工程物理 - 彎曲變形

1第

6

章彎曲變形

彎曲變形基本方程

計(jì)算梁位移的方法

簡(jiǎn)單靜不定梁分析

梁的剛度條件與設(shè)計(jì)本章主要研究：2§1

引言

§2

梁變形基本方程

§3

計(jì)算梁位移的積分法

§4

計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法

§5

計(jì)算梁位移的疊加法

§6

簡(jiǎn)單靜不定梁§7

梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì)3§1引言

彎曲變形及其特點(diǎn)

撓度與轉(zhuǎn)角4

彎曲變形及其特點(diǎn)

撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，剪力對(duì)彎曲變形影響一般可忽略不計(jì),

因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸

變彎后的梁軸，稱為撓曲軸

研究彎曲變形的目的，進(jìn)行梁的剛度計(jì)算，分析靜不定梁，為研究壓桿穩(wěn)定問(wèn)題提供有關(guān)基礎(chǔ)5

撓度與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角－撓度撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系（小變形）撓度－橫截面形心在垂直于梁軸方向的位移－撓曲軸方程轉(zhuǎn)角－橫截面的角位移－轉(zhuǎn)角方程（忽略剪力影響）（rad）6§2

梁變形基本方程

撓曲軸微分方程

撓曲軸近似微分方程7

撓曲軸微分方程（純彎）（推廣到非純彎）

w－彎矩引起的撓度

smax<sp－撓曲軸微分方程8

撓曲軸近似微分方程小變形時(shí)：－撓曲軸近似微分方程

小變形

坐標(biāo)軸

w

向上應(yīng)用條件：坐標(biāo)軸

w

向下時(shí)：9§3

計(jì)算梁位移的積分法

撓曲軸微分方程的積分與邊界條件

積分法求梁位移

撓曲軸的繪制

例題10

撓曲軸微分方程的積分與邊界條件約束處位移應(yīng)滿足的條件梁段交接處位移應(yīng)滿足的條件－位移邊界條件－位移連續(xù)條件利用位移邊界條件與連續(xù)條件確定積分常數(shù)11

積分法求梁位移qA

=?EI=

常數(shù)

建立撓曲軸近似微分方程并積分

利用邊界條件確定積分常數(shù)由條件

(1),(2)

與式

(b)

，得

計(jì)算轉(zhuǎn)角（

）12

撓曲軸的繪制繪制依據(jù)

滿足基本方程

滿足位移邊界條件與連續(xù)條件繪制方法與步驟

畫(huà)

M圖

由位移邊界條件確定撓曲軸的空間位置

由M圖的正、負(fù)、零點(diǎn)或零值區(qū)，確定撓曲軸的

凹、凸、拐點(diǎn)或直線區(qū)，即確定撓曲軸的形狀13

例題例

3-1用積分法求梁的最大撓度，EI為常數(shù)解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分AC段CB段143.最大撓度分析（

）當(dāng)a>b

時(shí)位移邊界條件：位移連續(xù)條件：2.確定積分常數(shù)發(fā)生在AC段15例

3-2

建立撓曲軸微分方程，寫出邊界條件，EI

為常數(shù)解：1.建立撓曲軸近似微分方程AB段:CB段:2.邊界條件與連續(xù)條件位移邊界條件：位移連續(xù)條件：16F=qa例

3-3繪制撓曲軸的大致形狀F=qa17§4

計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法

奇異函數(shù)

彎矩通用方程

梁位移通用方程

例題18

奇異函數(shù)當(dāng)需分段建立

M

或

EI

方程時(shí)，用積分法求解需要確定許多積分常數(shù)，利用奇異函數(shù)簡(jiǎn)化了分析計(jì)算定義奇異函數(shù)（或麥考利函數(shù)）19

