新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：分類打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型（練習(xí)）（解析版）

專題05分類打靶函數(shù)應(yīng)用與函數(shù)模型

目錄

01二次函數(shù)與塞模型...............................................................1

02分段函數(shù)模型....................................................................4

03對勾函數(shù)模型...................................................................11

04指數(shù)函數(shù)模型...................................................................14

題型05對數(shù)函數(shù)模型...................................................................17

06函數(shù)模型的選擇................................................................19

.題型01二次函數(shù)與幕模型

1.（2023?河北?校聯(lián)考模擬預(yù)測）勞動實(shí)踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)

社會、回報(bào)社會的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動實(shí)踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日

產(chǎn)量為x件時(shí)，售價(jià)為s元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計(jì)為600+20x元，請你幫他計(jì)算日產(chǎn)

量為

件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【答案】2007.94

【解析】由題意易得日禾!J潤y=sxx-(600+20x)=x(820-2x)-(600+20x)=-2(x-2007+79400,

故當(dāng)日產(chǎn)量為200件時(shí)，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元,

故答案為：200,7.94.

2.（2023?北京海淀?高三?？茧A段練習(xí)）科學(xué)家在研究物體的熱輻射能力時(shí)定義了一個(gè)理想模型叫“黑

體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體.然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電

磁波，科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率8與該黑體的絕對溫度T的4次方成正

比，即3=b為玻爾茲曼常數(shù).而我們在做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過程中，往往不用基礎(chǔ)變量作為橫縱坐

標(biāo)，以本實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，8為縱坐標(biāo)，以〃為橫坐標(biāo)，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)

【解析】（1）因?yàn)锽=。為玻爾茲曼常數(shù).8為縱坐標(biāo)，以廣為橫坐標(biāo)，因?yàn)閄MT,NO,所以

B=（TX{X>^,所以曲線是一條射線；

（2）由于曲線的形狀類似y=?，根據(jù)曲線可知可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式：8為縱坐標(biāo)，以d為橫坐

標(biāo)，故答案為：8為縱坐標(biāo)，以V為橫坐標(biāo).

故答案為：（1）射線；（2）8為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo).

3.（2015?北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況

加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

【答案】B

【解析】由表格得到從5月1日到15日，該車加了48升的汽油，這段時(shí)間行駛的路程為35600千米-35000

千米=600千米，所以該車每100千米平均耗油量48+6=8（升）.

故選：B.

4.（2023?河南平頂山?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延

時(shí)服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為12cm,寬為

10cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部

分，則折痕長度的取值范圍是cm.

【答案】［10,13］

【解析】由題意得長方形紙片的面積為12xl0=120（cm2）,不妨設(shè)折痕將紙片分成兩部分的面積分別為

2

S1,S2,且S］：S2=1:3,貝lJS］=30cm2,S2=90cm.

如圖，其中AB=12cm,AN=10cm,

當(dāng)折痕MN為圖（1）所示的三角形一邊時(shí)，

DCDNCDC

MBAMBAB

(2)(3)

—xy=30

孫二60

設(shè)AM=xcm,AN=ycm,貝0<x<12,解得

6<x<12

0<y<10

則MN2=X2+y2=X2+2^2

當(dāng).￡（36,60）時(shí)，/r（r）＜0,當(dāng).￡（60,144）時(shí)，

故/⑺在［36,60］上單調(diào)遞減，在［60,144］上單調(diào)遞增,

X/(36)=136,/(60)=120,/(144)=169,故/⑴4120,169],

feWe[2V30,13].

當(dāng)折痕MN為圖（2）所示的梯形一邊時(shí),

；(x+y)xl0=30

解得[[。x+:y=6

設(shè)AM=xcm,DN=ycm,貝?0<x<12,<6,

0<y<12

貝IJMV?=（彳-?+100=（2》-6）2+100,0<x<6,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，M?V2e[100,136）,則肱Ve[10,2庖）.

