高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：向量（原卷版）

專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開(kāi)始后，一片巨大的“雪

花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，

又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：

從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉

底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程.已知圖①中正三角形的邊長(zhǎng)為6,則圖③中亞.兩的值為（）

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非

常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)

的多邊形為正五邊形，且篝=理.下列關(guān)系中正確的是（）

A.BP-TS=^-^-RS

2

B.CQ+TP=J^-TS

C.ES-AP=J^BQ

D.AT+BQ=^-CR

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱

為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)QG,“分別為任意AABC的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

C,和=.+2而D,己=2麗+兩

33

4.（2021秋?山東威海?高三統(tǒng)考期中）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)

方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢(shì)，已知對(duì)任

意平面向量AB=（%,y），把通繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角得到向量Q=（%cose-ysina%sine+ycos。）,

叫做把點(diǎn)3繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角得到點(diǎn)尸，已知平面內(nèi)點(diǎn)A（l,2）,點(diǎn)5（1-后,2+2后），點(diǎn)3繞點(diǎn)

TT

A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)今后得到點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

4

A.（1,3）B.（-3,1）C.（2,5）D.（-2,3）

5.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）我校八角形校徽由兩個(gè)正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開(kāi)

人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開(kāi)?；铡钡亩噙呅沃?，已知

其由一個(gè)正方形與以該正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后的正方形組合而成，已知向量7,k，則向量Z（）

A.2n+3kB,(2+0)〃+3無(wú)

C.(2+a+(2+kD.(1+〃+(2+%

6.（2022春?黑龍江黑河?高一嫩江市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖1是某晶體的陰陽(yáng)離子單層排列的平

面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切，A、B、C、。是其中

四個(gè)圓的圓心，則荏.麗=（）.

圖1

圖2

A.14

B.26

C.38

D.42

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartesl596?1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平

面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來(lái)確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來(lái)描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被

稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)形式的問(wèn)題，大大降低了問(wèn)題的難

度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形ABC中，。是線段上的點(diǎn)，AB=3,

BD=2,則福?國(guó)5=（）.

A.3B.6C.9D.12

8.（2021春?福建福州?高一校考階段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)

學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形

ABC。中，AASC滿足“勾3股4弦5"，且AB=3,E為AD上一點(diǎn)，跖，AC.若屁=彳麗+〃血，貝1|彳+〃

的值為（）

9.(2022春?北京?高一北京市第二十五中學(xué)校考期中)據(jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國(guó)西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家,

曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有AABC滿足“勾3股4弦5”,

其中AC=3,3c=4,點(diǎn)。是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，則衣.正=()

A.3B.4C.9D.不能確定

10.(2022?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí))黃金分割［Go/de”Sec，?！?是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有

嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取0.618,就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取3.14

一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫(huà)、雕塑、攝影作品的主題，大

多在畫(huà)面的0.618處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂(lè)器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形

(GoldenRectangle)的長(zhǎng)寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長(zhǎng)邊為短邊1.618倍.黃金分割率和黃金矩形

能夠給畫(huà)面帶來(lái)美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很

好的例子，達(dá)?芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后

的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金

分割.所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于

該部分之比，黃金分割比為好匚。0.618.其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國(guó)也有記載，雖沒(méi)有古希臘的早，但它

2

是我國(guó)數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形ABCD中，AC,8。相交于點(diǎn)。，BFJ.AC,DHLAC,AE±BD,

CG1.BD,屁=由二1■麗，貝1」麗=()

2

A.^HBA+^JIBGB.三!l京+-H的

210210

D.三好而+好旃

c.昱i京+三a的

21025

11.（2022秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽

滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇拜的圖騰.如圖，48是圓。的一條直徑，且|AB|=4.C,。是圓。上

的任意兩點(diǎn)，IC。1=2,點(diǎn)P在線段8上，則西.而的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[V3,2]C.[3,4]D.[-1,0]

12.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤(pán)江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡(jiǎn)易

側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿抬，PB,PC,的一端P在垂直于水

平面的塔柱上,另一端A,3,C,。與塔柱上的點(diǎn)。都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知AB=8m,30=16m,

PO=12m,而.無(wú)=0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得而+而）+：（正+而）=2可，貝|CD=（）

塔M

A.28mB.20mC.31mD.22m

13.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙

爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，若次=肩，成=小

AF=^AE,則溫=()

6-4-4-6-6-9-9-6一

A.一m-\—nB.一m-\—nC.一m-\—nD.一m-\—n

1313131313131313

14.（2022春?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年第十屆中國(guó)花卉博覽會(huì)興辦在即，其中，以“蝶

戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來(lái)生活中的賞心悅目，也展示了極致

的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點(diǎn)。，

A,兩動(dòng)點(diǎn)3,Q,且|西卜|礪|=1,次繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到礪所形成的角記為6.設(shè)函數(shù)

l,x>0

“e）=4-sign（，）-sin5（9,（-%WdWq）,其中，sign（x）=<0,x=0,令p=于（。）,作麗=夕麗隨著。的

-l,x<0

變化，就得到了。的軌跡，其形似“蝴蝶”.則以下4幅圖中,點(diǎn)。的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（）

/

圖①圖②

,Q

il

D.

