）x—3y+l=0是兩條不同的直線，則=—1”是“”的（

）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.3知直線/的一個(gè)方向向量成=（3,—2,1）,且直線/經(jīng)過/（a,2,-1）和3（—2,3,6）兩點(diǎn),則a+6=（

）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知空間向量值=（2,3,1）,B=2,—2）,則d在B上的投影向量為（）

--2-2-

A.2bB.—2bC.-bD.——b

33

5.下列關(guān)于空間向量的說法中錯(cuò)誤的是（）

A.平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量

B.空間任意三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底

C.直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定

D.任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量

6.在平行六面體中，點(diǎn)尸是線段2。上的一點(diǎn)，且尸。=3尸8,設(shè)47=萬，

函=3,擊=乙則西=（）

A.uH—bH—cB.—cibH—c

24444

c-l13-1-31_

C.—ciH—bH—cD.-a—brH—c

44444

3

7.如圖，直線y=：x+3交x軸于點(diǎn)H將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)置于原點(diǎn)O,另兩個(gè)頂點(diǎn)

3

M.N恰好落在直線y=\x+3上.若點(diǎn)N在第二象限內(nèi)，則tan/NON的值為（

**

x

8.在棱長為2的正方體48CQ-44GA中，既是正方體45CD-4用。12外接球的直徑，點(diǎn)尸是正

方體45CQ-481GA表面上的一點(diǎn)，則而?方的取值范圍是（）

A.[-2,0]B.[-1,0]C.[0,1]D.[0,2]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若空間向量限B滿足同=W，則

B.空間任意兩個(gè)單位向量必相等

C.在正方體45CD—451GA中，必有麗=麗

D.空間向量值=（1,1,0）的模為J5

10.已知兩條平行直線/]：x-y+l=0和/2：%-了+掰=0之間的距離小于血，則實(shí)數(shù)力的值可能為（

）

A.0B.1C.2D.-1

11.如圖，在棱長為2的正方體45CQ—481G2中，E為8片的中點(diǎn)，尸為42的中點(diǎn)，如圖所示建

立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的有（）

A.DB、-3V2

B.向量次與有所成角的余弦值為運(yùn)

15

C.平面/￡尸的一個(gè)法向量是(4,-1,2)

D.點(diǎn)。到平面/跖的距離為與包

21

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線乙的斜率尢，左2是關(guān)于左的方程2r+8左+"=0的兩根，若小則實(shí)數(shù)

n=.

13.在通用技術(shù)課程上，老師教大家利用現(xiàn)有工具研究動(dòng)態(tài)問題.如圖，老師事先給學(xué)生準(zhǔn)備了一張坐標(biāo)

紙及一個(gè)三角板，三角板的三個(gè)頂點(diǎn)記為/、B、C,|ZC|=2,|48|=26，18cl=4.現(xiàn)移動(dòng)邊

AC,使得點(diǎn)/、C分別在x軸、〉軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，則|。刈(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為

14.已知空間向量1=(1,1,1),3=(0/,1)(00<1)，則cos^W最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

已知直線4++1=0,Z2:2x-v-4=0,Z3:3x+v-1=0.

(1)若這三條直線交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若三條直線能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)加滿足的條件.

16.(本小題滿分15分)

如圖，在直三棱柱48C—481G中，ACIBC,AC=1,BC=2,Cq=3,點(diǎn)4是棱ZB的中點(diǎn)

(1)證明：Ng〃平面B]CD；

(2)求直線與平面與CD所成角的正弦值.

17.(本小題滿分15分)

己知直線I:(2m+l)x-(3+m)y+m-1=0.

(Dm為何值時(shí)，點(diǎn)0(3,4)到直線I的距離最大，并求出最大值；

(2)若直線/分別與無軸，了軸的負(fù)半軸交于/,2兩點(diǎn)，求△208(。為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值及此

時(shí)直線/的方程.

18.(本小題滿分17分)

如圖，在棱長為3的正方體48CD—451GA中，點(diǎn)￡是棱耳片上的一點(diǎn)，且4￡=2￡4，點(diǎn)尸是棱

上的一點(diǎn)，且4尸=2依].

(1)求異面直線g與CF所成角的余弦值；

(2)求直線2D到平面CE尸的距離.

19.(本小題滿分17分)

如圖，在四棱錐尸-Z8CD中，四邊形是邊長為3的正方形，尸4,平面N8CZ),0C=36,點(diǎn)

E是棱網(wǎng)的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是棱尸C上的一點(diǎn)，且尸尸=2EC.

(1)證明：平面ZECJ_平面網(wǎng)C；

(2)求平面/￡尸和平面/FC夾角的大小.