當(dāng)折痕MN為圖（3）所示的梯形一邊時(shí)，

1(x+y)xl2=30

叫A,(x。+二y=5

設(shè)AM=xcm,BN=ycm,則.0<x<10,5,

0<y<10

貝l|MV2=（x-y）2+144=（2x-5y+144,0<x<5,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，MZV2e[144,169）,則肱Vw[12,13）.

綜上所述，折痕長度的取值范圍為[10,13].

故答案為：[10,13]

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某單位計(jì)劃建一矩形場地，現(xiàn)有總長度為100m的可作為圍墻的材料，

則場地的面積S（單位：m2）與場地的長x（單位：m）的函數(shù)關(guān)系式為.

【答案】5=x（50-x）（0<x<50）

【解析】由于場地的長為皿，則寬為（50-x）m,由題意得S=x（50-x）.易知x>0,50-x>0,所以自變

量x的取值范圍為0<x<50.故所求函數(shù)的關(guān)系式為S=x（50-x）（0〈尤<50）.

故答案為：S=x（50-x）（0<x<50）

一題型02分段函數(shù)模型

6.（2017?上海）根據(jù)預(yù)測，某地第w（weN*）個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為%和6“（單位：輛）,

其中為=[5"4+15,援"3,6+5,第〃個(gè)月底的共享單車的保有量是前〃個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損

[-1On+470,/J..4

失量的差.

（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量；

（2）已知該地共享單車停放點(diǎn)第"個(gè)月底的單車容納量S,=-45-46）2+8800（單位：輛）.設(shè)在某月底，

共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車容納量？

r到死1一、卜/+15,1釉3,<

【解析】（1），b=77+5

1-10”+470,〃..4n

=5xl4+15=20

a2=5x2"+15=95

4=5x3"+15=420

o4=-10x4+470=430

々=1+5=6

仇=2+5=7

b3=3+5=8

b4=4+5=9

.,.前4個(gè)月共投放單車為%+a2+%+%=20+95+420+430=965,

前4個(gè)月共損失單車為々+4+4+"=6+7+8+9=30,

該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車的保有量為965-30=935.

（2）令%..〃，顯然43時(shí)恒成立，

當(dāng)機(jī).4時(shí)，有一10〃+470..”+5,解得4空工

11

.?.第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大.

當(dāng)九.4,｛4｝為公差為-10等差數(shù)列，而｛或｝為等差為1的等差數(shù)列，

至U第42個(gè)月底，單車保有量為4+/39+535-幺土組x42=430+50x39+535一x42=8782.

2222

%=-4x16+8800=8736.

8782>8736,

第42個(gè)月底單車保有量超過了容納量.

7.（2018?上海）某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上

班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當(dāng)S中x%（0<x<100）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人

均通勤時(shí)間為

30,0<為,30

/(x)=J1800(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響，恒為40分鐘,

2元+-----90,30<%<100

.尤

試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：

(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？

(2)求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g(x)的表達(dá)式；討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義.

【解析】解；(1)由題意知，當(dāng)30Vx<100時(shí)，

/(x)=2x+^^-90>40，

X

即尤2—65X+900>0,

解得x<20或x>45,

.??Xe(45/00)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；

(2)當(dāng)0<%,30時(shí)，

Y

g(x)=30-x%+40(1-x%)=40-—；

當(dāng)30<xvl00時(shí)，

g(x)=(2x+-90)-X%+40(1-x%)--—x+58；

x5010

40-----

/、10

Y⑴=尤213；

--——x+58

15010

當(dāng)0<x<32.5時(shí)，g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)32.5<x<100時(shí)，g(x)單調(diào)遞增；

說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞減的；

有大于32.5%的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞增的；

當(dāng)自駕人數(shù)所占比為32.5%時(shí)，人均通勤時(shí)間最少.

8.(2023?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期末)已知正四面體A3CD的棱長為1,P為棱A3上的動點(diǎn)(端點(diǎn)A、B

除外)，過點(diǎn)P作平面。垂直于A3,a與正四面體的表面相交.記”=將交線圍成的圖形面積S表示

為x的函數(shù)“X),則5=/(力的圖象大致為()

【答案】C

【解析】取線段A3的中點(diǎn)。，連接OC、0D,

因?yàn)?4SC、△ABD為等邊三角形，。為A3的中點(diǎn)，則OCLAB,OD±AB,

,/OCcOD=0,0C、ODu平面OCD,AB_L平面OCD,

因?yàn)槠矫?。，所以，平面。與平面OCD平行或重合，

S.OD=OC=VAC2-OA2=—,

2

取8的中點(diǎn)M,連接則OMLCZ),

5.OM=yjoc2-CM2故S3CD=；C?OM=￥.

