2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)試題匯編：三角函數(shù)與解三角形

(3)三角函數(shù)與解三角形

——2024年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專項(xiàng)匯編

一、選擇題

1.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]已知cos(a+/?)="tanortan/?=2,則cos(a-/?)=()

mvn

A.-3mB.--C.—D.3m

33

2.[2024年新課標(biāo)II卷高考真題]設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+l)2-1,g(x)-cosx+2ax,當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，

曲線y=/(x)和y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn).則a=()

A.-1B.-C.lD.2

2

3.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]當(dāng)xe[0,2初時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin(3x-工)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

6

為()

A.3B.4C.6D.8

4.[2024屆嘿龍江齊齊哈爾?一模]已知33+看卜：，則si《2a-看卜()

733

AB.--C.-D.--

-i888

JT

5.[2024屆?山西長(zhǎng)治?一模?？糫已知函數(shù)/(x)=Asin((yx+°)(A>0,a)>0,⑷<,)的部分圖

象如圖所示,若方程/(%)=用在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

6.[2024屆?江西?模擬考試]在△ABC中，若sinA=2cos3cosC,則cosz5+cos2c的取值范圍

為()

A[B.可]c."D"鋁

7.[2024屆.湖北.模擬考試聯(lián)考]在△ABC中，AC2+BC2^5AB2,則曬色+曬C=()

tanAtanB

A.2B.lC.BD正

3222

8.[2024屆?湖南師大附中?模擬考試]若銳角a,/3滿足3cos(a+0=cosccos〃，則tang+尸)

的最小值為()

A.272B.273C.2A/50,276

二、多項(xiàng)選擇題

9.[2024年新課標(biāo)H卷高考真題]對(duì)于函數(shù)/(x)=sin2x和g(x)=sin12x-￡|,下列說法中正確

的有()

A./(%)與g(x)有相同的零點(diǎn)B./(x)與g(x)有相同的最大值

C./(%)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對(duì)稱軸

10.[2024屆.河北衡水.二模聯(lián)考]如圖，點(diǎn)A,B,C是函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(o>O)的圖象與

直線y=且相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且忸=/，ff--1=0,則()

23112J

C.函數(shù)“力在[看]上單調(diào)遞減

D.若將函數(shù)"％)的圖象沿x軸平移夕個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則冏的最小值為最

三、填空題

U.[2024年新課標(biāo)n卷高考真題]已知a為第一象限角，/3為第三象限角，tano+tan，=4,

tanatan/3=A/2+1,則sin(tz+耳)=.

12.[2024屆.山東威海.二模]在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知&=?,

Z?+c=4>cosC=?貝UsinA=-------------

6

13.[2024屆.長(zhǎng)沙市第一中學(xué).模擬考試]已知函數(shù)

/(x)=sin[ox+'|J+6cos[ox-'1'1+6cos0x(O<間<1)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=~,

則a)=.

四、解答題

14.[2024年新課標(biāo)I卷高考真題]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinC=^2cosB,a2+b2-c2=Oab.

(1)求&

(2)若△ABC的面積為3+百，求c.

15.[2024年新課標(biāo)H卷高考真題]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinA+V3COSA=2.

(1)求A；

(2)若a=2,y/2bsinC=csin2B,求△ABC的周長(zhǎng).

參考答案

1.答案：A

sinasinD

解析：由cos(df+J3)=相得cosecos/?-sinasin/3=根①.由tanatan/?=2得---------=2②，

cosacos0

,［cosacos3=-m_

由①②得《，所以cos(e-7?)=cosacos/?+sinasin乃=一3根，故選A.

sinasm/3--2m

2.答案：D

解析：由題意知/(X)=g(x),貝！J6Z(X+1)2-1=COSX+2^X,即COSX=+1)一1,令

h(x)=cosx-a(^x2+1)+1.易知h(x)為偶函數(shù)，由題意知力(九)在(一1,1)上有唯一零點(diǎn)，所以

/z(0)=0,即cosO—Q(0+1)+1=0,得a=2,故選D.

3.答案：C

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin13x-F)的最小正周期T=§,所以函數(shù)y=2sin［3x-t］在。2河上

的圖象恰好是三個(gè)周期的圖象，所以作出函數(shù)〉=25由［3%-看］與丁=5足工在。2兀］上的圖象如

圖所示，

由圖可知，這兩個(gè)圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，故選C.