2024?2025(上)高二年級(jí)第一次月考.數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.D?.?y=—@x+2G，.?.其傾斜角為2.故選D.

336

2.C若///A，貝ij1x(-3)=(加一2)(-加)，解得加二一1或加=3,

則“加二—1”是的充分不必要條件，故選C.

3.A因?yàn)閆8=(—2—a,l,b+l),所以=”=彳，

13

解得。=——,b=--,所以a+6=—2,故選A.

22

展(2,3,-)_2-6-2,2

,-12+(-2)2+(-2)2-9—3，

一(a-b}b2一

故5在b上的投影向量為^—故選D.

K3

5.B平行于平面a的向量，可平移至一個(gè)平行于a的平面，故為共面向量，A正確；

空間任意三個(gè)向量都共面時(shí)，則不能構(gòu)成空間的基底，B錯(cuò)誤；

直線的方向向量是直線任取一點(diǎn)，向其兩個(gè)方向的任意方向作出一個(gè)向量即可得，故直線上一點(diǎn)和方向向

量確定直線，C正確；

由向量的位置的任意性，將空間兩個(gè)向量某一端點(diǎn)移至重合位置，它們即可構(gòu)成一個(gè)平面，即可為同一平

面的向量，D正確.故選B.

6.CPC1—4G—4P—4B]+4。]—AyB_BP-4B[+4]D]——A^A——

=AxBx+AxDx-AxBx-AxA--\Apx-AxBxy-AxDx+-AxBx-AxA^-a+-b+^c.故選C.

7.A設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為5,過。作0CL48于C,過N作沏，。/于D

3

因?yàn)镹在直線y=z'+3上且在第二象限內(nèi)，

設(shè)N卜,jx+3),則|￡>N|=1x+3,|OD|=—x.

又4—4,0),5(0,3),即|。4|=4,|。3|=3,所以|48|=5.

1112

在△Z08中，由三角形的面積公式得，-\OB\\OA^-\AB^OC\,所以

12

在RtZXMW中，|(W|=|ON|,/跖VO=45°,所以sin45°=呸1==一，即|ON|=U叵.

\ON\\ON\5

Yfio6Vg4

2

在Rt^ND。中，|初|2+|。。|2=|?？?,即[：x+3j+(_x)=,解得西=一:，

12

X)——.

225

841284

因?yàn)辄c(diǎn)N在第二象限內(nèi)，所以x=—J,所以|沏|=一,|O￡)|=J,

252525

所以tan/ZON=U^l=L,故選A.

\OD\7

8.A記正方體48CD—4gG。]的外接球的球心為。，

易得0￡=3萬萬萬=6,且尸Oe[l,G],

所以尸￡.尸尸=0+0后)即+09)=即+0￡)促一OE)=PO-OE=PO-3e[-2,0],

故選A.

9.CD兩個(gè)向量相等需要方向相同，模長相等，所以同=|,不能得到萬=B,A錯(cuò)誤；

空間任意兩個(gè)單位向量的模長均為1,但是方向不一定相同，故B錯(cuò)誤,

正方體45CQ-451GA中，BD,麗的方向相同，長度相等，故前=麗，故C正確;

空間向量不=(1』0)的模為+F+0=J5,故D正確.故選CD.

m-11

10.AC直線4:x—y+l=0和乙：x—＞+機(jī)=0平行，則切中1，兩條平行直線間距離<41,

V2

解得一1＜加＜3且加W1,故0和2符合要求.故選AC.

11.BCD對(duì)于A,正方體中，DB1=273,故A錯(cuò)誤;

AE-AC,二叵,故B正確;

對(duì)于B,/￡=(0,2,1),AQ=(-2,2,2),故向量夾角余弦值為cos8=

回為5

對(duì)于C,ZE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),(0,2,1).(4,-1,2)=0,(-1,0,2).(4,-1,2)=0.

故(4,-1,2)是平面NE尸的一個(gè)法向量，故C正確；

—■\DA-n\88A/21

對(duì)于D,D4=(2,0,0),則點(diǎn)。到平面/斯的距離為d===故D正確.故選

\n\21

BCD.

12.-2因?yàn)槎倚甭蚀嬖?，所以?左2=—1，

1

又左1，左2是關(guān)于左的方程2左2+8左+〃=0的兩根，kck2=|=-＞解得”=—2.

13.1+V13由已知|NC|=2,|28|=26，18cl=4.

如圖，取NC的中點(diǎn)E.因?yàn)椤鰿MC為直角三角形，故|OE|=g|NC|=l.