①當(dāng)0＜x＜；時(shí)，平面打〃平面OCD,平面平面43C=尸E，

平面OCDC平面ABC=OC,；.PE//OC,同理可知，PF//OD,EF//CD,

PE_AE_EF_AF_PF

所以,,故APERs△ocD,

~OC~~\C~~CD~~\D~1)D

如下圖所示:

貝==4/，則5=〃*=缶2；

S/\OCD\AO)

②當(dāng)x=|?時(shí)，S==字；

③當(dāng);〈尤＜1時(shí)，平面a〃平面OCD,平面々Pl平面ABC=PE，

平面0cDp平面ABC=OC,PE!IOC,同理可知，PFHOD,EF//CD,

如下圖所示:

=4(1-%)\則S=/(X)=0(1T)2.

綜上所述，S=f（x）=<，故函數(shù)“X）的圖象如C選項(xiàng)中的圖象.

L71

V2(x-1),-<%<1

故選：C.

9.（2023?重慶南岸?高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為了抗擊新型冠狀病毒肺炎保障師生安

全，我校決定每天對教室進(jìn)行消毒工作，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)空氣中的含藥量y（加g/譚）與時(shí)間

t⑺成正比（0<f<：）；藥物釋放完畢后，y與1的函數(shù)關(guān)系式為y=（；）j（。為常數(shù)，據(jù)測

定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.5（mg/m3）以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員

至少提前分鐘進(jìn)行消毒工作

y(mg/m3)

A.30B.40C.60D.90

【答案】C

【解析】計(jì)算函數(shù)解析式，取/（/）=（:）《=g,計(jì)算得到答案.根據(jù)圖像：函數(shù)過點(diǎn)故

2%,0</<2

>=/(，)=?

1r--1

當(dāng)名時(shí)，取〃，）=（4=，解得E小時(shí)=6。分鐘.

故選：c.

10.（2023?廣東深圳?高三統(tǒng)考期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)

品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品，需另投入成本。（力萬元.其中

X2+10x,0<x<40

0（力=110000，若該公司?年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)

71x+----------945,%〉40

每年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

【答案】C

70%-(%2+10x+25),0<xV40

【解析】該企業(yè)每年利潤為〃引=<

70x-171x+^^-945+25j,x>40

當(dāng)0<xW40時(shí)，/(x)=—x2+60x—25=—(x-30)"+875

在x=30時(shí),/（x）取得最大值875；

當(dāng)x>40時(shí)，f（x）=920-^+<920-2小.理^=720

（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)等號成立），即在x=100時(shí)，/（x）取得最大值720；

由875>720,可得該企業(yè)每年利潤的最大值為875.

故選：C

11.（2023?北京西城?高三統(tǒng)考期末）“空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指

數(shù).當(dāng)AQI大于20。時(shí)，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動.某地某天0~24時(shí)的空氣質(zhì)量指數(shù)丁隨時(shí)間

-10/+290,0<r<12

f變化的趨勢由函數(shù)y=「描述，則該天適宜開展戶外活動的時(shí)長至多為（）

56s-24,12<^<24

A.5小時(shí)B.6小時(shí)C.7小時(shí)D.8小時(shí)

【答案】C

【解析】解:由題知，當(dāng)AQI大于200時(shí)，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動，

即當(dāng)AQI小于等于200時(shí),適宜開展戶外活動，

即”20。，

-10r+290,0<Z<12

因?yàn)閥=<廠，

[56〃-24,12</424

所以當(dāng)0V/412時(shí),

只需-10f+290W200,

解得:9W12,

當(dāng)12<Y24時(shí)，

只需56?-244200,

解得

綜上：適宜開展戶外活動的時(shí)間段為9WfW16,

共計(jì)7個(gè)小時(shí).