4.答案：A

解析：設(shè)tz+'=f,則&=/■一巴，cost=-,sin(2tz—工］=sin2。一工］一工=sinfIt--

664I6［66I2

=_cos2?=_(2COS2,_1)=_-]=—?

故選：A.

5.答案：B

解析：觀察圖象知，A=2,函數(shù)/(x)的周期T=g*-(-g)]=7i,。=與=2,

由/(!1■)=2，得2*5+夕='1+24兀，左eZ,而l9l<],則°=

于是/(x)=2sin(2x+m),當(dāng)時(shí)，2%+三e[―g,]],

當(dāng)2x+^e[-勺，即xe[-±-型],函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)值從-逝減小到-2,

332212

當(dāng)2x+^e[-二,當(dāng)，即xe[-2,0]時(shí)，函數(shù)/⑶單調(diào)遞增，函數(shù)值從-2增大到石，

32312

顯然函數(shù)“X)的[-工-馬上的圖象關(guān)于直線x=-型對(duì)稱，

2312

方程/(%)=根在[-],0]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即直線>=加與函數(shù)y=/(x)在[-],0]上的

圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-2,-.

故選：B.

6.答案：B

解析：SsinA=2cosBcosCsinBcosC+cosBsinC=2cosBcosC,所以tan5+tanC=2,又

--cos^R

2cos5cosc>0,所以5,C均為銳角，即tan_B>0,tanCAO.cosO^B+cosOCu——石--------z—+

sin2B+cos2B

22222

------c-o--s---C------=-------1------1-------1------=----2--+--t-a--n---B---+--t-a-n---C----=----------t-a--n---B--+---t-a-n---C---+--2----------

sin2C+cos2C1+tan2B1+tan2C(^1+tan2B^l+tan2C)tan2Btan2C+tan2B+tan2C+1

.因?yàn)閠an?J3+tan2C=(tan3+tanC)2-2tanjBtanC=4-2tanBtanC,所以cos26+cos?C=

6-2tanBtanC

設(shè)3—tanBtanC=m,貝！]cos2B+cos2C=--------------------------

tan2Btan2C-2tanBtanC+5(3—m)—2(3—m)+5

—=—|—，因?yàn)閠an^tanCJtan8+tanC[=],當(dāng)且僅當(dāng)A=3=烏時(shí)等號(hào)成

蘇—4"吐8m+l_4I2)4

m

立，所以加e[2,3),m+—￡^4^2,6,cos2B+cos2Ce1,-------|.故選A

7.答案：B

解析：設(shè)AC*BC=a,AB=c,

由3+802=56,

則it?+〃=5c-,

tanCtanCJcosAcos5sinCsin(A+B)sin2C

------+-------=tanC|-------+-------

tanAtanB[sinAsinBcosCsinAsinBsinAsin5cosC

―—1

a+b2-c1=彳，故選：B.

a7bx-------------2

lab

8.答案：D

2

解析：3cos(cr+)3)=cosacosP=^>3cosacos/?-3sinorsinp=cosocos/?=^>tanortan

于是tan(6z+〃)=‘a(chǎn)n"+tan'=3(tana+tan〃)>6jtanatan/?=2A/6.選D.

1-tanortan/?

9.答案：BC

解析：對(duì)于令貝?。莨?，又kit

A,/(x)=0,%=keZ,gWO,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,/(x)與g(x)的最大值都為1,故B正確；

對(duì)于C,/(x)與g(x)的最小正周期都為兀，故C正確；

對(duì)于D,/(%)圖象的對(duì)稱軸方程為2》=二+也，ZreZ,BPx=-+—,ZeZ,g(x)圖象的對(duì)

242

稱軸方程為2x-2=2+版，keZ,即x=型+如，kwZ,故/(x)與g(x)的圖象的對(duì)稱軸不

4282

相同，故D錯(cuò)誤.故選BC.