15.（2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的

漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史擢久，風(fēng)格獨(dú)特，深受?chē)?guó)內(nèi)外人士所喜愛(ài).如圖甲是一個(gè)正八邊形窗花隔

斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖.已知正八邊形ABCDEFG//的邊長(zhǎng)為2立，M是正八邊

形ABC-DEFGH邊上任意一點(diǎn),則加.初的最大值為（）

乙

28+80C.26+160D.24+160

16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國(guó)建筑中有一定影響.如圖是受“八

圭卜''的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形ABCDEFGH的中心，且|通|=1,則（）

A.正與麗能構(gòu)成一組基底B.ODOF=Q

____R

C.OA+OC=42OBD.ACCD=^-

17.（2022春?廣東揭陽(yáng).高一?？茧A段練習(xí)）“圓累定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)

結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖，已知圓。的

半徑為2,點(diǎn)P是圓。內(nèi)的定點(diǎn)，且。尸=0，弦AC、8。均過(guò)點(diǎn)P,則下列說(shuō)法正確的是（）

'B

A^--------7

A.可.無(wú)為定值B.加.玩的取值范圍是[-2,0]

C.當(dāng)AC13。時(shí)，9.歷為定值D.|恁，明的最大值為12

18.（2021春?江蘇常州.高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)

的圓心為界，畫(huà)出相等的兩個(gè)陰陽(yáng)魚(yú)，陽(yáng)魚(yú)的頭部有陰眼，陰魚(yú)的頭部有個(gè)陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物都在相互轉(zhuǎn)化，

互相滲透，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八

邊形ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，設(shè)。4=1.則下述四

個(gè)結(jié)論，正確結(jié)論是（）

圖1圖2

A.以直線為終邊的角的集合可以表示為|aa=—+2k兀,keZ

B.在以點(diǎn)。為圓心、Q4為半徑的圓中，弦A3所對(duì)的弧長(zhǎng)為了

4

C.Ok-OD=—

2

D.麗=（-&-吟

19.（2022.甘肅張掖.高臺(tái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型

圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形A8CCEFGH,其中。4=1,則下列結(jié)論正確的有（）

E

B.OB+OH=-y[iOE

C.AHHO=BCBO

D.向量瓦在向量荏上的投影向量為-浮荏

20.（2020春?廣東東莞?高一校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定

理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O、G、”分別是AABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（）

A.GA+GB+GC=0B.AB+AC=2HM-4MO

C.AH=3OMD.|Q4|=|OB|=|OC|

21.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是AASC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,AAOB的面積分別

為S”SB,Sc,則名?次+SB?礪+Sc?元=0.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)

定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（Mercedesbenz）的/ogo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若。、P是銳角

AABC內(nèi)的點(diǎn)，A、B、C是44SC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足西+而+=OAOB=OBOC=OCOA，

B.ZA+ZBOC=n

C.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

三、填空題

22.（2020秋?四川成都?高一成都七中校考階段練習(xí)）早在兩千多年前，我國(guó)首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，

就提出了宛田（扇形面積）的計(jì)算方法:“以徑乘周，四而一（直徑與弧長(zhǎng)乘積的四分之一）.已知扇形498的弧

長(zhǎng)為2匹面積為6肛設(shè)"+西叫同，則實(shí)數(shù)2等于.

23.（2022秋?四川內(nèi)江?高三四川省隆昌市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的

古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形一八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰

陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為2,尸是正八邊形

ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則西.方的最小值為.

24.（2022秋?全國(guó)?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為

《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.

類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大

等邊三角形，且=2AF,點(diǎn)M為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是心￡尸內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，^.MP=AMD-MB,

則A的最大值為.

c

25.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）中國(guó)文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖（1）

是八卦模型圖，將共簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形ABCDEFGH,若9=1,則］W?理=.

圖⑴圖⑵

26.（2022春?福建泉州?高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理

被稱為歐拉線定理.已知AABC的外心為。，重心為G,垂心為H,M為8c中點(diǎn)，且AB=5,AC=4,則

下列各