故選:C

12.（2023?山東臨沂?高三統(tǒng)考期中）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民用水實(shí)行“階梯水

價(jià)”.計(jì)費(fèi)方法如下表：

每戶每月用水量水價(jià)

不超過12m34元/n?

超過12m3但不超過18m36元/n?

超過18m38元/n?

若某戶居民上月交納的水費(fèi)為66元，則該戶居民上月用水量為（）

A.13m3B.14m3C.15m3D.16m3

【答案】C

【解析】設(shè)用戶的用水量為xn?,繳納的水費(fèi)為y元，

當(dāng)04x（12時(shí)，y=4xe[0,48],

當(dāng)12<xV18時(shí)，y=48+6（x-12）=6x-24e（48,84],

當(dāng)%>18時(shí)，y=4xl2+6x6+8（x-18）=8x-60>84.

故若某戶居民上月交納的水費(fèi)為66元，則用水量在（12,18］內(nèi)，令6x-24=66,解得％=15.

故選：C.

一題蟄03對勾函數(shù)模型

13.（2014?湖北）某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量產(chǎn)（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車

輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長/（單位：米）

76000v

的值有關(guān),其公式為f二

v2+18V+20/

（I）如果不限定車型，7=6.05,則最大車流量為輛/小時(shí);

（II）如果限定車型，1=5,則最大車流量比（I）中的最大車流量增加一輛/小時(shí).

【答案】1900,100

760001，76000

【解析】（I）F=

v~+18V+20/v+叨+lS

V

?.-V+—..2A/121=22,當(dāng)v=ll時(shí)取最小值,

V

76000

:.F=1900,

v+^+18

v

故最大車流量為：1900輛/小時(shí);

…、尸76000v76000v76000

（11）F=-----------=------------=----------

22

V+18V+20/V+18V+100y,[100,1g

V

?.?V+?..2^/T55=20,

V

F?2000,

2000-1900=100（輛/小時(shí)）

故最大車流量比（I）中的最大車流量增加100輛/小時(shí).

故答案為：1900,100

14.（2023?山東濟(jì)南?高三山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）近來汽油價(jià)格起伏較大，假設(shè)第

一周、第二周的汽油價(jià)格分別為加元/升，〃元/升（"屋〃），甲和乙購買汽油的方式不同，甲每周購買40元

的汽油，乙每周購買12升汽油，甲、乙兩次購買平均單價(jià)分別記為生,出，則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=%B.ax>a2C.a2>axD.%,電的大小無法確定

【答案】C

【解析】由題意得相>0,n>0,mwn,

40x22mn2mn

=Jmn

則4040m+nMmn

——l——

mn

12m+12nm+n

>yjmn,

12x22

所以〃2>%.

故選：C.

15.（2023?遼寧大連?高一大連八中校考期中）近來豬肉價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的豬肉價(jià)格

分別為〃元/斤7元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，

甲、乙兩次平均單價(jià)為分別記為叫，加2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.嗎二m2B.叫>加2

C.m2>mlD.叫，丐的大小無法確定

【答案】C

_2x20_2_lab

===

【解析】甲購買豬肉的平均單價(jià)為：20+20T^T^,

abab

—t..,,,-r-.,A,,.6Q+6ba+b

乙購頭豬肉的平均單價(jià)為：%=———=—^~,

顯然叫>0,m2>0,

2ab

且色=a+b=4ab=4ab<4ab=1

wz,a+b（q+6）2a2+2ab+b22ab+lab

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取“=”，

因?yàn)閮纱钨徺I的單價(jià)不同，即出b,

所以叫<m2,

即乙的購買方式平均單價(jià)較大.

故選：C.

16.（2023?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為

1800平方米的矩形ABCD,為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通

道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是()

A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米

【答案】C

【解析】設(shè)米,(x>0),

則種植花卉區(qū)域的面積S=(x-4)1等-2^|=-2x-?+1808.