由于△4BC為直角三角形，故|8E|=J|+|ZE/=屈，

顯然|O6國OE|+|8￡|,當(dāng)且僅當(dāng)。、B、E三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故|。目的最大值為1+而.

v+1_V3/(V+1)2_V3I.2y_V3|2

cos”)=3

當(dāng)12y〉0時(shí),氐"-3山+/-311?-3I'

'/耶|+

由y>0,所以工+>22,當(dāng)且僅當(dāng)工=y,即y=l時(shí)等號(hào)成立,

v旦&TT=逅

33

一+V

y

當(dāng)y=0時(shí)，cos國用=三~,故cos(。㈤的最大值為每一.

2x-y-4=0,x=I,

15.解：(1)由<r1八解得代入4的方程，得加=1.

3x+y-l=0,〔尸一2,

(2)當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)或其中兩直線平行時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.

2x-y-4=0,,,\x=1.,

①聯(lián)立《解得s代入x+my+1=0,得加二1；

3x+y-1=0,U=-2,

②當(dāng)/1：%+即+1=0與/2：2X-歹一4二0平行時(shí)，m=一；,

當(dāng)4:%+毆+1=0與，3：3x+y-l=0平行時(shí)，加二g.

綜上所述，當(dāng)加71且掰且機(jī)W-工時(shí)，三條直線能構(gòu)成三角形.(且寫成或扣1分).

32

16.解：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

所以41,0,0),5(0,2,0),C(0,0,0),G(0,0,3),男(0,2,3),4(1,0,3),

所以①=[3,1,0；西=(0,2,3),

「一一f1

n-CD=0,—%+y=0,

設(shè)平面qCD的一個(gè)法向量為五=(x/,z),則1—,即127

萬。=0，[2y+3z=0,

令x=l,解得了=—g,z=1,所以平面BCD的一個(gè)法向量為歷=。,一；,<

（1）證明：=（-1,0,3）,因?yàn)椴?元=0,

NG仁平面用CD，所以ZG〃平面BXCD；

（2）解：因?yàn)?8=（-1,2,—3）,所以cos（4瓦元）=占'=

'/同49

所以直線A.B與平面BXCD所成角的正弦值是寫4.

17.解：（1）已知直線/:（2機(jī)+1）》一（3+機(jī)）＞+加一7=0,整理得（2x-y+l）機(jī)+x-3y-7=0,

2x—y+1=0,x=-2,

由＜故直線/過定點(diǎn)(-2,-3),

x—3y—7=0B=-3,

點(diǎn)2（3,4）到直線I的距離最大，可知點(diǎn)。與定點(diǎn)尸（-2,-3）的連線的距離就是所求最大值,

即J(3+2)2+(4+3)2=V74為最大值.

4+375

kPQ--一-=—,/.(2m+l)x-(3+m)y+m-7=0的斜率為一亍,

三,日52m+15222

可得——=------,斛得加=----；

7m+319

(2)若直線/分別與x軸，y軸的負(fù)半軸交于4,5兩點(diǎn)，

則可設(shè)直線/的方程為y+3=左（》+2）,k＜0,則—2,0）,B（0,2k-3）,

1343、1「(9\]1

c-------2-|2A:-3|=-2——\(3-2k)=-12+(-4左)+――>-x(12+12)=12.

2kk)2(k)2

3

（當(dāng)且僅當(dāng)左=——時(shí)，取“=”）,

2

故AAOB面積的最小值為12,此時(shí)直線I的方程為3%+2y+12=0.

18.解：(1)如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，所以2(3,0,0),2(0,0,3),尸(1,0,3),C(0,3,0),

所以否=(一3,0,3),CF=(l,-3,3),

所以cos(可，而)=[6

AD^CF

所以異面直線幺￡>1與3所成角的余弦值是嚕

(2)因?yàn)椤?gt;(0,0,0),￡(3,2,3),5(3,3,0),所以豆=(2,2,0),麗=(3,3,0),

—?2—?

所以庇=—所以FE//DB,

3

又DBU平面CEF,EFcz平面CEF,所以DBH平面CEF,

所以點(diǎn)D到平面CEF的距離即為直線BD到平面CEF的距離.

n-FE=0,[2x+2v=0,

設(shè)平面CM的一個(gè)法向量為為=(x,y,z),貝?！?

n-CF=0,[x-3y+3z=0,

令X=l,解得y=—1,z=-j,所以平面C斯的一個(gè)法向量為方=11,—1,—g

￡￡J_9A/34

因?yàn)榉?(0,3,0),所以點(diǎn)。到平面C斯的距離d

\n\~34

即直線BD到平面CEF的距離為"4.

34

19.(1)證明：如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,/P所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，所以2(0,0,0),5(3,0,0),C(3,3,0),設(shè)尸(0,0,f)?>0),

則尸C=132+32+，=3百,解得/=3,即尸(0,0,3).

則冠=[g,0,|)就=(3,3,0),