彎矩通用方程用奇異函數(shù)建立最后梁段

DE

的彎矩方程：適用于各梁段。例如對(duì)于

BC

段（l1,l2）20

梁位移通用方程適用于任一梁段,僅包括兩個(gè)積分常數(shù),由邊界條件確定21

例題例

4-1用奇異函數(shù)法計(jì)算qA，EI為常數(shù)解：1.建立梁位移通用方程222.確定積分常數(shù)（

）3.計(jì)算轉(zhuǎn)角23例

4-2用奇異函數(shù)法計(jì)算wA，EI為常數(shù)解：（

）24例

4-3建立通用撓曲軸微分方程，寫出位移邊界條件解：25§5

計(jì)算梁位移的疊加法

疊加法

逐段分析求和法

例題26

疊加法方法分解載荷分別計(jì)算位移

求位移之和

當(dāng)梁上作用幾個(gè)載荷時(shí)，任一橫截面的總位移，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和27理論依據(jù)上述微分方程的解，為下列微分方程解的組合（小變形,比例極限內(nèi)）（小變形）疊加法適用條件：小變形，比例極限內(nèi)28

逐段分析求和法

分解梁

分別計(jì)算各梁段的變形在需求位移處引起的位移

求總位移在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時(shí)，其余梁段視為剛體29

例題例

5-1q(x)=q0cos(px/2l)，利用疊加法求wB=?解：(

)(

)30例

5-2解：(

)(

)(

)31例

5-3圖示組合梁，EI=常數(shù)，求

wB與qA(

)(

)解：32例

5-4圖示剛架，求截面

C的鉛垂位移解：33例

5-5求自由端位移d撓曲軸與外力作用面不重合一般情況下解：34§6

簡(jiǎn)單靜不定梁

靜不定度與多余約束

簡(jiǎn)單靜不定梁分析方法

例題35

靜不定度與多余約束多余約束

凡是多于維持平衡所必須的約束多余反力

與多余約束相應(yīng)的支反力或支反力偶矩靜不定度

＝未知支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)4-3

=

1度靜不定5-3

=

2度靜不定靜不定梁

支反力（含力偶）數(shù)超過(guò)平衡方程數(shù)的梁36

簡(jiǎn)單靜不定梁分析方法選

FBy

為多余力－變形協(xié)調(diào)條件－物理方程－補(bǔ)充方程－平衡方程1度靜不定算例綜合考慮三方面求梁的支反力,EI=常數(shù)37

判斷梁的靜不定度

用多余力

代替多余約束的作用，得受力與原靜不定梁相同的靜定梁－相當(dāng)系統(tǒng)

計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程

由補(bǔ)充方程確定多余力，由平衡方程求其余支反力

通過(guò)相當(dāng)系統(tǒng)計(jì)算內(nèi)力、位移與應(yīng)力等依據(jù)－綜合考慮三方面關(guān)鍵－確定多余支反力分析方法與步驟相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)注意:相當(dāng)系統(tǒng)有多種選擇38

例題例6-1求支反力解：1.

問(wèn)題分析2.

解靜不定水平反力忽略不計(jì),2多余未知力39例

6-2懸臂梁

AB，用短梁

DG

加固，試分析加固效果解：1.靜不定分析402.加固效果分析（剛度）減少

50%減少39.9%3.加固效果分析（強(qiáng)度）41例6-3圖示桿梁結(jié)構(gòu)，試求桿

BC

的軸力解：梁截面形心的軸向位移一般忽略不計(jì)42例

5-4直徑為d的圓截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：43§7

梁的剛度條件與合理設(shè)計(jì)

梁的剛度條件

梁的合理剛度設(shè)計(jì)

例題44

梁的剛度條件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑動(dòng)軸承處:45

梁的合理剛度設(shè)計(jì)

橫截面形狀的合理選擇

材料的合理選擇使用較小的截面面積

A，獲得較大慣性矩

I

的截面形狀，例如工字形與盒形等薄壁截面影響梁剛度的力學(xué)性能是

E

，為提高剛度，宜選用E

較高的材料注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的

E

基本相同46

梁跨度的合理選取跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變例如

l

縮短

20％，dmax

將減少

48.8%47

合