因?yàn)闊o>0,所以2尤+22a440。=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=60時(shí)，等號成立，

X

則S4-240+1808=1568,即當(dāng)|9|=60米，忸兇=30米時(shí),

種植花卉區(qū)域的面積取得最大值，最大值是1568平方米，

故選：C

17.(2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模)某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每

年管理費(fèi)用為。」萬元，已知使用x年的維修總費(fèi)用為萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為

27

()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

爐+X

【解析】由題意可得：該設(shè)備年平均費(fèi)用方一+°」龍+3x3^31(z*'，

V=------------------------=11---------XG1N

27x270v7

Y3

當(dāng)且僅當(dāng)左=三，即x=9eN*時(shí)，等號成立，

27x

所以該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為9.

故選：C.

18.(2023?河南洛陽?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模)黨的二十大報(bào)告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社

會的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義

的三件大事之一.某企業(yè)積極響應(yīng)國家號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品.經(jīng)過市場

調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本0(x)萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件

時(shí)，p(x)=—X3+60X；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，p(x)=101.r+--1360.每件A產(chǎn)品的售價(jià)為100

120x

元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完.欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為

()

A.40萬件B.50萬件C.60萬件D.80萬件

【答案】D

【解析】由題意得，銷售收入為100x萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時(shí)，

1,

利潤/(x)=100x—Mx)—200=-詢/+4。尤一200；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時(shí)，

利潤/(x)=100x—p(x)-200=1160-[x+.

'13

-------x+40x—200,0<x<50

120

所以利潤小)=(6400、

1160-Ix+------j,x>50

因?yàn)楫?dāng)0<x<50時(shí)，r(尤)=-'(尤+40)(尤-40),所以/⑺在(0,40)上單調(diào)遞增，在(40,50)上單調(diào)遞減，

40

貝匹”/(4。)=T.

當(dāng)*250時(shí)，1160-[x+如2]W1160-2，xx處2=1000,當(dāng)且僅當(dāng)x=80時(shí)取等號.又1000>27。,所

以當(dāng)x=80時(shí)，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.

故選:D.

—m04指數(shù)函數(shù)模型

19.(2023?河南?高三內(nèi)黃縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))用指數(shù)模型：y=eg"描述累計(jì)一個(gè)池塘甲種微

生物的數(shù)量y隨時(shí)間r(單位：天)的變化規(guī)律，則該池塘甲種微生物的數(shù)量增加到原來的3倍需要的時(shí)間

約為天.(皿3。1.10,結(jié)果精確到0.1).

【答案】2.5

【解析】由題意，池塘甲種微生物的數(shù)量增加到原來的3倍，

則y&)=3y(rj,即e°-=3e°"i

所以e。*—)=3，則有Q44&f)=In3,

所以巧一%=7777穴2.5(天).

故答案為：2.5

20.（2023?江蘇徐州?高三校考開學(xué)考試）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研

究公司*發(fā)布的名為“。3Gzp”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)

關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化

G

中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L=4O。，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，4表示初始學(xué)習(xí)率，

。表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G。表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率

為0.5,衰減速度為18,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為04,則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含

0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為.（參考數(shù)據(jù)：1g2aQ3010）

【答案】74

【解析】根據(jù)題意可得，該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)模型為乙=0.5-￡>得，

當(dāng)G=18時(shí)，L=0.4代入得，o.4=0.5.0^解得。=。8,

由學(xué)習(xí)率衰減到。.2以下（不含0.2）,可得o5x08.<02，即08?<04，

蚊2

所以log。.04,因?yàn)槌椤?04=q=魯喂=冬|彳合4.1，

18j4Ig4-lg531g2-l

5

所以G>73.8,則G取74.

故答案為：74

21.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為11.2m/s,這是第一次“打

水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的93%,若要使石片的速率低于

7.84m/s,則至少需要“打水漂”次.（參考數(shù)據(jù)：取In0.7=-0.357,lnQ93=-0.073）

【答案】6

【解析】設(shè)石片第九次“打水漂”時(shí)的速率為v”,

則V"=n.2xO.93"T,由1L2X0.93"T<7.84,得OS"-；。：，

貝U（〃一l）ln0.93<In0.7,即〃一1>=-需:。4.89,

則〃>5.89,故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

故答案為：6.