10.答案：ACD

解析：令/(x)=sin(ox+0)=岑得，a>x+(p=^+2kn^a)x+(p=^-+2kn,keZ,

=__兀兀27r

由圖可知：coxA+(p=—+2kn,coxc+(p=—+2H+2TI,coxB+(p=-+2kn,

所以忸￡+?陰=&"*

coHH

所以]=|5c|-|A創(chuàng)1+2兀）所以口=4,故A選項(xiàng)正確,

所以〃“=sin（4x+0）,由/卜/=0且x=*處在減區(qū)間，得sin=0,

JT

所以--\-(p=Tt+2左兀,keZ,

3

47r

所以夕=丁+2.，左￡Z,

所以/(x)=sin(4x+也+2左兀]=sin|4x+—|=-sin|4x+—

)兀57171

4x+—G——，2兀+一

333

因?yàn)閥=-sinf在峰[?,2兀+皆為減函數(shù)，故"X）在上單調(diào)遞減，故C正確；

將函數(shù)“X）的圖象沿x軸平移9個(gè)單位得g（x）=-5由14%+4，+5],（。＜0時(shí)向右平移，。＞0

時(shí)向左平移），

g（x）為偶函數(shù)得4。+]=]+?,keZ,

所以￡=（+,,keZ,則冏的最小值為（，故D正確.

故選：ACD.

11.答案：-述

解析：由題知tan(a+yg)=1alia+tan尸一=---4=_2插,gpsin((z+/3)=-2^2cos((z+/3),

1-tan-tan1-^2-1

Xsin2(ci:+/7)+cos2(a+P)=1,可得sin(c+，)=~~~~.由2%兀<a<2%兀+]keZ,

2mn+7i</7<2mn+—,meZ,M2(A;+m)7t+n<a+J3<2(Jc+in)n+2n,左+7〃GZ.又

tan(o+0<O,所以a+，是第四象限角，故sin(a+夕)=-2^.

答案：立

12.

3

解析：在△ABC中，由余弦定理可得02=42+82—2abcosC，

所以/—Z?2=6-2V6￡>x(―^^-)?所以(c—b)(c+Z?)=6+2Z?，

因?yàn)閏+/?=4,所以4(c-b)=6+2b,所以4c-6b=6

解得6=1，c=3，

由cosC=一^-9可得sinC=，

66

在△ABC中，由正弦定理可得-^=4，

sinCsinA

[7

所以「asinC"義―T非.

smA=--------=---------U—=——

c33

故答案為：昱.

3

13.答案：工

3

解析：/(X)=sincoxcos—+coscoxsin—+A/3COSGXCOS—+^sinGxsin—+A/3COSCOX

3333

=2sinG%+2gcosG%=4sina>x+—,

I3j

由于/(x)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=:,

所以:①+三=]+hi(左GZ),

2

解得①=§+4k(keZ).

又因?yàn)?<|G|<1,

所以O(shè)=工?

3

故答案為：'

3

14.答案：（1）B=-

3

（2）C=2A/2

解析：⑴由余弦定理得COSC=F272^_2=I6，

7T

又0＜。＜兀，.\C=—.

4

正1

/.0cosB=sinC=——，cosB=一

22

jr

又0＜5＜兀，:.B=—.

3

57r

（2）由（1）^A=n-B-C=—,

12

由正弦定理^得L=/，

sinAsinCj2+，6122

4~T

.".△ABC的面積S=—ocsinB=1+"c?義^~—3+-x/3,得c=2A/2.

242

15.答案：（1）A=-

6

（2）2+76+372

解析：（1）解法一：由sinA+J^cosA=2,sinA+^-cosA=1,

22

所以si“A+m=1.

因?yàn)?＜4＜兀，所以工＜A+二〈生，

333

所以A+^=巴，故4=工.

326

解法二：由sinA+百cosA=2,得/cosA=2-sinA,

兩邊同時(shí)平方，得3cos2A=4-4sinA+sin2A,

貝!J3(^1-sin2A)=4-4sinA+sin2A,

整理，^l-4sinA+4sin2A=0,

所以(1—2sinA)2=0,則sinA=^.

2

因?yàn)?<4<兀，所以A=2或A=2.

66

當(dāng)人=色時(shí)，sinA+百cosA=2成立，符合條件；

6

當(dāng)A=型時(shí)，sinA+geosA=2不成立，不符合條件.故A=q.

66

解法三：由sinA+百cosA=2,得sinA=2-百cosA,

兩邊同時(shí)平方，得sin2A=4-cosA+3cos2A,

則l-cos?A=4-4石cosA+3cos2A,

整理，得3—4后cosA+4cos2A=0,

所以(6—2COSA)?=0,貝!JcosA=

2

因?yàn)?cA<71,所以A=巴.

6

(2)由yjlbsinC=csin23,得absinC=2