22.（2023?全國?高三對口高考）某地對生活垃圾使用填埋和環(huán)保兩種方式處理.該地2020年產(chǎn)生的生活

垃圾為20萬噸，其中15萬噸以填埋方式處理，5萬噸以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量比前一年

增加1萬噸，同時(shí)，因垃圾處理技術(shù)越來越進(jìn)步，要求從2021年起每年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量

是前一年的9倍，若要使得2024年通過填埋方式處理的生活垃圾量不高于當(dāng)年生活垃圾總量的50%,則9

的值至少為.

【答案】m

【解析】由題意可知2024年的生活垃圾為24萬噸，

有題意可知2024年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量為5x/（萬噸），

24-5X^4<24X1,

解得：q>^/2A,則4的值至少啦7.

故答案為：肉.

23.（2023?福建廈門?高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始

溫度為耳C,空氣溫度為重C,則f分鐘后物體的溫度。（單位：oC）滿足：，=%+（々-%）”處.若常數(shù)

左=0.05,空氣溫度為30℃,某物體的溫度從120℃下降到40℃,大約需要的時(shí)間為.（參考數(shù)

據(jù)：ln3"l）

【答案】44

【解析】由題知％=30,4=120,0=40,.?.40=30+（120-30）e?g,-0.05r=ln1,

/.O.O5z=ln9=21n3,t=—40xIn3?44.

0.05

故答案為：44.

24.（2015?四川）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲藏溫度x（單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系

>=*+1e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k、。為常數(shù)）.若該食品在0°C的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22°C

的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是一小時(shí).

【答案】24

【解析】由題意可得，x=0時(shí)，y=192；x=22時(shí)，y=48.

代入函數(shù)＞=

22M

可得e嚏192,e=48,

即有ei"=L,eb=192,

2

33k+b

貝l|當(dāng)x=33時(shí)，y=e=-x192^24.

8

故答案為：24.

一題型05對數(shù)函數(shù)模型

25.（2023?上海松江?高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，

易放難收《增廣賢文》是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%,那么一年后是

（1+1%）365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后是（1-1%戶5=0.99365,一年后“進(jìn)步，，的是

1ni365（1niA365

“退步”的薄T=”1481倍.如果每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%,那么“進(jìn)步”的是“退步”的

1000倍需要經(jīng)過的時(shí)間大約是天（四舍五入精確）（參考數(shù)據(jù)：0.3010,lg330.4771）.

【答案】17

【解析】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的是“退步”的1000倍，

則1000x(1-0.2)工=12',BPf—=1000,

10.8J

lgl000_3

-----a17

,,x=log121000==

故ol]L2lg3-lg20.1761

0.8

故答案為：17.

26.（2023?北京房山?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)

弱，定義聲壓級4=20xlg2，其中常數(shù)為（為＞0）是聽覺下限閾值，P是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的

聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為區(qū)，給出下列結(jié)論：①

PgP2；②P2>1°P3；③。3=l0°Po；④<1。。。2.則所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③④

【解析】由題意可知4,460,90],42n50,60],4=40,

對于①：乙乃一4，=20xlg2一20x1g匹=20xlg包,

PoPoPi

因?yàn)閯t4-4=20xlg&±0,BplgA>0,

PlPl

所以且Nl,且p/2>°，可得Pg必，①正確；

Pl

對于②：20xlgA_20xlg^=20xlg^,

PoPoP3

因?yàn)?4s=42一40210,貝IJL小一4m=2°xlg&Z10,即

P3P3」

所以上2質(zhì)，且P2，P3>0,可得2NJI5P3,當(dāng)且僅當(dāng)4?=5。時(shí)等號成立，②錯(cuò)誤；

。3

對于③：因?yàn)?=20xlg4=40,即20x1g%=40,坨區(qū)=2,

PoPoPo

所以乙=100,即p3=100p0,③正確；

Po

對于④：由①可知4,一4°=2°xlg且，且一42s90-50=40,

P2

貝l|20xlg且44。，即lg&V2,

PiPi

所以且4100,且外P2>。，所以“VlOOPz，④正確；

P1

故答案為：①③④

27.（2023?福建龍巖?高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或

發(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，

涌起的泉水越高.已知聽到的聲強(qiáng)/與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)/。（4約為10*,單位：w/n?）之比的常用對數(shù)稱作聲

強(qiáng)的聲強(qiáng)級，記作L（單位：貝爾），即乙=電：.取貝爾的/。倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某

處“喊泉”的聲音強(qiáng)度y（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度X（單位：米）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=x+10,

若甲游客大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于100個(gè)乙游客同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起

的涌泉最高高度差為.

【答案】20

【解析】設(shè)甲游客的聲強(qiáng)為乙，大喝一聲激起的涌泉最高高度為玉米，

乙游客的聲強(qiáng)為右，大喝一聲激起的涌泉最高高度為巧米，

則再+10=101g,，x2+10=101g^,

兩式相減得占-Z=101g^-101g-^=101g=101g100=20,

甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為20米.

故答案為：20.

28.（2023?江蘇常州?高三華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過約7

小時(shí)的出艙活動，神舟十五號航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出

艙活動取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的

聲強(qiáng)級d（x）（單位：dB）與聲強(qiáng)x（單位：W/n?）滿足關(guān)系式：/x）=101g/.若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)

級約為60dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為10%,則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級約為—

dB.

【答案】138

【解析】設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為/W/n?,則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為10%%,且60=101g〃，解得玉=10-6,

則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)約為lO%xioF=i0L8w/m2,因此d（10"）=101g昔運(yùn)=138dB,

所以火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級約為138dB.

故答案為：138

一題型06函數(shù)模型的選擇

29.（2023?陜西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）研究汽車急剎車的停車距離對汽車剎車設(shè)計(jì)和路面交通管理非

常重要，急剎車停車距離受諸多因素影響，其中最為關(guān)鍵的兩個(gè)因素是駕駛員的反應(yīng)時(shí)間和汽車行駛速

度，設(shè)d表示停車距離，4表示反應(yīng)距離，4表示制動距離，則d=4+4,如圖是根據(jù)美國公路局公布的

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)制作的停車距離示意圖.圖中指針?biāo)傅膬?nèi)圈數(shù)值表示對應(yīng)的車速v（km/h）.根據(jù)該圖數(shù)據(jù)，建立停

車距離與汽車速度的函數(shù)模型.可選擇模型①：d=?v+6.模型②：〃=02+加.模型③：介次+―.模型④：

[=42+±.(其中。涉為待定參數(shù))進(jìn)行擬合，則擬合效果最好的函數(shù)模型是(

V

_____停車距離

245.5m

9.08s

219m停車時(shí)間

8.62s

197.6m8.15s制動距離

175.4m7.69s37.5m

35.4m

反應(yīng)距離

33.3m

7.23s31.3m

52.2m1602.60m

1508.5m17.0m

29.2m140KPH40

27.1m1303.06s

6.76s50

1206026.5m

135.6m25m170

803.53s

35.7m

6.30s22.9m

0.8m7m3.99s

5.84s8.7m46m

4.46

5.384.92s

101m52.7m

85.4m70.7m

A.d=av+b.B.d=av2+bv.

bd=T.

C.d=av+—.D.

vV

【答案】B

【解析】分析圖中數(shù)據(jù)，分別判斷4、人與車速的關(guān)系，即可得解.分析圖中數(shù)據(jù)可得，車速每增加io千

米/小時(shí)，反應(yīng)距離4增加的數(shù)量大體不變，

且v=0時(shí)，4=0,所以可擬合為4=bv；

分析車速V和制動距離d2@=d-d)可得*穩(wěn)定在一個(gè)常量附近，

且v=o時(shí)，4=o,所以可擬合為七二加二

所以擬合效果最好的函數(shù)模型是4=加2+加.

故選：B.

30.(2023?吉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測)對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：(0.675,-0.989),

(1.102,-0.010),(2.899,1.024),(9.101,2.978),下列函數(shù)模型中擬合較好的是()